人教A版高中数学必修四课件：章末整合提升1
2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1 章末高效整合 精品
2．明确三角函数的定义，牢记三角函数值的符号 (1)定义：角 α 的顶点放在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，角 α 的终边 与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝sin α，x＝cos α，xy＝tan α(x≠0)． 即①y 叫作 α 的正弦，记作 sin α； ②x 叫作 α 的余弦，记作 cos α； ③xy叫作 α 的正切，记作 tan α.
A．ω＝2π，φ＝π6 B．ω＝π，φ＝π6 C．ω＝π，φ＝π3 D．ω＝2π，φ＝π3
(2)经过怎样的变换由函数 y＝sin 2x 的图象可得到 y＝cos x＋π4的图象？ 解析： (1)由函数的图象可知 A＝2，T＝4×56－13＝2，所以 ω＝2Tπ＝π，因 为函数的图象经过13，2，所以 2＝2sinπ3＋φ，得π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，因为|φ| ＜π2，所以取 k＝0，所以 φ＝π6，所以 ω＝π，φ＝π6.
(2)利用诱导公式，可以把任意角的正弦、余弦函数值化为锐角三角函数值， 其一般步骤为：负化正(公式三或一)、大化小(公式一)、锐角求值(公式二或四)．
化简求值中注意利用角与角之间隐含的互余或互补关系，从而简化解题过 程．
5．探究性质应用，对比周期公式 (1)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的周期是 2π，y＝tan x 的周期是 π；函数 y＝ Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的周期是|2ωπ|，y＝Atan(ωx＋φ)的周期是|ωπ|. (2)函数 y＝sin x 和 y＝cos x 的有界性为－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1；函数 y＝ tan x 没有最值，其有界性可用来解决三角函数的最值问题． (3)利用函数的单调性比较同名三角函数值的大小时，注意利用诱导公式将角 转化到同一单调区间内．求形如 f(ωx＋φ)(f 为 sin，cos，tan)的单调区间时，应 采用整体代换的思想将 ωx＋φ 视为整体，求解时注意 x 的范围以及 ω，f 的符号 对单调性的影响．
2017秋人教A版高中数学必修四：章末整合提升1 (共46张PPT)
1 24 [解析] (1)将 sinx＋cosx＝ 两边平方得 2sinxcosx＝－ ， 5 25 49 ∴(sinx－cosx) ＝1－2sinxcosx＝ . 25
2
π ∵－ <x<0， 2
数 学 必 修 ④ · 人 教 A 版
∴sinx<0，cosx>0，∴sinx－cosx<0. 7 故 sinx－cosx＝－ . 5
[思路分析] 利用特殊角的三角函数值判断点 P 所在的象限， 再利用特殊角的 三角函数值求解，也可以利用三角函数定义和诱导公式求解．
第一章 三角函数
5π 1 5π 3 1 3 [解析] 方法一：由 sin ＝ ，cos ＝－ 可知点 P 的坐标为( ，－ )，故 6 2 6 2 2 2 5π 第四象限角，且 tanα＝－ 3，所以 α＝ . 3 5π π π π π 方法二：由三角函数定义知，sinα＝cos ＝cos( ＋ )＝－sin ＝sin(－ )，与 6 2 3 3 3
新课标导学
数 学Βιβλιοθήκη 必修④ ·人教A版第一章三角函数
章末整合提升
1
2
知 识 结 构
专 题 探 究
第一章 三角函数
知识结构
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第一章 三角函数
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第一章 三角函数
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第一章 三角函数
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第一章 三角函数
专题二 ⇨利用三角函数及关系化简、证明、计算
三角函数的定义及同角三角函数的基本关系在高考中应用比较多，结合化简、 sinα 求值、证明进行考查，注意公式 sin α＋cos α＝1 和 tanα＝ 及变形公式的灵活 cosα
人教A版高中数学必修第一册第四章章末重构拓展课件
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
17．(本小题满分15分)设函数f (x)＝log2(ax－bx)，且f (1)＝1，f (2)＝ log212． (1)求a，b的值； (2)求函数f (x)的零点； (3)设g(x)＝ax－bx，求g(x)在[0，4]上的值域．
类型3 指数函数、对数函数的性质及应用 1．以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用 性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或 不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围． 2．掌握指数函数、对数函数的图象及性质，提升数学运算和逻辑推 理素养．
√ √
时间/min 0
1
2
3
4
水温/℃ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53
5 67.27
设茶水温度从100 ℃开始，经过x min后的温度为y ℃，现给出以下 三种函数模型： ①y＝kx＋b(k<0，x≥0)； ②y＝kax＋b(k>0，0<a<1，x≥0)； ③y＝loga(x＋k)＋b(a>1，k>0，x≥0)．
√ √ √
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
√ √
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
【名师一号】高中数学 章末总结1课件 新人教A版选修1-1
其中的真命题是( A．p1，p3 C．p2，p3
) B．p1，p4 D．p2，p4
1x 1x [解析] 对于 p1：当 x∈ (0，＋∞)时，总有( ) >( ) 成立， 2 3 1 1 1 是假命题； 对于 p2： 当 x＝ 时， 1＝log1 x＝log1 ＝log1 >log1 2 2 2 2 3 3 3 1 1x ＝ log1 x 成立，为真命题；对于 p3：结合指数函数 y＝ ( ) 与 2 2 3 1 对数函数 y＝ log x 在(0， ＋∞ )上的图像可以判断其是假命题； 2 1x 对于 p4：结合指数函数 y＝( ) 与对数函数 y＝ log1 x 在 (0， 2 3
为假命题 . 因此“(綈 p)∧(綈 q)为假命题”是“p∨q 为
真命题”的充要条件．
[答案]
C
【例 2】 (2010· 北京西城测试)下列说法错误的是(
)
A．已知命题 p 为“∀x∈[0，＋∞)， (log32)x≤1”，则 綈 p 是真命题
B．若 p∨q 为假命题，则 p，q 均为假命题 C．x>2 是 x>1 充分不必要条件 D．“全等三角形的面积相等”的否命题是假命题
第一章 常用逻辑用语
章 末 总 结
知识框图
热点问题透析
知识框图
(学生用书 P17)
热点问题透析
专题一 【例 1】
(学生用书 P17)
命题及其关系 (2010· 安庆一中月考 )若 p， q 是两个命题，则 )
“ (綈 p)∧(綈 q)为假命题”是“p∨ q 为真命题”的 (
A．充分非必要条件 C．充要条件
1 2 1 b 2 b2 [解析] 由于 a>0， 令函数 y＝ ax －bx＝ a(x－ ) － ， 2 2 a 2a b b2 此时函数对应的开口向上，当 x＝ 时，取得最小值－ ，而 a 2a b 1 2 x0 满足关于 x 的方程 ax＝b，那么 x0＝ ， ymin＝ ax0－ bx0＝ a 2 b2 1 2 b2 1 2 － ， 那么对于任意的 x∈R， 都有 y＝ ax － bx≥－ ＝ ax0 2a 2 2a 2 － bx0.
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4.弧度制： (1)1弧度的角：长度等于半径的弧所对的圆心角.
360o=2 rad 180o= rad
=l r
r 1rad Or
(2)弧长公式： l = r
(3)扇形面积公式：
S扇=
1lr 2
1 2
r2
练习
已知一个扇形的周长是4cm,面积为1cm2，
则这个扇形的圆心角的弧度数为_____________
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
总结: yA sin(x)b.
A1 2fxma x fxmin
b12fxma x fxmin
利用T 2 ，求得
图像 定义域 值域
ysinx
y
1
2
0
2
-1
3 2
2 5 x
2
xR
y [1,1]
ycoxs ytanx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
3 2
1ta2n
与二倍角公式相关的公式变形
sin cos 1sin2
2
1sin2 (sin cos)2
1sin2 (sin cos)2
cos 2 1 cos 2
2
sin 2 1 cos 2
2
辅 助 角 公 式
acosx bsin x acosx bsin x asin x bcosx asin x bcosx
必修四复习
三角函数部分
一、角的有关概念
1、角的概念的推广
(,)
y 的终边
正角
o
零角
负角 x
的终边
2、角度与弧度的互化
高中数学必修4全册课件ppt人教版
跟踪训练 3．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm， 求扇形的面积； (2)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形的 圆心角的弧度数．
解：(1)扇形的圆心角为 75×1π80＝51π2，扇形半径为 15 cm. ∴扇形的面积 S＝12|α|·r2＝12×51π2×152＝3785π(cm2)．
长及扇形面积． (1)43π；(2)165°. 【解】 (1)l＝|α|·r＝43π×10＝430π(cm)， S＝12|α|·r2＝12×43π×102＝2030π(cm2)．
(2)165°＝1π80×165 rad＝1112π rad. ∴l＝|α|·r＝ 1112π×10＝565π(cm)， S＝12l·r＝12×565π×10＝2675π(cm2)．
③yx叫做 α 的 正切 ，记作 tan α ，即tan α＝yx (x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余
【名师点评】 (1)弧长公式 l＝|α|·r 与扇形面积公式 S＝12 |α|·r2＝12l·r 在应用公式时，圆心角 α 的单位必须是弧度． (2)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积 S，弧长 l，圆心角 α，半径 r，已知其中的三个量一定能求得第四 个量(通过方程求得)，已知其中的两个量能求得剩余的两 个量(通过方程组求得)．
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角 的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果 半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
l
注：“弧度”不是弧长，它是一
a
个比值。值有正负。
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一、知识要点：
3. 向量运算及平行与垂直的判定:
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), (b 0).
则 a b ( x1 x2 , y1 y2 )
a b ( x1 x2 , y1 y2 ) a b x1 x2 y1 y2
复习引入
1. 三角函数的定义 2. 诱导公式
sin( 2k ) sin ( k Z ) cos(2k ) cos ( k Z ) tan( 2k ) tan ( k Z )
讲授新课
三角函数线 1．单位圆：圆心在原点，半径等于单位 长度的圆叫单位圆.
2. 《习案》作业四.
第二章复习
一、知识要点：
1. 实数与向量的积的运算律： (1) ( a ) ( )a (2) ( )a a a (3) (a b ) a b 2. 平面向量数量积的运算律:
(1) a b b a ( 2) ( a ) b ( a b ) a ( b ) ( 3) ( a b ) c a c b c
N
F B
课堂小结
掌握向量的相关知识.
课后作业
《习案》作业二十七.
步骤： ⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P． ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M． ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长 线)交于T．
课堂小结
1. 三角函数线的定义；
2. 会画任意角的三角函数线；
3. 利用单位圆比较三角函数值的大小，
求角的范围.
课后作业
1. 阅读教材P.15-P.17；
高一数学必修4课件：章末归纳总结1
2 1 解得 ≤sinα<1或－ <sinα≤0. 3 3
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
1 2 1 1 2 12 2 ∴y＝sin β－ sin α＝ (3sin α－2sinα)－ sin α＝(sinα－ ) 2 2 2 2
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
π π π 5π (3)当x∈[0，2]时，2x－6∈[－6， 6 ]， ∴当x＝0时f(x)取得最小值， π 即2sin(－ )＋a＝－2，∴a＝－1. 6
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
规律总结：(1)研究性质前，先要把函数化简为y＝ Asin(ωx＋φ)＋h的形式． 2π (2)求最小正周期通常直接利用公式T＝ |ω| 或根据函数图 象求得． (3)求三角函数最值常用方法是换元法．
得sin2θ－cos2θ的值．
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
1 ∵sinθ＋cosθ＝ ， 5
1 1 1 1 1 12 2 ∴sinθcosθ＝2(sinθ＋cosθ) －2＝2×25－2＝－25<0. ∴sinθ和cosθ的符号相反．
π 又∵θ∈(0，π)，∴θ∈2，π.
第一章
章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[例5]
π 已知函数f(x)＝2sin(2x－ )＋a.(a为常数)． 6
(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调递增区间； π (3)若x∈[0，2]时，f(x)的最小值为－2，求a的值． [分析] 2π (1)T＝ ω ；
高中数学必修4课件全册(人教A版)
课件应注重与实际生活的联系增强学生的应用能力。
针对学生的实际情况调整课件难度和进度。
汇报人：
感谢观看
难点：向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积的计算
应用：平面向量在物理、工程等领域的应用
第三章 三角恒等变换
三角恒等变换的定义和性质
三角恒等变换的基本公式和定理
三角恒等变换的应用和解题技巧
三角恒等变换在数学中的地位和作用
第四章 解三角形
内容：介绍解三角形的概念、方法和应用
重点：正弦定理、余弦定理和面积公式的应用
,
高中数学必修4课件全册(人教版)
目录
01
添加目录标题
02
课件概览
03
章节内容
04
习题与答案
05
教学建议与注意事项
01
添加章节标题
02
课件概览
课件封面
封面设计简洁明了凸显高中数学必修4的主题
封面风格与教材内容相符合体现数学的严谨性和逻辑性
封面采用人教版的标志表明版本一致
封面包含书名、作者、出版社等信息方便识别
难点：如何利用解三角形的方法解决实际问题
解题技巧：掌握解三角形的步骤和技巧能够灵活运用公式解决各种问题
04
习题与答案
章节习题
第三章 三角恒等变换
第一章 三角函数
第二章 平面向量
第四章 解三角形
习题答案及解析
答案：提供详细的习题答案
解析：对答案进行详细的解析和说明
解题思路：提供解题思路和技巧帮助学生更好地理解和掌握
03
章节内容
第一章 三角函数
内容：介绍三角函数的定义、性质、图像和基本公式
高中数学新课标人教A版必修四归纳整合课件
网络构建
专 题 归 纳 解 读 高 考 第二十五页，编辑于星期一：点 十一分。
(3)由 y＝sin2x－34π，可得如下表中数据.
x0
π 3π 5π 7π 8 888
π
y
－
2 2
－1
0
1
0
－
2 2
故函数 y＝f(x)在区间[0，π]上的图象如图所示．
网络构建
专 题 归 纳 解 读 高 考 第二十六页，编辑于星期一：点 十一分。
(2)把 y＝sin x 向左平移6π个单位得到 y＝sinx＋6π，然后纵坐标 保持不变、横坐标缩短为原来的12， 得到 y＝sin2x＋6π，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得 到 y＝12sin2x＋6π，最后把函数 y＝12sin2x＋π6的图象向下平移 1 个单位，得到 y＝12sin2x＋6π－1 的图象．
网络构建
专 题 归 纳 解 读 第十八页，编辑于星期一：点 十高一分。考
(3)由已知函数图象求函数 y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式 时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值 确定 A，由周期确定 ω，由适合解析式的点的坐标来确定 φ， 但由图象求得的 y＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的解析式一般不是 唯一的，只有限定 φ 的取值范围，才能得出唯一的解，否则 φ 的值不确定，解析式也就不唯一．
网络构建
专 题 归 纳 解 读 第十九页，编辑于星期一：点 十高一分。考
【例 3】 如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π2) 的一段图象． (1)求此函数解析式； (2)分析一下该函数是如何通过 y＝sin x 变换得来的？
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换 章末整合
预习新知
专题一 专题二 专题三
导学探究
触类旁通
【例 2】 求值:sin 50°· (1+ 3tan 10°). 解 :方法一 :原式 =sin 50° 1 + 3 =sin 50° · =sin 50° · =sin 50° ·
cos60 °cos10 °
=
1 cos10 2
°
=
cos10 °
=1.
预习新知
专题一 专题二 专题三
导学探究
触类旁通
迁移应用 2 A.1 tan28 °
sin2 002°sin2 008°-cos6 °
sin2 002°cos2 008°+sin6 ° 1
的值是
(
)
B.
C.-tan 28° 答案 :A 解析 :原式 = =
预习新知
导学探究
触类旁通
预习新知
专题一 专题二 专题三
导学探究
触类旁通
专题一
三角函数式的化简
三角函数的化简,主要有以下几类:(1)对三角的和式,基本思路是降幂、消项和 逆用公式;(2)对三角的分式,基本思路是分子与分母的约分和逆用公式,最终变成 整式或数值;(3)对二次根式,则需要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现 的则是化归的思想,是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”; 角的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
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2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：章末复习提升1
1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换.2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”.3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分.4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是”来表示.5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混.6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断.1.转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化. 例1 判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ； (3)若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |.解 (1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真.(2)该命题的逆否命题：“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假. (3)该命题的逆否命题：“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它为假命题，故原命题为假. 跟踪训练1 下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2(其中r >0)； (2)p ：x ＋y ≠－2，q ：x ，y 不都是－1.解 (1)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2，所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立，说明圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件. (2) 綈q ：x ＝－1且y ＝－1，綈p ：x ＋y ＝－2.∵綈q ⇒綈p ，而綈p ⇏綈q ，∴綈q 是綈p 的充分不必要条件，从而，p 是q 的充分不必要条件.例2 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3). (2) 綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈q ⇏綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].跟踪训练2 命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围.解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2. 由已知条件知：p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1，当q 为真，p 为假时有：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，－2≤a <1或a >2.2.分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语这章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.例3 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围. 解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真.p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a＞52. (1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩([12，1)∪(1，52])，即a ∈[12，1).(2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩[(0，12)∪(52，＋∞)]，即a ∈(52，＋∞).综上，a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞).方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝{a |0<a <12或a >52}，∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈(A ∪B )且a ∉(A ∩B )， 故a 的取值范围为[12，1)∪(52，＋∞).跟踪训练3 命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的定义域为R ；命题q ：函数g (x )＝x ＋ax －2在(2，＋∞)上是增函数.如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解 当p 为真命题时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4－4a <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a >1，∴a >1. 当q 为真命题时，g (x )＝x －2＋2＋a x －2＝1＋a ＋2x －2在(2，＋∞)上是增函数，∴a ＋2<0，即a <－2.∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题， ∴p 与q 一真一假，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞).3.数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上.例4 设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是_____. 答案 0<m <1解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图象如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，2m ＋1>1，故0<m <1即为f (x )在区间(m,2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件.故填0<m <1.跟踪训练4 已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.(0，12)B.(12，1) C.(1,2) D.(2，＋∞)答案 B解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为(12，1).4.反证法反证法是一种间接证法，它回避了从正面直接证明命题，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论.从逻辑角度看，命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则綈q ”，由此进行推理，如果产生矛盾，那么就说明“若p ，则綈q ”为假，从而可以得出“若p ，则q ”为真，达到证明的目的.反证法是高中数学解题的一种基本方法.例5 如果a ，b ，c ，d 为实数，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证a ，b ，c ，d 中至少有一个负数.证明 假设a ，b ，c ，d 中至少有一个负数不成立，则a ，b ，c ，d 都为非负数，即a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0.因为a ＋b ＝1，c ＋d ＝1， 所以(a ＋b )(c ＋d )＝1， 即(ac ＋bd )＋(bc ＋ad )＝1.因为a ，b ，c ，d 均为非负数，于是bc ＋ad ≥0， 故由上式可以知道ac ＋bd ≤1， 这与已知条件的ac ＋bd >1矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c ，d 中至少有一个负数.跟踪训练5 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半. 已知：在△ABC 中，∠BAC >90°，D 是BC 边上的中点， 求证：AD <12BC (如图所示).证明 假设AD ≥12BC .①若AD ＝12BC ，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”知∠BAC ＝90°，与题设矛盾.所以AD ≠12BC .②若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ，所以在△ABD 中，AD >BD ，从而∠B >∠BAD ，同理∠C >∠CAD . 所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD ， 即∠B ＋∠C >∠BAC .因为∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ， 所以180°－∠BAC >∠BAC .故∠BAC <90°，与题设矛盾.由①②知AD <12BC .1.对于命题的判断问题，在考试中往往涉及多个知识点综合进行考查.考查知识点涉及逻辑联结词、三角函数、不等式、立体几何等诸多内容，得到命题者的青睐.该部分的考查重点有两个：(1)是综合其他知识，考查一些简单命题真假的判断；(2)是考查命题四种形式之间的关系.体现了考纲对“命题、充分条件、三角函数的有界性、不等式的性质以及空间线面关系等”的要求.解决此类问题的关键是灵活根据题干和选项进行判断，主要是选出错误的命题，所以可以利用特例法确定选项，即只需举出一个反例即可说明命题是假命题，对于较难判断的问题，可以转化为它的逆否命题来解决.2.充分条件、必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径.通过对命题条件和结论的分析，考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解.3.正确理解逻辑联结词的含义，准确把握含有三个逻辑联结词的命题的判断方法，熟记规律：已知命题p 、q ，只要有一个命题为假，p ∧q 就为假；只要有一个为真，p ∨q 就为真，綈p 与p 真假相对.另外注意命题的否定与命题的否命题的区别，这是两个很容易混淆的概念，要准确把握它们的基本形式，不能混淆.4.解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面：一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式，这两类命题的否定形式有严格的格式，不要和一般命题的否命题的形式混淆；二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法，即只要找出一个反例就可说明全称命题为假，只要找到一个正例就可以说明特称命题为真.。
第一章章末梳理1-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
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第一章 集合与常用逻辑用语
(2)A是 B 的必要条件，即BEA.
(3)A是 B 的充要条件，即A=B.
数学(必修·第一册·RJA)
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第一章集合与常用逻辑用语
数学(必修·第一册·RJA)
(4)A是B的即不充分也不必要条件， 即ANB=0 或A,B 既有公共元素也有非公共元素
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第一章 集合与常用逻辑用语
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常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语 言，也是数学表达和交流的工具.结合初中学过的平面几何和代数知 识，我们学习了常用逻辑用语，发现初中学过的数学定义、定理、命题 都可以用常用逻辑用语表达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推 理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，从而提升我们的逻辑推 理素养.
第一章集合与常用逻辑用语
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(2)因为3∈A, 则 m+2=3 或 2m²+m=3. 当m+2=3, 即 m=1 时 ，m+2=2m²+m, 不符合题意，故舍去；
当 2m²+m=3, 即 m=1 或
,m=1 不合题意，若
+2≠2m²+m, 满足题意，故
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第一章集合与常用逻辑用语
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核心素养二
数学运算
考查方向 集合基本运算
例 2(1)设全集U={x∈N*|x<6},集合A={1,3},B={3,5}, 则
UB) 等于( D )
A.{1,4}
B.{1,5}
C.{2,5}
D.{2,4}
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》》》第一章集合与常用逻辑用语
2021版高中数学人教A必修4课件：本章整合2
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本章整合
知识建构
综合应用
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13(2015·江苏高考)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-
8)(m,n∈R),则m-n的值为 .
解析:由ma+nb=(9,-8)得, m(2,1)+n(1,-2)=(9,-8), 即(2m+n,m-2n)=(9,-8),
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综合应用
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4(2015·陕西高考)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立的是(
)
A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 解析:当a与b为非零向量且反向时,B显然错误. 答案:B
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新教材2023年高中数学第四章数列章末整合提升课件新人教A版选择性必修第二册
当 x≠1 时，(1－x)Sn＝11－－xxn－nxn ＝1－xn－1n－xnx＋nxn＋1＝1－（1＋1n－）xxn＋nxn＋1， ∴Sn＝1－（1（＋1n－）x）xn＋2 nxn＋1；
∴bn＝32＋(n－1)×12＝1＋n2， Sn＝2b2nb－n 1＝21＋ ＋nn， 当 n＝1 时，a1＝S1＝32，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝21＋＋nn－1＋n n＝－n（n1＋1），显然对于 n ＝1 不成立，
∴an＝2－3，n（n＝n1＋1 1），n≥2.
[规律方法] 已知某条件式，证明关于an(或Sn)的某个表达式成等差 (或等比)数列，问题本身就给出了条件式的变形方向，可依据等差(等比) 数列定义，结合an＝Sn－Sn－1(n≥2)对条件式变形构造新数列求解．
典例1 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列 {an}的通项公式．
[解析] 由an＋1－an＝3n－n， 得an－an－1＝3n－1－(n－1)， an－1－an－2＝3n－2－(n－2)， ……
a3－a2＝32－2，a2－a1＝3－1.
当 n≥2 时，以上 n－1 个等式两端分别相加，得(an－an－1)＋(an－1－ an－2)＋…＋(a2－a1)
典例7 求数列 214，418，6116，…，2n＋2n1＋1，…的前 n 项和 Sn. [分析] 此数列的通项公式为 an＝2n＋2n1＋1，而数列{2n}是一个等差 数列，数列2n1＋1是一个等比数列，故采用分组求和法．
[解析] Sn＝214＋418＋6116＋…＋2n＋2n1＋1
人教A版高中数学必修一课件 《章末复习提升课》函数的概念与性质
1．已知二次函数 f(x)满足 f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函
数的解析式为________． 解析：设二次函数的解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
ca＝＋1b，＋c＝2， 4a＋2b＋c＝5，
a＝1， 解得b＝0，故 f(x)＝x2＋1.
c＝1， 答案：f(x)＝x2＋1
函数的单调性和奇偶性
已知 f(x)＝x－x a(x≠a)． (1)若 a＝－2，试证明 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围．
【解】 (1)证明：∀x1<x2<－2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x＋1 2－x2x＋2 2＝（x12＋（2x）1－（xx22）＋2）. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
－x2－ax－5（x≤1），
2．已知函数 f(x)＝ax（x>1）
是 R 上的增函数，
求 a 的取值范围．
解：因为 f(x)在 R 上是单调递增的函数，所以 f(x)需满足在区间 (－∞，1]和(1，＋∞)上都是单调递增的，并且端点处(x＝1)的 函数值－12－a－5≤a1，即 a≥－3；f(x)＝－x2－ax－5 的对称轴 为直线 x＝－a2，f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以－a2≥1，即 a≤ －2；f(x)＝ax在(1，＋∞)上单调递增，所以 a<0.综上所述，a 的 取值范围是[－3，－2]．
章末复习提升课
函数的定义域和值域
(1)函数 f(x)＝ 31x－2 x＋(3x－1)0 的定义域是(
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5π 1 5π 3 1 3 [解析] 方法一：由 sin ＝ ，cos ＝－ 可知点 P 的坐标为( ，－ )，故 6 2 6 2 2 2 5π 第四象限角，且 tanα＝－ 3，所以 α＝ . 3 5π π π π π 方法二：由三角函数定义知，sinα＝cos ＝cos( ＋ )＝－sin ＝sin(－ )，与 6 2 3 3 3 π 5π － 有相同正弦值的第四象限的最小正角是 . 3 3
『规律总结』 (1)sinα±cosα，sinαcosα 之间可通过(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα 1 知一求二，有关 sin α±cos α，sin α±cos α，sin α±cos α，tanα＋ 等化简都与此 tanα
3 3 4 4 6 6
基本变形有关． (2)统一函数名称，统一角，统一运算结构是三角函数、求值、变形的常用方 法．
π 求函数 y＝sin(2x－ )的对称中心和对称轴方程. 导学号 14434507 6 π [思路分析] 利用三角函数的图象，把 2x－ 看作一个变量，用换元的方法求 6
π 对称中心或对称轴方程，也可以考虑 y＝sinx 与 y＝sin(2x－ )的关系，利用变换的 6 思想求对称轴与对称中心．
2 2
运用．
π 1 已知－ <x<0，sinx＋cosx＝ . 导学号 14434506 2 5 (1)求 sinx－cosx 的值； sinxcosx＋sin2x (2)求 的值． 1－tanx
• [思路分析] 由(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx 求出sinxcosx的值，然后根据(sinx－cosx)2 ＝1－2sinxcosx求解 (1)题；(2)题先化简再 1 24 [解析] (1)将 sinx＋cosx＝ 两边平方得 2sinxcosx＝－ ， 5 25 求值．
49 ∴(sinx－cosx) ＝1－2sinxcosx＝ . 25
2
π ∵－ <x<0， 2 ∴sinx<0，cosx>0，∴sinx－cosx<0. 7 故 sinx－cosx＝－ . 5
sinxcosx＋sin2x sinxsinx＋cosx (2) ＝ sinx 1－tanx 1－ cosx 12 1 cosxsinxsinx＋cosx －25×5 12 ＝ ＝ ＝－ . 7 175 cosx－sinx 5
新课标导 学
数 学
必修④ ·人教 A版
第一章
三角函数
章末整合提升
1
2
知识结构
专题探究
知识结构
专题探究
专题一
⇨三角函数的概念和诱导公式
• 三角函数的定义及诱导公式在中学数学的 学习中主要有两方面的作用： • 一是以集合的交、并、补运算为载体，考 查三角函数值在各象限内的符号、终边相 同的角及象限角等基础知识． • 二是考查诱导公式在三角函数求值、化简 、证明和三角恒等变换中的应用．
π [解析] 设 A＝2x－ ，则函数 y＝sinA 的对称＋ ， 6 2 12 π π π k 对称轴方程为 2x－ ＝ ＋kπ，x＝ ＋ π. 6 2 3 2 π kπ π π k 所以 y＝sin(2x－ )的对称中心为( ＋ ，0)，对称轴为 x＝ ＋ π(k∈Z)． 6 2 12 3 2
• 『规律总结』 本例中给出求三角函数的 对称轴与对称中心的两种方法，这都是解 决三角问题的基本方法，要切实理解好．
专题四 ⇨三角函数的值域与最值问题
• 求三角函数的值域(最值)可分为几类：(1) 是y＝Asin(ωx＋φ)＋k类型的，应利用其图 象与性质、数形结合求解．(2)是可化为以 π π 三角函数为元的二次函数类型，应确定三 已知函数 y＝asin(2x＋ )＋b 在 x∈[0， ]上的值域为[－5,1]，求 a、 6 2 角函数的范围，再用二次函数求解． (3)利 用几何意义求解等． b 的值 . 导学号 14434508
专题三
⇨正弦函数与余弦函数的对称性问题
正弦函数 y＝sinx， 余弦函数 y＝cosx， 在教材中已研究了它们的定义域、 值域、 单调性、奇偶性、周期性．除了上述有关内容之外，近年来有关正弦函数、余弦 函数等对称性问题在高考中有所出现，有必要对其作进一步的探讨． 函数 y＝sinx，x∈R 的图象是中心对称图形，并且有无穷多个对称中心，对称 中心是图象与 x 轴的任一交点，坐标为(kπ，0)(k∈Z)；函数 y＝cosx，x∈R 的对称 π 中心坐标为(kπ＋ ，0)(k∈Z)，以上两个函数图象，也是轴对称图形，它们的对称 2 π kπ 轴分别是 x＝kπ＋ (k∈Z)和 x＝kπ(k∈Z)；函数 y＝tanx 的对称中心坐标为( ，0)(k 2 2 ∈Z)，但它不是轴对称图形．
π [思路分析] 先由 x 的范围确定 sin(2x＋ )的范围，再根据 a 的符号，讨论 a、 6 b 的值．
π π π 7 [解析] ∵x∈[0， ]，∴2x＋ ∈[ ， π]， 2 6 6 6 π 1 sin(2x＋ )∈[－ ，1]． 6 2 a＋b＝1， a＝4， ∴当 a>0 时， a 解得 － ＋b＝－5， b＝－3； 2
『规律总结』 由三角函数的定义可知，单位圆上任意一点的从标为(cosθ，
x＝cosθ sinθ)即 y＝sinω
，θ∈[0,2π]．
专题二 ⇨利用三角函数及关系化简、证明、计算
三角函数的定义及同角三角函数的基本关系在高考中应用比较多，结合化简、 sinα 求值、证明进行考查，注意公式 sin α＋cos α＝1 和 tanα＝ 及变形公式的灵活 cosα
5π 5π 已知角 α 终边上一点 P 的坐标为(sin ，cos )，则角 α 的最小正 6 6 值是 导学号 14434505 ( 5π A． 6 5π C． 3
C
) 2π B． 3 11π D． 6
[思路分析] 利用特殊角的三角函数值判断点 P 所在的象限， 再利用特殊角的 三角函数值求解，也可以利用三角函数定义和诱导公式求解．