中考数学专题知识突破专题五数学思想方法

2015中考数学专题知识突破专题五数学思想方法（一）
（整体思想、转化思想、分类讨论思想）
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲
考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1 若a-2b=3，则2a-4b-5= ．
1．已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是．
2.（2014•威海）已知x2－2=y，则x（x－3y）+y（3x－1）－2的值是（）A．－2 B．0 C．2 D．4
考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容
器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上
沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m（容
器厚度忽略不计）．
变式训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值
为。

2. （2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高
二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”
题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高
为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰
好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．
考点三：分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加
以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是
一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，
它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
例3 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是．
乙种收费的函数关系式是．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
变式训练
1．（2014•潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．
2.（2014•德州）问题背景：如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的
点，且∠EAF=1
2∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
四、达标检测
1．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）
A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π
2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若a2−b2＝1
6
，a−b＝
1
3
，则a+b的值为．
4．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，
CD=8，则BE的长是
A．8 B．2 C．2或8 D．3或7
5．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是
AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线
PQ的最小值为．
6.某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小
李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）
与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种植面积n （亩）之间函数关系如图②所示．
（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是元，小张应得的工资总额是元，此时，小李种植水果亩，小李应得的报酬是元；（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式．
五、拓展延伸
1．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则
AC 的长为（ ） A ．25 cm
B ．45cm
C ．25 cm 或45cm
D ．2cm 或43cm
2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A ．80° B ．80°或20° C ．80°或50° D ．20° 3．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．18 4．（2013•荆州如图，将含60°角的直角三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B 经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（ ） A ．
2π B ．3
π
C ．
4
π
D ．π 5.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC 平分∠BCD ，
E ，
F 分别是底边AD ，BC 的中点，连接EF ．点P 是EF 上的任意一点，连接PA ，PB ，则PA+PB 的最小值为 ．
6．若函数y=mx 2+2x+1的图象与x 轴只有一个公共点，则常数m 的值是 ．
7．在平面直角坐标系中，已知点A （-5，0），B （5，0），点
C 在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C 的坐标 ．如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过原点O ，且与x 轴正半轴的夹角为30°，点M 在x 轴上，⊙M 半径为2，⊙M 与直线l 相交于A ，B 两点，若△ABM 为等腰直角三角形，则点M 的坐标为 9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（10，0），（0，4），点
D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为
10．如图，已知直线y=x+4与两坐轴分别交于A 、B 两点，⊙C 的圆心坐标为 （2，O ），半径为2，若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值和最大值分别是 11．已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM+PN 的最小值= ．
12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正三角形OEF 绕点O 旋转．在旋转过程中，当AE=BF 时，∠AOE 的大小 是
三、解答题
1．已知抛物线y 1=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于点A ，B （点A ，B 在原点O 两侧），与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2=
3
4
x+n
的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．
3. （2014•宿迁）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
4. 如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P 与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．
（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；
（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求AP的长；
（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
5.（2014•北京）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足－M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是
1．
是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y=－x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数
2
y x
（－1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的
数学思想方法（一）部分题参考答案
=140元，
小张应得的工资总额是：140×20=2800元，
此时，小李种植水果：30-20=10亩，
小李应得的报酬是1500元；
故答案为：140；2800；10；1500；
（2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0），
∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），
∴
101500 303900
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
120
300 k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
所以，z=120n+300（10＜n≤30）；
（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，
∵函数图象经过点（10，160），（30，120），
∴
10160 30120
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得
-2
180 k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴y=-2m+180，
∵m+n=30，
∴n=30-m，
∴①当10＜m≤20时，10＜n≤20，
w=m（-2m+180）+120n+300，
=m（-2m+180）+120（30-m）+300，=-2m2+60m+3900，
②当20＜m≤30时，0＜n≤10，
w=m（-2m+180）+150n，
=m（-2m+180）+150（30-m），
=-2m2+30m+4500，
所以，w与m之间的函数关系式为w=
-22603900(1020) -22304500(2030)
m m m
m m m
++<≤
⎧
⎨
++<≤
⎩
．
解：根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或-8．
分类讨论：①n=8时，易得A（-6，0）如图1，
∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，∴抛物线开口向下，则a＜0，
∵AB=16，且A（-6，0），
∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x=
610
2
-+
=2，
要使y1随着x的增大而减小，则a＜0，
∴x＞2；
（2）n=-8时，易得A（6，0），如图2，
∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，∴抛物线开口向上，则a＞0，
∵AB=16，且A（6，0），
∴B（-10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x=
610
2
-+
=-2，
要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，∴x＜-2．
解：（1）AP=PD．理由如下：
如图①，连接OP．
∵OA是半圆C的直径，
∴∠APO=90°，即OP⊥AD．
又∵OA=OD，
∴AP=PD；
（2）如图①，连接PC、OD．
∵OD是半圆C的切线，
∴∠AOD=90°．
由（1）知，AP=PD．
又∵AC=OC，
∴PC∥OD，
∴∠ACP=∠AOD=90°，
∴AP的长=902
180
π⨯
=π；
y=x+1（－4≤x ≤2）是有界函数．边界值为：2+1=3；
（2）∵函数y=－x+1的图象是y 随x 的增大而减小，
∴当x=a 时，y=－a+1=2，则a=－1
当x=b 时，y=－b+1．则
212 1b b a
a -≤-+≤⎧⎪⎨⎪-⎩
＞＝ ∴－1＜b ≤3；
（3）若m ＞1，函数向下平移m 个单位后，x=0时，函数值小于－1，此时函数的边界t ≥1，与题意不符，故m ≤1．
当x=－1时，y=1 即过点（－1，1）
当x=0时，0y =最小 ，即过点（0，0），
都向下平移m 个单位，则
（－1，1－m ）、（0，－m ）。