最新数学建模作业

《数学建模》作业

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指导教师

二〇一七年六月

数学建模作业

第一部分：请在以下两题中任选一题完成（20分）。

1、（马王堆一号墓入葬年代的测定建模问题）湖南省长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳-14平均原子蜕变数为29.78次/分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中碳-14（C-14）原子蜕变数为38.37次/分钟.又知碳-14的半衰期为5730年，试推断该一号墓入葬的大致年代。

问题分析：放射性元素衰变的速度是不受环境影响的，它总是和该元素当前的量成正比，运用碳—14测定文物或化石年代的方法是基于下面的理由：

（1）宇宙射线不断轰击大气层，使大气层中产生碳—14而同时碳—14又在不断衰变，从而大气层中碳—14含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上是不变的；

（2）碳—14被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的碳—14也处于动态平衡中，其含量在物体中所占的百分比自古至今都是一样的；

（3）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取碳—14，从而其体内碳—14含量将由于衰变的不断减少，碳定年代法就是根据碳—14的减少量来判断物体的大致死亡时间。

模型建立

设t 时刻生物体中碳—14的含量为x （t ），放射性物质的半衰期（即放射性物质的原子数衰减一半所需的时间）为T ，生物体死亡时间为t0，则由放射性物质衰变规律得数学模型

⎪⎩⎪⎨⎧=-=,)(,00

x t x x dt

dx λ ① 其中0>λ称为衰变系数，由放射性物质所决定，x 0为生物体在

死亡时刻t 0时的碳—14含量。

模型求解

对所得的一阶线性微分方程模型①采用同变量分离法求解，得 e x t t x t )(00)(--=λ

由于T t t =-0时，有

021)()(x T t x t x =+= 代入上式，有

T e T 2ln ,212=

=-λ 所以得

T t t e x t x )

(2ln 00)(--= ②

这就是生物体中碳—14的含量随时间衰变的规律，由之易解得 )

()(ln 2ln 00t x t x T t t =- ③ 将所得的数学模型的一般解应用于本例，此时以

T=5730,

37.380=x (新木炭标准中碳—14原子蜕变数)，

X(1972)=29.78（出土的木炭标本中碳—14原子蜕变数） 代入到③式,得

209578.2937.38ln 2ln 57300≈=-t t 年 于是得

1232095197220950-=-=-≈t t 年

结果表明,马王堆墓入葬年代大约在公元前123年左右的西汉中期，该结论与马王堆出土文物的考证结果相一致。本例中所显示出的运用碳—14衰变来测定文物或化石年代的方法叫做碳定年代法。

第二部分：请谈谈自己听课后的感受及对数学建模的认识（20 分）。

在数学建模课程中，虽然只有短短的一上午，但是老师带领着我们打开了新世界的大门，对于我们城乡规划的学生，数学距离我们已经有些距离了。从大一学习较容易的高等数学之后，与数学便失去了缘分。数学建模的课程中，老师给我们讲了包饺子的问题，设置路障的问题都可以延伸到生活中的很多问题，为我们提供了一种新的思考方式，更加紧密的将数学与生活连接在了一起。

数学建模，是一种比较全面体现我们综合能力的方式，不仅是对我们专业知识的大练兵，更重要的是培养我们严谨务实的科学态度和刻苦钻研的毅力；学会尊重实践数据，倡导殚精竭虑的研究过程。所有这些都是我们实现科技创新所必需的基本要求。

面对实际问题，必须要对它进行抽象化套用数学原理建立模型，同时要根据实践经验对实际的结果进行理论分析和预测，不妨称之为

预期结果；然后通过描述模型进行数据计算，得到数据结果，我们不妨称之为理论结果。这样不难把事先分析的预期结果和理论结果进行分析比较，认真深入分析，不断改进理论模型，分析数据结果的缘由。通过不断改进模型甚至完全否定先前所做的一切抽象假设，另建模型，这实际上是一个不断发现问题——解决问题——再发现问题的过程。这一过程锻炼了我们的分析能力、动手操作能力和钻研能力，这也是一个逐步改进，逐步创新的过程。在这一过程中，我们不断纠正和深入对实际问题的认识，反复提炼问题的关键所在，不断尝试使用不同的方法分析比较，寻求解决问题的最佳方案。我们调用大脑中所有的知识积累，通过反复验证使用的原理方法，实现解决问题方案的可行性、准确性，独到性，这是一个非常艰辛的创造过程。

第三部分：灰色关联分析方法建模问题（60分）。

B 题：研究表明，影响软件项目维护成本的因素如图1所示。现知某软件公司2016年A、B、C、D、E等五个软件项目维护成本支出及其影响因素维护成本支出分摊的估算数据如表1所示，试应用灰色关联分析方法分析影响维护成本的主要影响因素。

图1软件项目维护成本影响因素指标体系

注：本题要求要有模型方法、数据、结果分析与比较，并以图表的形式

0 引言

软件维护是软件交付用户使用后，为保证软件安全稳定运行而对其进行修改的过程．通过维护修改软件缺陷，提高软件性能或其它属性，使软件产品适应新环境，延长软件生命周期．软件维护工作量很大，虽然在不同的应用领域维护成本差别很大，但平均说来，大型软件项目的维护成本高达开发成本的 4倍左右．目前国外许多软件开发组织把 60％的人力用于维护已有软件，而且随着软件数量增多和使用寿命延长，这个百分比还在持续上升 J．对软件项目维护成本影响因素进行关联分析，找出影响程度较高的主要因素，在制定维护计划以及维护管理过程中着重控制好这些主要因素，是降低维护成本、提高软件企业经济效益的重要手段．同时，通过对影响因素的关联分析，在开发阶段就解决好主要因素引起的潜在问题，对于提高软件质量、降低软件成本、为用户提供更优良的服务等方面具有重要意义．