镜像法(课堂PPT)

第3章 静电场及其边值问题的解法
q
h
有效区域
h
h
q
R R
q
q
.
16
*
电磁场§ 3.6 镜像法
z
q
h
p(x, y,z)
x
第3章 静电场及其边值问题的解法
* 选无穷远处为参考点，则在z>0的空间任一点p的总电位是：
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
4qR4qR
故对z=0平面上任意点有RRR0:
.
3
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
周期边界条件
(2π)
➢ 边值条件
自然边界条件 （无界空间）
limr有限值
r
r
2π
S
衔接条件
----不同媒质分界面上的边界条件，如
1
1
12, 1n12n2.
2
2
4
电磁场
例： y
b
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法
2
x2
2
y 2
0
(0 ,y)0 ,(a ,y)0
n
s
f 2 s
混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合
（第三类）
s1
f3s
n
s2
f4 s
.
2
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
➢ 2. 边值条件包括：
1. 场域的边界条件 2. 衔接条件----不同媒质分界面上的边界条件 3. 周期边界条件 4. 自然边界条件 （无界来自百度文库间）
.
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电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
镜像法:
用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界 的空间变成同一媒质空间，使计算简化。
3. 理论依据：惟一性定理
.
12
电磁场
4. 镜像法应用的关键点 镜像电荷的确定
第3章 静电场及其边值问题的解法
个数、位置、电量大小——“三要素” 。
等效求解的“有效场域”
非均匀感应电荷
q
几个实例
接地导体板附近有 一个点电荷，如图所 示。
等效电荷
q′
非均匀感应电荷产生的电位很难求
解，可以用等效电荷的电位替代
.
9
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷
q′
q
非均匀感应电荷
非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
电位的法向导数
n
s
f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即
s1
f3s
n
s2
f4 s
1
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值
s
f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
有惟一值。
V S
即，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。
惟一性定理的重要意义 给出了静态场边值问题具有惟一解的条件
为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据
为求解结果的正确性提供. 了判据
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电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
§ 3.6 镜像法 Image Method
本节内容
镜像法的基本原理
域边界以外虚设的较简单的等效电荷来等效替代场域边界上
未知的较为复杂的电荷分布的作用，且保持原有边界上边界 条件不变，则根据惟一性定理，待求场域空间电场可由原来
的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀 媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化；
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
(x,0)0,(x,b)U 0
（第一类边值问题）
例：
y
b
U0
0 x
0 x
O
a
x .
2
x2
2
y 2
0
x x0
0,
x xa
0
(x,0)0,(x,b)U 0
5
（第三类边值问题）
电§磁3.场5 静电场边值问题，唯一性定理
第3章 静电场及其边值问题的解法
3. 边值型问题的解法
边值型问 题解法
计算法
解析法
实验法 图解法
数值法
.
镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法
…
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法
…
6
电§磁3.场5 静电场边值问题，唯一性定理
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、惟一性定理 Uniqueness Theorem
惟一性定理的表述
在场域V 的边界面S上给定 或 的
n 值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具
接地导体平面的镜像
点电荷对无限大介质平面的镜像
导体球面的镜像
导体圆柱面的镜像
线电流对无限大磁介质平面的镜像
.
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电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
一、 镜像法的基本原理 1. 问题的提出
当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会
出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的
分布。
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
➢ 静态场问题
分布型问题
给定场源分布，求任意点
场强或位函数；
静
态
第一类
场
边界条件
问
题
边值型问题
给定边界条件，求解位函 数的泊松方程或拉普拉斯 方程，以得到任意点位函 数或场强；
第二类 边界条件
第三类 边界条件
.
已知场域边界
上各点电位值
s
f1s
已知场域边界上各点
5. 确定镜像电荷的两条原则 镜像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；
镜像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定；
.
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电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、 接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像 2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 3. 点电荷对半无限大接地导体角域 (导体劈) 的镜像
q q 0 4 R0
得 q q
于 是 4 q R 1 ， R 1 4 q x 2 y 2 1 ( z h ) 2x 2 y 2 1 ( z h ) 2
可见，引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所 求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
.
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电磁场 § 3.6 镜像法
二、 接地导体平面的镜像
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
h
待求场域：上半空间 边界： 无限大导体平面 边界条件： 0
求（1）导体上方（即z>0的空间）的电位分布； （2）导体表面的感应电荷。
.
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电磁场 § 3.6 镜像法
接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。
结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。
问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
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电磁场
2. 镜像法的原理
第3章 静电场及其边值问题的解法
➢ 镜像法概念：在一定条件下，用一个或多个位于待求场