5 离散时间系统最优控制
离散控制系统的最优控制理论
离散控制系统的最优控制理论离散控制系统的最优控制理论是控制工程领域中的一个重要研究方向。
离散控制系统是指在时间上只能在特定时间点进行操作的系统，相比连续控制系统，离散控制系统需要使用离散时间模型进行建模和控制设计。
最优控制理论是研究如何设计控制策略以使系统能够在某种指标下达到最优性能的一门学科。
离散控制系统的最优控制理论旨在寻找最优的控制策略，使得系统的性能指标如稳定性、响应速度、能耗等在给定约束条件下达到最优。
1. 离散控制系统的建模离散控制系统的建模是进行最优控制设计的基础。
在离散控制系统中，系统的状态在一系列离散时间点上进行更新。
离散控制系统的建模通常使用差分方程或状态空间模型。
差分方程描述了系统的状态在每个时间点的更新关系，而状态空间模型则将系统的状态和输入表示为向量，并使用矩阵形式描述系统的动态特性。
根据具体问题的需要，选择合适的建模方法可以更好地描述系统的动态行为。
2. 离散控制系统的性能指标离散控制系统的性能指标是评价系统控制性能的定量指标。
常见的性能指标包括稳定性、响应速度、能耗等。
稳定性是系统重要的性能指标之一，用于评估系统是否能够在有限时间内达到稳定状态。
响应速度是指系统对输入变化的快速响应能力。
能耗则是指系统在完成特定任务时所消耗的能源。
通过选取合适的性能指标，可以更好地评估和改进离散控制系统的性能。
3. 最优控制理论的基本原理最优控制理论的基本原理是寻找一组最优控制策略，使得系统的性能指标达到最优。
最优控制问题通常可以通过数学方法建立为一个优化问题。
其中，最常见的方法是最小化或最大化一个性能指标的数学表达式。
为了求解这些优化问题，可以使用动态规划、最优化理论等数学工具。
最优控制理论提供了一种系统优化设计的方法，可以帮助工程师设计更优秀的控制策略。
4. 最优控制策略的设计方法最优控制策略的设计方法取决于具体的离散控制系统和性能指标。
常见的设计方法包括经典控制方法和现代控制方法。
现代控制理论最优控制课件
04 离散时间系统的最优控制
CHAPTER
离散时间系统的最优控制问题的描述
定义系统
离散时间系统通常由差分方程描述，包括状 态转移方程和输出方程。
确定初始状态
最优控制问题通常从一个给定的初始状态开 始，我们需要确定这个初始状态。
确定控制输入
在离散时间系统中，控制输入是离散的，我 们需要确定哪些控制输入是可行的。
工业生产领域
02 现代控制理论在工业生产领域中也得到了广泛的应用
，如过程控制、柔性制造等。
社会经济领域
03
现代控制理论在社会经济领域中也得到了广泛的应用
，如金融风险管理、能源调度等。
02 最优控制基本概念
CHAPTER
最优控制问题的描述
确定受控系统的状态和输入，以便在 给定条件下使系统的性能指标达到最 优。
LQR方法
利用LQR（线性二次调节器）设计最优控制 器。
线性二次最优控制的应用实例
经济巡航控制
在航空航天领域，通过线性二次最优控制实现燃料消 耗最小化。
电力系统控制
在电力系统中，利用线性二次最优控制实现稳定运行 和最小化损耗。
机器人控制
在机器人领域，通过线性二次最优控制实现轨迹跟踪 和避障等任务。
03
02
时变控制系统
04
非线性控制系统
如果系统的输出与输入之间存在 非线性关系，那么该系统就被称 为非线性控制系统。
这类系统的特点是系统的参数随 时间而变化。
静态控制系统
这类系统的特点是系统的输出与 输入之间没有时间上的依赖关系 。
发展历程
古典控制理论
这是最优控制理论的初级阶段，其研究的主 要对象是单输入单输出系统，主要方法是频 率分析法和根轨迹法。
离散控制系统中的最优控制方法
离散控制系统中的最优控制方法离散控制系统是一种在时间和状态上都是离散的控制系统，相对于连续控制系统来说，其最优控制方法也有所不同。
本文将介绍离散控制系统中的最优控制方法，主要包括动态规划、最优化算法和强化学习。
一、动态规划动态规划是一种基于状态转移的最优化方法，在离散控制系统中有着广泛的应用。
其基本思想是将原问题分解为若干子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
在离散控制系统中，我们可以将状态和控制变量转化为状态转移方程，然后利用动态规划递推求解，得到最优的控制策略。
二、最优化算法最优化算法是一种通过迭代优化来求解最优控制问题的方法，常见的有梯度下降法、牛顿法等。
在离散控制系统中，我们可以将控制问题转化为一个优化问题，并使用最优化算法来求解最优的控制策略。
例如，在离散时间马尔可夫决策过程中，我们可以利用值迭代或策略迭代等最优化算法来求解最优策略。
三、强化学习强化学习是一种通过试错学习来求解最优控制问题的方法，其核心思想是智能体通过与环境的交互来学习最优的行为策略。
在离散控制系统中，我们可以将控制问题抽象为一个马尔可夫决策过程，并使用强化学习算法如Q-learning、SARSA等来求解最优策略。
强化学习在离散控制系统中具有较好的应用效果，在复杂的离散控制系统中能够找到近似最优的控制策略。
综上所述，离散控制系统中的最优控制方法包括动态规划、最优化算法和强化学习。
这些方法在不同的离散控制系统中有着广泛的应用，能够求解出最优的控制策略。
在实际应用中，我们需要根据具体的控制问题选择合适的方法，并结合系统的特点和需求进行调整和优化。
离散控制系统中的最优控制方法在提高系统性能和效率方面具有重要意义，对于实际工程应用具有较大的价值。
控制工程基础第三版课后答案 (3)
控制工程基础第三版课后答案第一章1.1 分析控制系统的对象控制系统的对象通常指的是待控制的物理系统或过程。
在分析控制系统对象时，首先需要了解系统的动态特性。
为了分析控制系统的特性，我们可以通过选取一个合适的数学模型来描述物理系统的动态行为。
一种常用的方法是通过微分方程来描述系统的动态特性。
例如，对于一个简单的电路系统，可以使用基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律来建立描述电路中电流和电压之间关系的微分方程。
然后，通过求解这个微分方程，我们可以得到系统的传递函数。
另外，我们还可以使用频域分析的方法来分析控制系统的对象。
通过对信号的频谱进行分析，我们可以得到系统的频率响应。
1.2 常见的控制系统对象控制系统的对象存在各种各样的形式，下面列举了一些常见的控制系统对象：•机械系统：例如机器人、汽车悬挂系统等。
•电气系统：例如电路、电机等。
•热力系统：例如锅炉、冷却系统等。
•化工系统：例如反应器、蒸馏塔等。
针对不同的控制系统对象，我们需要选择合适的数学模型来描述其动态特性，并进一步分析系统的稳定性、性能等指标。
第二章2.1 控制系统的数学模型控制系统的数学模型描述了物理系统的动态特性和输入与输出之间的关系。
常见的控制系统数学模型包括：•模型中几何图形法：通过几何图形来描述系统的动态特性。
•传递函数法：采用以系统输入和输出的转移函数来描述系统的动态特性。
•状态方程法：将系统的状态变量与输入变量和输出变量之间的关系用一组偏微分方程或代数方程来描述。
在使用这些模型时，我们可以选择合适的数学工具进行分析和求解，例如微积分、线性代数等。
2.2 传递函数的定义和性质传递函数是描述控制系统输入输出关系的数学函数，通常用G(s)表示。
传递函数的定义和性质如下：•定义：传递函数G(s)是系统输出Y(s)和输入U(s)之间的比值，即G(s) = Y(s)/U(s)。
•零点和极点：传递函数可以有零点和极点，零点是使得传递函数为零的s值，极点是使得传递函数为无穷大的s值。
最优控制理论与系统第三版教学设计 (2)
最优控制理论与系统第三版教学设计课程简介本课程是介绍最优控制理论与系统的基础知识，主要包括状态空间法、优化控制、最优化方法、动态规划等方面的内容。
前置知识•线性代数•微积分学•控制理论基础•Matlab编程基础教学目标•掌握最优控制基本知识和方法；•理解状态空间模型和其在控制系统中的应用；•熟悉优化方法，如最小二乘、线性规划、非线性规划等；•掌握动态规划的基本概念和应用。
教材《最优控制理论与系统第三版》韩子昂，陈锡文著教学内容第一章引言•课程简介•教材介绍第二章状态空间法•模型描述–动态系统与状态方程–状态变量与状态空间•基本概念–可观性与可控性–稳定性判据第三章优化控制•范畴与概念•线性二次型调节器–离散时间系统–连续时间系统•数字计算算法第四章最优化方法•最小二乘问题•线性规划问题•非线性规划问题第五章动态规划•基本概念•离散时间动态规划–最优子结构–递推式的建立–递推法解决离散时间动态规划问题•连续时间动态规划第六章总结与测试•课程总结•测试与准备教学方法•课堂讲授：通过理论讲解，引导学生了解控制原理，在讲解过程中会有举例和计算操练。
•组织讨论：通过设计控制问题，组织学生进行讨论并解决实际问题。
•课外作业：课堂讲授之后，要求学生完成作业，加深对理论知识的理解和掌握。
考核方式•课堂测试：考察学生掌握情况，包括课堂讲解内容和作业题目。
•期末考试：考查学生对整个课程的掌握程度，考试形式为书面考试和机试。
参考文献•韩子昂，陈锡文. 最优控制理论与系统第三版[M]. 科学出版社, 2016.•余志豪. 最优控制理论与应用[M]. 北京大学出版社, 2002.•Bryson, A. E., & Ho, Y. C. (1975). Applied optimal control: optimization, estimation, and control[M]. CRC press.。
控制系统中的控制算法与算法设计
控制系统中的控制算法与算法设计控制系统是指通过对特定对象的输入信号进行调节和控制，以使对象按照预定要求进行运动或保持特定状态的系统。
而控制算法则是控制系统中的重要组成部分，它决定了系统如何根据测量信号和目标要求来产生控制信号。
本文将探讨控制系统中的控制算法，并重点关注算法设计的重要性。
一、控制系统中的控制算法概述控制算法是控制系统的核心。
它根据控制系统的要求和目标，通过对测量信号的处理和分析，以及经验法则的应用，生成相应的控制信号，从而实现对被控对象的控制。
控制算法的设计，既需要考虑控制效果，又需要考虑计算复杂度和实时性。
控制算法主要通过数学模型、传感器反馈和控制器的组合来实现。
常见的控制算法包括PID控制算法、模糊控制算法、遗传算法、最优控制算法等。
二、控制算法设计的重要性控制算法设计的好坏直接决定了控制系统的性能和稳定性。
一个优秀的控制算法能够快速、准确地响应系统的变化，并通过对控制信号的调节，使系统达到预期的控制效果。
在控制算法设计中，需要考虑以下几个方面：1. 系统的稳定性：控制算法要能确保系统的稳定性，避免系统出现不稳定、振荡或超调等问题。
2. 控制精度：控制算法要能保证系统输出与目标值的偏差尽可能小，以实现精确的控制。
3. 响应速度：控制算法要能够迅速地对系统的变化做出响应，以实现快速的控制。
4. 鲁棒性：控制算法要能适应不同的工作环境和参数变化，保持对外界干扰的抵抗能力。
5. 计算复杂度和实时性：控制算法需要根据实际应用场景，考虑计算资源的限制和实时性要求。
三、常见的控制算法1. PID控制算法PID控制算法是最常见的一种控制算法。
它通过比较目标值与实际值的误差，计算出比例、积分和微分三个控制量的加权和，从而产生控制信号。
PID控制算法具有简单实用、性能稳定的特点，在工业控制中得到广泛应用。
2. 模糊控制算法模糊控制算法是一种基于模糊逻辑的控制方法。
它通过模糊化输入信号和输出信号，建立模糊规则库，并通过模糊推理和解模糊化的方法，产生控制信号。
最优控制理论及应用讲解
第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法：极小值原理和动态规划。
动态规划：是一种分级最优化方法，其连续形式与极小值原理相 辅相成，深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
5
本章小结
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.7
Optimal Control Theory & its Application
Optimal Control Theory
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特点：1）将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题，易于分析 2）每阶段评估只与前一阶段结果有关，计算量减小
Optimal Control Theory
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Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.5
Optimal Control Theory & its Application
离散控制系统中的自适应鲁棒控制方法
离散控制系统中的自适应鲁棒控制方法鲁棒控制方法是一种能够抵抗系统参数变化和外部干扰的控制策略。
而离散控制系统是指时间是离散的、用样值表示的控制系统。
离散控制系统中，自适应鲁棒控制方法被广泛应用于解决系统模型不准确、外部干扰较大以及系统参数变化较快等问题。
本文将介绍离散控制系统中的一些常见的自适应鲁棒控制方法。
一、滑模控制方法滑模控制方法是一种常用的自适应鲁棒控制方法。
它通过引入一个滑模面，使系统状态在该滑模面上滑动，从而实现对系统状态的鲁棒控制。
滑模控制方法具有结构简单、鲁棒性好等特点。
在离散控制系统中，滑模控制方法可以通过离散时间状态方程来实现。
通过选取合适的滑模参数，可以有效地抑制系统中的模型不准确性和外部干扰。
二、最优控制方法最优控制方法是一种通过优化目标函数来实现控制的方法。
在离散控制系统中，最优控制方法可以通过求解离散时间最优控制问题来实现。
最优控制方法的核心思想是通过调整控制输入信号使系统的性能指标达到最优。
最优控制方法在离散控制系统中有广泛的应用，例如在工业生产中的优化控制、机器人控制等领域。
三、自适应控制方法自适应控制方法是一种通过监测系统的状态和参数来实时调整控制策略的方法。
在离散控制系统中，自适应控制方法可以通过参数估计器来实现系统参数的估计，并根据估计结果来调整控制器的参数。
自适应控制方法可以适应系统参数的变化，提高系统鲁棒性。
同时，自适应控制方法还可以通过在线的调整控制策略来抵消外部干扰的影响。
四、鲁棒控制方法的应用案例现代离散控制系统中的自适应鲁棒控制方法已经得到了广泛的应用。
例如，在工业生产过程中，离散控制系统中的自适应鲁棒控制方法可以有效地抵抗系统参数变化和外部干扰，提高生产过程的稳定性和效率。
此外，离散控制系统中的自适应鲁棒控制方法还可以应用于机器人控制、智能交通系统等领域，提高系统的性能和鲁棒性。
总结：离散控制系统中的自适应鲁棒控制方法是一种能够抵抗系统参数变化和外部干扰的控制策略。
离散控制系统中的最优控制
离散控制系统中的最优控制离散控制系统是指由一系列离散（非连续）的控制器构成的系统，它对系统进行离散化处理和采样，并根据采样值进行控制。
在离散控制系统中，最优控制是一种优化问题，旨在找到使给定性能指标最小化或最大化的控制策略。
本文将介绍离散控制系统中的最优控制方法和应用。
一、动态规划方法动态规划是离散控制系统最优控制的常用方法之一。
它通过将控制问题划分为一系列互相关联的子问题，逐步求解并获得最优解。
动态规划方法有以下几个步骤：1. 状态定义：将系统的状态用离散变量表示，例如状态矢量。
2. 动态规划递推方程：建立系统状态在不同时间步长之间的递推关系，用于计算最优解。
3. 边界条件：确定初始和终止条件，保证递推方程的有效求解。
4. 最优化准则：选择适当的性能指标，例如代价函数或效用函数，作为最优化准则。
5. 迭代求解：根据动态规划递推方程和最优化准则进行迭代求解，得到最优控制策略。
动态规划方法在离散控制系统中有广泛的应用。
例如，在机器人路径规划和自动化生产线调度等领域，动态规划方法可以帮助确定最优路径和最优调度策略，实现系统的高效控制。
二、最优控制理论最优控制理论是离散控制系统中另一种常用的最优控制方法。
它通过优化控制问题的最优化准则，找到使性能指标达到最小值或最大值的控制策略。
最优控制理论的核心是求解最优控制问题的最优化方程。
最优控制问题的最优化方程通常通过极值原理或哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程来建立。
这些方程使用众多数学工具，如变分法和微分几何学，将控制问题转化为求解偏微分方程或变分问题。
通过求解最优化方程，可以得到最优控制器的具体形式和参数。
最优控制理论在离散控制系统中具有重要的应用价值。
例如，在飞行器姿态控制和无线传感网络中，最优控制理论可以帮助设计出具有最佳性能的控制器，提高系统的稳定性和响应速度。
三、模型预测控制（MPC）模型预测控制是离散控制系统中一种基于模型的最优控制方法。
它将系统建模为一个预测模型，并根据预测模型的结果来制定最优控制策略。
离散时间平均场二次最优控制问题
离散时间平均场二次最优控制问题冀鹏飞【摘要】讨论了带有约束终端的离散时间系统的平均场随机线性二次型最优控制问题.利用拉格朗日乘子定理,在线性二次最优控制问题成立的条件下,给出了状态反馈解的一个必要条件.从某种意义上说,本文可以看作是平均场离散时间随机线性二次最优控制问题的推广.【期刊名称】《德州学院学报》【年(卷),期】2018(034)002【总页数】7页(P8-14)【关键词】随机二次最优控制;离散时间系统;平均场理论;拉格朗日乘子定理【作者】冀鹏飞【作者单位】山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛 266000【正文语种】中文【中图分类】O2321 引言1958年,贝尔曼开始研究二次型最优控制.1960年卡曼建立了基于状态反馈的线性二次型最优控制理论,并在最优控制理论中引入了黎卡提微分方程.这样就可以用统一的解析式来表示线性二次型最优控制的解,且得到一个简单的线性状态反馈控制律,从而构成闭环最优控制.同时线性二次型最优控制问题还可以兼顾系统的性能指标等多方面的因素,如它可以把得到的最优反馈控制与非线性系统开环最优控制结合起来,可以减少开环系统的误差,得到更精确的结果.从20世纪50年代末开始,控制理论进入了一个新的发展时期,它所研究的对象扩展为多输入多输出的,非线性的,时变的离散时间系统,它涉及到了线性控制,自适应控制,最优控制,鲁棒控制,非线性控制,控制系统CAD等理论和方法.今天,随着被控模型的复杂性,不确定性和规模的增大,传统的基于精确的数学模型的控制理论的局限性日益明显. 众所周知,系统很容易受到各种限制因素的影响,例如温度、压力等.因此受约束的随机线性二次最优控制问题的研究是一个非常重要的课题.文献[1]针对模型自由的随机线性离散时间系统,通过Q学习算法,求解无限时间随机线性二次最优控制问题.文献[2]研究了离散时间随机二次最优控制问题.文献[3]考虑了具有确定性系数的平均场随机微分方程的线性二次最优控制问题.在文献[4]中,研究了在无限时间范围内存在的平均场二次最优控制问题.文献[5]提出了有限时域随机最优控制模型的数值方法,推导出了随机最小值原理,并在此基础上提出了一种基于最小值原理直接求解的数值方法.文献[6]研究一类基于社交影响力和平均场理论的信息传播动力学模型,在针对影响力度量中主要研究静态拓扑结构,利用平均场理论来忽略个体行为特征,提出了一种基于动态节点行为和用户影响力的信息传播动力学模型.本文利用凸分析的拉格朗日乘子定理研究带终端的随机线性二次最优控制问题,并且将平均场理论应用到最优控制问题中,可以最大限度的减小噪声对系统的影响,并能方便的处理噪声方面的问题.同时验证了平均区域随机二次最优控制问题存在线性反馈最优解的必要条件,其结果可以看作是平均场离散时间随机二次最优控制问题的推广.为了方便,给出以下定义：M'是矩阵M的转置；Tr(M)是矩阵M的迹；当M>0(M≥0)时,M为正定矩阵；Ex代表随机变量x的数学期望,Rm×n为n×m矩阵；N={0,1,2,…,T}；并且令2 问题陈述考虑以下形式的平均区域离散时间系统(1)bi1x1T+bi2x2T+…+binxnT=ξi, i=1, 2,…, r(2)其中是给定的矩阵值函数；xt和ut分别是状态过程和控制过程；E[ωt]=0和E[ωtωt]=δst是一个二阶过程,δst是Kronecker函数；ωt, t∈N是定义在概率空间(Ω, F, P)上的一维的标准Brown运动,Ft=σ(ωs:s∈N+)为Brown运动生成的信息流.u(.)属于允许控制集(3)ξi为给定的FT可测的平方可积随机变量,即E|ξi|<+,bij为已知实数,i=1,2,…,r;j=1,2,…,n. 令Nr×n=(bij)r×n,ξ=(ξ1,ξ2,…,ξr)′,则约束(2)可写为NT=ξ,在这里假设N为行满秩.表述本文主要定理之前,首先给出本文要用到的拉格朗日乘子定理和一些重要的引理.定义1[7] 设X为向量空间,Y为赋范线性空间,T为X到Y的变换,对x,h∈X,如果极限(4)存在,称此极限为T在x处方向h的方向导数或Gateaux导数.若对任意的h∈X,上述极限都存在,则称T在x处为 Gateaux 可导.定义2[7] 设X,Y为赋范线性空间,T为定义于X到Y的变换.对于给定的x∈D,h∈X,T在x处为Gateaux 可导,Gateaux导数δTx; h∈Y关于h为有界线性变换,且满足则称T在x处为 Frechet 可导,δTx, h为T在x处h的 Frechet 导数.定义3[7] 设Tx为定义于Banach空间X到Banach空间Y的变换,且有连续的Frechet导数.若对x0∈D,δTx; h为从X到Y的满射,则称x0为变换T的正则点. 引理1 [7] 设fx是定义于 Banach 空间X上具有连续的Frechet导数的实值函数,Hx为X到Banach空间Z的映射,x0为变换Hx的正则点.若fx在约束Hx=0下在x0处达到极值,则存在Z上有界线性泛函使Lagrang泛函在x0处有驻点,即†Hx0; h=0,对所有h∈X都成立.在本节的最后再给出一个关于广义逆矩阵的引理.引理2[8] 给定M∈Rm×n,则存在唯一的M†∈Rn×m,满足矩阵M†称为M的 Moor-Penrose 广义逆.3 主要结论对于离散时间控制系统(1),给出关于可容许控制集Uad的目标函数(5)其中是对称矩阵.定义4 如果存在u0∈Uad 满足Jx0, u0=infJx0, u，>-, u∈Uad(6)则称u0为最优控制,系统(1)为适定的.为最优轨迹,Jx0,u0为最优目标函数.如果线性反馈控制对问题(1)和(6)是最优的,那么它在下列形式的反馈中也是最优的(7)其中Lt, t∈NT-1是矩阵值函数,为最优状态反馈控制.把(7)代入(1),则二次最优控制问题变为以下形式(8)称Lt, t∈N为新的控制集.令通过(8)式可以得到(9)X0=Ex0x0′(10)把(9)和(10)代入(5),经过简单的变形得到目标泛函如下其中约束终端(2)变为(11)最优控制问题归结为以下形式目标泛函Jx0, u可视为定义在空间Cm×n[0,T]×Cm×n[0,T]上,其中Cm×n[0,T]为所有元素是[0,T]上连续函数的n阶方阵构成的空间；(9)式和(10)式定义了从Cm×n×Cm×n到Cn×n的变换(12)而(11)式定义了从Cn×n[0,T] 到Rr×r的变换G(XT)=NXTN′从而约束(9)式,(10)式,(11)式可表示成为(13)下面来证明和有连续的Frechet 导数.定理都有连续的 Frechet 导数,且导数为δHX( ΔXt+1)=-ΔXt+1(14)(15)的 Fretchet 导数为其中是矩阵值连续函数.证明在这里只证明(14)式,其他证明过程跟(14)式相似. 令Xαt=Xt+αΔXt,通过定义1,能够得出(16)其中(17)令α→0,可以得出(14).定理2 如果存在(18)是最优控制,那么存在对称矩阵和λ∈Rr×r满足(19)(20)证明设是(5)式的最优解,通过定理2,可以得到对称矩阵和满足以下等式δJXΔXt+δHXΔXt+1+δHXΔXt+δGΔXT=0(21)δJLΔLt+δHLΔHt=0(22)由于那么(21)式和(22)式变为NΔXTN'-TrPTΔXT=0由于ΔXt和ΔXT相互独立,则(19)式证出.通过类似的方法,(20)式也可以被证出.结论1 如果(8)式,(11)式,(18)-(20)式存在解是最优控制,则最优目标函数满足其中把(16)式代入(5)式,经简单变形,就可得到上述结论.推论1 对于平均场二次最优控制问题,如果满足则满足≥0,t∈T.此证明过程与参考文献[9]的证明过程相似,不再加以赘述.4 数值例子考虑一个周期为3的数值例子满足其系数值为借助于Riccati方程(12)和(18),可以得到Riccati解为应用结论1,可以得到最优控制其中5 总结主要研究了平均场线性二次最优控制问题.借助于拉格朗日乘子定理,给出了该问题存在最优解的必要条件,并计算出了状态反馈最优解.将平均场理论应用到最优控制问题中,可以最大限度的减小噪声对系统的影响并能方便的处理噪声问题.最后通过一个数值例子验证了结论的正确性.参考文献:[1] 么彩莲,王涛.模型自由的离散时间系统的随机线性二次最优控制问题[J].辽宁石油化工大学学报,2016,36(6):64-68.[2] X.K.Liu.Y.Li,W.H.Zhang.stochastic linear quadratic optimal control with constraint for discrete-time systems[J].Applied Mathematics and Computation,2014,228(9): 264-270.[3] J.M.Yong.A linear-quadratic optimal control problem for mean-field stochastic differential equations[J].SIAM J.Control andOptim,2013,51(4):2809-2838.[4] Y.N.Ni,R.Elliott,X.Li.Discrete-time mean-field stochastic linear-quadratic optimal control problems,: Infinite horizoncase[J].Automatica,2013,57(11):65-77.[5] P.Parpas,M.Webester.A stochastic minimum principle and an adaptive pathwise algorithm for stochastic optimalcontrol[J].Automatica,2013,49(6):1663-1671.[6] 肖云鹏,李松阳,刘宴兵.一种基于社交影响力和平均场理论的信息传播动力学模型[J].物理学报,2017,66(3):1-13.[7] D.G.Luenberger,Optimization by vectors Space Methods[M].Wiley,New York,1968.[8] M.A.Rami.J.B.Moore.X.Y.Zhou.Indefinite stochastic linear quadratic control and generalized differential Riccati equation[J].SIAM J.Control &Optimization,2001,40:1296-1311.[9] R.J.Elliott,X.Li,Y.H.Ni.Discrete-time mean-field stochastic linear-quadratic optimal control problems[J].Automatica,2013,49:3222-3223.。
离散lqr控制算法
离散lqr控制算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：离散LQR（Linear Quadratic Regulator）控制算法是一种经典的控制算法，在控制系统中被广泛应用。
本文将对离散LQR控制算法进行介绍和分析，包括算法原理、应用领域以及优缺点等方面的内容。
离散LQR控制算法是一种基于状态空间法的最优控制算法，用于设计具有最佳性能指标的离散时间系统。
在实际应用中，离散LQR控制算法常用于控制线性时不变系统，通过在线性二次优化问题来求解最优控制器。
离散LQR控制算法的基本原理是通过最小化系统状态和控制输入的加权和来设计最优控制器。
通过调节权重矩阵Q和R，可以实现对系统状态和控制输入的加权调节，从而得到具有最佳性能指标的控制器。
在实际应用中，通常通过求解离散时间系统的状态方程和代价函数，来得到最优的权重矩阵Q和R，从而得到最优的离散LQR控制器。
离散LQR控制算法在实际应用中有广泛的领域，常用于工业控制、飞行器控制、机器人控制、自动驾驶等领域。
在工业控制中，离散LQR控制算法常用于实现系统的稳定控制和性能优化，提高系统的响应速度和稳定性。
在飞行器控制中，离散LQR控制算法可以实现飞行器的路径跟踪控制和稳定控制，提高飞行器的飞行性能和安全性。
在机器人控制和自动驾驶中，离散LQR控制算法可以实现对机器人和车辆的轨迹跟踪控制，实现自动导航和避障功能。
离散LQR控制算法具有许多优点，如控制器设计简单、计算效率高、实时性好等。
通过调节权重矩阵Q和R，可以实现对系统状态和控制输入的灵活调节，从而得到满足不同性能要求的控制器。
离散LQR控制算法还具有稳定性好、收敛速度快等优点，在实际应用中被广泛应用。
离散LQR控制算法也存在一些局限性和缺点，如对系统动态模型的要求较高、权重矩阵的选取较为主观、对测量噪声和模型不确定性较为敏感等。
在实际应用中，需要根据具体系统特点和性能要求来选择合适的权重矩阵Q和R，并进行系统动态模型辨识和参数调节，以实现最优控制效果。
控制系统中的最优控制与最优化技术
控制系统中的最优控制与最优化技术随着科技的不断进步和应用范围的扩大，控制系统在各行各业中的重要性也日益凸显。
最优控制与最优化技术作为控制系统中的重要概念和方法，在提高系统性能和效率方面发挥着关键作用。
本文将就控制系统中的最优控制与最优化技术进行深入探讨。
一、最优控制的定义与概念最优控制是指在满足给定约束条件的前提下，通过使某种性能准则达到最大或最小值来确定控制器参数或控制策略的问题。
最优控制的实现可以使系统在最短时间内达到期望状态或在给定资源条件下获得最佳性能。
最优化技术是实现最优控制的关键方法之一，它利用数学和计算方法来寻找系统中使性能准则达到最大或最小值的最优解。
最优化技术广泛应用于各种领域，例如经济学、工程学、管理学等，其中最为常见的应用是在控制系统中。
二、最优控制的分类最优控制可以分为离散最优控制和连续最优控制两大类。
离散最优控制是指在离散时间点上确定控制器参数或控制策略的问题。
典型的离散最优控制方法包括动态规划、贝尔曼方程等。
连续最优控制是指在连续时间范围内确定控制器参数或控制策略的问题。
常见的连续最优控制方法有经典最优控制、最速控制、最小能耗控制等。
三、最优化技术在控制系统中的应用最优化技术在控制系统中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域。
1. 机器人控制机器人控制是利用最优化技术来实现机器人移动、定位和路径规划等问题。
通过对机器人运动过程中的能耗、时间等指标进行优化，可以实现机器人的高效控制和优化运动。
2. 制造业控制在制造业中，最优化技术可以用来优化物料和生产设备的调度、工艺参数的优化以及生产线的平衡等问题。
通过合理地设计和优化控制策略，可以提高制造业的生产效率和产品质量。
3. 能源系统控制能源系统控制是指在能源产生、传输和消费过程中，通过最优化技术实现能源的高效利用。
例如在电力系统中，可以通过最优化技术对电网的输电线路和发电机组进行优化调度，以最大限度地提高电网的稳定性和电能的利用率。
最优控制
(3)
j [ x ( t 0 )] 0
j 1, 2, ..., m m ≤ r
相应的始端集为 Ω 0 { x ( t 0 ) | j [ x ( t 0 )] 0} 此时，
x (t0 ) Ω 0
称之为可变始端。
四、明确终端条件 固定终端： 终端时刻 tf 给定，终端状态 自由终端： 终端时刻 tf 给定，终端状态
最优控制 26
§6-3 静态最优化问题的解 (10)
⑵ 拉格朗日乘子法（增元法） 约束条件 × 新的可调整函数 乘子λ ＋ 目标函数
H J g r , l
没有约束条件的三元函数 取得极值的条件：
H l 0 H r 0 H 0
最优控制 27
§6-4 离散时间系统的最优控制 (1)
2
...
2
fu
u
2 2
... ... ...
... f
2
u nu 2
u1 u n 2 f u 2 u n 2 f 2 u n f
2
最优控制 21
§6-3 静态最优化问题的解 (5)
例题6-1 设：
f ( x ) 2 x1 5 x 2 x 3 2 x 2 x 3 2 x 3 x1 6 x 2 3
最优控制 9
§6-1 概述
五、静态优化和动态优化
(6)
1. 静态优化：若变量 x 与时间无关，为静态优化。
2. 动态优化：在最优控制系统中，受控对象是一个动态 系统，所有的变量都是时间的函数，为动 态优化。
3. 静态优化和动态优化的关系 在动态优化中，将时域 [t0，tf] 分成许多有限区段，在 每一个区段中将变量近似看作常量，则动态优化问题 可近似按分段静态优化问题来处理； —— 离散时间优化问题！
离散控制系统中的优化控制方法
离散控制系统中的优化控制方法在离散控制系统中，优化控制方法被广泛应用于提高系统的性能和效率。
随着离散控制系统在工业自动化领域的重要性不断增加，研究人员提出了各种优化控制方法，以满足不同系统的需求。
本文将探讨离散控制系统中的几种常见优化控制方法，包括模型预测控制、最优控制和遗传算法。
一、模型预测控制模型预测控制（Model Predictive Control，简称MPC）是一种基于数学模型和未来预测的优化控制方法。
它通过建立系统的数学模型，并在每个采样周期内对未来一段时间的状态和输出进行预测，以找到使系统性能最优化的控制策略。
MPC具有优良的鲁棒性和快速响应能力，适用于多变量、非线性、时变系统的控制。
MPC的基本原理是在每个采样周期内，通过数学优化方法求解离散时间下的最优控制问题。
优化目标可以是最小化误差平方和、最小化能耗、最小化响应时间等，具体取决于不同系统的需求。
MPC通过不断优化控制变量的轨迹，使系统能够以最佳控制策略运行。
同时，MPC还可以考虑各种约束条件，如状态变量的上下限、输入变量的约束等，以确保系统的安全性和可靠性。
二、最优控制在离散控制系统中，最优控制是一种常见的优化控制方法。
最优控制旨在找到使系统性能达到最优的控制策略，以满足系统的各种性能指标，如稳定性、响应速度、能耗等。
最优控制方法通常使用优化算法，如线性规划、动态规划、最优化搜索等，以求解离散时间下的最优控制问题。
最优控制方法的主要思想是将系统的控制问题建模成一个优化问题，并使用适当的算法求解最优控制策略。
在离散控制系统中，最优控制方法可以应用于各种系统，如电力系统、交通系统、制造系统等。
最优控制方法的应用可以显著提高系统的性能和效率，使系统能够以最佳的方式运行。
三、遗传算法遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法，被广泛应用于离散控制系统中的优化问题。
遗传算法通过模拟生物进化过程中的遗传、交叉和突变等操作，以找到系统的最优解。
7.1 现代控制理论-发展历程回顾
7.1 现代控制理论—发展历程回顾（参考译文）引言本文介绍现代控制理论的主要方法及其发展的数学基础-控制系统理论。
现在，学术界认为控制理论是一个跨学科的研究领域，有许多数学概念和方法，这些概念和方法使现代控制理论成为一个重要的、引人注目的应用数学分支。
控制系统理论有各种各样的方法并经历了不同的发展阶段。
本文将简单地进行描述。
对控制系统理论的方法基础、起源、历史和各种应用进行总体回顾，它与数学和技术的相互作用促进了这一学科的发展。
可以这样说：控制论的这些方法都有它们各自的价值并且继续在理论和实践中作出重要的贡献。
控制一词有两个主要的含义。
首先，检测实物或数学装置是否能够达到令人满意的性能。
其次，对装置进行操作或施加影响，使其按要求运行。
控制就是使装置“从混乱到有序”（拉丁铭文）。
控制论的思想可以追溯到亚里士多德时期。
在他的最有影响的著作“政治”一书中，写道：“……如果每个仪器可以完成自己的工作，遵循或预见其它装置的意愿……，如果梭子编织纬纱和拨子弹奏七弦琴而不需要手引导他们，那么首领将不需要仆人，主人也不需要奴隶。
”我们看到，亚里士多德用非常明晰的方式描述了控制理论的目标：使生产过程自动运行，完成人们要求的目标，并让人类获得自由。
首先，人类至高无上。
自然或人工系统的描述更多的是人为的，往往不是它们是什么，而更多的是它们像什么。
即使由欧几里得和亚历山大时期（200 - 284年）的丢番图的工作综合形成的古代数学，都是用三段论法进行描述。
可以将世界看作是一个名词或动词。
古代哲学家断言，世界在“没有太多”戒律下按照法律、所有生物体支配的方法进行论述。
斐波那契（1170年至1250年）在他的书《算术宝典》中第一次尝试引入计算。
然而，经过三个世纪后计算的重要性才得到体现。
笛卡尔（1596 〜1650年）提出了方法的概念。
伽利略（1564年〜1642年）开始使用物理实验，后来艾萨克·牛顿爵士（1642年〜1727年）和拜伦·戈特弗里德·莱布尼茨（1646年至1716年）引入微积分学，完成科学的第一次质变，将科学的运算基础（这主要是继承了亚里士多德的思想）转变成我们今天所知的现代形式。
模型自由的离散时间系统的随机线性二次最优控制
110004;
Q
学习算法求解无限时间随机线性二次最优控制问
题 。首 先 根 据 贝 尔 曼 最 优 性 原 理 定 义
Q
函数， 通过值迭代算法的思想构造
Q
学习算法； 其次给出
Q
学习算法的等
价形式并证明其收敛性； 最后通过一个仿真实例说明 关键词：
Q
学习算法的有效性。
Q
学 习 算 法 ； 值 函 数 ； 随机线性二次最优控化 工 大 学 理 学 院 ， 辽 宁 抚 顺 113001; 2 . 东 北 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院 ， 辽 3 .沈 阳 师 范 大 学 计 算 机 与 数 学 基 础 教 学 部 ， 辽 宁 沈 阳 1 10034)
摘 要 ： 针对模型自由的随机线性离散时间系统， 通 过 宁 沈 阳
中图分类号
： T P 273.1
文献标志码
：A
d o i： 1 0 .39 69 /j.issn .l 672-6952.2016.06.014
Stochastic Linear Quadratic Optim al Control for M odel-Free D iscrete-Tim e System s
随机线性二次（ S L Q )最 优 控 制 问 题 由 W .M .W o n h a n [1]首 次 提 出 ， 随后得到了迅速的发展[ 2 5]。S 优控制问题的可解性等价于求解随机代数方程， 文 献 [6]引 人 了 一 般 化 Riccati 方 程 ， 充分论证了
Riccati 方 程 ， 证明了 S L Q L Q
最
S L Q
最优
控制问题的可解性等价于一般化Ricati方程的可解性； 文 献 [7]通 过 矩 阵 拉 格 朗 日 定 理 给 出 了 一 般 化 差 分 最 优 控 制 问 题 的 适 应 性 等 价 于 一 般 化 差 分 Riccati方 程 的 可 解 性 。 由于随机代数 方程固有的非线性特性， 往往很难得到其解析解， 如 何 求 解 随 机 代 数 方 程 一 直 是 控 制 领 域 研 究 的 热 点 。文献 [8]采 用 线 性 矩 阵 不 等 式 方 法 求 解 随 机 代 数 Riccati方 程 进 而 获 得 最 优 控 制 ； 在文献[ ] 中， 以半定规划理论 为基础构造了一个系统研究方法， 而 且 由 此 方 法 确 定 的 最 优 控 制 是 稳 定 的 。然 而 ， 上述理论方法能够实现的 前提是系统模型参数必须是已知的， 所以求解模型自由的S 义。 近 似 动 态 规 划 作 为 一 种 新 兴 起 求 解 最 优 控 制 问 题 的 方 法 得 到 了 广 泛 的 关 注 [011]。文 献 [ 2 ] 通 过 Q 学 习算法求解模型自由的零-和游戏的最优策略;文献[ 3 ] 采用值迭代算法求 解 模 型 完 全 未 知 的 离 散 时 间 系 统 的
现代控制理论课程教学大纲
《现代控制理论》课程教学大纲课程名称：现代控制理论课程代码：ELEA3024英文名称：Modern Control Theory课程性质：专业选修课程学分/学时：2学分/36学时开课学期：第6学期适用专业：电气工程及其自动化先修课程：高等数学、线性代数、复变函数与积分变换、自动控制原理、普通物理、电路原理后续课程：无开课单位：机电工程学院课程负责人：杨歆豪大纲执笔人：高瑜大纲审核人：余雷一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及应达到的水平）课程性质：《现代控制理论》是电气工程及自动化专业的一门专业选修课程。
区别于经典控制理论，现代控制理论以状态空间模型为基础，主要研究系统内部状态量的运动规律，并提出了能控性、能观测性、李雅普诺夫稳定性理论、极点配置、状态观测器设计、最优控制等线性系统分析方法。
重在培养学生扎实的理论基础及控制系统的设计能力。
教学目标：通过本课程的教学，使学生掌握现代控制理论的基本内容，为后续课程的学习以及从事复杂的过程控制工作打下基础。
本课程的具体教学目标如下：1.掌握如何根据系统物理机制建立状态空间表达式的具体方法，培养学生对电路、机械等实际控制系统的建模能力；2.掌握如何运用状态空间方法对实际系统的进行分析，培养学生对现代控制方法的设计能力。
教学目标与毕业要求的对应关系：二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容）（重点内容：★；难点内容：∆）1、绪论（2学时）（支撑教学目标1）1.1控制理论的性质1.2控制理论的发展1.3控制理论的应用1.4控制一个动态系统的几个基本步骤。
目标及要求：1)明确本课程的内容、性质和任务以及学习本课程的意义。
2)了解控制理论的发展概况，以及现代控制理论的主要特点，内容和研究方法。
讨论内容：现代控制理论与经典控制的特点比较。
作业内容：复习与回顾《线性代数》中矩阵的基本运算方法。
《现代控制理论》课程教案
《现代控制理论》课程教案第一章：绪论1.1 课程简介介绍《现代控制理论》的课程背景、意义和目的。
解释控制理论在工程、科学和工业领域中的应用。
1.2 控制系统的基本概念定义控制系统的基本术语，如系统、输入、输出、反馈等。
解释开环系统和闭环系统的区别。
1.3 控制理论的发展历程概述控制理论的发展历程，包括经典控制理论和现代控制理论。
介绍一些重要的控制理论家和他们的贡献。
第二章：数学基础2.1 线性代数基础复习向量、矩阵和行列式的基本运算。
介绍矩阵的特殊类型，如单位矩阵、对角矩阵和反对称矩阵。
2.2 微积分基础复习微积分的基本概念，如极限、导数和积分。
介绍微分方程和微分方程的解法。
2.3 复数基础介绍复数的基本概念，如复数代数表示、几何表示和复数运算。
解释复数的极坐标表示和欧拉公式。
第三章：控制系统的基本性质3.1 系统的稳定性定义系统的稳定性，并介绍判断稳定性的方法。
解释李雅普诺夫理论在判断系统稳定性中的应用。
3.2 系统的可控性定义系统的可控性，并介绍判断可控性的方法。
解释可达集和可观集的概念。
3.3 系统的可观性定义系统的可观性，并介绍判断可观性的方法。
解释观测器和状态估计的概念。
第四章：线性系统的控制设计4.1 状态反馈控制介绍状态反馈控制的基本概念和设计方法。
解释状态观测器和状态估计在控制中的应用。
4.2 输出反馈控制介绍输出反馈控制的基本概念和设计方法。
解释输出反馈控制对系统稳定性和性能的影响。
4.3 比例积分微分控制介绍比例积分微分控制的基本概念和设计方法。
解释PID控制在工业控制系统中的应用。
第五章：非线性控制理论简介5.1 非线性系统的特点解释非线性系统的定义和特点。
介绍非线性系统的常见类型和特点。
5.2 非线性控制理论的方法介绍非线性控制理论的基本方法，如反馈线性化和滑模控制。
解释非线性控制理论在实际应用中的挑战和限制。
5.3 案例研究：倒立摆控制介绍倒立摆控制系统的特点和挑战。
解释如何应用非线性控制理论设计倒立摆控制策略。
《最优控制》课程教学大纲
《最优控制》课程教学⼤纲《最优控制》课程教学⼤纲课程代码：060142002课程英⽂名称：Optimal Control课程总学时：32 讲课：32 实验：0 上机：0适⽤专业：⾃动化专业⼤纲编写（修订）时间：2017.11⼀、⼤纲使⽤说明（⼀）课程的地位及教学⽬标《最优控制》是现代控制理论的重要组成部分，它已⼴泛应⽤于军事和⼯业及经济领域中，例如空间技术、系统⼯程、⼈⼝理论、经济管理、决策及⼯业过程控制等等。
并在各个领域取得了显著的成果。
本课程是⾃动化专业的⼀门选修课，其基本任务和教学⽬标是要求⾃动化专业学⽣掌握最优控制理论及应⽤的基础知识及解最优控制问题的常⽤⽅法，了解最优控制的发展⽅向，为将来的专业发展打下⼀定的基础。
（⼆）知识、能⼒及技能⽅⾯的基本要求1.基本知识：初步掌握最优控制的基础理论，如最优控制问题的概念、最优控制的数学描述、解决最优控制问题⽅法及⼆次型性能指标最优控制问题。
2.基本理论和⽅法：初步掌握解决最优控制问题的⼀些基本⽅法，如古典变分原理，庞德⾥亚⾦极⼤(⼩)值原理和贝尔曼动态规划⽅法。
3.基本技能:利⽤最优控制理论和⽅法能够解决的实际最优控制问题。
（三）实施说明1．教学⽅法：从基本教育出发，站在培养⼈才的⾼度上，来看待本课程所应承担的责任。
在讲授具体内容时，要分清每⼀部分内容在本课程中所处的地位，这样才能在⼤纲实施过程中得⼼应⼿。
要提⾼学⽣的基本素质，要求学⽣化被动吸收为主动索取知识。
2．教学⼿段：本课程属于技术基础课，在教学中采⽤电⼦教案、CAI课件及多媒体教学系统等先进教学⼿段，以确保在有限的学时内，全⾯、⾼质量地完成课程教学任务。
为了提⾼教学效果，可采⽤多环节教学⽅式，如课程讲授、课堂提问及课前预习和课后阅读。
对于每次课堂讲授，原则上采⽤两个层次讲解，即⼀是提出研究的问题；⼆是介绍解决问题的各种⽅法及其存在的优缺点，培养学⽣创新思维意识。
通过课堂提问，在课堂上调动学⽣积极性，促进其思考，提⾼教与学互动性。
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考虑 J 中，
Lk
Lk 1
1 2 (5-2-14) u ( k ) ( k 1)[ x ( k ) au( k ) x ( k 1)] 2 1 u 2 ( k 1) ( k )[ x ( k 1) au( k 1) x ( k )] (5-2-15) 2
N 1 k 0
[ x(k ) x(k 1)] B u(k )
(5-1-5)
k 0
N 1
。则该多级萃取过程寻求收益最大化问题就可以描述为一个离 V 散最优控制问题，即要确定一组最优控制序列u(k)( k = 0,1,…, N-1)，使性能
指标J达到最大。
(2) 离散系统最优控制问题的提法
在萃取过程中，对第k个萃取器有如下萃取平衡关系
z ( k 1) Kx( k )
(5-1-1)
其中，K为萃取平衡常数。同时有物料平衡关系 V[x (k-1)-x(k)]= u (k-1) z (k-1) (5-1-2) 由以上关系可列出萃取物浓度方程 x( k 1) (5-1-3) f [ x( k 1), u( k 1)] x( k ) K 1 u( k 1) V 将x(k) 视为状态变量，u(k)视为控制变量，则上式可作为状态方程。 假定A物质的单价为α，萃取剂的单价为β，则N级萃取过程总的收益为
p V [ x ( k 1) x( k )] u( k )
k 1 k 0 N N 1
(5-1-4)
引进性能指标 N N 1 p J [ x ( k 1) x ( k )] B u( k ) V k 1 k 0 其中 B
kN
L[ x ( k 1), x ( k ), k 1] 0 x (k ) x ( k ) k 0 由 x ( k ) 的任意性，可得极值的必要条件
（5-2-6）
L x ( k ), x ( k 1), k L x ( k 1), x ( k ), k 1 0 x ( k ) x ( k )
x ( 0) x 0 L x ( N 1), x ( N ), N 1 0 ( ) x N
（5-2-9）
综上所述，离散Lagrange问题（5-2-1）的极值若存在，其极值解 x * ( k ) 必满足Euler方程
Lk L k 1 0 x ( k ) x ( k )
2 2 由边界条件有 x (10) x (0) 10a C 1 10a C 0
可解得
C 1 / 10a 2
则有最优控制 u* ( k ) 最优轨线
x* (k ) 1
1 10a
k 10
5.3 离散极大值原理
• 与连续系统相似，离散变分法解最优控制问题多有不便，需考虑 离散极大值原理。 考虑离散系统状态方程 (5-3-1) x ( k 1) f [ x ( k ), u( k ), k ], k 0,1,· · ·， N 1 初始状态 x ( 0) x 0 (5-3-2) 终态应满足的约束条件 (5-3-3) [ x ( N ), N ] 0 和性能指标 N 1 (5-3-4) J [ x ( N ), N ] L[ x ( k ), u( k ), k ]
x( k 1) x( k ) a 2C
因而有
x (1) x (0) a 2C
x ( 2) x (1) a 2C x (0) 2a 2C x ( 3 ) x ( 2 ) a 2 C x ( 0 ) 3a 2 C
┇ ┇ x ( k ) x (0) ka 2C
给定离散系统状态方程
x ( k 1) f [ x ( k ), u( k ), k ], k 0,1, , N 1
和初始状态
(5-1-6) (5-1-7)
x ( 0) x 0
函数向量。考虑性能指标
k 0
n m 其中x ( k ) R , u( k ) R 分别为状态向量和控制向量，f 为连续可微的n维
N 1
J [ x ( N ), N ] L[ x ( k ), u( k ), k ] • •
(5-1-8)
其中Φ、L连续可微。 离散系统的最优控制问题就是确定最优控制序列u*(0)，u*(1)，…，u*(N1)，使性能指标J 达到极小(或极大)值。 将最优控制序列u*(0)，u*(1)，…，u*(N-1)依次代入状态方程，并利用初始 条件，可以解出最优状态序列x*(1)，x*(2)，…，x*(N)，也称为最优轨线。
k 0 其中：x(k)∈Rn，u(k)∈Rm。u(k)不受约束，f
为n维连续可微向量 函数，Ψ是x(N)的连续可微r 维向量函数，Φ是x(N)的连续可微标 量函数，L为x(k)、u(k)的连续可微标量函数，要求最优控制序列 u*(k), k=0,…, N-1，使J最小。
与连续系统类似，引入Lagrange乘子向量 [ 1 , 2 , , r ]T 和协态变量序列 ( k ) [1 ( k ), 2 ( k ), , n ( k )]T , k 1,2, , N 使问题转化为求使辅助性能指标 J [ x ( N ), N ] Τ [ x ( N ), N ]
Lk a ( k 1) u( k ) u( k ) Lk 1 0 u( k ) 因而可以写出 J 的Euler方程为
( k 1) ( k ) 0 a ( k 1) u( k ) 0 解之可得 ( k ) C 常数 u( k ) aC 由状态方程有
• • •
5.1 离散时间系统最优控制问题的提法
(1) 离散系统最优控制举例——多级萃取过程最优控制
• 萃取是指可被溶解的物质在两种互不相溶的溶剂之间的转移，一般用于将 要提取的物质从不易分离的溶剂中转移到容易分离的溶剂中。 • 多级萃取是化工生产中提取某种价值高、含量低的物质的常用生产工艺。
u(0) V 萃取器1 x(0) x(1) V 萃取器2 x(2) x(k-1) u(1) V V 萃取器k x(k) x(N-1) z(N-1) u(k) V V 萃取器N x(N) u(N－1) V
假定离散性能指标J存在极小值，则式（5-2-1）存在极值解序列 x * ( k ) 。在 x * ( k ) ， x * ( k 1) 的邻域内 x ( k )， x ( k 1)-2） * x ( k 1) x ( k 1) x ( k 1) x ( k ) 和 x ( k 1) 分别是x ( k ) 和x ( k 1) 的变分，代入J 其中 为参变量， 有 N 1 J ( ) L x * ( k ) x ( k ), x * ( k 1) x ( k 1), k （5-2-3）
L x ( k 1), x ( k ), k 1 xT (k ) 0 x ( k ) k 0
kN
（5-2-7） （5-2-8）
上两式分别称为离散Euler方程和离散的横截条件。 当初态 x (0) x0 给定，终态x(N)自由，即 x ( N ) 是任意值时，则有横截条 件为
第五章 离散时间系统最优控制
引 言
• • • 前面所讨论的都是关于连续时间系统的最优控制问题。 现实世界中，很多实际系统本质上是时间离散的。 即使是系统是时间连续的，因为计算机是基于时间和 数值上都离散的数字技术的，实行计算机控制时必须 将时间离散化后作为离散系统处理。 因此，有必要讨论离散时间系统的最优控制问题。 离散时间系统仍然属于连续变量动态系统(CVDS)范畴。 注意与离散事件动态系统(DEDS)的区别。 CVDS与DEDS是自动化领域的两大研究范畴，考虑不 同的自动化问题。
z(0)
z(1) 多级萃取过程
z(k-1)
含物质A的混合物以流量V进入萃取器1，混合物中A浓度x(0); 萃取剂以流量u(0)通过萃取器1，单位体积萃取剂带走A的量为z(0); 一般萃取过程的萃取物含量均较低，可认为通过萃取器1后混合物流量仍为V; 流出萃取器1的混合物中A物质的浓度为x(1)。 以此类推至萃取器N。
1 9 2 J u (k ) 2 k 0
(5-2-10) (5-2-11) (5-2-12)
求使J达极小值的最优控制和最优轨线。 解：应用Lagrange乘子法，构造辅助泛函
1 J { u 2 ( k ) ( k 1)[ x ( k ) au( k ) x ( k 1)]} (5-2-13) k 0 2
N 1 k 0
x (k )
T
Lk 1 L x ( k ) k 1 x ( k ) x ( k ) k 0
T
kN
（5-2-5） 离散分部积分
代入（5-2-4）有
N 1 k 0
x ( k )
T T
L[ x ( k ), x ( k 1), k ] L[ x ( k 1), x ( k ), k 1] x k x k ( ) ( )
L[ x ( k ), u( k ), k ] Τ ( k 1)[ f [ x ( k ), u( k ), k ] x ( k 1)]} k 0 (5-3-5)
达极小值的问题。 定义离散Hamilton函数 H ( k ) H [ x ( k ), ( k 1), u( k ), k ] L[ x( k ), u( k ), k ] Τ ( k 1) f [ x( k ), u( k ), k ] （k=0,1,…, N-1） (5-3-6) 则有 N 1 Τ J [ x ( N ), N ] [ x ( N ), N ] [ H ( k ) Τ ( k 1) x ( k 1)] k 0 (5-3-7)