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2019届高三数学上学期第三次联考试题理

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2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(理)试题(word版)

2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(理)试题(word版)

2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学（理）试题（word 版）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2 2y =kx 与双曲线 —1相交，则k 的取值范围是94B. 2,0.3'则 log 2 b n =()5.已知直线ax y -^0与圆C: xy =1相交于A ，B ，且△ ABC 为等腰直角三角形,a 的值为（）A. 1或-1 7B. -1C. 1D.1 或-16.在ABC 中， a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若 2 2 2a b =2014c ，则2tanA tanB的值为（）tanC tan A tan BA. 2013B.1C.0D.20147.已知点M a,b ab =0是圆C :x 2 y^r 2内一点，直线I 是以M 为中点的弦所在的直线，直线 m 的方程为bx -ay =r ，那么（）1.集合M 2x 2 -x —1c 0｝，N =｛x2x +a >q ｝，U =R ，M ■ C U•，则a 的取值范围是（）A. a 1B. a _1C. a :::1D. a 乞12.若直线3.在△ ABC 中, AB = 3 ， AC = 2 ， BD 1 —BC ，贝U AD BD 2 =(A. 52B.§ 2C. 54D.§ 44.已知数列'a n 』的前n 项和为S2=n，正项等比数列Ib n ［中,=a i ， b n .|b n4 =4$ n 一 2,n N .，A. n -1B. 2n —1C. n —2D. n则实数A. I _m 且m 与圆C 相切B. I // m 且m 与圆C 相切C. I _m 且m 与圆C 相离D. I // m 且m 与圆C 相离11. 已知点A 是抛物线x 2 =4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且满足PA 二mPB ，当m 取最大值时，点 P 恰好在以A , B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （） A.迈 1B.辽 1C. 2 1D. . 5 _12 212. 已知在R 上的函数f x 满足如下条件：①函数 f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意 x ・R , f 2 • x - f 2 -X [=0 ；③当 x ：= 0,2 1 时，f x ]=x ；④函数 f n x 二 f 2心・x , n N ,若过点-1,0 的 直线l 与函数f4 x 的图象在0,2 1上恰有8个交点，则直线I 斜率k 的取值范围是（） A. '0—1B. ‘0 iC. 0-^1D. ' 0 I 9 I ‘11,8,19「8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在趣中，窗分别是角ABC 的对边，已知sin 织飞冷,心,△ABC 的面积为舟，则—山一的值为 _____________________ . sin B sin CT — —+14. 已知平面上有四点 O,A,B,C ，向量OA , OB , OC 满足: OA OB =OB OC =OC OA = -1，则△ ABC 的周长是15. 已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且/ F1PF2G ，则椭圆和双曲线的8.若圆x 2 y 2 -ax 2y ^0和圆x 2 y 2 =1关于直线y = x -1对称，过点C ]—a, a 的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是（）2A. y 4x 、4y 亠8 =0 C. y 4x -4y 8 =0 2B. y 2x _2y 2 二0 2D. y _2x _y 1 =0 9.平行四边形ABCD 中, AD - -1，点M 在边CD 上，则MA MB 的最大值为（A. ,2 -1B. , 3 -1C.0D.22 210. 已知椭圆笃 Z =1 a 0,b 0上一点A 关于原点的对称点为 a b / ABF ，且-二匸，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（一6 4B , F 为其右焦点，若 AF _ BF ，设）T —* —t 4OA OB OC =0,一3 3离心率的倒数之和的最大值为16. 已知数列⑴｝的前n项和S n=2a n—2讦，若不等式2n2—n — 3＜：(5 —&円对N*恒成立，则整数人的最大值为_________________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在厶ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知向量m= cos3A ,sin塑，n = cos- ,sinJA，且满I 2 2丿J 2 2丿足黑+片=J3.(1) 求角A的大小；⑵若b • c二3a，试判断△ ABC的形状.18. 已知圆C经过原点O 0,0且与直线y =2x_8相切于点P 4,0 .(1) 求圆C的方程；(2) 在圆C上是否存在两个点M，N关于直线y =kx—1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由.19. 各项均为正数的数列曲中，4=1，S.是数列鮎」的前n项和，对任意n^N*，有22S n ^2pa n pa n -p p R .(1)求常数p的值；⑵求数列的通项公式；⑶记b n =兰^ 2，求数列仏［的前n项和T n .n *3x2y2J3 47520. 已知椭圆C:x2 ^7 =1 a b 0的离心率，原点到过点A a,0 , B 0,-b的直线的距离是土二.a b 2 5(1)求椭圆C的方程；⑵如果直线y =kx，1 k = 0交椭圆C于不同的两点E,F，且E,F都在以B为圆心的圆上，求k的值.21. 已知定点F 0,1，定直线m: y - -1，动圆M过点F，且与直线m相切.(1)求动圆M的圆心轨迹C的方程；⑵过点F的直线与曲线C相交于A, B两点，分别过点A,B作曲线C的切线b，I2，两条切线相交于点P，2求△ PAB 外接圆面积的最小值• 22. 设函数 f x =ln x —fax 2—bx.(1)当a =b=f 时，求函数f x 的最大值；1 2 ai ⑵ 令F x 二f x ax bx , 0：：：x_3其图象上任意一点 P x o ,y o 处切线的斜率k "恒成立，求2 x 2实数a 的取值范围；⑶当a =0 , b = _1，方程2mf x =x 2有唯一实数解，求正数 m 的值.2018〜2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案、选择题、填空题1-5:BCCDD6-10:ACCDB 11、12: CA13.214.3.615.4.3316.4三、解答题17.2片 2 3A 3A解：⑴‘ m n 2m 心，代入z co 右S 巧nUcosAsi n^，有 I 2 2丿3A A . 3A .A13AA 11cos —— cos sin sin即 cos — - -cos A 二-1 2 2 222 22 22.22 2⑵法一：•A 1 cos A ,「.b 一c -a1①22bc 2联立①②解得 b =2c 或 c =2b ，又 I b —c 二 3a ,若 b =2c ，贝U a 二 3c , 二a 2 c^ 3^ 2 -c 2 =4c 2二b 2 , △ ABC 为直角三角形，同理，若c =2b ，则△ ABC 也为直角三角形 18.(1)由已知，得圆心在经过点 P 4,0且与y =2x -8垂直的直线1x 2上，它又在线段 OP 的中垂线x=2上，所以求得圆心 C 2,1，半径为.5.页22 2所以圆C 的方程为：X_2 y-1 =5.⑵ 假设存在两点 M,N 关于直线y =kx _1对称，则y =kx _1通过圆心C 2,1，求得k=1 , 所以设直线 MN 为y - _x >b ，代入圆的方程得 2x 2 - 2b 2 x b 2 - 2b = 0 ,设 M X|, -^ b , N X 2, -X 2 b ，贝VOM ON =2%x 2 -b x x 2F ：； b 2 = b 2 - 3b = 0 ,解得b =0或b =3，这时0，符合题意，所以存在直线 19.解：⑴ 由 a i =1 及 2S n =2pa ： • pa . -p n ・ N ，得:⑵由 2S n -2a ^ a n -1 ①，得 2S n ^2a n 12 - am -1 ② 由②一①，得 2a n 1 =2a n 1 _an !亠〔a n 1 -'an , 即：2 a n 1 - a n a n 1 —an ia n 1 - a n =0 ,二 a n i a n 2a n i -2a n -1 =0 , 由于数列 给f 各项均为正数，••• 2a n 1 -2a n =1，即a n -a ••擞列G 堤首项为1，公差为2的等差数列, •••数列 惊？的通项公式是 外=1 • n -11工口.2 2+1得 ： Qn(n +3 ). _ 4S n n _ n得：S n，…b n2 n 2 ，24 n 3二 T n =1 2 2 22 3 23…n 2n2T n =1 222 23 …n _1 2n n 2n 1 ,_-丄小2 丄小3 丄 丄_ n + 2112) _n + □ . , _-=2+2 +2 卜…+2-n 2=^^一〃2=十少2-2T 二 n -1 2n 1 2 .20.解：（1）因为-=3a 2 -b 2 =c 2，所以 a =2b , a2因为原点到直线AB : .x-1 的距离 d ab 4 5，解得 a - 4 , b - 2 , ab —J a 2 +b 25故所求椭圆C 的方程 为 2X21 4Zp y =kx 1⑵由题意 x 2 y 消去y ，整理得1 4k 2 x 2 8k^-1^0，可知.：0,116 4X 2 + X 3 4k1 设 E X 2,y2 , F X 3,y3 , EF 的中点是 M X M ,Y M ，贝V X M - - ―2， y M = kx M 1—2，% * * 丿 ' * 2 1+4k1+4ky 呻_ 2 1 4 k k所以 k BM = — - ,所以 X M ky M 2k =0，即卩 2 2 • 2k =0，又因为 k = 0 ,X M k 1 +4k 1 +4kMN 为y = -x 或y = —x • 3符合条件•2 =2p p _p ,所以k2 J，所以k 2.8 421.解：(1)设点M到直线l的距离为d，依题意M2| =d，设M (x,y )，则有J x2+(y—1 j = y+［，化简得x2 =4y.所以点M 的轨迹C的方程为x2 =4y.、r 2 2⑵设I AB： y =kx 1，代入x =4y 中，得x -4kx-4 =0,设 A X1, y1 ， B X2,y2 ，2则洛• x2=4k，x x2- -4，所以AB = 1 k2x^ x2= 4 k2 1 ，因为C : x2 = 4y，即y =中，所以Y，所以直线h的斜率为k^X1，直线l2的斜率为k2二丝，因为k*2 =空--1，所以PA_PB，即△ PAB为2 2 4直角三角形.所以△ PAB的外接圆的圆心为线段AB中点，线段AB是直径，因为AB =4 k21，所以当k =0时线段AB最短，最短长度为4,此时圆的面积最小，最小面积为4:.22.解：(1)依题意，知f x的定义域为0,；，当 a 二b 二1时，f x =1 nx-1x2—1x，2 4 2. 1 1 1 —(x +2 (x —1 )f ' X X —x 2 2 2x令 f ' x =0,解得x =1.( ••• x -0)因为g x]=0有唯一解，所以g X2 =0，当0：：：x：：：1时，f ' x・0,此时fx单调递增;当x 1时，f' x <0，此时f x单调递减,所以f x的极大值为f 1 - -3，此即为最大值.4(2) F x =l nx，a, x"0,3〕，则有k二F'怡二匹乞1，在X。

安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理科试题(解析版)

安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学理科试题(解析版)

1.已知 R 是实数集，集合 A = {-1,0,1}， B = {x 2 x - 1 ≥ 0}，则 A ( B )= （B. {1}C. ⎢ ,1⎥D. -∞, ⎪ 镲x 铪镲x 铪2.已知 i 是实数集，复数 z 满足 z + z ⋅ i = 3 + i ，则复数 z 的共轭复数为（合肥市 2019 高三第三次教学质量检测数学试题（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .R）A. {-1,0}⎡ 1 ⎤⎣ 2 ⎦ ⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭【答案】A【解析】【分析】先求出集合 B 的补集再与集合 A 进行交集运算。

【详解】禳 1 B = 睚 | x ? 镲 2禳1 \ C B = 睚 | x < R 镲2即 A ? (C RB){- 1,0}故选 A 。

【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．在解题过程中，正确求出补集和交集是关键。

．． ）A. 1+ 2i【答案】C【解析】【分析】B. 1- 2iC. 2 + iD. 2 - i将 z + z ⋅ i = 3 + i 化为 z = 3 + i 1 + i，对其进行化简得到 z = 2 - i ，利用共轭复数的性质得到 z = 2 + i 。

【详解】 z + z ⋅ i = 3 + i 可化 z =3 + i1 + iz = 3 + i 【详解】输入 x = -1 ， y = ⨯ (-1)+ 1 = .3 74 4 3 19 74 16 16(3 + i )(1- i) 4 - 2i = = =2- i1+ i (1+ i )(1- i) 2∴ z 的共轭复数为 z = 2 + i故选 C 。

【点睛】在对复数的除法进行化简时，要采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”。

3.执行如图所示 程序框图，若输入 x = -1 ，则输出的 y = （）的A.1 4B.3 4C.7 16D.19 16【答案】D【解析】【分析】按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案1 33 ， | x - y |= -1 - = < 1 不成立， x = ；4 4 41 3 19 19 y = ⨯ + 1 = ， | x - y |= - = < 1 成立，跳出循环，输出 y = .故选 D.4 4 16 16【点睛】本题考查循环结构程序框图的输出结果.当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是A. 149C.20D. 7⎪ 1⎪⎩ 6 2⎪⎪ 1 9 ⎪d = 2 . ⎪9a 12继续下一次循环，还是跳出循环.4.已知 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和，若 a 1 + a 2 + a 3 = 4 ， S 6 = 10 ，则 a 3 = （）9 B.163【答案】A【解析】【分析】列出关于 a 1,d 的方程组并解出，即可求得 a 3的值.【详解】设等差数列{a n}的公差为 d .⎧a + a + a = 3a + 3d = 4, 2 3 1 由题意得 ⎨ 6 ⨯ 5 S = 6a + d = 10, 1解得 ⎨ ⎩ 9⎧ 10a = ,所以 a = a + 2d = 1431.故选 A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和. a 1,d 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中的基本量，等差数列的相关问题往往要通过列关于 a 1,d 的方程组来求 a 1,d .5.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量 x （万件） 1416 18 2022单位成本 y （元/件）1073若根据表中提供的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y = -1.15x + 28.1，则 a 的值等于（ ）A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6【详解】 x = 14 +16 +18 +20 +22 6.若直线 y = k (x + 1)与不等式组 ⎨3x - y ≤ 3 表示的平面区域有公共点，则实数 k 的取值范围是（ ）⎪2x + y ≥ 2 ˆ ˆx ，y ˆ ˆˆ画出不等式组 ⎨3x - y ≤ 3 表示的平面区域，直线 y = k (x + 1)过定点 A(-1,0) ，数形结合得出 0 ＃k ⎪2x + y ≥ 2【答案】B【解析】【分析】求出 x ， y 将其代入线性回归方程 y = -1.15x + 28.1，即可得出 a 的值。

2019-2020年高三第三次联考数学(理)试题

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绝密★启用前江西省重点中学协作体xx 届高三第三次联考2019-2020年高三第三次联考数学（理）试题南昌二中 赖敬华 鹰潭一中 黄鹤飞本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷一.选择题(本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.巳知全集， 是虚数单位，集合（整数集） 和则集合 的元素个数是（ ）A ． ３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 2.下列说法正确的是( ) A ．函数在其定义域上是减函数B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“R ，”的否定是 “R ，”D ．给定命题、，若是真命题，则是假命题3. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值,若要使输入的值与输出的值相等，则这样 的值有( )个.A ．1B ．2C ．3D ．44.如图，长方形的四个顶点为，曲线的概率是( )A ．B ．C ．D ． 5.函数的图象如图所示，其中,，是（ ）A ．对称轴方程是B ．C ．最小正周期是D ．在区间上单调递减6.现有8名青年，其中有5名能任英语翻译工作，4软件设计工作，现从中选5名，承担一项任务，其中3翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有（ A ．60种 B ．54种 C ．30种 D ．42种7.若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,满足则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ．C ．D ．8.若变量满足约束条件，，则取最小值时， 二项展开式中的常数项为（ ） A ． B ． C ． D ．9.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4,锐角为450的平行四边形，则该几何体的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．以上答案均不正确10.已知椭圆的两个焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，过F 1且与坐标轴不平行的直线l 1与椭圆相交于M ，N 两点，△MNF 2的周长等于8. 若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，x 轴上存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值，则E 的坐标为 ( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二.填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置) 11．数列共有11项，.10,.3.2.1,1,4,01111 ==-==+k a a a a k k 且满足这样条件的不同数列的个数为 ；12.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数13.设函数在处取得极值，则= ；14.如图放置的正方形ABCD,AB=1.A,D 分别在X 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ；15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形顶点按顺时针 方向排列的顶点的极坐标分别为，则顶点的极坐标为 ；B ．（不等式选讲选做题） 关于[](3)3 ,,-x k x m nn m ≥+的不等式的解集为若=3，则实数的值等于 .三.解答题（本大题共6小题，共75分。

河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学(理)试题(含答案)

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2019年高中毕业年级第三次质量预测理科数学参考答案一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）1．D 2．D 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A 11.B 12.B二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填写在答题卡上．13．．14．. 15.．16．．三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17.解：（1）在中,由正弦定理得：,分在中,由正弦定理得：分因为,故分（2）在中,由余弦定理得分在中,由余弦定理得分又,解得分又,故分18.解:（1）分别为边的中点,所以………….1分因为,所以……….3分又因为所以．…………4分（2）取的中点,连接,由（1）知,,所以平面因为,所以,又因为,平面所以. ……….6分过作交于,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示.,…….8分为线段上一动点设,由,得, ………..9分设平面的法向量为,则即取……..10分设直线与平面所成角,…..11分直线与平面所成角的正弦值的最大值为……….12 分19．解：（1）由题知………2分则…3分故与的线性相关程度很高,可用线性线性回归模型拟合………4分（2）①顾客选择参加两次抽奖,设他获得100元现金奖励为事件.……………6分②设表示顾客在三次抽奖中中奖的次数,由于顾客每次抽奖的结果相互独立,则………………8分所以……………10分由于顾客每中一次可获得100元现金奖励,因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为……………11分由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120小于直接返现的150元,所以专营店老板希望顾客参加抽奖……………12分20．解:（1）抛物线的焦点为,……………1分由知,……………2分代入抛物线方程得,故抛物线的方程为：…………4分（2）当直线的斜率不存在时,过点的直线不可能与圆相切；所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在,设直线斜率为,则所求的直线方程为,所以圆心到直线的距离为,当直线与圆相切时,有,所以所求的切线方程为或…………6分不妨设直线,交抛物线于两点,联立方程组,得.所以,,………………….8分假设存在点使,则. 所以即故存在点符合条件………………10分当直线时,由对称性易知点也符合条件………………11分综上存在点使………………12分21.解析：（1）,定义域………………1分当时,,由于在恒成立,……………4分故在单调递减,在单调递增.故………………5分（2）当时,在单调递减,在单调递增. ,只有一个零点………………6分当时,,故在恒成立,故在单调递减,在单调递增.故当时,没有零点.………………8分当时,令,得,,,在单调递减,在单调递增. ,………………10分在有两个零点,，在单调递减,在单调递增,在单调递减,在单调递增，,又,此时有两个零点，综上有两个零点,则………………12分22．[选修4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解:（1）由题意可知：直线的普通方程为,,，的方程可化为,设点的坐标为,,………………5分（2）曲线的直角坐标方程为：，直线的标准参数方程为,代入得：，设,两点对应的参数分别为,,故,异号，………………10分23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解析：（1）当时,当时解得当时恒成立，当时解得综上可得解集………………5分（2）当,即时,无最小值；当,即时,有最小值；当且,即时,当且,即时,综上：当时,无最小值；当时,有最小值；当时,当时, ………………10分。

南通市2019届高三第三次调研测试数学

南通市2019届高三第三次调研测试数学

南通市2019届高三第三次调研测试数学1． 已知集合{1023}U =-，，，，{03}A =，，则U A =ð ▲ ．2． 已知复数i 13i a z +=+（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．3． 右图是一个算法流程图．若输出y 的值为4，则输入x 的值为 ▲ ． 4． 已知一组数据6，6，9，x ，y 的平均数是8，且90xy =，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球．从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为 ▲ ．6． 已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧-=⎨--<⎩，≥，，， 则不等式()()f x f x >-的解集为 ▲ ．7． 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．9． 已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =3 cm ，BC =1 cm ，CD =2 cm ．将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为 ▲ cm 3．10．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线sin 2y x =与1tan 8y x =在()2ππ，上交点的横坐标为α，则sin 2α的值为 ▲ ．11．如图，正六边形ABCDEF 中，若AD AC AE λμ=+u u u r u u u r u u u r（λμ∈，R ），则λμ+的值为 ▲ ．12．如图，有一壁画，最高点A 处离地面6 m ，最低点B 处离地面3.5 m ．若从离地高2 m 的C 处观赏它，则离墙 ▲ m 时，视角θ最大．13．已知函数2()23f x x x a =-+，2()1g x x =-．若对任意[]103x ∈，，总存在[]223x ∈，，使得12()()f xg x ≤成立，则实数a 的值为 ▲ ．（第3题）（第11题）（第12题）14．在平面四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒， 2AB =，1AD =．若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 则12CB CD +的最小值为 ▲ ．15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，(sin sin )()(sin sin )a A B c b B C -=-+．（1）求角C 的值；（2）若4a b =，求sin B 的值．16．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面BPC ⊥平面DPC ，BP BC =，E ，F 分别是PC ，AD 的中点． 求证：（1）BE ⊥CD ； （2）EF ∥平面P AB ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为()03A ，，圆2224a O x y +=：经过点()01M ，． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ．若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．18．南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m ，宽1.5 m 的长方形牛皮纸ABCD 裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB ，AD 上取点E ，F ，将三角形AEF 沿直线EF 翻折到A EF '处，点A '落在牛皮纸上，沿A E '，A F '裁剪并展开，得到风筝面AEA F '，如图1．（1）若点E 恰好与点B 重合，且点A '在BD 上，如图2，求风筝面ABA F '的面积； （2）当风筝面AEA F '的面积为23m 时，求点A '到AB 距离的最大值．ABCDPEF（第16题）xOA（第17题）y M N PQ（图1）ADA '（图2）A（E ）CDA '19．已知数列{}n a 满足11(2)(21)n n n n na a a a ---=-（2n ≥），1n nb n a =-（n *∈N ）．（1）若1=3a ，证明：{}n b 是等比数列；（2）若存在k *∈N ，使得1k a ，11k a +，21k a +成等差数列．① 求数列{}n a 的通项公式；② 证明：111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-．20．已知函数2()1ln ax f x x=+（0a ≠），e 是自然对数的底数．（1）当0a >时，求()f x 的单调增区间；（2）若对任意的12x ≥，1()2e b f x -≥（b ∈R ），求b a 的最大值；（3）若()f x 的极大值为2-，求不等式()e 0x f x +<的解集．21．A ．[选修4-2：矩阵与变换]已知a b c d ∈，，，R ，矩阵20a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵111c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线21y x =+，求曲线C 的方程． B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标平面内，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A ，B 的极坐标分别为()π42，，()5π4，，曲线C 的方程为r ρ=（0r >）．（1）求直线AB 的直角坐标方程；（2）若直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，求r 的值． C ．[选修4-5：不等式选讲]已知a ∈R ，若关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围．22．现有一款智能学习APP ，学习内容包含文章学习和视频学习两类，且这两类学习互不影响．已知该APP 积分规则如下：每阅读一篇文章积1分，每日上限积5分；观看视频累计3分钟 积2分，每日上限积6分．经过抽样统计发现，文章学习积分的概率分布表如表1所示，视频 学习积分的概率分布表如表2所示．（1）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望．23．设202(1)i nn i i n P C =-=∑，212(1)j nn jj njQ C =-⋅=∑． （1）求222P Q -的值；（2）化简n n nP Q -．表1表2南通市2019届高三第三次调研测参考答案1、 {12}-，2、3-3、1-4、1455、126、(20)(2)-+∞U ，，7、14 8、2 9、73π 10、15- 11、43 12、6 13、13- 14、2615、（1）π3C =．（2）39sin B =．16、略17、（1）椭圆C 的方程为22143y x +=． （2）若1l 的斜率为0，则46PQ ，2MN =， 所以△PQN46，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． 设直线1l 的方程为1y kx =+， 由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，， 则2142621k k x --⋅+=，2242621k k x -+⋅+ 所以221212()()PQ x x y y -+-22212461211k k k x +⋅++-=直线2l 的方程为11y x k =-+，即0x ky k +-=，所以．MN = 所以△PQN 的面积12S PQ MN =⋅132==，解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． 18、（1）方法一：建立直角坐标系四边形ABA F '的面积为24m 3．方法二：设ABF θ∠=，则2ABA θ'∠=．在直角△ABD 中，3tan 24AD AB θ==， 所以22tan 341tan θθ=-， 解得1tan 3θ=或tan 3θ=-（舍去）．所以2tan 3AF AB θ==． 所以△ABF 的面积为21222m 233⨯⨯=，所以四边形ABA F '的面积为24m 3．（2）方法一：建立如图所示的直角坐标系． 设AE a =，AF b =，()00A x y '，，则直线EF 的方程为0bx ay ab +-=，因为点A ，A '关于直线EF 对称，所以0000022y ax b bx ay ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，，解得20222a b y a b =+． 因为四边形AEA F '所以ab =，所以033y a a==+． 因为02a <≤，302b <≤，以2a ≤． 设33()f a a a =+，2a ≤．49()1f a a '=-=， 令()0f a '=，得a =a =（舍去）． 列表如下：当a ()f a所以0y 的最大值为32，此时点A '在CD上，a =1b =． 答：点A '到AB 距离的最大值为3m 2．方法二：设AE a =，AEF θ∠=，则tan AF a θ=．因为四边形AEA F '的面AE AF ⋅2tan a θ=tan θ．过点A '作AB 的垂线A T '，垂足为T ，则sin2sin2sin2A T A E AE a θθθ''=⋅=⋅=A 'ABCDFET2224322sin cos 2tan 33sin cos tan 11a a a a a a a θθθθθθ=⋅=⋅=⋅=++++．因为02AE <≤，302AF <≤，2a ≤． （下同方法一）19、（1）由11(2)(21)n n n n na a a a ---=-，得1122n n n a a -=+-，得()11121n n n n a a -⎡⎤-=--⎢⎥⎣⎦，即12n n b b -=因为1=3a ，所以11121=03b a =--≠，所以12n n bb -=（2n ≥），所以{}n b 是以1b 为首项，2为公比等比数列．（2）① 设111a λ-=，由（1）知，12n n b b -=， 所以21121222n n n n b b b b ---====L ，即112n nn a λ--=⋅，所以112k k k a λ-=⋅+．因为1k a ，11k a +，21k a +成等差数列，则11(2)(22)2(21)k k k k k k λλλ-+⋅++⋅++=⋅++，所以120k λ-⋅=，所以0λ=，所以1n n a =，即1n a n=．② 要证111ln ln(1)22n n n a n a ++>+-，即证111()ln 2n n n a a n +++>，即证1112ln 1n n n n ++>+．设1n t n +=，则111111t t t n n t t -+=-+=-+，且1t >，从而只需证，当1t >时，12ln t t t ->． 设1()2ln f x x x x=--（1x >），则22121()1(1)0f x x x x '=+-=->，所以()f x 在(1)+∞，上单调递增，所以()(1)0f x f >=，即12ln x x x ->，因为1t >，所以12ln t t t ->，所以，原不等式得证． 20、（1）()f x 的定义域为()()110e e --+∞，，U ． 由， 222112(1ln )2(ln )2()(1ln )(1ln )ax x ax ax x x f x x x +-⋅+'==++ 令()0f x '>，因为0a >，得12e x ->， 因为112ee -->，()f x 的单调增区间是()12e -+∞，． （2）当0a <时，1(1)02e b f a -=<<，不合题意； 当0a >时，令()0f x '<，得10e x -<<或112e e x --<<， 所以()f x 在区间()10e-，和()112ee--，上单调递减． 因为()1121e e 2--∈，，且()f x 在区间()12e-+∞，上单调递增，所以()f x 在12e x -=处取极小值2e a ，即最小值为2e a ． 若12x ∀≥，1()2e b f x -≥，则122e e b a -≥，即e b a ≥．不妨设0b >，则e b b b a ≤． 设()e bb g b =（0b >），则1()e b b g b -'=．当01b <<时，()0g b '>；当1b >时，()0g b '<，所以()g b 在()01，上单调递增；在()1+∞，上单调递减，所以()(1)g b g ≤，即1e ebb ≤，所以b a 的最大值为1e ． （3）由（2）知，当0a >时，()f x 无极大值， 当0a <时，()f x 在()10e-，和()112ee--，上单调递增；在()12e -+∞，上单调递减，所以()f x 在12e x -=处取极大值， 所以122(e )2ea f -==-，即e a =-． 设()()e x F x f x =+，即2e ()e 1ln x x F x x=-+， 当()10e x -∈，，1ln 0x +<，所以()0F x >； 当()1e x -∈+∞，，2e (12ln )()e (1ln )x x x F x x +'=-+， 由（2）知，e e x x ≤，又212ln (1ln )x x ++≤， 所以()0F x '≥，且()F x 不恒为零， 所以()F x 在()1e -+∞，上单调递增．不等式()e 0x f x +<，即为()0(1)F x F <=，所以1e 1x -<<， 即不等式的解集为()1e 1-，． 21A 、由题意得，11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AA ，即2122100101a c a dac b d bdb ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1120a b c d ====，，，，即矩阵1201-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． 设()P x y ，为曲线C 上的任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为点()P x y '''，， 则 1201x x y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2.x x y y y '=-⎧⎨'=⎩， 由已知条件可知，()P x y '''，满足21y x =+，整理得：2510x y -+=， 所以曲线C 的方程为2510x y -+=．21B 、（1）分别将()π42A ，，()5π4B ，转化为直角坐标为()04A ，，()22B --，， 所以直线AB 的直角坐标方程为340x y -+=．（2）曲线C 的方程为r ρ=（0r >），其直角坐标方程为222x y r += 又直线AB 和曲线C 有且只有一个公共点，即直线与圆相切， 所以圆心到直线AB=r21C 、因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根， 所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤ 当1a ≥时，421a -≤，得512a ≤≤； 当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<； 当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤， 综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤．22、（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形有：因为两类学习互不影响，所以概率111111115926223229P =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以每日学习积分不低于9分的概率为59．（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3．由（1）每个人积分不低于9分的概率为59．()()3464=0=9729P ξ=；()()()21354240=1=C 99729P ξ=；()()()22354300=2=C 99729P ξ=；()()35125=3=9729P ξ=． 所以，随机变量ξ的概率分布列为所以642403001255()01237297297297293E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．所以，随机变量ξ的数学期望为53．23、（1）由201234444441111153P C C C C C =-+-+=，2123444441234103Q C C C C =-+-+=，所以2220P Q -=．（2）设n n T nP Q =-，则01221232222222221232()()n n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C C C C =-+-⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+ 0123222222123nn n n n nn n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ① 因为222k n k n n C C -=， 所以2212223022222123n n n n n n n n n n n n n n T C C C C C -------=-+-+⋅⋅⋅+0123222222123nn n n n n n n n n n C C C C C ----=-+-+⋅⋅⋅+ ② ①+②得，20T =，即0n n T nP Q =-=，所以0n n nP Q -=．。

安徽省A10联盟2019届高三第三次模拟考试数学(理)试题

安徽省A10联盟2019届高三第三次模拟考试数学(理)试题

安徽省A10联盟2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，{|21}x B x =≥，则A B =（ ）A ．{|03}x x ≤≤B ．{|13}x x -≤≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|11}x x -≤≤2.若a R ∈，则“cos α=”是“sin 21α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要3.若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且330S =-，840S =-，则11S =（ ） A ．-16 B ． -18 C ． -20 D ． -224.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，,E F 分别为,AD CD 的中点，则BF =（ ）A．1433BE OF+B．3122BE OF+ C.1322BE OF+D．4133 BE OF+5.函数3sin()1cos2xf xx=+的图像大致为（）A．B．C.D ．6.定义在R 上的函数()f x 的图像连续且关于原点对称，当(,0]x ∈-∞时，'()0f x >，若(1)3f -=-，则不等式|(34)|3f x -≥的解集为（ ）A ．5[1,]3 B ．5(,0][1,]3-∞ C. 5(0,1][,)3+∞ D ．5(,1][,)3-∞+∞7.已知2(tan )sin sin 2f x x x =-，记1s i n ()2fα=，其中α是第四象限角，则tan()4πα+=（ ） A ．17 B ．17- C. 7 D ．-7 8.已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的13，得到新函数()g x 图像的一条对称轴为（ ）A ．6x π=B ．12x π=C. 6x π=-D ．3x π=-9.已知131log 2a =，5log 6b =，6log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c b a << B ．a b c << C. b a c << D ．a c b <<10.已知函数5,3()log ,3ax x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩（0a >且1a ≠），若函数()f x 无最小值，则实数a 的值不可能为（ ） A ．12 B ．32C. 2 D ．4 11.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为218c ，则a bb a+的最大值为（ ）A ． 2B ．4 C.．12.已知曲线321()2(0)32a f x x x x a =-+->与直线13y kx =-相切，且满足条件的k 值有且只有3个，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞ C. [1,)+∞ D ．(1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(1,3)a =-，(8,)b m =，且向量b 在向量a 方向上的投影是，则||b = ．14.已知实数,x y 满足103(4)x x y y m x -≥⎧⎪≤-⎨⎪≥-⎩，其中0m >，若2z x y =+的最小值为1，则实数m 的值为 ．15.已知实数,(0,)m n ∈+∞且1m n +=，则4133m n m n+++的最小值为 ．16.在数列{}n a 中，12a =-，23a =，34a =，31(1)2n n n a a +++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则41S 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知命题:[1,0]p x ∀∈-，2log (2)2x m +<；命题q ：关于x 的方程2220x x m -+=有两个不同的实数根.（1）若()p q ⌝∧为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围. 18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且423n n a S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设41log n nb a =，求数列12{}n n b b ++的前n 项和n T .19. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，8a =，1cos 3c b a B -=. （1）若ABC ∆有两解，求b 的取值范围；（2）若ABC ∆的面积为B C >，求b c -的值. 20. 已知函数()2sin(2)(0)6f x x πωω=+>.（1）若点5(,0)8π是函数()f x 图像的一个对称中心，且(0,1)ω∈，求函数()f x 在3[0,]4π上的值域；（2）若函数()f x 在2(,)33ππ上单调递增，求实数ω的取值范围.21. 已知函数1()f x x x=+.（1）若关于x 的不等式(3)32x xf m ≤+在[2,2]-上恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若函数2()(|21|)32|21|xx tg x f t =-+---有四个不同的零点，求实数t 的取值范围.22. 已知函数2()ln f x mx x x =++，0m ≤. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若(0,)x ∃∈+∞，使得关于x 的不等式3()()xf x n mx n Z ≤+∈成立，求n 的最小值.试卷答案一、选择题1.A 由题意得：{|13}A x x =-≤≤，{|0}B x x =≥，∴{|03}AB x x =≤≤，故选A.2.B 若sin 21α=，则c o s 20α=，此时22cos 10α-=，解得：cos α=；若c o s 2α=±，则c os20α=，∴sin 21α=±；故“cos 2α=±”是“sin 21α=”的必要不充分条件，故选B3.D 法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意得：11333082840a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得112a =-，2d =，∴11111011(12)2222S ⨯=⨯-+⨯=-，故选D法二：836510S S a -==-，∴62a =-，∴1161122S a ==-，故选D 4.C 1113()2222BF BO OF BD OF BE ED OF BE OF =+=+=++=+，故选C 5.A 因为()()f x f x -=-，故函数()f x 为奇函数，排除C ；因为1cos 20x +≠，故()2x k k Z ππ≠+∈，排除B ；33sin34()0341cos 2f πππ=>+，排除D ；故选A. 6.D 由题意得：函数()f x 为奇函数，故(1)(1)3f f -=-=-，即(1)3f =，∴ |(34)|(1)|(1)|f x f f -≥=，易知函数|()|f x 为偶函数，故|34|1x -≥，解得53x ≥或1x ≤，故选D7.A ∵22222sin 2sin cos tan 2tan (tan )sin cos tan 1x x x x xf x x x x --==++，∴13()25f =-，即3sin 5α=-，又α是第四象限角，∴4cos 5α=，∴3tan 4α=-，∴1tan 1tan()41tan 7πααα++==-，故选A8.C 由题意得：2A =，2()434T ππππω=-⨯==，解得23ω=，则2232k ππϕπ+=+，k Z ∈，∵6πϕ=-，∴2()2sin()36f x x π=-，∴()2sin(2)6g x x π=-，令262x k πππ-=+，k Z ∈，解得：32k x ππ=+，k Z ∈，故选C 9.D ∵3log 21a =<，1b >，1c >，∴选项A ，C 排除；又256lg6lg7(lg6)lg5lg7log 6log 7lg5lg6lg5lg6b c --=-=-=，∵222lg 5lg 7lg 5lg 7()(lg 6)2+<=<，∴b c >，∴a c b <<，故选D 10.B 由题意得：当01a <<时，函数()f x 无最小值，符合题意；当1a >时，若函数()f x 无最小值，结合图像可知，log 32a <，解得a >a 的取值范围为(0,1)(3,)+∞，故选B11.C 由题意得，211sin 28S ab C c ==，∴24sin c ab C =，又2222cos c a b ab C =+-，∴2222cos a b c ab C +=+，∴2222cos a b a b c ab Cb a ab ab +++==4sin 2cos 4sin 2cos ab C ab CC C ab+==+)C ϕ=+，则a bb a+的最大值为 C 12.B 由题意得：2'()2f x x ax =-+-，设切点321(,2)32a P t t t t -+-， 则其切线的斜率为2'()2k f t t at ==-+-，所以切线方程为32212(2)()32a y t t t t at x t +-+=-+--，又点1(0,)3-在切线上， ∴322112(2)(0)332a t t t t at t -+-+=-+--，即322110323t at -+=，由题意得，方程322110323t at -+=有三个不同的实数解，记32211()323h t t at =-+，则2'()2h t t at =-，当0a >时，令'()0h t >，解得0t <或2a t >，令'()0h t <，解得02a t <<，则函数()h t 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)2a 上单调递减，在(,)2a+∞上单调递增，∵1(0)3h =，311()2243a h a =-+，∴要使方程322110323t at -+=有三个不同的实数解，则()02ah <，解得2a >，故选B二、填空题 13. 10由题意知，||10a b a ==6m =，∴||10b = 14.13作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中(1,3)A m -，34(,)11m mB m m +-++，(1,2)C ，观察可知，当直线2z x y =+过点A 时，z 有最小值，即231m -=，解得13m =.15.94令3m n x +=，3m n y +=，∴4x y +=，∴4141141()()334x y m n m n x y x y +=+=++++149(5)44y x x y =++≥，当且仅当2,4x y x y =+=，即84,33x y ==，即51,66m n ==时等号成立. 16.458由题意知，当n 是奇数时，312n n a a ++-=，又23a =，∴数列{}n a 中的偶数是以3为首项，2为公差的等差数列，∴24640201920324402a a a a ⨯++++=⨯+⨯=；当n 是偶数时，312n n a a +++=，∴数列{}n a 中的相邻的两个奇数项之和均等于2， ∴13573941135793941()()()a a a a a a a a a a a a a ++++++=+++++++22018-+=∴4144018458S =+=. 三、解答题17.（1）令2()log (2)f x x =+，则函数()f x 在[1,0]-上是增函数， 故当[1,0]x ∈-时，()f x 最大值为(0)1f =. 当命题p 为真时，则21m >，解得12m >. 当命题q 为真时，则2440m ∆=->，解得11m -<<. 若()p q ⌝∧为真，则p 假q 真，∴1211m m ⎧≤⎪⎨⎪-<<⎩，解得112m -<≤， 即实数m 的取值范围为1(1,]2-.（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则,p q 一真一假，若p 真q 假，则1211m m m ⎧>⎪⎨⎪≤-≥⎩或，解得1m ≥； 若p 假q 真，则1211m m ⎧≤⎪⎨⎪-<<⎩，解得112m -<≤. 综上所述，实数m 的取值范围为1(1,][1,)2-+∞.18.（1）∵423n n a S -=， ∴当2n ≥时，11423n n a S ---=，两式相减得，134()n n n a a a -=-， ∴14n n a a -=，即14nn a a -=， 由11342S a =-，得12a =，∴数列{}n a 是以2为首项，4为公比的等比数列. ∴121*242()n n n a n N --=⨯=∈. （2）由（1）知，214421log log 22n n n a --==， ∴221n b n =-， ∴124112()(21)(23)2123n n b b n n n n ++==-++++，∴1111112()35572123n T n n =-+-++-++2423(23)3(23)n nn n =⨯=++. 19.（1）∵1cos 3c b a B -=，∴1sin sin sin cos 3C B A B -=， ∴1sin cos sin cos sin sin cos 3A B B A B A B +-=.∵sin 0B ≠，∴1cos 3A =，∴sin A =若ABC ∆有两解，∴sin 8b A b <<，解得8b <<b 的取值范围为.（2）由（1）知，1122sin 822ABC S bc A bc ∆===24bc =， ∵2222cos a b c bc A =+-24()3b c bc =-+， ∴224()824323b c -=-⨯=，∵B C >，∴b c -=20.（1）由题意得：5,46k k Z ππωπ+=∈， ∴41()56k ω=-，k Z ∈， ∵(0,1)ω∈，∴23ω=， ∴4()2sin(2)2sin()636f x x x ππω=+=+， ∵3[0,]4x π∈，∴47[,]3666x πππ+∈， ∴41sin()[,1]362x π+∈-， 故函数()f x 在3[0,]4π上的值域为[1,2]-. （2）令222,262k x k k Z ππππωπ-+≤+≤+∈， 解得36k k x ππππωωωω-≤≤+， ∵函数()f x 在2(,)33ππ上单调递增， ∴002(,)(,)3336k k ππππππωωωω⊆-+，0k Z ∈，∴0033263k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，即0031614k k ωω≤+⎧⎨+≥⎩， 又2123322πππω-≤，∴302ω<≤， ∴01566k -<≤，∴00k =， ∴104ω<≤，即ω的取值范围为1(0,]4. 21.（1）由题意得：13323x x x m +≤+在[2,2]x ∈-上恒成立， 故211()2()133x x m ≥-+在[2,2]x ∈-上恒成立， 令13x s =，∵[2,2]x ∈-，∴1[,9]9s ∈， 则2221(1)m s s s ≥-+=-在1[,9]9s ∈上恒成立， 又当9s =时，2max (1)64s -=，∴64m ≥.即实数m 的取值范围为[64,)+∞.（2）方程2(|21|)320|21|x x t f t -+--=-， 即12|21|320|21||21|x x x t t -++--=--， ∴2|21|(32)|21|(21)0x x t t --+-++=（|21|0x ->）.令|21|x r =-，则2(32)(21)0r t r t -+++=，(0,)r ∈+∞，故问题转化为关于r 的方程2(32)(21)0r t r t -+++=有两个不相等的实数根1r 和2r ， 且101r <<，201r <<，记2()(32)(21)h r r t r t =-+++，则2(32)4(21)0(0)210(1)032012t t h t h t t ⎧∆=+-+>⎪=+>⎪⎪⎨=->⎪+⎪<<⎪⎩，∴409102203t t t t ⎧><-⎪⎪⎪-<<⎨⎪⎪-<<⎪⎩或，解得1429t -<<-， 即实数t 的取值范围为14(,)29--. 22.（1）由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2121'()21mx x f x mx x x++=++=， 若0m =，1'()10f x x=+>恒成立，则函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 若0m <，设2()21h x mx x =++，令()0h x =，180m ∆=->， 则12102x x m +=->，12102x x m =<，故104x m-=>，∴当x ∈时，'()0f x >；当)x ∈+∞时，'()0f x <， 则函数()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减， 综上所述，当0m =时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0m <时，函数()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减. （2）由题意得：323ln ()mx x x x n mx n Z ++≤+∈，即2ln ()x x x n n Z +≤∈.令2()ln g x x x x =+，则'()2ln 1g x x x =++，函数'()g x 在(0,)+∞上单调递增， 1'()2ln 202g =->，15'()ln 8084g =-<， 则存在唯一011(,)82x ∈，使得0'()0g x =，即000'()2ln 10g x x x =++=. 当0(0,)x x ∈时，'()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，'()0g x >，∴22min 0000000()()ln (21)g x g x x x x x x x ==+=+--2200011()24x x x =--=-++ ∵011(,)82x ∈，∴039()464g x -<<-， 由题意得，0()n g x ≥，且n Z ∈，故n 的最小值为0.。

河南省名校联考2019届高三联考(三)数学(理)试题

河南省名校联考2019届高三联考(三)数学(理)试题

河南省名校联考2019届高三联考（三）数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}0,1,2M =，2{|30}N x x x =-<，则下列结论正确的是A. N M ÍB. {}1,2N M? C. M N Í D. M N R ?【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求得集合N ,即可得出集合M 与集合N 的关系，从而可得出结论.【详解】 {}0,1,2M =，2{|30}N x x x =-< {}|03x x =<<，{}1,2M N \?，故选B.【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．2.复数112i i+-的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，再利用共轭复数的概念求出复数1+i 12i-的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 . 【详解】()()1i (12i)1+i 13i 12i 12i (12i)5++-+==--+， 1+i 12i \-的共轭复数为13i 55--， 对应坐标是13(,)55--在第三象限，故选C. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.函数()()2ln xf x x =的图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】 利用()10f <，排除选项,B C ；利用()10f ->排除选项D ，从而可得结果. 【详解】 ()()2ln xf x x =，()110f \=<，排除选项,B C ； ()110f -=>，排除选项D ，故选A.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.若非零向量a ，b 满足3a b =，且()(2)a b a b -^+，则a 与b 的夹角的余弦值为A. 3B. 33C. 63- D. 3- 【答案】D【解析】【分析】由()()2a b a b -^+可得()()2222cos 0a ba b a b a b q -+=-+=，结合3a b =可得结果.【详解】设a 与b 的夹角为q ，()()2a b a b -^+， ()()2222cos 0a b a b ab a b q \-+=-+=， 222223cos 33a bb a b b q -=-=-=-×，故选D. 【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a ba b q ?，二是1212a b x x y y ?+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a b a b q = （此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b×；（3）,a b 向量垂直则0a b ?;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ×）.5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的m 的值.【详解】第一次循环，1,1,5n m A ===；第二次循环，2,3,35n m A ===；第三次循环，773,7,322315500n m A ===+=>，退出循环，输出725m =-=，故选B.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，110a =，2a 为整数，且4S 最大，则公差d =A. -2B. -3C. -4D. -5【答案】B【解析】【分析】利用排除法，令2345d =----、、、，分别判断出前n 项和n S 的最大值，即可得结果.【详解】2d =-时，12345610,8,6,4,2,0a a a a a a ======，5S 或6S 最大，故A 不合题意；3d =-时，1234510,7,4,1,2a a a a a =====-，4S 最大，故B 合题意；4d =-时，123410,6,2,2a a a a ====-，3S 最大，故C 不合题意；5d =-时，123410,5,0,5a a a a ====-，2S 或3S 最大，故D 不合题意，故选B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n 项和公式，以及排除法的应用，属于基础题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.7.已知直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的斜率为正的渐近线交于点A ，双曲线的左、右焦点分别为1F ，2F，若21tan AF F ? A. 1611 B. 2 C. 4或1611D. 4 【答案】D【解析】【分析】先求出()2,2A a b ，可得212tan 2b AF F c a?-化为226460110a ac c -+=，从而可得e 的值，检验是否合题意，即可得结果. 【详解】由2y b b y x a ì=ïí=ïî，可得()2,2A a b ，则212tan 2b AF F c a?- 化为()22241544b a ac c =-+， 226460110a ac c -+=，21160640e e -+=，4e =或1611e =， 因为当1611e =时，21tan AF F ?\双曲线的离心率为4，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴顺时针滚动一周，设顶点P 的运动轨迹与x 轴所围区域为M ，若在平面区域{04,(,)|02x N x y y 禳＃镲=睚＃镲铪内任意取一点Q ，则所取的点Q 恰好落在区域M 内部的概率为A. 16pB. 8pC. 18p +D. 28p + 【答案】C【解析】【分析】顶点P 的运动轨迹，分三部分：前一部分的图象为四分之一圆周，后一部分的图象为四分之一圆周，且半径都是1,分别求出与x 轴围成的面积，求和后利用几何概型概率公式求解即可.【详解】正方形PABC 沿x 轴顺时针滚动一周，顶点P 的运动轨迹，分三部分：前一部分的图象为四分之一圆周，后一部分的图象为四分之一圆周，且半径都是1,此时两部分扇形所占面积为12p ,与x 围成的面积为211142p p ?=+,顶点P的运动轨迹与x 轴所围区域M 的面积为1122p p p ++=+， 平面区域(){04,,|02x N x y y 禳＃镲=睚＃镲铪的面积为428?， 所以在平面区域(){04,,|02x N x y y 禳＃镲=睚＃镲铪内任意取一点Q ， 则所取的点Q 恰好落在区域M 内部的概率为18p +，故选C. 【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.9.一个几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 在正视图上的对应点为P ，点A ，B ，C 在俯视图上的对应点为A ，B ，C ，过直线AP 作一平面与直线BC 平行，则该平面截几何体所得截面多边形的周长为A. 【答案】A【解析】【分析】由三视图还原几何体，可知该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -，设CD 中点为E ，连接,PE AE ，由线面平行的判定定理可得PAE D 为所求截面，利用三视图所给数据求出三角形各边长即可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -，其中PA ^平面ABCD ，底面是直角梯形，2,3,4AB AD CD ===，高3PD =，设CD 中点为E ，连接,PE AE ，则ABCE 是平行四边形，所以//,BC AE BC Ë平面PAE ，AE Ì平面PAE ，所以//BC 平面,PAE PAE D 是所求截面，由勾股定理可得PA PE AE ==PCE D 的周长为 A.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.10.已知函数()2sin (0)4f x x p w w 骣琪=->琪桫的图象的相邻最高点间的距离为p ，设()f x 的图象向左平移4p 个单位后得到()g x 的图象，则函数()g x 在0,2p 轾犏犏臌上的值域为A. B. - C. []2,2- D. - 【答案】D【解析】【分析】由图象的相邻最高点间的距离为p ，可求得函数周期，从而确定2w =，利用三角函数的平移法则可得()g x 的解析式，求得52,444x p p p 轾+?犏犏臌，利用正弦函数的单调性可得结果. 【详解】函数()2sin (0)4f x x p w w 骣琪=->琪桫的图象的相邻最高点间的距离为p ， 2T p p w\==，得2w =， ()224f x sin x p 骣琪=-琪桫向左平移4p 可得， ()2222444g x sin x sin x p p p 轾骣骣犏琪琪=+-=+琪琪犏桫桫臌， 50,,2,2444x xp p p p 轾轾蝄+?犏犏犏犏臌臌，24sin x p 骣琪\+?琪桫臌，()g x ?，即()g x 的值域为2-，故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质、以及三角函数图象的平移法则，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11.已知函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，且()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则b =A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，可得()()()()112222f f f f ì-+=ïí-+=ïî，求得a c 、的值后，利用()()17'112f f -=-解方程即可得结果. 【详解】函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1，所以()()2f x f x -+=，()()()()112222f f f f ì-+=ï\í-+=ïî，即141a c a c ì+=ïí+=ïî，得01a c ì=ïí=ïî， ()()321,'3f x x bx f x x b \=++=+，又()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，()()17'112f f -\=-，即531b b -+=-， 解得1b =，故选A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，以及函数的对称性的应用，属于难题. 函数的对称的性质：（1）若()()f x m f n x +=-，则()y f x =的图象关于2m nx +=对称；（2）若()()f x m f n x p ++-=，则()y f x =的图象关于,22m n p骣+琪琪桫对称. 12.已知抛物线2:4C y x =，斜率为k 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆22:(5)9E x y -+=相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，则弦长AB =A. 2B. 4C.【答案】C 【解析】 【分析】首先利用点差法求出02ky =，结合圆心和切点的连线与切线垂直可得03x =，通过切点在圆上求出切点坐标，进而可求出直线方程，联立直线与抛物线将韦达定理与弦长公式相结合可得弦长.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ， 则21122244y x y x ì=ïí=ïî，相减得()()()1212124y y y y x x +-=-，利用点差法可得02ky=，因为直线与圆相切，所以0015y x k=--，所以03x =，将0x代入圆的方程可得0y =? 不失一般性可取M点坐标为(，则k 故直线l的方程为)35y x -=-，即55y x =-联立24y x y xìï-ïíï=ïî，化简得242410x x -+=，所以126x x +=，1214x x =，由弦长公式得AB ==，故选C. 【点睛】本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，直线与抛物线的相交时弦长问题，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知随机变量2(1,)X N s ~，若(01)0.3P X <<=，则(2)P X >=__________． 【答案】0.2 【解析】 【分析】随机变量()21,X N s~，得到曲线关于1x =称，根据曲线的对称性得到200.501P X P X P X >=<=-<<（）（）（） ，根据概率的性质得到结果． 【详解】随机变量()21,X N s~，∴曲线关于1x =对称，∴200.5010.2P X P X P X >=<=-<<=（）（）（），故答案为0.2.【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题14.已知x ，y 满足约束条件220,220,20,x y x y x y ì-+?ïï--?íï+-?ïî则z x y =-的最大值为__________．【答案】2 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，分类代入目标函数求解.【详解】画出220,220,20,x y x y x y ì-+?ïï--?íï+-?ïî表示的可行域，如图，由220,20,x y x y ì--=ïïíï+-=ïî可得20x y ì=ïïíï=ïî， 将z x y =-变形为y x z =-， 平移直线y x z =-，由图可知当直y x z =-经过点()2,0时， 直线在y 轴上的截距z -最小，z 最大， 最大值为202z =-=，故答案为2.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，2n n S a l =-，其中l 为常数，若13n n a b n =-，则数列{}n b 中的项的最小值为__________． 【答案】1412- 【解析】由12a =求得2,l =再利用公式11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî求出()12132nn n n a b n 骣琪=?-琪桫，根据11n n n n b b b b +-ì£ïí£ïî求得1415n ＃从而可得结果.【详解】12,2n n a S a l ==-,1112S a a l \==-,222,2,22n n S a l l =-==-,①2n ³时，1122n n S a --=-，②②-①化为()122n n a a n -=?， 所以{}n a 是公比为2的等比数列，()11222,132nn nn n a b n -骣琪\=?=-?琪桫，由11n n n n b b b b +-ì£ïí£ïî，可得()()()()111113122211131422nn n n n n n n +-ì骣骣ï琪琪-矗-?琪琪ï镨íï骣骣ï琪琪-矗-?琪琪ï桫桫î，解得()()()21312141513214n n n n n ì-?ï蓿?í-?ïî，即{}n b 中的项的最小值为14151412b b ==-，故答案为1412-. 【点睛】本题主要考查递推关系求通项公式，以及等比数列的定义，数列的最小项，属于难题. 已知数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2n n n S n a S S n -ì=ï=í-?ïî，将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.16.已知六棱锥P ABCDEF -，底面ABCDEF 为正六边形，点P 在底面的射影为其中心.将该六棱锥沿六条侧棱剪开，使六个侧面和底面展开在同一平面上，若展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，则当正六边形ABCDEF 的边长变化时，所得六棱锥体积的最大值为__________．【解析】 【分析】设六边形的边长为()0x x >积表示为关于自变量x 的函数，利用导数判断函数的单调性得其最大值即可.【详解】如图所示，设六边形的边长为()0x x >，故2OG x =， 又∵展开后点P 在该平面上对应的六个点全部落在一个半径为5的圆上，∴5PG x =-，故PO =∴六棱锥的体积211632V x =创创=令()()4550f x x x =->，∴()()3432054f x x x -=¢=-，当x 骣琪Î琪桫时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增，当x ??桫时，()0f x ¢<，函数()f x 单调递减，故当x =()f x 取得最大值，即体积最大，体积最大值为3，故答案为3. 【点睛】本题考查六棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且211113a a a =?.（1）求使不等式0n a ³成立的最大自然数n ；（2）求数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前n 项和.【答案】（1）13；（2）62550nn-.【解析】 【分析】（1）由125a =，且211113a a a =?，列方程求出{}n a 的公差为d ，从而求出{}n a 的通项公式，然后列不等式求解即可；（2）由()()111227225n n a a n n +=-+-+ 1112227225n n 骣琪=--琪-+-+桫，利用裂项相消法可求得数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前n 项和. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d .由题意，可得()()21111012a da a d +=+，于是()12250d a d +=. 又125a =，0d ¹，所以2d =-.故227n a n =-+.由2270n -+?，可得13.5n £，所以满足题意的最大自然数n 为13. （2）因为()()111227225n n a a n n +=-+-+ 1112227225n n 骣琪=--琪-+-+桫. 故前n 项和为12231111n n a a a a a a ++++1111111225232321227225n n 轾骣骣骣犏琪琪琪=--+-++-琪琪琪犏-+-+桫桫桫臌111225225n 骣琪=--琪-+桫 1150504n =-+- 62550nn =-. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质及裂项法求前n 项和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n nk骣琪=-琪++桫；（2） 1k=； （3）()()1111212122121n n n n 骣琪=-琪-+-+桫；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n 轾犏-犏+++臌； 18.在ABC D 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2cos a C c AB b+=，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BC =3BD =.（1）求角B 的大小； （2）求ABC D 的面积. 【答案】（1）3B p =；（2-. 【解析】 【分析】（1）根据cos cos 2cos a C c AB b+=，利用正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，由两角和的正弦公式结合诱导公式可得即sin 2sin cos B B B =，从而得1cos 2B =，进而可得结果；（2）设AB x =，3(0,0)AC z x z =>>，在ABD D 中，在CBD D 中，在ABC D 中，结合 cos cos BDA BDC ?-?，利用余弦定理列方程组求得x =公式可得结果.【详解】（1）根据cos cos 2cos a C c AB b+=可得cos cos 2cos a C c A b B +=，∴sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，∴()sin 2sin cos A C B B +=，∴()sin 2sin cos B B B p -=， 即sin 2sin cos B B B =，∴1cos 2B =. 又∵0B p <<，∴3B p =. （2）设AB x =，3(0,0)AC z x z =>>.在ABD D 中，由余弦定理可得()2292cos 232z x BDAz+-?创.在CBD D 中，由余弦定理可得2912cos 23z BDC z+-?创.由于180BDA BDC ???，故cos cos BDA BDC ?-?，即()2229291223223z x z cz+-+-=-创创， 整理可得22360z x +-=.①在ABC D 中，由余弦定理可知22129x z +-=.代入①式整理可得2330x +-=.所以x =据此可知ABC D 的面积(12S B =? (32==-【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积的应用，属于中档题. 本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.19.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是菱形，60DAB ??，2EA ED AB ===，EF AC 且12EF AC =.（Ⅰ）求证：AD BE ^；（Ⅱ）若平面AED ^平面ABCD ，求平面BCF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；【解析】 【分析】（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接EM ，BM ，易得EM AD ^，接着通过证明BM AD ^来得到AD ^平面EMB ，进而可得结论；（Ⅱ）通过面面垂直可得EM ^平面ABCD ，进而可建立如图所示的坐标系，求出平面BCF 的法向量，结合平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，进而可求得最后结果.【详解】（Ⅰ）取AD 的中点M ，连接EM ，BM .∵EA ED =，∴EM AD ^. ∵底面ABCD 是菱形，60DAB ??，∴AB AD BD ==，∴BM AD ^，∵EM BMM ?，∴AD ^平面EMB .∵BE Ì平面EMB ，∴AD BE ^.（Ⅱ）∵EM AD ^，平面AED ^平面ABCD ，平面AED Ç平面ABCD AD =，∴EM ^平面ABCD .∴可以M 为原点，MA ，MB ，ME 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0M ，()1,0,0A ，()C -，(E ，()B .∴(ME =，()2,0,0BC =-，()AC =-，∴1322EF AC 骣琪==-琪桫，∴33,,22MF ME EF 骣琪=+=-琪桫，即3,22F 骣琪-琪桫，∴33,22BF 骣琪=--琪桫.设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z =，则330,2220,n BF x y n BC x ìï?--=ïíï?-=ïî令1z =，则()0,2,1n =.易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =. 设平面BCF 与平面ABCD 所成的锐二面角为q，∴cos 51m n m nq×===×´∴平面BCF 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为5. 【点睛】本题主要考查线线垂直的判定，核心内容为“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，空间向量在求二面角中的应用，即二面角的大小与平面的法向量所成角之间相等或互补，主要通过题意或图形确定最后结果，属于中档题.20.为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：（Ⅰ）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；（Ⅱ）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为X ，试求X 的分布列与数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意即可将列联表完成，通过计算2K 的值即可得最后结论；（Ⅱ）“学习成绩优秀”的有4人，“学习成绩一般”的有2人，X 的所有可能取值为1，2，3，计算出其概率得到分布列，计算出期望. 【详解】（Ⅰ）填表如下：由上表得()221001020403040605050K 创-?=创? 16.66710.828?.故有99.9%的把握认为学生的学习成绩与是否使用手机有关. （Ⅱ）由题意得，所抽取的6位不使用手机的学生中， “学习成绩优秀”的有406460?人，“学习成绩一般”的有206260?人.X 的所有可能取值为1，2，3.()124236411205C C P X C ====，()2142361232205C C P X C ====，()304236413205C C P X C ====.所以X 的分布列为：故数学期望为1311232555EX=???.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量的分布列及其期望，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为y x =截圆222:O x y a +=与椭圆E ，圆O 、椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为P ，A .（1）求椭圆E 的标准方程； （2）设点00(,)B x y （00y¹且01y 贡）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC 分别交x 轴于点M ，N ，证明：tan tan OPMONP ??.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据焦距为y x =截圆222:O x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）由（1）可知，点A 的坐标为()0,1，点P 的坐标为()0,2，由直线AB 的方程与直线AC 的方程令0y =，分别求得00,01x M y 骣琪琪-桫，00,01xN y 骣琪琪+桫，可证明24||OM ON OP ?=，即OM OP OPON=，从而可得结论.【详解】（1）根据题意可知c 223a b -=.因为直线y x=截椭圆E，2=，化简得224a b=.所以21b=，24a=.故椭圆E的标准方程为2214xy+=.（2）由（1）可知，点A的坐标为()0,1，点P的坐标为()0,2.直线AB的方程为011yy xx-=+，令0y=，得0,01xMy骣琪琪-桫.因为点B关于x轴的对称点为C，所以()00,C x y-.所以直线AC的方程为011yy xx+=-+.令0y=，得0,01xNy骣琪琪+桫.因为20002000111x x xOM ONy y y??-+-，而点()00,B x y在椭圆2214xy+=上，所以2214xy+=.即2241xy--，所以24||OM ON OP?=，即OM OPOP ON=，所以tan tanOPM ONP??.【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质、标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于难题. 本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x ya ba b+=>>或22221x yb a+=()0a b>>；③找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 22.已知函数()ln f x x x =，()1g x x =-. （Ⅰ）求函数()()()f x G xg x =的单调区间； （Ⅱ）设441()()()4H x f x ag x =-的极小值为()a j ，当0a >时，求证：114141()()04a a e e a j ---＃. 【答案】（Ⅰ）()G x 的单调递增区间为(0,1)和(1,)+?，无单调递减区间；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）对()G x 求导可得()()21ln 1x xG x x ---¢=，设()1l n h xx x =--，对()h x 求导，判断()h x的符号，进而可得()G x 的单调性；（Ⅱ）对()H x 进行求导，可得()H x 的极小值()4114a a a e j -=-，对()a j求导，易证()104a j j 骣琪?琪桫，在将114104aa e --?等价转化为()1ln 4104a a +-?，令()()1ln 414r a a a=+-，对其求导求其最值即可. 【详解】（Ⅰ）因为()ln 1x x G x x =-（0x >且1x ¹），所以()()21ln 1x xG x x ---¢=. 设()1ln h x x x =--，则()11h x x¢=-. 当1x >时，()110h x x=->¢，()h x 是增函数，()()10h x h >=，所以()()21ln 01x xG x x --=>-¢. 故()G x 在()1,¥上为增函数；当01x <<时，()110h x x=-<¢，()h x 是减函数，()()10h x h >=，所以()()21ln 01x xG x x --=>-¢，所以()G x 在()0,1上为增函数.故()G x 的单调递增区间为()0,1和()1,+?，无单调递减区间.（Ⅱ）由已知可得()()44ln 1H x x x a x =--，则()()34l n 14H x x x a=+-¢.令()0H x ¢=，得1ln 4x a =-，14a x e -=.当140,a x e -骣琪Î琪桫时，()0H x ¢<，()H x 为减函数； 当14,a x e -骣琪??琪桫时，()0H x ¢>，()H x 为增函数，所以()H x 的极小值()()414114a a a H e a e j--==-. 由()4110a a e j -¢=-=，得14a =.当10,4a 骣琪Î琪桫时，()0a j ¢>，()a j 为增函数； 当1,4a 骣琪??琪桫时，()0a j ¢<，()a j为减函数.所以()104a jj 骣琪?琪桫.而()1141414a a a e e j --骣琪--琪桫 11414141144a a a a e e e---骣琪=---琪桫11414a a e -=-. 下证：0a >时，114104aa e --?.()111144104ln 44a aa e a ea ---驰驰 ()111ln 41044a a a??-?. 令()()1ln 414r a a a =+-，则()22114144a r a a a a-=¢=-. 当10,4a 骣琪Î琪桫时，()0r a ¢<，()r a 为减函数； 当1,4a 骣琪??琪桫时，()0r a ¢>，()r a 为增函数.所以()104r a r 骣琪?琪桫，即()1ln 4104a a+-?. 所以114104aa e --?，即()11414104a aa e e j--骣琪--?琪桫.所以()1141414a a a e e j --骣琪?琪桫. 综上所述，要证的不等式成立.【点睛】本题主要考查了导数与单调性的关系，导数在证明不等式中的应用，解题的关键在于构造函数，属于难题.。

2019届广东省六校高三第三次联考理科数学含答案解析

2019届广东省六校高三第三次联考理科数学含答案解析

15. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花 纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为 R 的圆六等分， 分别以各等分点为圆心，以 R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现 在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白 线）的概率是______．
广东省六校 2018-2019 学年高三（下）第三次联考 数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 设集合 A={x|y=lg（1-x）}，B={y|y=2x}，则 A∩B=（ ）
A. (0, + ∞)
2
B. [−1,0)
C. (0,1)
D. (−∞,1)
2.
若复数 z=2i+1 + ������，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为（ ）
1 1
1
且
������(������ + ������) > ������(������)
������ = −2
1
且
12. 已知函数 f（x）=|xex+1|，关于 x 的方程 f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0 有四个不等实根，sinα-cosα≥λ 恒成立， 则实数 λ 的最大值为（ ）
������ ������ ������ + ������
数 x 的不足近似值和过剩近似值分别为������和 ������ （a，b，c，d∈N*），则 ������ + ������ 是 x 的更为精确的不足近似值或过剩
31 49 16
近似值．我们知道 π=3.14159…，若令10＜π＜15，则第一次用“调日法”后得 5 是 π 的更为精确的过剩近似值，

2019届 吉林省普通高中 高三第三次联合模拟数学(理)试题(解析版)

2019届 吉林省普通高中 高三第三次联合模拟数学(理)试题(解析版)

2019届吉林省普通高中高三第三次联合模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B【解析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q ，{B x x =<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 2．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23-B ．23C ．3D ．-3【答案】B【解析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23m =. 【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.3．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A ．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B ．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C ．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D ．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一 【答案】C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证. 【详解】根据图示数据可知选项A 正确；对于选项B ：1935.5238715720.9⨯=<，正确；对于选项C ：16635.31.523595.8⨯>，故C 不正确；对于选项D ：123595.878655720.93⨯≈>，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.4．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ） A ．256 B ．-256 C ．32 D ．-32【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果. 【详解】由1371352S a ==，74a =，得()()68822256a a +-=-=.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.5．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【解析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F F e PF PF ===--.选B. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式.6．函数4ln x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数奇偶性排除B ，C ；根据函数零点选A. 【详解】因为函数4ln x y x =为奇函数，排除B ，C ；又函数4ln x y x=的零点为1-和1，故选:A. 【点睛】本题考查函数奇偶性与函数零点，考查基本分析判断能力，属基础题.7．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B【解析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果.【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r的方向为x 轴，CA u u u r 的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r .故选：B. 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 8．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移8π个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()2)4f x x π=+B ．()cos(2)4f x x π=+ C ．()2)4f x x π=-D ．()cos(2)4f x x π=-【答案】A【解析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【详解】因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4k πϕπ=+，ϕ的最小值是4π.()0cos 14f A π==，则2A =，所以()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系.9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．282【答案】B【解析】将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()3436536246302642S ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+=. 故选B 项.【点睛】本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题10．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D【解析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12B ．3或13C ．4或14D ．5或15【答案】C【解析】先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出,AF BF . 【详解】设直线的倾斜角为θ，则222425cos cos 4p AB θθ===， 所以216cos 25θ=，2219tan 1cos 16θθ=-=，即3tan 4θ=±，所以直线l 的方程为314y x =±+.当直线l 的方程为314y x =+， 联立24314x yy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，解得11x =-和24x =，所以()40401AF BF -==--； 同理，当直线l 的方程为314y x =-+.14AF BF =，综上，4AF BF =或14.选C. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.12．已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范围是（ ）A ．16,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．741,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．74160,,e e e ⎡⎫⎛⎤⎪⎢ ⎥⎝⎦⎣⎭U D ．746,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】先求出()f x 的值域，再利用导数讨论函数()g x 在区间()0,e 上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范围即可. 【详解】因为()g x ax lnx =-，故()1ax g x x='-， 当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在区间()0,e 上单调递减； 当1a e≥时，()0g x '>，故()g x 在区间()0,e 上单调递增； 当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，令()0g x '=，解得1x a =，故()g x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在区间1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()11,1a g lna g e a e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，且当x 趋近于零时，()g x 趋近于正无穷； 对函数()f x ，当()0,x e ∈时，()11,54f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 根据题意，对(0,)x e ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==成立，只需()111,54g g e a ⎛⎫<≥ ⎪⎝⎭， 即可得111,154alna e+<-≥， 解得746,a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综合困难题.二、填空题13．在区间[6,2]-内任意取一个数0x ，则0x 恰好为非负数的概率是________. 【答案】14【解析】先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“0x 恰好为非负数”的概率. 【详解】当0x 是非负数时，[]00,2x ∈，区间长度是202-=， 又因为[]6,2-对应的区间长度是()268--=， 所以“0x 恰好为非负数”的概率是2184P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.14．已知实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数21z x y =+-的最小值为__________． 【答案】-4【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】作出实数x ，y 满足430260y x x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，，，对应的平面区域如图阴影所示；由z ＝x +2y ﹣1，得y 12=-x 122z++， 平移直线y 12=-x 122z ++，由图象可知当直线y 12=-x 122z ++经过点A 时，直线y 12=-x 122z ++的纵截距最小，此时z 最小．由430y xx y =⎧⎨--=⎩，得A （﹣1，﹣1），此时z 的最小值为z ＝﹣1﹣2﹣1＝﹣4， 故答案为﹣4．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题15．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种. 【答案】156【解析】先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数. 【详解】安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有11226542180C C C C =种，刘老师和王老师分配到一个班，共有11243224C C A =种，所以18024156-=种. 故答案为：156. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析.16．在四面体ABCD 中，ABD ∆与BDC ∆都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为_______． 【答案】2015π 【解析】先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积. 【详解】取BDC ∆的外心为1O ，设O 为球心，连接1OO ，则1OO ⊥平面BDC ，取BD 的中点M ，连接AM ，1O M ，过O 做OG AM ⊥于点G ，易知四边形1OO MG 为矩形，连接OA ，OC ，设OA R =，1OO MG h ==.连接MC ，则1O ，M ，C 三点共线，易知3MA MC ==，所以13OG MO ==，123CO =.在Rt AGO ∆和1Rt OO C ∆中，222GA GO OA +=，22211O C O O OC +=，即()22233h R ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，22223h R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以33h =，253R =，得153R =.所以342015==327O V R ππ球.【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且22sin ()3cos 0B C A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若,4B a π==，求边长c .【答案】（1）3π； （2【解析】（1）把B C A π+=-代入已知条件，得到关于cos A 的方程，得到cos A 的值，从而得到A 的值.（2）由（1）中得到的A 的值和已知条件，求出sin C ，再根据正弦定理求出边长c . 【详解】（1）因为A B C π++=，()22sin3cos 0B C A +-=，所以22sin 3cos 0A A -=，()221cos 3cos 0A A --=， 所以22cos 3cos 20A A +-=，即()()2cos 1cos 20A A -+=. 因为()cos 1,1A ∈-，所以1cos 2A =， 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1222=+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin c aC A=，=，解得c =.【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是边长为2的等边三角形，1BC BB ⊥，1CC =1AC =（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；（2）M ，N 分别是BC ，11B C 的中点，P 是线段1AC 上的动点，若二面角P MN C --的平面角的大小为30°，试确定点P 的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）P 为线段1AC 上靠近1C 点的四等分点，且坐标为3323,,444P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）先通过线面垂直的判定定理证明1CC ⊥平面ABC ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角P MN C --的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出P 的坐标从而位置可确定. 【详解】（1）证明：因为2AC =，12CC =，16AC =，所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.又因为1BC BB ⊥，11//BB CC ，所以1BC CC ⊥，AC BC C =I ，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥. 由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C . 以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =r，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.设1(01)AP t AC t =<<u u u r u u u u r，(,,)P x y z ，(,,AP x y z =-u u u r，1(1AC =-u u u u r ，代入上式得x t =-，y =，)z t =-，所以()P t --.设平面MNP 的一个法向量为()111,,n x y z =r，MN =u u u u r，()MP t =-u u u r，由00n MN n MP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v v u u u v v，得11110)0tx t z =-+-=⎪⎩.令1z t =，得,0,)n t =r.因为二面角P MN C --的平面角的大小为30︒，所以||||m n m n ⋅=u r ru r r=，解得3t 4=. 所以点P 为线段1AC 上靠近1C点的四等分点，且坐标为3,44P ⎛- ⎝⎭.【点睛】本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析.19．一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的*()n n N ∈个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．（1）当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n =时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516； （2）见解析.【解析】（1）将有3个坑需要补种表示成n 的函数，考查函数随n 的变化情况，即可得到n 为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n ＝4时，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】（1）对一个坑而言，要补播种的概率330133111222P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有3个坑要补播种的概率为312nnC ⎛⎫ ⎪⎝⎭.欲使312nn C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1331133111221122n n n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩， 解得56n ≤≤，因为*n N ∈，所以5,6,n =当5n =时，53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当6n =时，63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 所以当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516. （2）由已知，X 的可能取值为0，1，2，3，4.14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为X 的数学期望1422EX =⨯=. 【点睛】本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题．20．已知△ABC 的两个顶点A ,B 的坐标分别为(,0),圆E 是△ABC 的内切圆,在边AC ,BC ,AB 上的切点分别为P ,Q ,R ,|CP |=2,动点C 的轨迹为曲线G . （1）求曲线G 的方程;（2）设直线l 与曲线G 交于M ,N 两点,点D 在曲线G 上,O 是坐标原点OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,判断四边形OMDN 的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.【答案】（1）22142x y +=()0y ≠.（2）四边形OMDN 的面积是定值,.【解析】（1）根据三角形内切圆的性质证得4CA CB AB +=>，由此判断出C 点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线G 的方程.（2）将直线l 的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形OMDN 的面积，两种情况下四边形OMDN，由此证得四边形OMDN 的面积为定值. 【详解】（1）因为圆E 为△ABC 的内切圆,所以|CA |+|CB |=|CP |+|CQ |+|PA |+|QB |=2|CP |+|AR |+|BR |=2|CP |+|AB |=4>|AB |所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆（点C 不在x 轴上）, 所以c =a =2,b =所以曲线G 的方程为22142x y +=()0y ≠,（2）因为OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，故四边形OMDN 为平行四边形. 当直线l 的斜率不存在时，则四边形OMDN 为为菱形， 故直线MN 的方程为x =﹣1或x =1, 此时可求得四边形OMDN. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 方程是y =kx +m ,代入到22142x y +=,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣4=0,∴x 1+x 22412km k -=+,x 1x 2222412m k-=+,△=8(4k 2+2﹣m 2)>0, ∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m 2212m k =+,|MN|212k=+点O 到直线MN 的距离d =由OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r,得x D 2412kmk -=+,y D2212m k =+， ∵点D 在曲线C 上,所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+2k 2=2m 2,由题意四边形OMDN为平行四边形, ∴OMDN的面积为S==,由1+2k2=2m2得S=故四边形OMDN的面积是定值,.【点睛】本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题.21．已知函数()ln()(0)x af x e x a a-=-+>.（1）证明：函数()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12【解析】（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点x，判断出()f x的单调性，从而()minf x可确定，利用()min1f x=以及1lny xx=-的单调性，可确定出,x a之间的关系，从而a的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x af x e x a a-=-+>，∴1()x af x ex a-'=-+.∵x ae-在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减，∴函数()f x'在(0,)+∞上单调递增.又1(0)aaaa ef ea ae--'=-=，令()(0)ag a a e a=->，()10ag a e'=-<，则()g a在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g<=-，故(0)0f'<.令1m a=+，则1()(1)021f m f a ea''=+=->+所以函数()f x'在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x aex a-=+（）. 函数1()x af x ex a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x ex a -==-+.由（）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B两点，若11||||4MA MB +=，求sin α的值.【答案】（1）22(2)(2)8x y -++=，以(2,2)-为圆心，（2）sin 4α=【解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C 的直角坐标方程并判断形状；（2）联立直线参数方程与2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中t的几何意义结合11||||4MA MB +=求解出sin α的值. 【详解】解：（1）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，22(2)(2)8x y -++=. 所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，整理得24cos 40t t α--=.设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ， 则124cos t t α+=，124t t =-.12121211||||||||||||444t t t t MA MB MA MB MA MB t t +-++======， 解得21cos16α=，则sin α==. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t 的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ραρθ==；（2）若要使用直线参数方程中t 的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t 的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解. 23．已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）8{|2}3x x x ≤≥或； （2）13(2,]5. 【解析】（1）分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到a 的取值范围，判断x a +，4x +为正，去掉绝对值，转化为254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立,得到4a ≤，4254a x a -≤-≤-，在[],22x a a ∈-恒成立，从而得到a 的取值范围. 【详解】（1）当2a =时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即223x x <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，2x <-或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，22x -≤≤ 或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即5283x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，83x ≥ 综上：2x ≤或83x ≥， 所以不等式()5f x ≥的解集为8{|2}3x x x 或≤≥. （2）()4f x x ≤+，()254f x x a x x =++-≤+， 因为[],22x a a ∈-，22a a ->， 所以2a >，又[],22x a a ∈-，0x a +>，40x +>， 得254x a x x ++-≤+.不等式恒成立，即254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立， 不等式恒成立必须4a ≤，4254a x a -≤-≤-， 解得129a x a +≤≤-. 所以21449a a a a ≥+⎧⎨-≤-⎩，解得1315a ≤≤， 结合24a <≤， 所以1325a <≤， 即a 的取值范围为132,5⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.。

四川省凉山州2019届高三第三次诊断性检测数学(理)试题

四川省凉山州2019届高三第三次诊断性检测数学(理)试题

凉山州2019届高中毕业班第三次诊断性检测数 学（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分..）1. 集合{}|11A x x =-≤，集合{}|210B x x =->，则A B =I （ ） A. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦D. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭2. 已知i 是虚数单位，若1i i z +=⋅，则复数z =（ ） A. 1i +B. 1i -C.1122i + D.1122i - 3. 从集合{}1,2,3,4,5中随机抽取一个数m ，从集合{}1,3,5中随机抽取一个数n ，则使得6m n +=的概率为（ ） A.15B.13C.23D.454. 命题p ：6πθ=是1sin 2θ=的充分不必要条件；命题q ：1x >是11x<的充要条件，则以下为真命题的是（ ） A. p q ∧B. ()p q ∧⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D. ()p q ⌝∧5. 已知随机变量ξ，且()2,N ξμσ:，若()()3135P P ξξ-<<-=<<，则μ=（ ） A. 4B. 2C. 1D. 06. 已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ） A. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和； B. 求首项为1，公比为2的等比数列的前2019项的和； C. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和； D. 求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和.7. 如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ） A.)432π+ B.)431π+C. )832π+ D.)831π+8. 数列{}n a 为各项都正的等比数列，11a =，37S =.若33123...4n a a a a ⋅⋅⋅⋅=，则n =（ ）A. 10B. 11C. 12D. 139. 函数()sin 2f x x =和()g x 图象的部分，如图所示.()g x 的图象由()f x 的图象平移而来，C ，D 分别在()g x 、()f x 图象上，ABCD 是矩形，,012A π⎛⎫⎪⎝⎭，3,04B π⎛⎫⎪⎝⎭，则()g x 的表达式是（ ） A. ()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. ()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()726cos g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. ()cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10. 若函数()231x x x f +=-，()3ln 2g x x x=+，在平面直角坐标系xOy 中，直线20ax y a -+-=与()f x 的图象交于A ，B 两点，点C 在函数()g x 的图象上，则()OC OA OB ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 4B. 8C. 84ln3+D. 1011. 直线l 与抛物线：24y x =交于A ，B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 的斜率之积为-1，以线段AB为半径的圆与直线l 交于P ，Q 两点，则22OP OQ +的最小值为（ ） A. 16B. 20C. 32D. 3612. 设函数()2ln f x x a x =-，数列{}n a 满足()n a f n =，1,2,n =⋅⋅⋅，且n N +∀∈，4n a a ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()6,8B. 2,82ln 2ln 3⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C. 28,ln 52ln 2⎛⎤ ⎥-⎝⎦D. 22,2ln 2ln 3ln 52ln 2⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 求值：)212lg 2lg 2512-⎛⎫+++= ⎪⎝⎭______.14. 设22cos a xdx ππ-=⎰，则61ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是______.（用数字作答）15. 点M 是ABC ∆内部或边界上的点，若M 到ABC ∆三个顶点距离之和最小，则称点M 是ABC ∆的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若()0,2A ，()1,0B -，()1,0C 时，点0M 是ABC ∆的费马点，且已知0M 在y 轴上，则000AM BM CM ++的大小等于______. 16. 已知数列{}n a 满足()*0n a n N >∈，现有如下命题：①若*n N ∀∈，212n n n a a a ++=⋅成立，则数列{}n a 为等比数列： ②若*n N ∀∈，224n n n a a a ++=⋅成立，则数列{}n a 为等比数列；③若*n N ∀∈，123n n n n a a a a +++⋅=⋅成立，则数列{}n a 为等比数列；④若*n N ∀∈，123n n n n a a a a +++⋅=⋅成立，若存在正数λ，使得数列{}212n n a a λ-+为等比数列，则数列{}n a 为等比数列.其中的真命题有______（写出所有真命题的序号）.三、解答题（解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤.共70分）17. 为了增强消防意识，某部门从男职工中随机抽取了50人，从女职工中随机抽取了40人参加消防知识测试，按优秀程度制作了如下22⨯列联表：（1）完成22⨯列联表，并判断是否有99.9%的把握认为消防知识是否优秀与性别有关；（2）为参加市里举办的消防知识竞赛，该部门举行了预选赛，已知在消防知识测试中优秀的职工通过预选赛的概率为23，现从消防知识测试中优秀的职工中选3人参加预选赛，设随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒.PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M 、N 分别为PC ，PB 的中点.（1）求证：PB DM ⊥；（2）求二面角A MD C --的正弦值.19. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a 、b 、c ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若a b c >>，则S =（1）已知ABC ∆的三边a ，b ，c ，且a b c >>，求证：ABC ∆的面积S =（2）若a =()()1tan 1tan 2B C ++=，求ABC ∆的面积S 的最大值.20. 设椭圆E ：()22101x y a a a+=>+的右焦点为F ，上顶点为M ；CD 是过点F 且垂直于x 轴的椭圆E 的弦，3CD =.（1）求椭圆E 的方程；（2）圆F 的半径为1，直线l 过点M 与圆F 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若1OA OB ⋅=，求直线l 的方程.21. 设函数()()1ln 0xf x x x+=>，()g x ax =，a R ∈. （1）若1m >-，且()1ln xf x x+=在区间()1,2m m ++上不是单调函数，求m 的取值范围；（2）若对12121,,0x x x x e∀<<≤，有()()()()12122f x f x g x g x -≥-恒成立，求a 的取值范围；（3）设()()()H x xf x g x =-，且集合(){}|0M x H x =>中有且只有三个整数，求a 的取值范围.请考生在第22、23两题中选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l ()cos 4t t R πθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭. （1）若1t =，分别求出曲线C 和直线l 的直角坐标方程； （2）令1t =-，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.23. [选修4-5：不等式选讲] 已知函数()123f x x x =---. （1）求不等式()0f x ≥的解集M ；（2）若x M ∈，函数()221g x x ax =-+的图象恒在x 轴上方，求a 的取值范围.凉山州2019届高中毕业班第三次诊断性检测数学（理科）参考答案评分说明：1. 本解法给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变试题的内容及难度可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数，选择题填空题不给中间分. 一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：CBABC6-10：CACCB11-12：DD二、填空题（每小题5分，共20分）13. 7 14. -160 15. 2 16. ① 三、解答题（共70分） 17. 解：（1）()22903525151515219.50610.82850405040160K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，∴没有99.9%把握认为是否优秀与性别有关. （2）X 的可能取值是0，1，2，3，()3110327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2132121339P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()21232142339P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33321833327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为()323E X =⨯=. 18.（l ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，∴AD PA ⊥，又90BAD ∠=︒，∴AD AB ⊥，PA AB A =I ，,PA AB ⊂面PAB ，∴AD ⊥面PAB ，PB ⊂面PAB ，∴AD PB ⊥.又PAB ∆中，AP AB =，N 为PB 的中点，∴AN PB ⊥，AN AD A =I ，,AN AD ⊂面AND ，∴PB ⊥面AND ，又N ，M 分别为PB ，PC 的中点，∴//MN BC ，//BC AD ，∴//MN AD ，N ∈面AND ， ∴M ∈面AND ，则MN ⊂面AND ，∴PB DM ⊥.（2）由（1）可知PA ，AB ，AD 两两垂直，以为原点，AB ，AD ，AP 所在的方向为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设22PA AD AB BC ====，则()0,0,0A ，()0,0,2P ，()2,1,0C ，()0,2,0D ，M 为PC 中点，则11,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭.设面AMD 的法向量为()111,,m x y z =u r， ()0,0,2AD =u u u r ，11,,12AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，0AD m AM m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u ur u r ，∴111120102y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令11x =，则11z =-，∴()1,0,1m =-u r ， 设面CMD 的法向量为()222,,n x y z =r， ()2,1,0DC =-u u u r ，31,,12DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，0DC n DM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u ur r ，∴2222220302x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令21x =，则22y =，22z =，∴()1,2,2m =u r ， （本小问法向量正确一个给2分，两个都正确给3分）c ,s o m n ==u r r ，设二面角A MD C --的夹角为θ，则sin θ==19.（1）证明一：在三角形ABC 中，∵()0,B π∈且a b c >>，=11sin 22ac B S ===. 证明二：在三角形ABC 中，∵()0,B π∈且a b c >>，11s sin 22ac B ==== （2）由()()1tan 1tan 2B C ++=得tan tan 1tan tan B C B C +=-， ∵B C π+<，∴tan tan 0B C +≠，∴tan tan 1B C ≠，即tan tan 11tan tan B CB C+=-，又()tan tan B C A +=-，∴tan 1A =-，∵0A π<<，∴34A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即(2282b c bc =+≥，∴8bc ≤=-b c =时等号成立.∴max 1sin 82244S bc A ∆==≤-=. 20. 解：（1）由题意可知，3CD ==，解之得3a =， 所以椭圆的方程为22143x y +=.（2）(M ，圆的方程为()2211x y -+=，由题意可知l 的斜率显然存在，所以设l 的方程为y kx =+()()221230k x x ++-+=，()()2221210k ∆=--+>解得k < 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12231x x k =+， 由1OA OB =，所以221OA OB =，即()()222211221x y xy ++=①，又A 、B 在圆上，所以221112y x x =-，222222y x x =-②，将②代入①得1214x x =，即23114k =+，k =k =舍去），0y +=. 21. 解：（1）()()1ln 0x f x x x +=>，()2ln 'xf x x-=， 令()ln '100x x f x ⇒-=⇒==，()0,1x ∈，()'0f x >；()1,x ∈+∞，()'0f x <， 故()f x 在()0,1上递增；在()1,+∞上递减. 由()f x 在区间()1,2m m ++上不单调()111,2112m m m m m >-⎧⇔∈++⇒⎨+<<+⎩，∴()1,0m ∈-. （2）解一：由（1）知：()f x 在()0,1上递增，则()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()()12f x f x <，12121,,0x x x x e∀<<≤，()()()()12122f x f x g x g x -≥- 12121,,0x x x x e ⇔∀<<≤，()()()21212f x f x a x x -≥- 12121,,0x x x x e⇔∀<<≤，()()221122f x a x f x a x -≥-， 设()()2h x f x a x =-，故()h x 在10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增10,x e ⎛⎤⇔∀∈ ⎥⎝⎦，()2ln '20xh x a x-=-≥恒成立10,x e ⎛⎤⇔∀∈ ⎥⎝⎦，2ln 2x a x ≤-恒成立10,x e ⎛⎤⇔∀∈ ⎥⎝⎦，2min ln 2x a x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭， 令()2ln x t x x =-，10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()31'2ln 0x t x x -=<，故()f x 在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减， ∴()2min 1t x t e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故2222,22e e a e a ⎡⎤≤⇒∈-⎢⎥⎣⎦，又0a ≠， 即22,00,22e e a ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦U . 解二：由（1）知：()f x 在()0,1上递增，则()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()()12f x f x <， 12121,,0x x x x e∀<<≤，()()()()12122f x f x g x g x -≥- 12121,,0x x x x e ⇔∀<<≤，()()()21212f x f x a x x -≥-由拉格朗日中值定理可知 10,e ξ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()()()2121'f x f x f x x ξ-=-，∴()2'a f x ≤恒成立，有()2ln 'x f x x =-与解法一相同. （3）()()1ln 0H x x ax x =+->，由()()1ln 0x H x a a f x x+>⇒<⇒<， 由（1）知：故()f x 在()0,1上递增；在()1,+∞上递减.由题意知：()()1ln 3312ln 2344a f a a f a <⎧⎪+⎨≥⎧<⎪⎪⇒⎨+⎩≥⎪⎪⎪⎩， 故12ln 21ln 3,43a ++⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 22. 解：（1）由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴cos sin y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩2212x y +=， 又1t =cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos sin 1ρθρθ-=，∴10x y --=，∴曲线C 的直角坐标系方程为2212x y +=，直线l 的直角坐标系方程10x y --=. （2）1t =-时，直线l 的直角坐标系方程10x y --=.设曲线C上的点为),sin θθ，曲线C 上的点到直线l 的距离为d ==max d ==曲线C 上的点到直线l的最大距离为2. 23. 解：（1）()0f x ≥即1230x x ---≥，即11230x x x <⎧⎨-+-≥⎩或3121230x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-+-≥⎩或321230x x x ⎧>⎪⎨⎪--+≥⎩， 解之得4332x ≤≤或322x <≤，∴423x ≤≤， ∴不等式的解集423M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭. （解二：移项两边平方直接求解）（2）解一：()221g x x ax =-+的对称轴为x a =，x M ∈，()g x 的图象在轴的上方等价于 43403a g ⎧<⎪⎪⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()4230a g a ⎧≤≤⎪⎨⎪>⎩或()220a g >⎧⎨>⎩，解之得：2524a <， ∴a 的取值范围为25,24⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 解二：()221g x x ax =-+的对称轴为x a =，x M ∈，()g x 的图象在轴的上方等价 12a x x ⇔<+，4,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立25212a ⇔<，∴2524a <， ∴a 的取值范围为25,24⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.。

2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅱ卷)数学(理)学试题(解析版)

2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅱ卷)数学(理)学试题(解析版)

2019届2019年5月高三第三次全国大联考（新课标Ⅱ卷）数学（理）学试题一、单选题1．已知集合{|20}A x x =-≤，2{|log 2}B x x =<，则A B ⋂= A ．]2,0( B ．(,2]-∞C ．)2,0(D ．)4,(-∞【答案】A【解析】解一元一次不等式以及对数不等式得到集合A 和B ，结合交集的定义计算即可. 【详解】由题可得集合(,2]A =-∞，(0,4)B =，所以]2,0(=B A ，故选A ． 【点睛】本题主要考查了不等式的解法以及交集的运算，需注意对数函数的定义域，属于基础题. 2．已知i 为虚数单位，若复数z 在复平面内对应的点的坐标为)1,2(-，则复数(13i)z -的虚部为 A ．7 B ．7i -C ．1-D ．7-【答案】D【解析】根据复数的几何意义得到2z i =-，计算出(13i)z -结合虚部的概念即可得结果. 【详解】由题可得复数2z i =-，所以(13i)(2i)(13i)17i z -=--=--， 所以复数(13i)z -的虚部为7-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，复数乘法的运算以及复数的分类，属于基础题. 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．12B ．3C ．π5D ．3【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是底面半径为2的圆锥的14，由椎体体积公式即可得结果. 【详解】由三视图可知该几何体是底面半径为214，故该几何体的体积14V =⨯21233π⨯=，故选B ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的结构特征及相关几何量的数据是解题的关键，属于中档题.4．已知324ππα<<，若sin()4πα+=，则sin(2)4πα-=A ．B ．C ．102 D 【答案】C【解析】将sin()45πα+=展开，两边同时平方可得sin2α，根据α的范围cos2α，最后利用两角差的正弦公式即可得结果. 【详解】因为sin()4πα+=，所以sin cos αα+=，两边同时平方可得212sin cos 5αα+=，所以3sin 25α=-，因为324ππα<<，所以322αππ<<，所以4cos 25α=-，所以sin 24πα⎛⎫-=⎪⎝⎭2cos 2)210αα-=，故选C ． 【点睛】本题主要考查了两角和与差公式、三角恒等式在求值中的应用，首先得到sin2α的值是解题的关键，属于中档题.5．已知x ，y 满足约束条件1010240x y x y x y ++≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，若使z ax y =-取得最小值的最优解有无穷多个，则实数=a A ．1- B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，z ax y =-可化为y ax z =-，由z ax y =-取得最小值的最优解有无穷多个可得y ax z =-的斜率与直线AB 的斜率相等，即可得a 的值. 【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，z ax y =-可化为y ax z =-，要使z ax y =-取得最小值，只需直线y ax z =-在y 轴上的截距最大，又z ax y =-取得最小值的最优解有无穷多个，所以直线y ax z =-的斜率与直线AB 的斜率相等，因为直线AB 的斜率为12，所以21=a ，故选B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z 的几何意义是解决本题的关键，属于中档题.6．在边长为2的正方形OABC 中，点D 为线段BC 的中点，点M 在线段OD 上，则MA MB ⋅的最大值为A1 BC ．4D ．5【答案】C【解析】设线段AB 的中点为N ，连接MN ，根据221[()()]4MA MB MA MB MA MB ⋅=+--=2221[(2)]14MN BA MN -=-即可得结果. 【详解】设线段AB 的中点为N ， 连接MN ，则221[()()]4MA MB MA MB MA MB ⋅=+--=2221[(2)]14MN BA MN -=-，易得22max ()5MN ON ==，所以MA MB ⋅的最大值为4，故选C ． 【点睛】本题主要考查了向量数量积最值的求法，得到21MA MB MN ⋅=-是解题的关键，属于中档题.7．执行如图所示的程序框图，则输出的T 的值为A ．12020B ．12019C ．20182019D ．20192020【答案】B【解析】模拟程序的运行过程，寻找其规律第2018次循环：20182019N =，12019T =，2019i =，此时2019i <不成立，结束循环，可得结果.【详解】初始值：1T =，1i =，第1次循环：12N =，12T =，i 2=； 第2次循环：23N =，13T =，3i =；…； 第2017次循环：20172018N =，12018T =，2018i =；第2018次循环：20182019N =，12019T =，2019i =，此时2019i <不成立，结束循环，输出12019T =，故选B ．【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法，属于基础题.8．已知点P 位于第一象限，双曲线22:14x C y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，记直线1PA ，2PA 的斜率分别为1k ，2k ，若点P 在双曲线C 上，则1211k k +的取值范围为 A ．[1,)+∞ B ．[1,4]C ．[4,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】设),(00y x P 且2214x y =-，根据两点间斜率计算公式得1214k k =，结合基本不等式得121k k +>，根据12121211k k k k k k ++=即可得结果.【详解】由题可得1(2,0)A -，2(2,0)A ，设),(00y x P ，因为点P 在双曲线C 上，所以22014x y =-，且02x >，00y >，则01002y k x =>+，2k =0002y x >-， 所以01202y k k x =⋅+2002001244y y x x ==--，所以1221k k +≥==，当且仅当1212k k ==时取等号，因为12k k ≠，所以121k k +>，所以12121212114()4k k k k k k k k ++==+>， 故1211k k +的取值范围为(4,)+∞，故选D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线上点的特征，整体代换思想的应用，基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.9．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++--=，(2)(2)0f x f x +--=．当(0,2]x ∈时，()3x f x =，则(2018)(2019)f f -+=A ．6-B ．3-C ．3D ．12【答案】A【解析】由(1)(1)0f x f x ++--=得()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，由(2)(2)0f x f x +--=得函数()f x 的周期为8，结合(0,2]x ∈时，()3x f x =即可得结果. 【详解】令1t x =+，由(1)(1)0f x f x ++--=可得()()f t f t =--， 所以函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =． 由(2)(2)0f x f x +--=可得)2()2(x f x f -=+， 所以(4)f x +=()()f x f x -=-，所以(8)()f x f x +=，故函数()f x 的周期为8，所以(2018)(25282)f f -=-⨯-=(2)(2)9f f -=-=-，(2019)(25283)(3)(1)3f f f f =⨯+===，所以(2018)(2019)6f f -+=-，故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性在求值中的应用，得到周期性与奇偶性是解题的关键，属于中档题.10．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<满足下列两个条件：①函数()12y f x π=-是奇函数；②12max |()()|2f x f x -=，且12min (||)3x x π-=．若函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，则实数t 的最小值为 A ．4π B ．3πC ．512πD ．712π【答案】C【解析】由②可得1A =，周期23T π=，从而3ω=，根据函数()12y f x π=-是奇函数结合ϕ的范围可得4πϕ=，进而()sin(3)4f x x π=+，由x 的范围求出34x π+的范围，根据()f x 存在最小值列出不等式3342t ππ+≥，解出即可.【详解】由12max |()()|2f x f x -=可得1A =， 由12min (||)3x x π-=可得23T π=（其中T 为函数()f x 的最小正周期）， 所以223T ππω==，解得3ω=，所以()sin(3)f x x ϕ=+，所以()12y f x π=-=sin(3)4x ϕπ+-，因为函数()12y f x π=-是奇函数，所以()4k k ϕπ-=π∈Z ，即()4k k ϕπ=π+∈Z ， 因为02πϕ<<，所以4πϕ=，所以()sin(3)4f x x π=+，当4x t π-<≤时，33244x t πππ-<+≤+，因为函数()f x 在(,]4t π-上存在最小值，所以3342t ππ+≥，即512t π≥，故实数t 的最小值为512π．故选C ．【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求法，通过三角函数的图象研究其性质，熟练掌握图象是解题的关键，属于中档题.11．如图，在矩形ABCD 中，22AD AB ==，E 是AD 的中点，将ABE △，CDE △分别沿BE ，CE 折起，使得平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，则所得几何体ABC DE 的外接球的表面积为A ．332πB ．8πC ．4πD ．π34【答案】C【解析】设BE ，EC ，BC 的中点分别为M ，N ，O ，通过平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，易得⊥OM 平面ABE ，⊥ON 平面DEC ，从而1OA OB OC OD OE =====，即外接球的球心为O ，可得半径，进而可得表面积.【详解】由题可得ABE △，CDE △，BEC △均为等腰直角三角形，如图，设BE ，EC ，BC 的中点分别为M ，N ，O ，连接AM ，OM ，AO ，DN ，NO ，DO ，OE ，则OM BE ⊥，ON CE ⊥． 因为平面ABE ⊥平面BCE ，平面CDE ⊥平面BCE ，所以⊥OM 平面ABE ，⊥ON 平面DEC ，易得1OA OB OC OD OE =====， 则几何体ABCDE 的外接球的球心为O ，半径1=R ，所以几何体ABCDE 的外接球的表面积为ππ442==R S ．故选C ．【点睛】本题主要考查了求几何体外接球的表面积，找到球心的位置是解题的关键，属于中档题.12．已知函数2(2),1()(1),1x x f x f x x ⎧+<-=⎨-≥-⎩，若函数()()log ||(0a g x f x x a =->且1)a ≠有6个零点，则a 的取值范围为 A ．(3,4] B ．[3,4)C ．(4,5]D ．[4,5)【答案】A【解析】令||log )(x x h a =，由题意可得函数()f x 的图象与函数()h x 的图象有6个交点，作出函数图象，易知1a >，当0x <时，由3个交点，当0x >时，根据临界位置列出不等式组(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解出即可.【详解】令||log )(x x h a =，因为函数()()log ||(0a g x f x x a =->且1)a ≠有6个零点， 所以函数()f x 的图象与函数()h x 的图象有6个交点，作出函数()f x 与函数()h x 的大致图象，如下图所示:易知1a >，显然当0x <时，函数()f x 与函数()h x 的图象有3个交点，所以当0x >时，函数()f x 与函数()h x 的图象有3个交点，所以(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，即log 31log 41a a<⎧⎨≥⎩，解得43≤<a ，故a 的取值范围为(3,4]，故选A ．【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数，转化为函数图象交点的个数，作出函数的图象是解题的关键，属于中档题.二、填空题13．已知91(2)x ax -的展开式中x 项的系数为634，则实数a =________________． 【答案】4.【解析】根据二项式定理写出通项99291C 2(1)r r r rr rT x a--+⨯⨯-=，令921r -=,列方程求解即可. 【详解】91(2)x ax -的展开式的通项为9992919C 2(1)1C (2)()rr r r rr r r rT x x ax a ---+⨯⨯-=-=，921r -=，解出r ，结合常数项的值即可得a 的值.令921r -=，可得4r =，所以494494C 2(1)634a -⨯⨯-=，解得4a =，故答案为4. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，写出通项是解题的关键，属于中档题.14．在V ABC 中，已知3AB =，2=BC ，若1cos()2C A -=，则sin B =________________．【答案】1435. 【解析】在线段AB 上取点D ，使得AD CD =，设AD x =，则3BD x =-，易得1cos 2BCD ∠=，由余弦定理可得54x =，在BCD △中，由正弦定理即可得结果.【详解】在线段AB 上取点D ，使得AD CD =，设AD x =，则3BD x =-， 因为cos()C A -=12，即1cos 2BCD ∠=，所以在BCD △中，由余弦定理可得221(3)442x x x -=+-⨯，解得54x =，在BCD △中，由正弦定理可得sin sin CD BDB BCD=∠，因为54CD =，734BD x =-=，sin BCD ∠=，所以sin B =故答案为1435 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，通过辅助线将1cos()2C A -=转化是解题的关键，属于中档题.15．已知曲线ln(23)()3x f x x-=+在点(2,(2))f 处的切线为l ，抛物线2:)0(C ax a y ≠=的焦点为F ，若切线l 经过点F ，且与抛物线C 交于M ，N 两点，则||MN =________________． 【答案】8.【解析】对函数进行求导求出曲线的切线方程为1y x =+，进而可得焦点坐标，所以抛物线C 的方程为24x y =，将抛物线与直线方程联立结合韦达定理可得12||2MN y y =++的值.【详解】 由题可得22(23)ln(23)()(23)x x x f x x x ---'=-，所以(2)1f '=，又(2)3f =，所以切线l 的方程为32y x -=-，即1y x =+，则(0,1)F ．将2(0)y ax a =≠化为标准方程即21x y a =，所以114a =，解得14a =， 所以抛物线C 的方程为24x y =．由214y x x y =+⎧⎨=⎩，消去x 可得2610y y -+=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则126y y +=， 所以12||2628MN y y =++=+=，故答案为8. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，直线与抛物线相交时弦长问题，属于中档题.16．已知P 在圆22:()(4)1C x a y a -+-+=上，点P 关于y 轴的对称点为A ，点P 关于y x =的对称点为B ，则||AB 的最小值为________________． 【答案】33-=-.【解析】设出P 的坐标为(,)x y ，根据对称性得,A B 坐标，根据两点间距离公式可得||AB OP =，判断点O 在圆C 外，由||||1OP OC r ≥-≥即可得结果.【详解】因为圆C 的方程为22()(4)1x a y a -+-+=，所以(,4)C a a -，半径1=r ． 设点P 的坐标为(,)x y ，则由题可得(,)A x y -，(,)B y x ，所以||AB===|OP（O为坐标原点），又||OC==≥2a=时取等号），所以点O在圆C外，所以||||1OP OC r≥-≥（当且仅当2a=，O，P，C三点共线时取等号），所以||4AB≥-||AB的最小值为33-=-，故答案为33-=-.【点睛】本题主要考查了对称关系以及两点间的距离，圆上一动点到圆外一点距离的最值问题，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a的前n项和为n S，11a=，11(2)n na S n-=+≥．（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）设221logn nb a+=，求数列11{}nn nab b++的前n项和nT．【答案】（Ⅰ）12nna-=；（Ⅱ）34244nnnTn+=-+.【解析】（Ⅰ）由已知等式可得11n na S+=+，两式相减可得12(2)n na a n+=≥，再验证1n=时的情形即可得结果；（Ⅱ）结合（Ⅰ）可得2nb n=，利用裂项相消法即可得结果.【详解】（Ⅰ）由11(2)n na S n-=+≥可得11n na S+=+，上述两式相减可得1n n na a a+-=，即12(2)n na a n+=≥，因为11a=，所以2112a S=+=，所以21221aa==，所以*12()nna a n N+=∈，所以数列{}n a是首项为1，公比为2的等比数列，所以12nna-=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得12nna-=，221log2n nb a n+==，所以111111()2(22)41n nb b n n n n+==-++，所以12111111134()21241223144n n n n T n n n -+=+⨯-+-++-=--++． 【点睛】本题主要考查了等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n b a c +=，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11+=n n a n ，错位相减法类似于n n n b a c ⋅=，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.18．某种工程车随着使用年限的增加，每年的维修费用也相应增加．根据相关资料可知该种工程车自购入使用之日起，前5年中每年的维修费用如下表所示：（Ⅰ）从这5年中随机抽取2年，求至少有1年维修费用高于2万元的概率； （Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅲ）由于成本因素，若年维修费用高于6万元，则该种工程车需强制报废，根据（Ⅱ）中求得的线性回归方程，预测该种工程车最多可以使用多少年？参考公式：1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，x b y aˆˆ-=． 【答案】（Ⅰ）CF BC ⊥；（Ⅱ）ˆ0.430.71y x =+；（Ⅲ）12年.【解析】（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式可得11232225C C C C P +=；（Ⅱ）将表中数据与公式相结合可得ˆ0.430.71y x =+；（Ⅲ）令0.430.716x +≤，可得结果.【详解】（Ⅰ）由题可得第4年与第5年的维修费用高于2万元，则至少有1年维修费用高于2万元的概率11232225C C C 7C 10P +==． （Ⅱ）由题可得1(12345)35x =⨯++++=，1(1.1 1.62 2.5 2.8)25y =⨯++++=，511 1.12 1.6324 2.55 2.834.3i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，521149162555ii x==++++=∑，所以5152221534.3532ˆ0.4355535i ii ii x y x ybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ20.4330.71a b y x =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.430.71yx =+． （Ⅲ）令0.430.716x +≤，可得131243x ≤，又*N x ∈，所以12≤x ， 故该种工程车最多可以使用12年． 【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算公式的应用以及线性回归方程的求法及应用，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AD AB ⊥， 2PA AD CD AB ===，F 为CD 的中点，点E 在线段PC 上，且(01)PEk k PC=<<．（Ⅰ）若12k =，求证：平面BEF ⊥平面CDP ； （Ⅱ）若二面角E BD P --的余弦值为}{n a ，求k 的值． 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）31=k . 【解析】（Ⅰ）通过证明四边形ABFD 是平行四边形可得BF CD ⊥，通过CD ⊥平面PAD 可得PD CD ⊥即CD EF ⊥，再得线面垂直最后得面面垂直；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AB =，分别求出面PBD 的法向量(2,1,1)m =，平面BDE 的一个法向量为31(2,1,)1k n k -=-，根据余弦值为}{n a 即可得结果. 【详解】（Ⅰ）因为AD AB ⊥，AB CD ∥，所以AD CD ⊥． 因为2CD AB =，F 为CD 的中点，所以AB DF =， 又AB CD ∥，所以四边形ABFD 是平行四边形，所以BFAD ，所以BF CD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为A PA AD = ，所以CD ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以PD CD ⊥， 因为12PE PC =，所以E 为PC 的中点， 又F 为CD 的中点，所以EF PD ∥，所以CD EF ⊥， 又BF EF F =I ，所以CD ⊥平面BEF ， 因为CD ⊂平面CDP ，所以平面BEF⊥平面CDP ．（Ⅱ）由题可知AB ，AD ，AP 互相垂直，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1AB =，则2PA AD CD ===，则(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ，所以(2,2,2)PC =-， 因为(01)PEk k PC=<<，所以(2,2,2)PE k PC k k k ==-，所以(2,2,22)E k k k -， 设平面PBD 的法向量为(,,)m x y z =，因为(1,0,2)PB =-，(0,2,2)PD =-，所以20220m PB x z m PD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，令2x =，可得1y z ==，所以平面PBD 的一个法向量为(2,1,1)m =． 设平面BDE 的法向量为(,,)n a b c =，因为(1,2,0)BD =-，(21,2,22)BE k k k =--，所以20(21)2(22)0n BD a b n BE k a kb k c ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++-=⎩， 令2a =，可得1b =，311k c k -=-，所以平面BDE 的一个法向量为31(2,1,)1k n k -=-．因为二面角E BD P --的余弦值为}{n a，所以31|41||cos ,|6k m n -++〈〉== 化简可得23830k k +-=，解得3k =-或31=k ， 又01k <<，所以31=k ． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，已知二面角的余弦值求参数的值，解题的关键是求出面的法向量，属于中档题.20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，离心率为12，过点2F 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，当直线l x ⊥轴时，1F MN △的面积为3． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线'l 的方程为4x =，直线AM 交直线'l 于点P ，直线AN 交直线'l 于点Q ，线段PQ 的中点为H ，试判定2F H MN ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（Ⅰ）13422=+y x ；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据离心率可得12c a =，求出点M 纵坐标，得1F MN △的面积为212232b c a⨯⨯⨯=，解出,,a b c 即可得椭圆方程；（Ⅱ）当直线l x ⊥轴时，易知20F H MN ⋅=，当斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(4,)P P y ，(4,)Q Q y ，利用三点共线可得1122P y y x =-，2222Q y y x =-，联立直线与椭圆方程结合韦达定理可得32P Qy y k+=-，得H 点坐标，代入即可得结论.【详解】（Ⅰ）设1(,0)F c -，2(,0)F c ， 因为椭圆C 的离心率为12，所以12c a =，即2a c =，又222a b c =+，所以b =，当直线l x ⊥轴时，假设点0(,)M c y位于第一象限，则20y ba==，因为1F MN △的面积为3，所以212232b c a ⨯⨯⨯=，即23232c c c ⨯=，解得1c =，所以2a =，b =C 的标准方程为13422=+y x ．（Ⅱ）当直线l x ⊥轴时，根据对称性易知20F H MN ⋅=． 由（Ⅰ）可得(2,0)A ，)0,1(2F ，当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，(4,)P P y ，(4,)Q Q y ，则11=(2,)AM x y -，(2,)P AP y =， 因为M ，A ，P 三点共线，所以AM AP ，所以112(2)0P y y x --=，即1122P y y x =-．同理可得2222Q y y x =-，因为线段PQ 的中点为H ，所以(4,)2P Qy y H +． 将(1)=-y k x 代入13422=+yx ，消去y 可得01248)43(2222=-+-+k x k x k ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 所以121221122112121212(2)(2)(1)(2)(1)(2)222(2)(2)2()4P Qy y y y y x y x k x x k x x x x x x x x x x +-+---+--=+===-----++2222121222121222824244[23()4]33434412162()443434k k k x x x x k k k k k x x x x kk k --+-++++=⋅=---++-+++，所以3(4,)H k-，故23(3,)F H k =-， 又21212121(,)(,)MN x x y y x x kx kx =--=--， 所以2212133()()0F H MN x x kx kx k⋅=---=．综上所述，20F H MN ⋅=，故2F H MN ⋅是定值，该定值为0． 【点睛】本题主要考查了通过,,a b c 求椭圆的方程，直线与椭圆相交时交点的坐标，计算量较大，属于难题.21．已知函数()(32)e 2x f x x ax =---，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）若函数()f x 在]1,2[-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若对于任意的[0,)x ∈+∞，不等式()1f x ax ≤+恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）(,e][,)e-∞-+∞； （Ⅱ）),21[+∞.【解析】（Ⅰ）函数单调等价于()0f x '≤恒成立或()0f x '≥恒成立，利用分离参数的思想，令()(12)e xg x x =-，对()g x 进行求导，求出其最值即可；（Ⅱ）原题等价于(32)e 230x x ax ---≤，令()(32)e 23x t x x ax =---，对其二次求导求出最值即可.【详解】（Ⅰ）由题可得()2e (32)e (12)e x x xf x x a x a '=-+--=--，因为函数()f x 在]1,2[-上是单调函数，所以当[2,1]x ∈-时，()0f x '≤恒成立或()0f x '≥恒成立，即当[2,1]x ∈-时，(12)e 0x x a --≤恒成立或(12)e 0xx a --≥恒成立，所以当[2,1]x ∈-时，max [(12)e ]x a x ≥-或min [(12)e ]xa x ≤-．令()(12)e xg x x =-，21x -≤≤，则()(12)e x g x x '=--，令()0g x '>，可得122x -≤<-；令()0g x '<，可得112x -<≤， 所以函数()g x 在1[2,)2--上单调递增，在1[,1]2-上单调递减，所以max 1()()2g x g =-=． 又25(2)eg -=，(1)e g =-，所以(2)(1)g g ->，所以min ()(1)e g x g ==-，所以a ≥a e ≤-，故实数a 的取值范围为(,e][,)e-∞-+∞． （Ⅱ）()1f x ax ≤+可化为(32)e 230x x ax ---≤，令()(32)e 23xt x x ax =---，0≥x ，因为对于任意的[0,)x ∈+∞，不等式()1f x ax ≤+恒成立，所以max ()0t x ≤， 易得()(12)e 2xt x x a '=--，令()(12)e 2xh x x a =--，0≥x ，则()(12)e 0xh x x '=--<， 所以函数()t x '在[0,)+∞上单调递减，(0)12t a '=-， ①当21≥a 时，021≤-a ，所以()(0)0t'x t'≤≤，所以函数)(x t 在[0,)+∞上单调递减，所以()(0)330t x t ≤=-=，即max ()0t x ≤，符合题意； ②当12a <时，120a ->，所以存在00x >，使得0()0t'x =， 当),0[0x x ∈时，()0t x '>，所以函数)(x t 在0[0,)x 上单调递增， 因为(0)0t =，所以当),0(0x x ∈时，()0t x >，不符合题意． 综上所述，21≥a ，故实数a 的取值范围为),21[+∞． 【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，已知单调性求参数，利用导数证明不等式，综合性较强，有一定难度. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为315(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin4cos 0ρθθ-=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长． 【答案】（Ⅰ）4340x y --=，24y x =.（Ⅱ）254. 【解析】（Ⅰ）消去参数t 可得直线l 的普通方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入极坐标方程可得曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线的参数方程代入抛物线方程，根据参数的几何意义将12|||t t |AB =-和韦达定理相结合即可得结果. 【详解】（Ⅰ）将315(45x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)消去参数t 可得4(1)3x y -=，即4340x y --=， 故直线l 的普通方程为4340x y --=． 由2sin4cos 0ρθθ-=可得0cos 4sin 22=-θρθρ，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得042=-x y ，即24y x =， 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（Ⅱ）将31545x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入24y x =，可得2415250t t --=，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12154t t +=，12254t t =-，所以1225||||4AB t t =-===， 故线段AB 的长为254． 【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x =+．（Ⅰ）求不等式()2|1|f x x ≤+-的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()|2|1f x x a ++≤有解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）1(,]2-∞； （Ⅱ）13[,]22.【解析】（Ⅰ）分2x -≤，21x -<<，1x ≥三段去绝对值解不等式，再取并集即可；（Ⅱ）不等式()|2|1f x x a ++≤有解⇔min (|2||2|)1x x a +++≤，再根据绝对值三角不等式求得最小值代入可解得． 【详解】（Ⅰ）()2|1|f x x ≤+-可化为|2||1|2x x +--≤，当2x -≤时，|2||1|2x x +--≤可化为212x x --+-≤，解得2x -≤； 当21x -<<时，|2||1|2x x +--≤可化为212x x ++-≤，解得122x -<≤； 当1x ≥时，|2||1|2x x +--≤可化为212x x +-+≤，无解． 综上，12x ≤，故不等式()2|1|f x x ≤+-的解集为1(,]2-∞．（Ⅱ）()|2|1f x x a ++≤即|2||2|1x x a +++≤，因为关于x 的不等式()|2|1f x x a ++≤有解，所以min (|2||2|)1x x a +++≤． 因为|2||2||(2)(2)||22|x x a x x a a +++≥+-+=-， 所以|22|1a -≤，即1221a -≤-≤，解得1322a ≤≤． 故实数a 的取值范围为13[,]22． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

重庆市南开中学2019届高三数学第三次教学质量检测考试试题理(含解析)

重庆市南开中学2019届高三数学第三次教学质量检测考试试题理(含解析)

重庆南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2019.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）A.【答案】D【解析】【分析】故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.）【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.7项和为28）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.）B. 1C. 2D. -8【答案】A【解析】【分析】m的值.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙）A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】.，所以P(85＜X＜的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.A(1,2),的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.）【答案】D【解析】【分析】进行循环体的条件，进而得到答案．时，退出循环，【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0x=-2的值.【详解】令x=0得令x=-2故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.）A. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】的值，一条对称轴是即可求解．，可得：．．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.的取值范围为（）【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（xx a≥3，综合即得解.【详解】由题得代入上面的不等式得a≥3，，（1）在x∈（0＜x≤1恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）.(2)在xx∈上恒成立，又在x的最小值为5，.(3)在x x.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.：：）A. -2B. 1C. 4【答案】B【解析】【分析】由题可设a>0,d＜0.数量积运算化简得解.【详解】由题可设a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以所以|AB|=|FA|-|OB|=，1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.．【答案】-2【解析】14.__________．【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,所以函数f（x）是奇函数，f(x)是定义域上的增函数，=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.中，，，，__________．【解析】【分析】直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与.【详解】所成的角就是直线.所成角的余弦值为.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.中，__________．【答案】9【解析】【分析】，再根据.因为数列是正项递增等比数,所以，9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1（2【答案】（1（2【解析】【分析】（1（2【详解】解：（1）由正弦定理得：（2，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i （ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i（ii324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，.【详解】解：（1）（i y=1.2xy=1.2×240+(x-240)×1.8=1.8x-144 （ii）由，解得∴小李一天收入不低于324（2工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19..（1（2.【答案】（1（2【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2【详解】解：（1两点：，（2，则.，并结合①式得，当且仅当，时取等，所以的最小值为【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥（1时，求证：（2与平面.【答案】（1）详见解析；（2【解析】【分析】（1，再证明（2轴正方向，.【详解】解：（1，，∴，（2的法向量为，即有，由，解得.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.（1仅在处取得极值，求实数（2.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1处取得极值，则，即.，当，a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.（2由题意则有三个根，则有两个零点，则即证：在上单调递增，即证：，，为增函数，∴当时，.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.为参数，，以原点轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：（1（2【答案】（1（2）16.【解析】【分析】（1）（2）【详解】解：（1∴曲线的标准方程为：（2，的参数方程代入，【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.的最小值为（1（2【答案】（1（2）详见解析.【解析】【分析】（1（2）,是减函数，y=是减函数，数，.）. 【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

专题05 等比数列-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)

专题05 等比数列-2019年高考理数母题题源系列全国Ⅲ专版(解析版)

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，联立等比数列的通项公式和前n 项和公式构成方程组，可以知其三求其二，属于基础题．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）()12n n a -=-或12n n a -= ．（2）6m =．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．专题05 等比数列（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=．由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-．故选A ． 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【命题意图】1．熟练掌握等比数列的通项公式、前n 项和公式．2．掌握与等比数列有关的数列求和的常见方法.3.了解等比数列与指数函数的关系．【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲是高考的考查热点，主要考查等比数列的基本运算和性质，等比数列的通项公式和前n 项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题． 【答题模板】求数列的通项、求和问题时，第一步：根据题意求通项．注意等比数列通项形如指数函数的形式． 第二步：利用函数性质研究数列的性质，例如周期、单调性等． 第三步：利用函嫩、数列的交汇性质来综合求解问题．第四步：查看关键点、易错点及解题规范，例如错位相减去的计算量较大，注意检验． 【方法总结】1．等比数列的判定与证明常用方法如下： （1）定义法．1n n a a +=q （q 为常数且q ≠0）或-1n n aa =q （q 为常数且q ≠0，n ≥2）⇔{a n }为等比数列； （2）等比中项法．21n a +=a n ·a n+2（a n ≠0，n ∈N *）⇔{a n }为等比数列；（3）通项公式法．a n =a 1q n –1（其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *）⇔{a n }为等比数列；（4）前n 项和公式法．若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n =–aq n +a （a ≠0，q ≠0，q ≠1），则数列{a n }是公比为q 的等比数列．由a n+1=qa n ，q ≠0，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0．证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足22a ≠a 1·a 3，或者存在一个正整数m ，使得21m a +≠a m ·a m+2即可．2．等比数列的基本运算方法：（1）通项法：等比数列由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行．（2）对于等比数列的相关问题，一般给出两个条件就可以通过列方程（组）求出a 1，q ．如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题． 例如：①若已知n ，a n ，S n ，先验证q=1是否成立，若q ≠1，可以通过列方程组-111,(1-),1-n n n n a a q a q S q ⎧=⎪⎨=⎪⎩求出关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．②若已知数列{a n }中的两项a n 和a m ，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组-11-11,,n n m ma a q a a q ⎧=⎨=⎩两式相除可先求出q ，然后代入其中一式求得a 1，进一步求得S n ．另外，还可以利用公式a n =a m ·q n –m 直接求得q ，可减少运算量．（3）对称设元法：一般地，若连续奇数个项成等比数列，则可设该数列为…，xq，x ，xq ，…；若连续偶数个项成等比数列，则可设该数列为…，3x q ，x q，xq ，xq 3，…（注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况）．这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便． 3．错位相减法一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求解，一般是在等式的两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．若{b n }的公比为参数（字母），则应对公比分等于1和不等于1两种情况讨论．1．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在等比数列{}n a 中，若23a =，524a =-，则1a =A ．23 B ．23- C ．32-D ．32【答案】C 【解析】因为3528a q a ==-，所以2q =-，从而132a =-．故选C ． 【名师点睛】本题考查了等比数列的基本量运算，属于基础题．2．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在等比数列{}n a 中，若22a =，554a =-，则1a = A ．23B ．23-C ．32-D ．32【答案】B 【解析】因为35227a q a ==-，所以3q =-，从而2123a a q ==-．故选B ． 【名师点睛】本题主要考查了等比数列的基本量运算，属于基础题．3．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=．则满足123123......n n a a a a a a a a ++++>的最大正整数n 的值为A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】∵正项等比数列{}n a 中，512a =，()26753a a a q q +=+=，∴26q q +=． ∵0q >，解得，2q =或3q =-（舍），∴1132a =，∵()1231122132 (1232)n nn a a a a --++++==-，∴()1221123232n n nn -->⨯．整理得，()1152n n n ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭，∴112n <≤，经检验12n =满足题意，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的性质等知识的简单综合应用，属于中档试题．4．【四川省巴中市2019届高三零诊考试数学】记n S 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2=2，S 3=–6．则{a n }的通项公式为A ．(2)nn a =- B ．2nn a =- C ．(3)nn a =-D ．3nn a =-【答案】A【解析】根据题意，设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，又由22S =，36S =-，则有()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得12a =-，2q =-，则()2nn a =-，故选A ． 【名师点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，属于简单题．5．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学】已知等比数列{}n a 中的各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则101189a a a a +=+ A．1+B．1C．3+D．3-【答案】C【解析】因为等比数列{a n }中的各项都是正数，设公比为q ，得q >0， 且1321,,22a a a 成等差数列，可得3122a a a =+，即a 1q 2＝a 1+2a 1q ， 因为10a ≠，得q 2–2q –1＝0，解得q ＝或q ＝1（舍），则101189a a a a +=+()28989q a a a a +=+q 2＝C ． 【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．【四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学】已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且13a ，312a ，22a 成等差数列，则64a a = A ．1 B ．3 C ．6 D ．9【答案】D【解析】设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q >0） 由题意可得2312a ⨯＝13a +22a ，即q 2–2q –3＝0， 解得q ＝–1（舍去），或q ＝3，故64a a =q 2＝9．故选D ．【名师点睛】本题考查等差中项的应用和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属于基础题．7．【四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ．若639S S =，562S =，则1a =A ．3 BC D ．2【答案】D【解析】等比数列{a n }中，若S 6＝9S 3，则q ≠±1， 若S 6＝9S 3，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得q 3＝8，则q ＝2，又由S 5＝62，则有S 5＝()5111a q q--＝31a 1＝62，解得a 1＝2，故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，属于基础题．8．【四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试数学】等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，则2122210log log log a a a ++⋯+=A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【答案】C【解析】()45,a a =a ，()76,a a =b ，且4⋅=a b ，∴47a a +56a a ＝4， 由等比数列的性质可得：110a a ＝…＝47a a ＝56a a ＝2， 则2122210log log log a a a +++=log 2（12a a •10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选C ．【名师点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．9．【贵州省贵阳市2019届高三2月适应性考试（一）数学】等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n +1（n ∈N *），其中a 是常数，则a =A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】n =1时，a 1=S 1=2a +1．n ≥2时，a n =S n –S n –1=a •2n +1–（a •2n –1+1），化为a n =a •2n –1， 对于上式n =1时也成立， ∴2a +1=a ，解得a =–1．故选B ．【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．【河南省新乡市2019届高三第三次模拟测试数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S =，1030S =，则15S =A ．90B ．125C ．155D ．180【答案】C【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ， 所以51051510,,S S S S S --成等比数列，因为5105,30S S ==，所以105151025,255125S S S S -=-=⨯=， 故1512530155.S =+=故选C ．【名师点睛】本题考查了等比数列的性质，若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则232,,n n n n nS S S S S --也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题．11．【甘肃、青海、宁夏2019届高三上学期期末联考数学】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122a a -=，236a a -=，则4S =A ．–60B ．–40C ．20D ．40【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ，由12232,6a a a a -=-=，可得1121126a a q a q a q -=⎧⎨-=⎩，解得131q a =⎧⎨=-⎩， 故()441134013S -⨯-==--，故选B ．【名师点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 12．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学】在等比数列{}n a 中，131a a +=，5791120a a a a +++=，则1a =A ．16B ．13C ．2D ．4【答案】B【解析】因为()45713a a a a q +=+＝q 4，()891113a a a a q +=+，所以q 8+q 4＝20，所以q 4＝4或q 4＝–5（舍），所以q 2＝2，13a a +211a a q =+=13a ＝1，所以1a 13=． 故选B ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查等比数列的性质，要求熟练掌握等比数列的性质的应用，比较基础．13．【湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S = A ．10 B ．7 C ．8 D ．4【答案】C【解析】由题意得13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===，38S ∴=，故选C ． 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题．14．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为A ．1B ．1或12CD．±【答案】C【解析】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+， 故234q =，因为{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以q =C ． 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q m n p q ∈+=+N ，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --为等比数列（0n S ≠）且公比为nq ．15．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模）数学】已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为A ．1B ．12-C ．1或12-D ．112-或【答案】C【解析】等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =， 若1q =，37a =，33721S =⨯=，符合题意；若1q ≠，则()213171211a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解得12q =-，即公比q 的值为1或12-，故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题．等比数列基本量的运算是等比11数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程．16．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学】已知等比数列{}n a 的公比12q =-，该数列前9项的乘积为1，则1a = A ．8 B ．16C ．32D ．64【答案】B 【解析】由已知1291a a a =，又2192837465a a a a a a a a a ====，所以951a =，即51a =，所以41112a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，116a =，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及等比数列的基本量计算，熟记等比数列的性质与通项公式即可，属于常考题型．17．【山西省2019届高三高考考前适应性训练（三）数学】已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则8T = A ．1024 B ．2048 C ．4096 D ．8192【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得761a =，故61a =，即511a q =．又2121512a a a q ==，所以91512q =，故12q =，所以36312832424096a T T a q ⎛⎫===== ⎪⎝⎭．故选C ．【点睛】本题考查等比数列的性质、等比数列的通项公式，考查计算化简的能力，属中档题．。

2019年南通市高三数学第三次模拟试卷(含答案)

2019年南通市高三数学第三次模拟试卷(含答案)

2019届江苏省南通市高三阶段性学情联合调研数学（理）试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={1，3，5}，B ={2，3}，则集合A ∪B 中的元素个数为______．2. 已知复数z =a +3i （i 为虚数单位），若z 2是纯虚数，则实数a 的值为______．3. 已知双曲线C ：x 2-y 2=1，则点（4，0）到C 的渐近线的距离为______．4. 设命题p ：x ＞4；命题q ：x 2-5x +4≥0，那么p 是q 的______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）． 5. 函数f （x ）=√lnx −2的定义域为______．6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C =π3，b =√6，c =3，则A =______． 7. 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n ，若a 4+a 10=0，2S 12=S 2+10，则d 的值为______． 8. 如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为______．9. 已知函数f （x ）=sin x （x ∈[0，π]）和函数g （x ）=13tan x 的图象相交于A ，B ，C 三点，则△ABC 的面积为______．10.设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β． 其中的正确命题序号是______．11. 设x ＞0，y ＞0，向量a ⃗ =（1-x ，4），b ⃗ =（x ，-y ），若a ⃗ ∥b ⃗ ，则x +y 的最小值为______．12.已知函数f （x ）=e x -e -x -2x ，则不等式f （x 2-4）+f （3x ）＞0的解集为______．13. 已知函数f(x)={2x−1+1,x ≤1|ln(x−1)|,x>1，若函数g （x ）=f （x ）-a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．14. 已知直线l ：y =kx +3与圆C ：x 2+y 2-2y =0无公共点，AB 为圆C 的直径，若在直线l 上存在点P 使得PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则直线l 的斜率k 的取值范围是______． 二、解答题（本大题共10小题，共120.0分）15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−35，−45)． （1）求sin(α+π3)的值；（2）若角β满足sin(α+β)=513，求cosβ的值．16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求证：平面A1DC⊥平面ABC．17.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点坐标为F1(−√3，0)，F2(√3，0)，且椭圆E经过点P(−√3，12)．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x 轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．18. 某海警基地码头O 的正西方向30海里处有海礁界碑A ，过点A 且与AO 成60°角（即北偏东30°）的直线l 为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头O 的正西方向且距离O 点12海里的领海海面P 处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O 处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q 处截获可疑船．（1）若可疑船的航速为10海里/小时，λ=2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间．（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求λ的最小值．19. 已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+4a ，（a ，b 为常数）（1）若a =1，b =3．①求函数f （x ）在区间[-4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t ）可作函数f （x ）的三条不同的切线，求实数t 的取值范围． （2）当x ∈[1，4]时，不等式0≤f （x ）≤4x 2恒成立，求a +b 的取值范围．20. 已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且a 3=a 2+2，a 2•a 4=16．数列{b n }的前n 项和为T n ，且b 1=1，nT n+1=(n +1)T n +n(n+1)2(n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }的通项公式及其前n 项和S n ；（2）证明数列{b n }为等差数列，并求出{b n }的通项公式；（3）设数列c n =∑(S k+1+1)bk(k+1)(k+2)n k=1，问是否存在正整数m ，n ，l （m ＜n ＜l ），使得c m ，c n ，c l 成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m ，n ，l ；若不存在，请说明理由．21. [选做题]已知二阶矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为e⃗ =[11]，并且矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变成点（9，15），求出矩阵M ．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l 的参数方程是{x =−35t +2y =45t（t 为参数）．设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．23. 某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为23，游览B 、C 和D 的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立．（1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．24. 已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2），过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值．答案和解析1.【答案】4【解析】解：∵集合A={1，3，5}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3，5}，∴集合A∪B中的元素个数为4．故答案为：4．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】±3【解析】解：∵z=a+3i，∴z2=（a+3i）2=（a2-9）+6ai，由z2是纯虚数，得，解得：a=±3．故答案为：±3．由已知求得z2，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】2√2【解析】解：双曲线C：x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0，点（4，0）到C的渐近线的距离为d==2．故答案为：2．求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．4.【答案】充分不必要【解析】解：命题q：x2-5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，∵命题p：x＞4；故p是q的：充分不必要条件，故答案为：充分不必要求解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案．本题考查的知识点是充要条件，不等式的解法，难度中档．5.【答案】[e2，+∞）【解析】解：要使f（x）有意义，则：lnx-2≥0；∴x≥e2；∴f（x）的定义域为：[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．可以看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足lnx-2≥0，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，对数函数的单调性，增函数的定义．6.【答案】5π12【解析】解：∵，∴由正弦定理，可得：sinB===，∵b＜c，B∈（0，），∴B=，∴A=π-B-C=π--=．故答案为：．由已知利用正弦定理可得sinB的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值，根据三角形内角和定理可求A的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.【答案】-10【解析】解：由a4+a10=0，2S12=S2+10，可得，解得d=-10，故答案：-10由已知条件结合等差数列的通项公式和求和公式，求解即可得答案．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．8.【答案】13【解析】解：由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形，边长：1和，四棱锥的高：A1C1=．则四棱锥A1-BB1D1D的体积为：=．故答案为：．求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．9.【答案】√2π3【解析】解：根据题意，令sinx=tanx，即sinx（1-）=0，解得sinx=0，或1-=0，即sinx=0或cosx=．又x∈[0，π]，∴x=0或x=π，或x=arccos，∴点A（0，0），B（π，0），C（arccos，），∴△ABC的面积为•|AB|•|y C|==π，故答案为：．根据题意，令sinx=tanx，结合x∈[0，π]求出x的值，得出三个点A、B、C的坐标，即可计算△ABC的面积．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于中档题．10.【答案】②④【解析】解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：②④．在①中，α与β相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】9【解析】解：因为∥，所以4x+（1-x）y=0，又x＞0，y＞0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5++≥9．当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．（x+y）min=9．故答案为：9．先根据向量平行得到+=1，再利用基本不等式即可求出最值．本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题．12.【答案】{x|x＞1或x＜-4}【解析】解：根据题意，函数f（x）=e x-e-x-2x，有f（-x）=e-x-e x-2（-x）=-（e x-e-x-2x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）=e x+e-x-2=e x+-2≥0，即函数f（x）在R上为增函数，则f（x2-4）+f（3x）＞0⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞f（-3x）⇒x2-4＞-3x，即x2+3x-4＞0，解可得：x＞1或x＜-4，故答案为：{x|x＞1或x＜-4}．根据题意，由函数的解析式分析可得f（x）为奇函数，求出函数的导数分析可得f（x）在R上为增函数，据此可得f（x2-4）+f（3x）＞0⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞f（-3x）⇒x2-4＞-3x，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性的判断以及应用，注意利用导数分析函数f（x）的单调性，属于基础题．13.【答案】（1，2]【解析】解：函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，即方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象如图：由图可知，要使函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．把函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，转化为方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象，数形结合得答案．本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】（-√3，-1]∪[1，√3）【解析】解：直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2-2y=0无公共点，可得＞1，解得-＜k＜，设P（m，n），由题意可得+=2，两边平方可得2+2+2•=42，即为2[m2+（n-1）2+1]+2=4（m2+（n-1）2），化为m2+（n-1）2=2，即有P 在直线l 上，又在圆x 2+（y-1）2=2上， 可得≤，解得k≥1或k≤-1， 综上可得k ∈（-，-1]∪[1，）． 故答案为：（-，-1]∪[1，）．由直线和圆无交点可得d ＞r ，求得k 的范围，设出P （m ，n ），由题意可得+=2，两边平方，结合向量的数量积的性质和两点的距离公式，可得P 在圆x 2+（y-1）2=2上，又在直线l 上，由直线和圆有交点的条件，解不等式可得所求范围．本题考查直线和圆的位置关系，注意运用向量的中点表示和向量数量积的性质，考查直线和圆有交点的条件，化简运算能力，属于中档题． 15.【答案】解：（1）∵角α的终边经过点 P(−35，−45)，∴OP =√(−35)2+(−45)2=1∴sinα=−45，cosα=−35…………（4分）∴sin(α+π3)=12sinα+√32cosα=12×(−45)+√32×(−35)=−4+3√310…………（7分） （2）∵sin(α+β)=513，∴cos(α+β)=±√1−sin(α+β)2=±√1−(513)2=±1213…………（9分）∵β=（α+β）-α，∴cosβ=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα∴当cos(α+β)=1213时，cosβ=−5665； …………（11分） 当cos(α+β)=−1213时，cosβ=1665…………（13分） 综上所述：cosβ=−5665或cosβ=1665…………（14分） 【解析】（1）由角α的终边经过点 P ，结合三角函数的定义可求sinα，cosα，然后结合两角和的正弦公式可求 （2）由，结合同角平方关系可求cos （α+β），然后根据β=（α+β）-α，及两角差的余弦可求本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦公式，同角平方关系，两角差的余弦公式等知识的综合应用，属于中档试题．16.【答案】（1）证明：连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1中点在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1．∵DE⊂平面A1DC，BC1不包含于平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC（2）证明：∵ABB1A1为菱形，且∠A1AB=60°，∴△A1AB为正三角形∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D．∵AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1DC．∵AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC．【解析】（1）连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．由三角形中位线定理得到DE∥BC1．由此能证明BC1∥平面A1DC．（2）由已知条件得△A1AB为正三角形，从而得到AB⊥CD，进而得到AB⊥平面A1DC，由此能证明平面A1DC⊥平面ABC．本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.【答案】解：（1）因为椭圆焦点坐标为F1(−√3，0)，F2(√3，0)，且过点P(−1，√32)，所以2a=PF1+PF2=12+√494=4，所以a=2，…………（3分）从而b=√a2−c2=√4−3=1，故椭圆的方程为x24+y2=1．…………（6分）（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），因为A（-2，0），且A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，解得n=2y0x0+2，所以BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，…………（8分）同理得AC=x0+2y0+2y0+1，…………（10分）因此，S ABCD=12AC⋅BD=12⋅x0+2y0+2x0+2⋅x0+2y0+2y0+1=(x0+2y0+2)22(x0+2)(y0+1)=x02+4y02+4x0y0+4x0+8y0+42(x0y0+x0+2y0+2)，…………（12分）因为点M（x0，y0）在椭圆上，所以x024+y02=1，即x02+4y02=4，代入上式得：S ABCD =4x 0y 0+4x 0+8y 0+82(x 0y 0+x 0+2y 0+2)=2．∴四边形ABCD 的面积为2． …………（14分） 【解析】（1）由椭圆的离心率及椭圆经过点，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设点M （x 0，y 0）（0＜x 0＜2，0＜y 0＜1），C （m ，0），D （0，n ），由A ，D ，M 三点共线，解得，，同理得，可得=2本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，18.【答案】解：（1）因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为10海里/小时，所以巡逻艇的航速为20海里/小时，且OQ =2PQ ， 设PQ =a ，则OQ =2a ； 又可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，所以∠QPO =120°，…………（2分） 在△OPQ 中，有OQ 2=OP 2+PQ 2-2OP •PQ cos ∠OPQ ，即4a 2=a 2+144-2×12a cos120°，故a 2-4a -48=0，解得a =2±2√13（负值舍去）； ……（5分） 所以巡逻艇成功拦截可疑船所用时间为t =a 10=√13+15小时； …………（7分） （2）以O 为坐标原点，AO 的方向为x 轴的正方向， 建立如图所示的平面直角坐标系，则P （-12，0），A （-30，0），设Q （x ，y ），因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的λ倍，所以OQ =λPQ ， 故x 2+y 2=λ2[（x +12）2+y 2]， 即x 2+y 2+24λ2λ2−1x +144λ2λ2−1=0；故可疑船被截获的轨迹是以(−12λ2λ2−1，0)为圆心，以12λλ2−1为半径的圆；…………（10分）又直线l 的方程为y =√3(x +30)， 即√3x −y +30√3=0，要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船， 则：圆心(−12λ2λ2−1，0)在直线y =√3(x +30)下方，且Q 的轨迹与直线l 至多只有一个公共点， 所以30−12λ2λ2−1＞0且|−12√3λ2λ2−1+30√3|2≥12λλ2−1；…………（13分）即{λ2＞533√3λ2−4λ−5√3≥0λ＞1，解得λ≥√3，故要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则λmin =√3． …………（16分） 【解析】（1）由题意在△OPQ 中，利用余弦定理列方程求出PQ 的值，再计算巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间；（2）以O 为坐标原点，AO 的方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，利用坐标表示点与直线， 求出可疑船被截获的轨迹是圆，以及要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船所满足的条件，从而求出λ的取值范围和最小值．本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数学模型应用问题，是中档题． 19.【答案】解：（1）因为a =1，b =3，所以f （x ）=x 3+3x 2+4，从而f '（x ）=3x 2+6x ．①令f '（x ）=0，解得x =-2或x =0，列表：所以，f （x ）max =f （2）=24，f （x ）min =-12． …………（4分）②设曲线f （x ）切线的切点坐标为P(x 0，x 03+3x 02+4)，则k =3x 02+6x 0， 故切线方程为y −x 03−3x 02−4=(3x 02+6x 0)(x −x 0)，因为切线过点（1，t ），所以t −x 03−3x 02−4=(3x 02+6x 0)(1−x 0)，即2x 03−6x 0+t −4=0，…………（6分）令g(x 0)=2x 03−6x 0+t −4，则g′(x 0)=6x 02−6，所以，当x 0∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，g '（x 0）＞0，此时g （x 0）单调递增， 当x 0∈（-1，1）时，g '（x 0）＜0，此时g （x 0）单调递减， 所以g （x 0）极小值=g （1）=t -8，g （x 0）极大值=g （-1）=t ，要使过点（1，t ）可以作函数f （x ）的三条切线，则需{g(1)<0g(−1)>0，解得0＜t ＜8． …………（9分） （2）当x ∈[1，4]时，不等式0≤ax 3+bx 2+4a ≤4x 2等价于0≤a(x +4x 2)+b ≤4，………（11分） 令ℎ(x)=x +4x 2，则ℎ′(x)=1−8x 3=x 3−8x 3，所以，当x ∈（1，2）时，h '（x ）＜0，此时函数单调递减；当x ∈（2，4）时，h '（x ）＞0，此时函数单调递增， 故h （x ）min =3，h （x ）max =5． …………（13分） 若a =0，则0≤b ≤4，此时0≤a +b ≤4；若a ≠0，则{0≤5a +b ≤40≤3a+b≤4，从而a +b =2（3a +b ）-（5a +b ）∈[-4，8]； 综上可得-4≤a +b ≤8． …………（16分） 【解析】（1）①代入a ，b 的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；②设出切点坐标，表示出切线方程，结合函数的单调性得到关于t的不等式组，解出即可；（2）问题等价于，令，结合函数的单调性求出函数的最值，求出a+b的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20.【答案】解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由a2•a4=16，得a32=16，从而a3=4，又由a3=a2+2，得a2=2，因此，q=a3a2=2，所以a n=a2q n−2=2n−1，S n=1−2n1−2=2n−1．（2）方法一：因为nT n+1=(n+1)T n+n(n+1)2，所以T n+1n+1=T nn+12，从而数列{T nn }是以T11=1为首项，12为公差的等差数列，故T nn =1+12(n−1)=12(n+1)，故T n=12n(n+1)，当n≥2时，b n=T n−T n−1=12n(n+1)−12(n−1)n=n，且n=1时适合，因此，b n=n，从而当n≥2时，b n-b n-1=1为常数，所以，数列{b n}为等差数列．方法二：因为nT n+1=(n+1)T n+n(n+1)2，所以，当n≥2时，有(n−1)T n=nT n−1+n(n+1)2，两式相减得：nT n+1=2nT n-nT n-1+n，即T n+1=2T n-T n-1+1，故T n+1-T n=T n-T n-1+1，即b n+1=b n+1，又由b1=1，nT n+1=(n+1)T n+n(n+1)2得T2=2T1+1=3，从而b2=T2-T1=2，故b2-b1=1，所以，数列{b n}为等差数列．（3）因为(S k+1+1)b k(k+1)(k+2)=2k+1⋅k(k+1)(k+2)=2k+2k+2−2k+1k+1，所以c n=(233−222)+(244−233)+⋯+(2n+2n+2−2n+1n+1)=2n+2n+2−2，假设存在存在正整数m ，n ，l （m ＜n ＜l ）， 使得c m ，c n ，c l 成等差数列， 则2(2n+2n+2−2)=(2m+2m+2−2)+(2l+2l+2−2)，即2n+3n+2=2m+2m+2+2l+2l+2，令d n =2n n(n ≥3，n ∈N ∗)，则原问题等价于存在正整数m '，n '，l '（3≤m '＜n '＜l '）， 使得2⋅2n′n′=2m′m′+2l′l′，即2d n '=d m '+d l '成立． 因为d n+1−d n =2n+1n+1−2n n=2n (n−1)n(n+1)＞0（因为n ≥3），故数列{d n }单调递增，若l '-n '≥2，即l '≥n '+2，则d l '≥d n '+2， 从而d l′d n′≥d n′+2d n′=2n′+2n′+22n′n′=4n′n′+2=41+2n′＞2，即d l '＞2d n '， 而2d n '=d m '+d l '， 因此，d m '＜0，这与d m '＞0恒成立矛盾， 故只能有l '-n '=1，即l '=n '+1， 从而2n′+1n′=2m′m′+2n′+1n′+1，故2m′m′=2n′+1n′(n′+1)，即m′=n′(n′+1)2n′+1−m′(n′≥4，n′＞m′)，（*） ①若n '为奇数， 则记t =n′+12n′+1−m′， 从而n′+12n′+1=t ⋅2m′，因为数列{d n }(n ≥3，n ∈N ∗)单调递增， 所以数列{1d n}(n ≥3，n ∈N ∗)单调递减，故当n '≥4时，n′+12n′+1≤532，而2m '∈N *，故t ∉N ，因此，（*）式无正整数解． ②若n '为偶数， 则记u =n′2， 即n′2n′=u ⋅2m′−1，同理可得（*）无正整数解．综上，不存在存在正整数m '，n '，l '（3≤m '＜n '＜l '），使得c m '，c n '，c l '成等差数列，也即不存在正整数m ，n ，l （m ＜n ＜l ），使得c m ，c n ，c l 成等差数列． 【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式和数列的前n 项和． （2）利用等差数列的定义和递推关系式求出数列的通项公式． （3）利用存在性问题的应用，利用数列的等差中项进行判断求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的通项公式和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．21.【答案】解：设M =[cdab]， 由题意有，[cd ab][11]=3[11]，且[cd ab][2−1]=3[159]， ∴{a +b =3c +d =3−a +2b =9−c +2d =15， 解得{a =−1b =4c =−3d =6，∴M =[−36−14]． 【解析】先设矩阵，这里a ，b ，c ，d ∈R ，由二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量e 1及矩阵M 对应的变换将点（-1，2）变成点（9，15），得到关于a ，b ，c ，d 的方程组，即可求得矩阵M ． 本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题． 22.【答案】解：曲线C 的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．又x 2+y 2=ρ2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2y =0．将直线l 的参数方程消去t 化为直角坐标方程：y =−43(x −2)，令y =0，得x =2，即M 点的坐标为（2，0）．又曲线C 的圆心坐标为（0，1）， 半径r =1，则|MC|=√5， ∴|MN|≤|MC|+r =√5+1． 【解析】利用x 2+y 2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线l 的参数方程消去t 化为直角坐标方程：，令y=0，可得M 点的坐标为（2，0）．利用|MN|≤|MC|+r 即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：（1）记“该游客游览i 个景点”为事件A i ，则i =0，1；所以P(A 0)=(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)=124，P(A 1)=(1−23)(1−12)3+(1−23)C 31⋅12⋅(1−12)2=524；所以该游客至多游览一座山的概率为 P(A 0)+P(A 1)=124+524=14；…………（4分）（2）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4； 计算P(X =0)=P(A 0)=124， P(X =1)=P(A 1)=524，P(X =2)=23×C 31×12×(1−12)2+(1−23)×C 32×(12)2×(1−12)=38， P(X =3)=23×C 32×12×(1−12)+(1−13)×C 33×(12)3=724，P(X =4)=23×(12)3=112， 所以X 的概率分布为： X 01234P12452438724112…………（8分）数学期望为E(X)=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224=136；答：X 的数学期望为136．…………（10分） 【解析】（1）利用相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率和，求得所求的概率值； （2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出X 的分布列，求出数学期望值． 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了有关概率的计算问题，是中档题．24.【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2），∴4=2p ，解得p =2，设过点（0，1）的直线方程为y =kx +1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立方程组可得{y =kx +1y 2=4x，消y 可得k 2x 2+（2k -4）x +1=0，∴△=（2k -4）2-4k 2＞0，且k ≠0解得k ＜1， 且k ≠0，x 1+x 2=-2k−4k 2，x 1x 2=1k 2，又∵PA 、PB 要与y 轴相交，∴直线l 不能经过点（1，-2），即k ≠-3， 故直线l 的斜率的取值范围（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）； （Ⅱ）证明：设点M （0，y M ），N （0，y N ）， 则QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，y M -1），QO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，-1） 因为QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以y M -1=-y M -1，故λ=1-y M ，同理μ=1-y N ， 直线PA 的方程为y -2=2−y 11−x 1（x -1）=2−y 11−y 124（x -1）=42+y 1（x -1），令x =0，得y M =2y 12+y 1，同理可得y N =2y 22+y 2，因为1λ+1μ=11−y M +11−y N =2+y 12−y 1+2+y 22−y 2=8−2y 1y 2(2−y 1)(2−y 2)=8−2(kx 1+1)(kx 2+1)1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−[k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1]1−k(x 1+x 2)+k 2x 1x 2=8−2(1+4−2k k +1)1−4−2kk+1=4−2×4−2kk 2−4−2k k=2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ为定值． 【解析】（Ⅰ）将P 代入抛物线方程，即可求得p 的值，设直线AB 的方程，代入椭圆方程，由△＞0，即可求得k 的取值范围；（Ⅱ）根据向量的共线定理即可求得λ=1-y M ，μ=1-y N ，求得直线PA 的方程，令x=0，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，根据韦达定理即可求得+为定值．本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题．。

山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题-解析版

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山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x＜1}，集合B=，则A∪B=（）A. B. C. D.2.已知复数z满足i•z=3+2i（i是虚数单位），则=（）A. B. C. D.3.已知等差数列{a n}的公差不为零，S n为其前n项和，S3=9，且a2-1，a3-1，a5-1构成等比数列，则S5=（）A. 15B.C. 30D. 254.已知正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，则（）A. B. C. D.5.已知实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.6.某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（）A.B.C.D.7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 64种8.如图Rt△ABC中，∠ABC=，AC=2AB，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，设，，则向量=（）A.B.C.D.9.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面为S，且，则=（）A. 1B.C.D.10.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A. B. C. D.11.已知椭圆C：，＞＞的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF1F2的内心为I，直线MI交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=，＞，，当a＜0时，方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.观察下列式子，＞，＞，＞，……，根据上述规律，第n个不等式应该为______．14.若（x+1）5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则a2=______．15.“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何．”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，AB=1尺，D为AB的中点，AB⊥CD，CD=1寸，则圆柱底面的直径长是______寸”．（注：l尺=10寸）16.如图所示，边长为1的正三角形ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，将△AMN沿线段MN进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点A在线段BC上，则线段AM的最小值为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n满足=+1（n≥2，n∈N），且a1=1．（1）求数列的通项公式{a n}；（2）记b n=，T n为{b n}的前n项和，求使T n≥成立的n的最小值．18.如图在直角△ABC中，B为直角，AB=2BC，E，F分别为AB，AC的中点，将△AEF沿EF折起，使点A到达点D的位置，连接BD，CD，M为CD的中点．（Ⅰ）证明：MF⊥面BCD；（Ⅱ）若DE⊥BE，求二面角E-MF-C的余弦值．19.随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50 100女性70 100合计（）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（II）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X，求随机变量X的数学期望和方差．参考公式：P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820.抛物线C：y=x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求的取值范围．21.已知函数，（Ⅰ）当x＞0时，证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ）已知点P（x，xf（x）），点Q（-sin x，cos x），设函数，当，时，试判断h（x）的零点个数．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．23.已知函数f（x）=|x-1|+2|x-3|．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若f（x）-m2-m＞0恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A={x|0＜x＜2}，B={y|y≥0}；∴A∪B=[0，+∞）．故选：D．可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．2.【答案】A【解析】解：由i•z=3+2i，得z=，∴．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题意，，解得．∴．故选：D．设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知列关于首项与公差的方程组，求解得到首项与公差，再由等差数列的前n项和公式求解．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，考查等比数列的性质，是基础题．4.【答案】C【解析】解：∵正实数a，b，c满足log2a=log3b=log6c，∴设log2a=log3b=log6c=k，则a=2k，b=3k，c=6k，∴c=ab．故选：C．设log2a=log3b=log6c=k，则a=2k，b=3k，c=6k，由此能推导出c=ab．本题考查命题真假的判断，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：目标函数的几何意义为动点M（x，y）到定点D（-1，2）的斜率，当M位于A（1，-）时，此时DA的斜率最小，此时z min==-．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义为动点M（x，y）到定点D（-1，2）的斜率，利用数形结合即可得到z的最小值．本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：，所以：外接球的半径为：R==故：外接球的表面积为：S=4π．故选：B．首先利用三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有C42=6种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有A22=2种情况，此时有2×2=4种情况，则有6×4=24种不同的安排方法；故选：C．根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC=，AC=2AB，所以∠BAC=，∠ACB=，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=，则根据圆的性质BD=CD=AB，又因为在Rt△ABC中，AB==r=OD，所以四边形ABDO为菱形，所以==．故选：C．根据Rt△ABC中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形ABDO为菱形，所以==．本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由，得4×absinC=a2+b2-c2+2ab，∵a2+b2-c2=2abcosC，∴2absinC=2abcosC+2ab，即sinC-cosC=1即2sin（C-）=1，则sin（C-）=，∵0＜C＜π，∴-＜C-＜，∴C-=，即C=，则=sin（+）=sin cos+cos sin==，故选：D．根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：令圆的半径为1，利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为P===-1．故选：C．设圆的半径为1，利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11.【答案】B【解析】解：△MF1F2的内心为I，连接IF1和IF2，可得IF1为∠MF1F2的平分线，即有=，=，可得===2，即有==2，即有e=，故选：B．连接IF1和IF2，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：令t=f（x），则方程f2（x）-2f（x）+a=0可转化为t2-2t+a=0，设方程t2-2t+a=0的解为t=t1，t=t2，则方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根等价于t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点共4个，由函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的位置关系可得：-3≤t1，设g（t）=t2-2t+a，则，解得：-15≤a＜-8，故选：A．由方程的解与函数图象交点的相互转化得：原方程可转化为t2-2t+a=0，设方程t2-2t+a=0的解为t=t1，t=t2，则方程f2（x）-2f（x）+a=0有4个不相等的实数根等价于t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的交点共4个，由二次方程区间根问题得：由函数t=f（x）的图象与直线t=t1，t=t2的位置关系可得：-3≤t1，设g（t）=t2-2t+a，则，解得：-15≤a＜-8，得解．本题考查了方程的解与函数图象交点的相互转化及二次方程区间根问题，属中档题．13.【答案】ln（n+1）＞++……+【解析】解：根据题意，对于第一个不等式，ln2＞，则有ln（1+1）＞，对于第二个不等式，ln3＞+，则有ln（2+1）＞+，对于第三个不等式，ln4＞++，则有ln（2+1）＞++，依此类推：第n个不等式为：ln（n+1）＞++……+，故答案为：ln（n+1）＞++……+．根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．14.【答案】80【解析】解：∵（x+1）5=[（x-1）+2]5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，则a2=•23=80，故答案为：80．根据（x+1）5=[（x-1）+2]5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a5（x-1）5，利用二项式展开式的通项公式求得a2的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15.【答案】26【解析】解：∵AB⊥CD，AD=BD，∵AB=10寸，∴AD=5寸，在Rt△AOD中，∵OA2=OD2+AD2，∴OA2=（OA-1）2+52，∴OA=13寸，∴圆柱底面的直径长是2AO=26寸．故答案为：26．由勾股定理OA2=OD2+AD2，代入数据即可求得．考查了学生对勾股定理的熟练应用，考查了数形结合思想，属于基础题．16.【答案】2-3【解析】解：设AM=x，∠AMN=α，则BM=1-x，∠AMB=180°-2α，∴∠BAM=2α-60°，在△ABM中，由正弦定理可得=，即，∴x=，∴当2α-60°=90°即α=75°时，x取得最小值=2-3．故答案为：2-3．设AM=x，∠AMN=α，在△ABM中利用正弦定理得出x关于α的函数，从而可得x的最小值．本题考查正弦定理解三角形的应用，属中档题．17.【答案】解：（1）数列{a n}的前n项和S n满足=+1，所以：，所以：数列{}为等差数列，且，则：，即，当n≥2时，=2n-1．又a1=1也满足上式，所以：a n=2n-1；（2）由（1）知，，∴，由有n2≥4n+2，有（n-2）2≥6，所以n≥5，∴n的最小值为5．【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，∵MN，EF，∴四边形EFMN是平行四边形，∵EF⊥BE，EF⊥DE，BE∩EF=E，∴EF⊥平面BDE，∴EF⊥EN，∴MF⊥MN，在△DFC中，DF=FC，又∵M为CD的中点，∴MF⊥CD，又∵MF∩MN=M，∴MF⊥平面BCD．解：（Ⅱ）∵DE⊥BE，DE⊥EF，BE∩EF=E，∴DE⊥平面BEF，以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC=2，则E（0，0，0），F（0，1，0），C（-2，2，0），M（-1，1，1），∴=（0，1，0），=（-1，0，1），=（2，-1，0），设面EMF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），同理，得平面CMF的法向量=（1，2，1），设二面角E-MF-C的平面角为θ，则cosθ==，∴二面角E-MF-C的余弦值为．【解析】（Ⅰ）取DB中点N，连结MN、EN，四边形EFMN是平行四边形，由EF⊥BE，EF⊥DE，得EF⊥平面BDE，从而EF⊥EN，MF⊥MN，求出MF⊥CD，由此能证明MF⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为原点，BE、EF、ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-MF-C的余弦值．本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．19.【答案】解：（1）完成列联表（单位：人）：由列联表，得：k2==＞，∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×=7人，偶尔或不用网购的有10×=3人，∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：P==．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，由题意X～B（10，0.6），∴随机变量X的数学期望E（X）=10×0.6=6，方差D（X）=10×0.6×0.4=2.4．【解析】（1）完成列联表，由列联表，得k2=，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有10×=7人，偶尔或不用网购的有10×=3人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由2×2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意X～B（10，0.6），由此能求出随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X）．本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设直线l的方程为y=2x+b，联立直线l与抛物线C的方程，得x2-2x-b=0，△=4+4b=0，所以，b=-1，因此，直线l的方程为y=2x-1；（2）设直线l的方程为y=2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C的方程，得x2-2x-b=0，△=4+4b＞0，所以，b＞-1．由韦达定理得x1+x2=2，x1x2=-b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ的方程为，由，得2x2+x-5-2b=0，由韦达定理得，，所以，，所以，＞，所以，的取值范围是，．【解析】（1）设直线l的方程为y=2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△=0求出b的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y=2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21.【答案】解：（Ⅰ）令φ（x）=f（x）-g（x）=，x＞0；则φ′（x）=．令G（x）=e x-2x（x＞0），G′（x）=e x-2（x＞0），易得G（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，∴G（x）≥G（ln2）=2-2ln2＞0，∴e x-2x＞0在（0，+∞）恒成立．∵φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．∴φ（x）≥φ（1）=e-2＞0．∵f（x）＞g（x）；（Ⅱ）∵点P（x，xf（x）），点Q（-sin x，cos x），∴h（x）==-x sinx+e x cos x，h′（x）=-sin x-x cosx+e x cos x-e x sin x=（e x-x）cos x-（e x+1）sin x．①当x，时，可知e x＞2x＞x，∴e x-x＞0∴（e x-x）cos x≥0，（e x+1）sin x≤0，∴h′（x）=（e x-x）cos x-（e x+1）sin x≥0．∴h（x）在[-，0）单调递增，h（0）=1＞0，h（-）＜0．∴h（x）在[-，0]上有一个零点，②当x，时，cos x≥sin x，e x＞x，∴e x cos x＞x sinx，∴h（x）＞0在（0，]恒成立，∴在，无零点．③当，时，0＜cos x＜sin x，h′（x）=e x（cos x-sin x）-（x cosx+sin x）＜0．∴在，单调递减，＜，＞．∴h（x）在（，]存在一个零点．综上，h（x）的零点个数为2．．【解析】（Ⅰ）令φ（x）=f（x）-g（x）=，x＞0；则φ′（x）=．易得e x-2x＞，φ（x）≥φ（1）=e-2＞0．即可证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ）h（x）==-xsinx+e x cosx，分①x，②x，③时，讨论h（x）的零点个数即可．本题考查了利用导数解决函数零点问题，考查了分类讨论思想，属于压轴题．22.【答案】解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得．∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，即x2+y2-4x=0．∴曲线的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4；（Ⅱ）把代入x2+y2-4x=0，得．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2=-3．不妨设t1＜0，t2＞0，∴=．【解析】（Ⅰ）由（t为参数）直接消去参数t，可得直线的普通方程，把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ，结合ρ2=x2+y2，x=ρcosθ可得曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）把代入x2+y2-4x=0，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t的几何意义求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数t的几何意义是解题的关键，是中档题．23.【答案】解：（I）当x≤1时，不等式为：1-x+2（3-x）≤4，解得x≥1，故x=1．当1＜x＜3时，不等式为：x-1+2（3-x）≤4，解得x≥1，故1＜x＜3，当x≥3时，不等式为：x-1+2（x-3）≤4，解得x≤，故3≤x≤．综上，不等式f（x）≤4的解集为[1，]．（II）由f（x））-m2-m＞0恒成立可得m2+m＜f（x）恒成立．又f（x）=，，＜＜，，故f（x）在（-∞，1]上单调递减，在（1，3）上单调递减，在[3，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（3）=2．∴m2+m＜2，解得-2＜m＜1．即m的最值范围是（-2，1）．【解析】（I）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（II）根据f（x）的单调性求出f（x）的最小值，得出关于m的不等式，从而求出m的范围．本题考查了绝对值不等式的解法，函数最值与函数恒成立问题，属于中档题．。

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2018-2019学年度第一学期高三级第三次联考试卷
理科数学
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）
1. 已知集合{}()(){}0,150=A x B x x x A B =≥=+-<⋂，则（）
A ．[－1，4)
B ．[0，5)
C ．[1，4]
D ．[－4，－1) ⋃ [4，5)
2.已知i
为虚数单位，则复数z =z 为（） A ．22i +B ．22i - C ．1i +D ．1i -
3. 已知向量),1(m a =→，)2,3(-=→b ，且→
→→⊥+b b a )(，则=m （）
A. -8
B. -6
C. 6
D. 8 4.已知函数()133x
x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数
C.是奇函数，且在R 上是减函数
D.是偶函数，且在R 上是减函数
5. 设实数x y ，满足20401x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩
，，，≥≤≥则2x y -的最小值为（） A. －5B.－4C.－3D.－1
6. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）：
由上表可得回归方程为ˆˆ10.2y
x a =+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为 A ．101.2 B ．108.8 C ．111.2 D ．118.2
7. 给出下列命题，其中错误命题的个数为( )
（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行；
（2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直；
（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；
（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面
A ． 1
B 2
C 3
D 4
8. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．7
9. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+02ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝
π⎭，，其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316
π个单位后，得到的图象关于
4
π轴对称，那么函数()y f x =的图象（） A ．关于点,016⎛π⎫- ⎪⎝⎭对称 B ．关于点,016⎛π⎫ ⎪⎝⎭对称 C ．关于直线16x =π对称D ．关于直线4
x =-π对称 10. 已知数列{}n a
满足111,n a a +==，则20a =
A ．0 B
．
11．已知椭圆13
42
2=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，过2F 且垂直于长轴的直线交椭圆于B A ,两点，则1ABF ∆内切圆的半径为（）
A ．34
B ．1
C ．54
D ．4
3 12.已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R .若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，则a 的取值范围是（）
A ．[e,)+∞ B
．2[e ,)+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13．6)1
1)(12(x
x -+的展开式中的常数项是__________． 14．在A B C ∆中，.2,3,60==︒=∠AC AB A .若2BD DC =
，
()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.
15．如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，60B ∠=︒，150D ∠=︒，28AB BC ==，则四边形ABCD 的面积为__________．
16．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积
为
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17.（本题12分）△ABC 的内角为C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知cos sin sin cos a b c C B B C =+． （1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值；
（2
）若b =ABC ∆的面积最大时，ABC ∆的周长；
18.（本题12分）已知等比数列{}n a 的公比1>q ，且28543=++a a a ，24+a 是53,a a 的等
差中项．数列{}n b 满足11=b ，数列{}n n n a b b ⋅-+)(1的前n 项和为n n +22．
（1）求q 的值；
（2）求数列{}n b 的通项公式．
19．（本题12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD
的中点，且2,PA AB AC BC ====（1）求证：CD ⊥平面PAC ；
（2）如果N 是棱AB 上一点，且直线CN 与平面MAB
,求AN NB
的值. 20.（本题12分）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示
. 侧视图
俯视图23
4
44
2244正视图。

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