中考数学专题知识突破专题五数学思想方法

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2015中考数学专题知识突破专题五数学思想方法(一)

(整体思想、转化思想、分类讨论思想)

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识.

二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓,是读书由厚到薄的升华,在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等.在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法,掌握了它的实质,就可以把所学的知识融会贯通,解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲

考点一:整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分(或全部)看成一个整体,通过观察与分析,找出整体与局部的联系,从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的,按常规不容易求某一个(或多个)未知量时,可打破常规,根据题目的结构特征,把一组数或一个代数式看作一个整体,从而使问题得到解决。

例1 若a-2b=3,则2a-4b-5= .

1.已知实数a,b满足a+b=2,a-b=5,则(a+b)3•(a-b)3的值是.

2.(2014•威海)已知x2-2=y,则x(x-3y)+y(3x-1)-2的值是()A.-2 B.0 C.2 D.4

考点二:转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富,已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2 如图,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为1m,在容器内壁离容

器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上

沿0.3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m(容

器厚度忽略不计).

变式训练

1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连结DE,则DE的最小值

为。

2. (2014•潍坊)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高

二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”

题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高

为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰

好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是尺.

考点三:分类讨论思想

在解答某些数学问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加

以分类,并逐类求解,然后综合得解,这就是分类讨论法。分类讨论是

一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,

它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则:(1)分类中的每一部分是相互独立的;(2)一次分类按一个标准;(3)分类讨论应逐级进行.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.

例3 某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案,印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要.两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示:

(1)填空:甲种收费的函数关系式是.

乙种收费的函数关系式是.

(2)该校某年级每次需印制100~450(含100和450)份学案,选择哪种印刷方式较合算?

变式训练

1.(2014•潍坊)经统计分析,某市跨河大桥上的车流速度v(千米/小时)是车流密度x(辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到220辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为80千米/小时,研究表明:当20≤x≤220时,车流速度v是车流密度x的一次函数.

(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度;

(2)在交通高峰时段,为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时,应控制大桥上的车流密度在什么范围内?

(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量=车流速度×车流密度.求大桥上车流量y的最大值.

2.(2014•德州)问题背景:如图1:在四边形ABC中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;

探索延伸:

如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分别是BC,CD上的

点,且∠EAF=1

2∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;

实际应用:

如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

四、达标检测

1.已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形,则其底面圆的面积为()

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