2020年秋人教版八年级数学上册第13章《等腰三角形》(讲义、随堂测试、习题及答案)
人教版八年级数学上册第十三章13.3《等腰三角形》讲义第11讲(有答案)
第11讲等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.1、定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。
它是特殊的等腰三角形。
2、性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线考点1、等腰三角形性质例1、一个等腰三角形的一个内角是40°，则它的顶角是（）A．40°B．50°C．60°D．40°，100°例2、在钝角三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，AD把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（）．A．150° B．124°C．120° D．108°例3、如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则∠E＝______度．（例2）（例3）例4、已知△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为。
例5、在△ABC中，AB=AC，CD=CB，若∠ACD=42°，则∠BAC=______°．例6、已知一个等腰三角形的周长为18cm。
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1：2两部分，那么各边的长为多少？例7、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．1、对“等角对等边”这句话的理解，正确的是（）A．只要两个角相等，那么它们所对的边也相等B．在两个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等C．在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等D．以上说法都是错误的2、等腰三角形的两内角度数之比是1∶2，则顶角的度数是（）A．90°B．45° C．36° D．90°或36°3、△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，则图中的等腰三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4、如图，在△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠ADE=∠AED，且∠BAD=60°，则∠EDC= 度．5、如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，把△ADC沿直线AD折过来，点C落在C′处，如果BC′=5，则BC=______．6、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC与∠ACB的平分线相交于点D，若∠ADC=130°，则∠BAC=_____度．（4）（5）（6）7、如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC、AC上的点，∠BAD与∠CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程．8、如图，在△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高，求证：∠BCD=1∠A．29、如图．在△ABC中，AB=AC，F为AC上一点，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，∠AFD=145°，求∠A和∠EDF的值．考点2、等腰三角形的判定例1、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A.∠A=30°，∠B=60°B.∠A=50°，∠B=80°C.AB=AC=2，BC=4D.AB=3，BC=7，周长为10例2、如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）例3、如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为______．例4、如图，P是∠AOB的角平分线上一点，PD⊥OB，垂足为D，PC∥OB交OA于点C，（例3）（例4）例5、如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件______可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形．例6、如图AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于E．①求∠DBC的度数．②猜想△BDC的形状并证明．例7、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF。
人教版八年级上册《13.3等腰三角形》同步测试题(含答案解析)
等腰三角形测试题时间：90分钟总分：100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在▱ABCD中，，，的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为A. 3B.C. 2D.2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，于H，连接OH，，则的度数是A. B. C. D.3.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于A. 或B.C.D. 或4.已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是A. 18cmB. 21cmC. 18cm或21cmD. 无法确定5.如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为，则的度数是A. B. C. D.6.如果一个等腰三角形的一个角为，则这个三角形的顶角为A. B. C. D. 或7.如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是A. 6B. 8C. 10D. 无法确定8.已知a、b、c是的三条边，且满足，则是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形9.如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是A.B. ，C. ，D. ，10.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，，过点E作，分别交BD，CD于G，F两点若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为A. 3B.C.D. 4二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，在中，，，，AD平分，交BC于点D，于E，则______ ．12.如图，，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为______．13.如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为______．14.平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．15.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．16.如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则______cm．17.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．18.如图，中，点D在边BC上，若，，则______度19.如图，在中，，AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______20.如图，在中，，，D是AB的中点，过点D作于点E，则DE的长是______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，求证： ≌ ；若，求的度数．22.如图，在中，，E在CA延长线上，，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．23.如图，在▱ABCD中，AE平分交DC于点E，，，求EC的长．24.在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．求证： ≌ ；若，求度数．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图1，在中，于E，，D是AE上的一点，且，连接BD，CD．试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；如图3，若将中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．26.如图，中，，，于点E，于点D，BE与AD相交于F．求证：；若，求AF的长．答案和解析【答案】1. C2. A3. D4. C5. B6. D7. C8. C9. C10. C11. 312. 或或13. 或6s14. 32或3415. 816. 417. 1718. 2019. 3620.21. 证明：，，．，．又，≌ ．解： ≌．所以是等腰三角形．又，中，，，已知．22. 解：，理由为：证明：，，，，，，，，，，则EF与BC的位置关系是垂直．23. 解：在平行四边形ABCD中，则，，又AE平分，即，，即，又，，．故EC的长为3cm．24. 证明：，，在和中，，≌ ；，，，，，≌ ，，．25. 解：，，理由是：延长BD交AC于F．，，在和中≌ ，，，，，，，，；不发生变化．理由：，，，在和中≌ ，，，，，，，；能．和是等边三角形，，，，，，，在和中≌ ，，，即BD与AC所成的角的度数为或26. 解：，，，，，，，在和中，，≌ ，；连接CF，≌ ，，是等腰直角三角形．，，，，，BE是AC的垂直平分线．，．【解析】1. 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质能证得是等腰三角形是解此题的关键由平行四边形ABCD中，CE平分，可证得是等腰三角形，继而利用，求得答案．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，；故选C．2. 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质注意证得是等腰三角形是关键由四边形ABCD是菱形，可得，，又由，，可求得的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得是等腰三角形，继而求得的度数，然后求得的度数．【解答】解：四边形ABCD是菱形，，，，，，，，．故选A．3. 解：当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为；当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，三角形的顶角为．故选D．首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解答此题时考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．4. 解：当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长；当腰是8cm时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长．因此这个等腰三角形的周长为18或21cm．故选：C．题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5. 解：是绕点O顺时针旋转后得到的图形，，，，，，由三角形的外角性质得，．故选B．根据旋转的性质可得，，再求出，，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．6. 解：当角是顶角时，顶角；当角是底角时，顶角；故选D．题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．7. 解：是AC的垂直平分线，，的周长故选C．垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解．本题主要考查垂直平分线性质和等腰三角形的知识点，熟练掌握等腰三角形的性质．8. 解：已知等式变形得：，即，，，即，则为等腰三角形．故选：C．已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状．此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9. 解：由可得，则为等腰三角形，故A可以；由且，可得 ≌ ，则可得，即为等腰三角形，故B可以；由，，无法求得或，故C不可以；由，，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得，故D可以；故选C．根据等腰三角形的判定逐项判断即可．本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键．10. 解：解法一：如图1，过M作于K，过N作于P，过M作于H，则，，四边形MHPK是矩形，，，，N是EC的中点，，，，，同理得：，四边形ABCD为正方形，，是等腰直角三角形，，，，在中，由勾股定理得：；解法二：如图2，连接FM、EM、CM，四边形ABCD为正方形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是DG的中点，，，，≌ ，，过M作于H，由勾股定理得：，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是EC的中点，；故选C．方法三：连EM，延长EM于H，使，连DH，CH，可证 ≌HDM，再证 ≌ ，利用中位线可证．故选：C．解法一：作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：，，，利用勾股定理可得MN的长；解法二：作辅助线，构建全等三角形，证明 ≌ ，则，利用勾股定理得：，，可得是等腰直角三角形，分别求的长，利用勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明是直角三角形．11. 解：延长CE交AB于F，，，平分，，在与中，，≌ ，，，，，，，，，，，，．故答案为：3．延长CE交AB于F，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，推出 ≌ ，根据全等三角形的性质得到，，，求得，由三角形的外角的性质得到，等量代换得到，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．12.解：，OC平分，，当E在时，，，；当E在点时，，则；当E在时，，则；故答案为：或或．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．13. 解：当时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作于点D，，，，，即运动的时间6s；当时，，，运动的时间故答案为：或6s．由于等腰三角形的另一腰不确定，故应分与两种情况进行讨论．本题考查的是等腰三角形的判定，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．14. 解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，平分，，，，当时，，平行四边形ABCD的周长是；当时，，平行四边形ABCD的周长是；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出，由已知得到，推出，分两种情况当时，求出AB的长；当时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出用的数学思想是分类讨论思想．15. 解：连接AD交EF与点，连结AM．是等腰三角形，点D是BC边的中点，，，解得，是线段AB的垂直平分线，．．当点M位于点处时，有最小值，最小值6．的周长的最小值为．连接AD交EF与点，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．16. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理关键要熟知等腰三角形的三线合一可得先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：，在直角中，由勾股定理得：，所以，．故答案为4．17. 解：若3为腰长，7为底边长，由于，则三角形不存在；若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故答案为：17．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．18. 解：若，，，又在等腰三角形ADC中，是三角形ADC的外角，，又，，故答案为：20．根据题意可知的度数，然后再利用是三角形ADC的一个外角即可求得答案．本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的内角和为的知识点，此题难度不大．19. 解：，，的垂直平分线MN交AC于D点．，平分，，，设为x，可得：，解得：，故答案为：36根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后表示出，再根据等腰三角形两底角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．20. 解：过A作于F，连接CD．中，，，．在中，由勾股定理，得，，，，，．故答案为：．过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出的面积；连接CD，由于，则、等底同高，它们的面积相等，由此可得到的面积；进而可根据的面积求出DE的长．此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．21. 由已知已知，，，可证 ≌ ；由可得，即是等腰三角形，又由，中，，可求出，即，从而求出的度数．本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．22. EF与BC垂直，理由为：由三角形ABC为等腰三角形且AD为底边上的高，利用三线合一得到AD为角平分线，再由，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到EF与AD平行，进而确定出EF与BC垂直．此题考查了等腰三角形的性质，外角性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．23. 本题主要考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握在平行四边形中，由于AE平分，所以不难得出，进而由AD及AB的长代入数据求解即可．24. 根据HL证明 ≌ ；因为是等腰直角三角形，所以，得，由中的全等得：，从而得出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形全等的性质和判定，知道等腰直角三角形的两个锐角是，除了熟知三角形一般的全等判定方法外，还要掌握直角三角形的全等判定HL：即有一直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等．25. 延长BD交AC于F，求出，证出 ≌ ，推出，，根据推出，求出即可；求出，证出 ≌ ，推出，，根据求出，求出即可；求出，证出 ≌ ，推出，根据三角形内角和定理求出即可本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．26. 根据等腰三角形腰长相等性质可得，即可求证 ≌ ，即可解题；连接CF，根据全等三角形的性质得到，得到是等腰直角三角形推出，BE是AC的垂直平分线于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证 ≌ 是解题的关键．。
2020年秋人教版八年级数学上册第13章《等腰三角形应用》（讲义、随堂测试、习题及答案）
2020年秋⼈教版⼋年级数学上册第13章《等腰三⾓形应⽤》（讲义、随堂测试、习题及答案）⼈教版⼋年级数学上册第13章等腰三⾓形应⽤（讲义）课前预习1.直⾓三⾓形全等的判定定理：_________________________．2.线段垂直平分线上的点到_____________________________．3.⾓平分线上的点到___________________________________．4.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找⼀点C，使△ABC是等腰三⾓形．这样的点能找⼏个？请你找出所有符合条件的点．知识点睛1.垂直平分线相关定理：①________________________________________________；②到⼀条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．已知：如图，P A=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：2.⾓平分线相关定理：PB①________________________________________________；②在⼀个⾓的内部，到⾓的两边距离相等的点在这个⾓的平分线上．已知：如图，点P 在∠AOB 内部，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，且PC =PD ．求证：点P 在∠AOB 的平分线上．证明：3. 在等腰三⾓形中，_________________，________________，______________重合（也称“__________”），这是等腰三⾓形的重要性质．若在⼀个三⾓形中，当中线，⾼线，⾓平分线“三线”中有“两线”重合时，则尝试构造___________．精讲精练1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内⼀点，且OB =OC ．求证：直线AO 垂直平分线段BC ．2. 如图，已知PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA =PB ．∠MON =50°，∠OPC =30°，求∠PCA 的⼤⼩．C B OAMNPCBOA3. 如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．求证：AE 平分∠F AC ．4. 已知：如图，AD 是△ABC 的⾓平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的⾼．求证：AD 垂直平分EF ．OF EDA FE D C A5. 如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，AE =AC ，连接CE ，点G 为EC 的中点，连接AG 并延长交BC 于D ，连接ED ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于F ．求证：EC 平分∠DEF ．6. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ．求证：AB =AC ．G FE C AOEDC BA7.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于E，若CE=5cm，求BD8.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CE平分∠ACB，交AB于E，且AE=BE．A求证：BC=CD．EBCD9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若要在直线BC或AC上取⼀点P，使△ABP是等腰三⾓形，符合条件的点P有________个．BC10.如图所⽰的正⽅形⽹格中，⽹格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三⾓形，则符合条件的点C 有________个．【参考答案】课前预习1．SAS，SSS，ASA，AAS，HL2．这条线段的两个端点的距离相等3．这个⾓的两边的距离相等4．这样的点有4个知识点睛1．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2．⾓平分线上的点到这个⾓的两边距离相等3．顶⾓的平分线底边上的中线底边上的⾼三线合⼀等腰三⾓形1.证明略（提⽰：利⽤等腰三⾓形“三线合⼀”）2. 55°，证明略3. 证明略（提⽰：过点E 作EM ⊥BF 于M ，EN ⊥BD 于N ，EP ⊥AC 于P ，证EP =EM ）4. 证明略（提⽰：利⽤等腰△DEF “三线合⼀”，证明AD 垂直平分EF ）5. 证明略6. 证明略（提⽰：连接BC ，证△ABC 是等边三⾓形）7. BD =10 cm （提⽰：延长BA 交CE 的延长线于F ，先证△BCF 是等腰三⾓形，再证△ADB ≌△AFC ）8. 证明略（提⽰：过点E 作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BC 于G ，证明△ABC 是等腰三⾓形） 9. 6个，作图略（两圆⼀线） 10. 8个，作图略（两圆⼀线）等腰三⾓形应⽤（随堂测试）1. 如图，D 为△ABC 内⼀点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A =∠ABD ．若AC =5，BC =3，则BD 的长为___________．2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，AE =DE ，DF ⊥AB于点F ，DG ⊥AC 于点G ，且DF =DG ．求证：DE ∥AB ．AB CDGFE A B DC【参考答案】1．12．证明略（提⽰：连接AD ，证明AD 是∠BAC 的⾓平分线，再根据等腰对等⾓倒⾓相等，最后根据内错⾓相等，得到两直线平⾏）等腰三⾓形应⽤（习题）例题⽰范例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD =CD ，E ，F 分别为AB ，AC 边上的点，BE =CF ．求证：DE =DF ．【思路分析】①读题标注：要证DE =DF ，考虑把这两条线段放在两个三⾓形中证全等．观察图形，可以放在△BDE 和△CDF 中，发现有两边对应相等，考虑找夹⾓．结合题中条件，AD 既是⾓平分线⼜是中线，三线中有两线重合，考虑证明△ABC 是等腰三⾓形，需利⽤倍长中线进⾏证明（见中线，要倍长），进⽽得到∠B =∠C ，再证明△BDE ≌△CDF 即可．【过程书写】证明：如图，延长AD 到点G ，使DG =AD ，连接CG ．∵BD =CD ，∠ADB=∠GDC ∴△ADB ≌△GDC （SAS ）∴AB =GC ，∠1=∠G∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2∴∠2=∠G ∴AC =GCE ACD F∴AB =AC∴∠B =∠ACD ∵BE =CF∴△BDE ≌△CDF （SAS ）∴DE =DF巩固练习1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的⼀点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂⾜分别为C ，D ，连接CD ．求证：OP 是CD 的垂直平分线．2. 已知：如图，△ABC 的外⾓∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ．求证：点F 在∠DAE 的平分线上．P O DCBAFEDCB A3. 已知，如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD 于点D ．求证：∠2=∠1+∠B ．4. 已知：如图，在等边三⾓形ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上⼀点，CE =CD ，DM ⊥BC ，垂⾜为M ．求证：BM =EM ．5. 已知：如图，在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，E 是BC 上⼀点，MDA21D CB A连接AD ，AE ，DE ．求证：∠EAD =∠EDA ．6. 在已知直线l 上找⼀点C ，和直线外的A ，B 两点组成⼀个等腰三⾓形．⼀共可以画出⼏个符合条件的等腰三⾓形？请你在直线l 上找出所有符合条件的点C ．思考⼩结1. 要证两条线段相等，如果放在⼀个三⾓形中考虑证________；如果放在两个三⾓形中考虑证全等． 2. 常见的条件组合搭配：l4321E CB A【参考答案】1.证明略（提⽰：利⽤等腰△CDP三线合⼀）2.证明略（提⽰：作射线AF，过F作FH⊥AD于H，作FM⊥BC于M，作FG⊥AE于G，利⽤⾓平分线定理②证明AF平分∠DAE）3.证明略（提⽰：利⽤两线重合构造等腰三⾓形，然后利⽤外⾓定理倒⾓）4.证明略（提⽰：连接BD，证明△BDE是等腰三⾓形）5.证明略（提⽰：证明△ABC≌△DBC，说明直线BC是线段AD的垂直平分线，进⽽得到EA=ED，∠EAD=∠EDA）6.5个，作图略（两圆⼀线）思考⼩结1.等腰2.这条线段两个端点的距离相等这个⾓的两边的距离相等三线合⼀等腰三⾓形斜边的⼀半等于斜边的⼀半。
人教版-八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题及答案
人教版-八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案学校班级姓名学号一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为（）A．B．C．D．或2．一个等腰三角形两边长分别为20和10，则周长为（）A．40 B．50 C．40或50 D．不能确定3．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．AB=2BD B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．∠B=∠C4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且BD=BE，CD=CF，∠A=70°，那么∠FDE等于（）A．40°B．45°C．55°D．35°5．如图，已知中，AB=AC，E、D分别为、上的点，连接BD，DE，若AD=DE=BE，∠C=70°，则的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是BC、AB边上的点，且AE=BD，AD与CE交于点F，则∠DFC 的度数为（）A．45°B．60°C．65°D．75°7．如图，点B和点C是对应顶点，记，当时，与之间的数量关系为（）A．B．C．D．8．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=16，则BC的长是．10．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，点D在直线BC上，CD＝CA，则∠DAB的度数为．11．如图，在中，∠C=90°，AD=ED，∠CDE=72°，则的大小等于度．12．如图，在等边中，BD=CE，与交于P，，垂足为，PD=2，PQ=6，则的长为.13．如图，在中，点在边上，于点，若的面积为6，则的面积为.三、解答题：（本题共5题，共45分）14．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE=DC，求证：AD=BE．15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．16．如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.17．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边，作等边△DCE，点B、E在CD的同侧，CE与BD交于点F，连接BE，按要求将图形补完整；（1）求证：△ADC≌△BDE；（2）求证：BD垂直平分CE．18．如图，在中，AB=AC，D为的中点，于点E，于点F，且DE=DF，连接，点G在的延长线上，且CD=CG．（1）求证：是等边三角形；（2）若，求的长．参考答案：1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．B 8．C9．810．75°或15°11．5412．1413．1014．证明：在等边△ABC中，AB=CA，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠EAB=∠DCA=120°．在△EAB和△DCA 中，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴AD=BE15．解：如图，连接AD∵AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点∴∠BAD=60°，AD⊥BC∴∠B=90°﹣60°=30°∵DE⊥AB∴∠ADE=90°﹣60°=30°设EA=x在Rt△ADE中，AD=2EA=2x在Rt△ABD中，AB=2AD=4x∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x∴EB：EA=3x：x=3．16．证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE在和中，.17．（1）解：补充图形如下：∵和都是等边三角形∴，CD=ED，∠ADB=∠CDE∴∴在和中∴（2）解：由（1）得∴在等腰中有∴由已知在等边三角形中有∴为的垂直平分线即垂直平分．18．（1）证明：∵，DF⊥BC∴∵D为的中点∴在与中∴∴∴∵∴∴是等边三角形；（2）解：由（1）知，是等边三角形∴∴∵∴连接，则∴∴∵∴∵∴∴∴CG=2。
【人教】八年级数学上册第13章轴对称练习题及答案133等腰三角形.doc
【人教】八年级数学上册第13章轴对称练习题及答案13.3等腰三角形基础巩固1.若等腰三角形底角为72。
，则顶角为（）A.108°B. 72°C. 54°D. 36°2.如图，在厶ABC中，AB=AC, AD=BD=BC,AA则ZC=()AcA. 72°B. 60°C. 75°D. 45°3.若等腰三角形的周长为26 cm, 一边为11 cm,则腰长为（）A. 11 cmB. 7.5 cmC. 11 cm或7.5 cm D・以上都不对4.下列三角形：①有两个角等于60。
的三角形；②有一个角等于60。
的等腰三角形；③ 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的屮线也是这条腰上的高的等腰三角形.其屮是等边三角形的有（）A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④5.如图所示，已知Z1 = Z2,要使BD=CD,还应增加的条件是（）®AB=AC ② ZB=ZC ®AD丄BC ④ AB=BCA.①B.①②C.①②③D.①②③④6.如图所示，在△ABC 中，ZACB=90。
，ZB=30°, CD丄A3 于点D,若AD=2,则AB= .能力提升7.如图，在厶ABC 中，AB=AC, 3D 和CD 分别是ZABC 和ZAC3的平分线，EF 过网格线的交点称为格点.已知A, B 是两格点，如果C也是图中的格点，月•使得△ABC 为等腰三角形，则点C 的个数是（）如图，D 是ZUBC 中BC 边上一点，AB=AC=BD,则Z1和Z2的关系是（）10.如图，中,AB=AC, ZC=30°,DA 丄34 于 A, BC=4・2 cm,则 AD=D 点,且 EF//BC. 图中等腰三角形共有（） AA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 8 •如图所示的正方形网格中, A. B. 7 c.9.A- Z1=2Z2 C. 18O°-Z1=3Z2 B. Zl + Z2=90°D ・ 18O°+Z2 = 3Z111.如图，在厶ABC中,(1)分别以A ，B 为圆心，以大于丄AB 的长为半径做弧，两弧相交于点P 和Q ； 2(2)作直线PQ 交AB 于点D 交BC 于点E,连接AE.若CE=4,则AE=13. 如图所示，在△力BC 中，点E 在C4的延长线上，且ZAEF= ZAFE.求 证：EF 丄BC.14. 如图，在厶ABC 中，ZACB=45°, ZA = 90°, BD 是ZABC 的角平分线，CH 丄BD, 交的延长线于H,求证：BD=2CH.15. 如图，MBC 是边长为6的等边三角形，P 是AC 边上一动点，由A 向C 运动(与 A, C 不重合)，Q 是延长线上一点，与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运 动(Q 不与B 重合)，过P 作PE 丄A3于E,连接PQ 交AB 于D⑴当ZBQD=30°吋，求AP 的长；(2)当运动过程中线段ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED 的长；如果变化 请说明理由.若PC=4,求PD 的长. 12.如图所示,参考答案1.D点拨：等腰三角形两底角相等，所以顶角为36。
人教版数学八年级上册 第13章 13.3等腰三角形同步测试题(一)
等腰三角形同步测试题（一）一．选择题1．如图，△ABC是等腰三角形（AB＝AC，∠B＝30°），AD是底边BC上的高．BC＝12米，则AD的长是（）A．2米B．2米C．6米D．4米2．规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为（）A．30°B．36°C．45°D．60°3．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，以下说法错误的是（）A．AC＝2CD B．AD＝2CD C．AD＝3BD D．AB＝2BC4．如图，等边三角形ABC的边长为4，则点C的坐标是（）A．C．（﹣2，）D．（2，﹣2）5．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，若∠1＝34°，则∠2等于（）A．84°B．86°C．94°D．96°6．如图，直线l1∥l2，且分别与等腰△ABC的两条腰相交，若∠1＝40°，∠2＝86°，则∠B的度数为（）A．54°B．60°C．63°D．70°7．如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（）A．35°B．30°C．25°D．20°8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AC边的中点，DE⊥AC于点D，交AB于点E，若AB＝16，则DE的长是（）A．8B．6C．4D．29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC 上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB 的最小值是（）A．B．C．D．10．如图，BD，CE分别是△ABC的高线和角平分线，且相交于点O．若AB＝AC，∠A＝40°，则∠BOE的度数是（）A．60°B．55°C．50°D．40°二．填空题11．如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CD交于点D，则∠BDC等于．12．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，BP＝4cm，点Q为射线BC边上一点，当CQ的长为时，△PBQ是直角三角形．13．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分BC，垂足为E，则∠C的度数为°．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为△ABC外一点，连接BD、AD、CD，∠ADC＝60°，BD＝5，DC＝4，则AD＝．15．如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA＝DB，又知AC＝18，△CDB的周长为28，那么BE的长为．三．解答题16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠CAD＝60°，∠C＝α（1）用α表示∠BAD，则∠BAD＝；（2）求∠EDB的度数．17．已知：如图等边△ABC，D是AC的中点，且CE＝CD，DF⊥BE．（1）求证：BF＝EF．（2）若DE＝5cm，求DF的长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3cm，求BC的长．19．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且∠CED＝30°．（1）求证：DB＝DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝3，求△ABC的周长．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，AD是底边BC上的高，∴BD＝CD＝BC＝6，∴AD＝BD＝2，故选：A．2．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k ＝，∴∠A：∠B＝1：2，即5∠A＝180°，∴∠A＝36°，故选：B．3．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC；∵CD⊥AB，∴AC＝2CD，∴∠B＝60°，又CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，CD＝BD，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AD＝CD＝3BD，故选：B．4．【解答】解：过C作CD⊥OB于D，∵等边三角形ABC的边长为4，∴OD＝2，CD＝2，∴C（2，﹣2），故选：D．5．【解答】解：∵∠3＝∠1＝34°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠4＝∠A+∠3＝94°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠4＝94°，故选：C．6．【解答】解：∵∠3＝∠2＝86°，∠5＝∠1＝40°，∵直线l1∥l2，∴∠4＝180°﹣∠3＝94°，∴∠A＝∠4﹣∠5＝54°，∵AB＝AC，∴∠B＝（180°﹣∠A）＝63°，故选：C．7．【解答】解：过点B作BD∥l1，如图，则∠ABD＝∠α＝25°．∵l1∥l2，∴BD∥l2，∵∠DBC＝∠β．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠β＝∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣25°＝35°．故选：A．8．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝16，∴BC＝AB＝8，∵DE⊥AC，∠C＝90°，∴DE∥BC，∵D是AC边的中点，∴AD＝CD，∴AE＝BE，∴DE＝BC＝4，故选：C．9．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC 中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G∴∠AGC＝90°∵O为AC中点∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝∴OQ＝OP＝∴GH最小值为故选：C．10．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB＝35°，∵BD⊥AC，∴∠ODC＝90°，∴∠BOE＝∠COD＝90°﹣35°＝55°，故选：B．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝，∠DCB＝ACB＝30°，∴∠BDC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案为：120°．12．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，如图1，当∠PQB＝90°时，BQ＝BP＝2cm，CQ＝6﹣2＝4cm；如图2，当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP＝8cm，CQ＝8﹣6＝2cm．故当CQ的长为4cm或2cm时，△PBQ是直角三角形．故答案为：4cm或2cm．13．【解答】解：∵DE垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠DBC＝∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DBC＝∠ABD＝∠C，∵∠A＝90°，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，故答案为：3014．【解答】解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACE，∴∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠CDE＝90°，∵EC＝BD＝5，DC＝4，∴DE＝＝＝3，作AF⊥DE于F，∴DF＝DE＝，∵在Rt△ADF中，cos30°＝，∴AD＝＝＝，故答案为．15．【解答】解：∵CE平分∠ACB，且CE⊥BD，∴∠DCE＝∠BCE，∠CED＝∠CEB＝90°，在△CED和△CEB中，，∴△CED≌△CEB（ASA），∴CD＝CB，DE＝BE，∵DA＝DB，AC＝18，△CDB的周长为28，∴BC＝10，∴CD＝10，∴BD＝8，∴BE＝4，故答案为：4．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝α，∴∠BAC＝180°﹣2α，∵∠DAC＝60°，∴∠BAD＝120°﹣2α；故答案为：120°﹣2α；（2）∵AE＝AD，∴∠ADE＝（180°﹣∠BAD）＝30°+α，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝60°+α，∴∠EDB＝∠ADB﹣∠ADE＝30°．17．【解答】证明：（1）∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，又∵DF⊥BE，∴F是BE的中点，∴BF＝EF；（2）∵在直角三角形DFE中，∠E＝30°，DE＝5，∴DF＝DE＝×5＝．18．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠BAC＝120°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝30°．∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°．∴DC＝2AD，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°．∴∠BAD＝∠B．∴BD＝AD＝3．∴BC＝BD+DC＝3BD＝9．19．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∵BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．又∵∠CED＝30°，∴DB＝DE（等角对等边）；（2）过D作DF⊥BE交BE于F，∵∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，∴∠CDF＝30°，∵CF＝3，∴DC＝6，∵AD＝CD，∴AC＝12，∴△ABC的周长＝3AC＝36．。
初二数学上册(人教版)第十三章轴对称13.3知识点总结含同步练习及答案
描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形一、学习任务1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念．2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理，掌握 角的直角三角形的性质．二、知识清单等腰三角形 等边三角形三、知识讲解1.等腰三角形等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle ）．等腰三角形的性质① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．三角形的边角对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边．构造等腰三角形的方法30∘都填上）∠ADE=∠AED=2∠BAD34DE△BDE接 ，试判断 的形状，并说明理由．∠DBC描述：例题：2.等边三角形等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral triangle ），也属于等腰三角形．等边三角形的性质三个内角都相等，并且每一个角都等于 ．等边三角形性质的推论在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的判定① 三个角都相等的三角形是等边三角形；② 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．构造等边三角形的方法，．即 是等腰三角形．2∴∠DBC =∠E ∴BD =DE △BDE 60∘30∘60∘如图所示，在等边三角形 中， 和 的平分线相交于点 ，， 的垂直平分线分别交 于点 ，，求证： 是等边三角形．分析：根据垂直平分线的性质可知，，，由于 ， 是角平分线，所以 ，再由于外角和定理，，所以 是等边三角形．证明： ， 分别是 ， 垂直平分线上的点，ABC ∠ABC ∠ACB O BO OC BC E F △OEF OE =BE OF =F C OB OC ∠OBC =∠OCB =30∘∠OEF =∠OF E =60∘△OEF ∵EF BO OC值为（ ）32A△ABC。
部编版人教初中数学八年级上册《13.3 等腰三角形 同步练习题及答案》最新精品优秀测试题
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（最新精品同步练习题）13.3等腰三角形基础巩固1.（知识点2）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（）A.∠A=30°，∠B=60°B.∠A=50°，∠B=80°C.AB=AC=2，BC=4D.AB=3，BC=7，周长为102.（题型一）如图13-3-1，O是△ABC的两条垂直平分线的交点，∠BAC=70°，则∠BOC=（）图13-3-1A.120°B.125°C.130°D.140°3.（知识点1）如图13-3-2，D是Rt△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β.若α=10°，则β的度数是（）图13-3-2A.40°B.50°C.60°D.不能确定4.（知识点3）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所组成的三角形是（）2A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形5.（知识点3）如图13-3-3，M，N是△ABC的边BC上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN，则∠BAN= .图13-3-3 图13-3-46.（知识点1）如图13-3-4，在△ABC中，D是BC边上一点，且BA＝BD，∠DAC＝12∠B，∠C＝50°，则∠BAC的度数为 .7.（题型一）如图13-3-5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE=40°，则∠DBC= °.图13-3-5 图13-3-68.（知识点2）如图13-3-6，在△ABC中，BC=5 cm，BP，CP分别是∠ABC 和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 cm.9.（知识点1）如图13-3-7，在△ABC中，AB=AC，BE=EC.求证：∠ABE=∠ACE.图13-3-710.（知识点1）如图13-3-8，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，E 是AC的中点，连接DE，DF⊥AB于点F.求证：∠BDF=∠ADE.（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）图13-3-8能力提升。
部编人教版八年级数学上册13.3.1.1 等腰三角形的性质 (习题课件)【新版】
3．(中考·滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为 BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大 小为( B ) A．40° B．36° C．80° D．25°
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4．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、 CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC等 于( C ) A．140° B．120° C．130° D．无法确定
∴OD＝OE，
又∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴AO平分∠BAC，
∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF
即直线OA垂直平分BC.
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(1)证明：
∵CD⊥AB于D， BE⊥AC于E， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
ADC AEB, 在△ADC与△AEB中，AD＝AE；
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(2)解：
直线OA垂直平分BC，理由如下：
如答图，延长AO交BC于F， AD AE, 在Rt△ADO与Rt△AEO中， AO AO, ∴Rt△ADO≌Rt△AEO，
AD∥BC，求证：∠C＝2∠D. 证明：∵AB＝AC＝AD，
∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠CBD＋∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠D，
∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D，
又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
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9．如图，△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、 AC上，BD＝CF，BE＝CD，AB＝AC，G是 EF的中点．求证：DG⊥EF.
证明： 连接ED，DF，如答图．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
BE CD,
在△BED和△CDF中， B C ,
BD CF ,
∴△BED≌△CDF(SAS)，∴DE＝DF，
人教版八年级上册数学第13章 轴对称 等腰三角形的性质
(1)求证：∠C＝∠BAD. 证明：∵AB＝AE，D为线段BE的中点， ∴AD⊥BC.∴∠C＋∠DAC＝90°.
∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＋∠DAC＝90°. ∴∠C＝∠BAD.
(2)求证：AC＝EF. 解：∵AF∥BC, ∴∠EAF＝∠AEB. ∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB. ∴∠B＝∠EAF.
A．①B．①② D
C．①②③D．①②③④
8．已知等腰三角形的一个外角等于110°，则这个等腰三 角形的一个底角的度数为( )
A．40°B．55° C．70°D．55°或70°
【点拨】本题应用了分类讨论思想，分顶角为70° 和底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况而 漏解．
【答案】D
9．在△ABC中，AC＜AB＜BC. (1)如图①，已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
【答案】C
6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若 AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20°B．35° C．40°D．7B0°
7 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， AD⊥BC 于 点 D ， DE⊥AB 于 点 E ， DF⊥AC 于 点 F ， 下 列 结 论 ： ① ∠BAD＝∠CAD；②AD上任意一点到AB，AC的距 离相等；③BD＝CD；④若点P在直线AD上，则PB＝ PC.其中正确的是( )
∵∠A＋∠ABC不一定等于90°， ∴∠ABC＋∠CBE不一定等于90°，故B错误．故选D.
【答案】D
*4.“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的，借 助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等 分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连 并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽 中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( )
八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题附答案-人教版
八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题附答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1．下列说法错误的是（ ）A ．等腰三角形两腰上的高相等B ．等腰三角形两腰上的中线相等C ．等腰三角形两底角的平分线相等D ．等腰三角形高、中线和角平分线重合2．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为40°，则顶角的度数为（ ）A ．40°B ．80°C ．100°D ．80°或100°3．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）A ．25°B ．30°C ．45°D ．60°4．如图，BM 是△ABC 的角平分线，D 是BC 边上的一点，连接AD ，使AD=DC ，且∠BAD=120°，则∠AMB=（ ）A ．30°B ．25°C ．22.5°D ．20°5．如图， ABC ∆ 中， AB=7 ， AC=8 ， BD 、 CD 分别平分 ABC ∠ 、 ACB ∠ 过点 D 作直线平行于 BC ，交 AB 、 AC 于 E 、 F ，则 AEF ∆ 的周长为（ ）A ．9B ．11C ．15D ．186．如图，在ABC 中，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交于点P ，Q ，作直线PQ 交AB 于点D ，连接CD .若3595A B ∠=︒∠=︒，，则BCD ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒7．如图所示，已知在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AC 上的点，且AE ＝CD ，连接AD ，BE 交于点P ，过点B 作BQ ⊥AD ，Q 为垂足，PQ ＝2，则BP 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，△ABD 与△AEC 都是等边三角形，AB ≠AC ，下列结论中，正确的个数是（ ） ①BE ＝CD ；②∠BOD ＝60°；③∠BDO ＝∠CEO ；④若∠BAC ＝90°，且DA ∥BC ，则BC ⊥CE ．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．）9．一个三角形有两条边相等，周长为18cm ，三角形的一边长为4cm ，则其他两边长分别为 cm ， cm ．10．如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，AD 为△ABC 的中线，∠B=72°，则∠DAC= °．11．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ．如果∠A ＝30°，AE ＝6，那么CE ＝ ．12．如图，点E 在线段AC 上AB CD ，AE=CD ，AB=CE ，若40A ∠=︒，50DBE ∠=︒则CED ∠的度数为 ．13．如图，在ABC 中，内角BAC ∠与外角CBE ∠的平分线相交于点P ，BE=BC ，PB 与CE 交于点H ，PG AD 交BC 于点F ，交AB 于点G ，连接CP ．下列结论：①2ACB APB ∠∠=；②PAC PAB S S AC AB =：：；③BP 垂直平分CE ；④∠PCF =∠CPF ．其中，正确的结论有 ．（填序号）三、解答题：（本题共5题，共45分）14．如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别是BC 、AC 上的一点，且BD=CE ，AD 和BE 交于点P ，求∠APE 的度数．15．已知：△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于点D ，过D 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：BE+CF=EF ．16．如图，ABC 中=45ABC ∠︒，D 为BC 上一点60ADC ∠=︒，AE BC ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ，AE 、CF 相交于点G（1）求ACF ∠的度数；（2）求证：12DF AG =．17．如图，已知ABC 中B E 40∠∠==︒，BAE 60∠=︒且AD 平分BAE ∠．（1）求证：BD =DE ；（2）若AB AC =，求CAD ∠的度数．18．已知，如图，ABC 是等边三角形AE CD =，BQ AD ⊥于Q ，BE 交AD 于点P ，求证：（1）BE AD =；（2）2BP PQ =参考答案：1．D 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．B 8．C9．7；710．1811．312．2013．①②③④14．解：∵BD=CE又∵AB=AC ，∠BCE=∠ABD∴△BAD ≌△CBE ，则∠BAD=∠CBE∵∠APE=∠ABP+∠BAD∴∠APE=∠ABP+∠CBE=∠ABC∴∠APE=∠ABC=60°15．证明：∵BD 平分∠ABC∴∠EBD=∠DBC∵EF ∥BC∴∠EDB=∠DBC∴∠EDB=∠EBD∴DE=BE同理CF=DF∴EF=DE+DF=BE+CF即BE+CF=EF16．（1）解：60ADC ∠=︒ AE BC ⊥30DAE ∴∠=︒15CAE ∠=︒45CAF CAE DAE ∴∠=∠+∠=︒CF AD ⊥9045ACF CAF ∴∠=︒-∠=︒．（2）证明：45CAF ACF ∠=∠=︒AF CF ∴=AE BC CF AD ⊥⊥，90AFG CFD ∴∠=∠=︒ 90FAG ADC FCD ADC ∠+∠=∠+∠=︒ FAG FCD ∴∠=∠在FAG 和FCD 中90AFG CFD AF CFFAG FCD ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA FAG FCD ∴≅FG DF ∴=在Rt FAG 中CF AD ⊥ 30FAG ∠=︒12FG AG ∴=12DF AG ∴=． 17．（1）证明：AD 平分BAE ∠BAD EAD 30∠∠∴==︒AD AD =B E 40∠∠==︒ ABD ∴≌()AED ASABD ED ∴=（2）解；ADE ADB 180B BAD 110∠∠∠∠==︒--=︒ ADC 70∠=︒EDC 1107040∠∴=︒-︒=︒．EDC E ∠∠∴=．FD FE ∴=．DFE 1804040100∠=︒-︒-︒=︒AFC 100∠∴=︒CAD 100EAD 1003070∠∠∴=︒-=︒-︒=︒18．（1）证明：ABC 是等边三角形AB AC ∴= 60BAC C ∠=∠=︒在BAE 与ACD 中AB AC BAC C AE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAE ACD ∴≌BE AD ∴=；（2）证明：由（1）得BAE ACD ≌ABE CAD ∴∠=∠60BAP CAD BAC ∠+∠=∠=︒60ABP BAP ∴∠+∠=︒60BPQ ABP BAP ∴∠=∠+∠=︒BQ AD ⊥90BQP ∴∠=︒30PBQ ∴∠=︒2BP PQ ∴=。
人教八年级数学上册第13章《等腰三角形》同步练习及(含答案)4
人教八年级数学上册第13章《等腰三角形》同步练习及（含答案）4一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A． 3.5 B． 4.2 C． 5.8 D． 7第1题第2题第3题2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A． 10 B． 8 C． 5 D． 2.53．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（）A． 25 B． 30 C． 35 D． 404．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4cm B． 2cm C． 1cm D．m5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（）A． BD=AB B． BD=AB C． BD=AB D． BD=AB第5题第6题第7题第8题6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC 的长度是（）A． 5m B． 8m C． 10m D． 20m7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A． 6米B． 9米 C． 12米D． 15米8．如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2D E；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二．填空题（共10小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．10．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=_________．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为_________．12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD=_______cm．第9题第10题第11题第12题13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=_________cm．第13题第14题第15题第16题14．如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD=_________cm．15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB﹨CD分别表示超市一层﹨二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h 约为_________米．16．在△ABC中，已知A B=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=_________．17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12c m，则CE=______cm．18．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B 处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是_________海里．三．解答题（共5小题）19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．20．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．21．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．23．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B﹨D分别在射线AN﹨AM上．（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．等边三角形（2）：一﹨DABCCABC二﹨9﹨2；10﹨2；11﹨5；12﹨6；13﹨2；14﹨18；15﹨6；16﹨10；17﹨3；18﹨10三﹨19﹨（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．20﹨解：如图，连接DB．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°﹣30°=90°，∴BD=DC，∴AD=DC．21﹨解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠2=∠3=30°；在Rt△BCD中，CD= BD，∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠1+∠2=60°（外角定理），∴∠1=∠2=30°，∴AD=BD（等角对等边）；∴AC=AD+CD=AD；又∵AD=6，∴AC=9．22﹨解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=2，∵CD是△A BC的高，∴∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，故∠BCD=∠A=30°，∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1，∴BD=1．23﹨（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠AB C=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立．理由如下：在AN上截取AE=AC，连接C E，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC．。
人教版八年级数学上册第13章1等腰三角形
易知AF 垂直平分DE，∴ AD=AE．
知2－练
4-1.[中考·黄石]如图，在△ ABC 中，∠ BAC=90 °，E 为边 BC 上的点，且AB=AE，D 为线段BE 的中点，过点E作 EF⊥ AE，过点A 作AF ∥ BC， 且AF，EF相交于点F. 求证：
(1)∠C=∠BAD； 证明：∵AB＝AE，∴△ABE是等腰三角形． 又∵ D为线段BE的中点，∴AD⊥BC. ∴∠C＋∠DAC＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°. ∴∠C＝∠BAD.
知2－练
5 -1. [新考向知识情境化中考·衢州]“三等分角”大约是在
公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的
“三等分角仪”能三等分任一角．
知2－练
这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB 组成，两根 棒在O 点相连并可绕O点转动，C 点固定OC=CD=DE， 点D，E 可在槽中滑动. 若∠ BDE=75°，则∠CDE的度 数是( D) A.60° B.65° C.75° D.80°
知2－练
例4 [母题中考·衡阳教材P82 习题T6]如图 13.3-6，在△ ABC中，AB=AC，D，E 是 BC 边上的点，且BD=CE．求证： AD=AE． 解题秘方：解题秘方：利用等腰三角形的边 角性质为证明△ ABD 和△ ACE 全等创造条 件，或者作出底边BC上的高，利用等腰三 角形的三线合一性质证明其垂直平分DE.
知3－练
证明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD. ∵∠ACB＝90°，CE⊥AB， ∴∠CBD＋∠CDB＝90°，∠ABD＋∠BME＝90°. ∴∠CDB＝∠BME. ∵∠BME＝∠CMD，∴∠CDB＝∠CMD. ∴CM＝CD，即△CDM是等腰三角形．
八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题及答案(人教版)
八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题及答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题：1．若等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．16或202．如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC 垂直于横梁AC ，AB ＝12m ，∠A ＝30°，则立柱BC 的长度为（ ）A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m3．如图ABC 、ADE 中C 、D 两点分别在边AE 、AB 上，BC 与DE 相交于F 点．若BD CD CE == 104ADC ACD ∠+∠=︒则DFC ∠的度数为（ ）．A ．104︒B ．118︒C ．128︒D ．136︒4．如图 ABC 中 90ACB ∠=︒ ， 60CAB ∠=︒ 动点P 在斜边AB 所在的直线m 上运动，连结PC ，那点P 在直线m 上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P 的位置有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个5．如图，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，若等边三角形的高为4，则DE+DF ＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．如，AOB ADC ≌，90O D ∠∠︒＝＝记αOAD ∠＝，βABO ∠＝当BC OA 时，α与β之间的数量关系为（ ）A ．αβ＝B ．α2β＝C ．αβ90+︒＝D ．α2β180+︒＝7．如图，CD 是等腰三角形ABC 底边AB 上的中线，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，AC=6，DE=2则BCE 的面积是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．128．如图，已知△ABC 中，∠B ＝50°，P 为△ABC 内一点，过点P 的直线MN 分别交AB ，BC 于点M 、N ．若M 在PA 的中垂线上，N 在PC 的中垂线上，则∠APC 的度数为（ ）A ．100°B ．105°C ．115°D ．120°二、填空题：9．在△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，若AB=8cm ，则BC= cm.10．如图，在ABC 中70A ∠=︒，30C ∠=︒点D 为AC 边上一点，过点D 作DE //AB ，交BC 于点E ，且DE BE =，连接BD ，则BDC ∠的度数是 ．11．如图，在Rt △ABC 中90ACB ∠=︒，AC=BC=2，△ACD 为等边三角形，连接BD ，则△BCD 的面积为 ．12．如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线和∠ACB 相邻的外角平分线CD 交于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于G ，若EG=2，且GC=6，则BE 长为 ．13．如图，在△ABC 中，AB=20cm ，AC=12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 速度向点C 运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是 秒．三、解答题：14．如图，点0是∠ABC ，∠ACB 的平分线的交点，OE ∥AB 交BC 于点E ，OF ∥AC 交BC 于点F ，BC=5．求△OEF 的周长．15．如图，已知D 是∠ABC 的平分线与△ABC 的外角平分线的交点，DE ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F.求证：EF=BE-CF16．如图，在ABC 中11AB AC ==，120BAC ∠=︒且AD 是ABC 的中线，AE 是ADB 的角平分线，DF AB交AE的延长线于点F，求DF的长．17．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠ABC=∠ADC=90°，E，F 分别是 BC， CD 上的点，且∠EAF=60°.（1）若 BE=DF，求证：△AEF 为等边三角形；（2）求证：EF=BE+DF.18．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD和△AFD关于直线AD对称，∠FAC 的平分线交BC于点G，连接FG.（1）求∠DFG的度数.（2）设∠BAD=θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形参考答案：1．C 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．B 8．C 9．410．110°11．112．813．414．解：∵OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠1=∠2，∠4=∠5∵OE∥AB，OF∥AC∴∠1=∠3，∠4=∠6∴∠2=∠3，∠5=∠6∴BE=OE，OF=FC∴BC=BE+EF+FC=OF+OE+EF∵BC=5∴OF+OE+EF=5∴△OEF的周长=OF+OE+EF=5．15．证明：∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∵DE∥BC∴∠EDB=∠CBD∴∠ABD=∠EDB∴DE=BE同理DF=CF∵EF=DE-DF∴EF=BE-CF.16．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD∵∠BAC=120°∴∠BAD=60°，∠ADB=90°∵AE是∠BAD的角平分线∴∠DAE=∠EAB=30°．∵DF//AB∴∠F=∠BAE=30°．∴∠DAF=∠F=30°∴AD=DF．∵AB=11，∠B=30°∴1111 5.522AD AB==⨯=∴DF=5.517．（1）证明：∵∠ABC=∠ADC= 90︒，BE=DF，AB=AD∴△ABE≌△ADF∴AE=AF又∵∠EAF= 60︒∴△AEF为等边三角形；（2）证明：如图，延长CD至G，使得DG=BE，连接AG，可得到∵AD⊥DF∴∠ABE=∠ADG= 90︒∵AB=AD，DG=BE∴△ABE≌△ADG∴AE=AG，∠BAE=∠GAD又∵∠BAE+∠EAD= 120︒∴∠GAD+∠EAD= 120︒又∵∠EAF= 60︒∴∠GAF= 60︒ =∠EAF又∵AE=AG，AF=AF∴△EAF≌△GAF∴EF=GF=GD+DF=BE+DF∴EF=BE+DF.18．（1）解：∵AB=AC，∠BAC=100°∴∠B=∠C=40°.∵△ABD和△AFD关于直线AD对称∴△ADB≌△ADF∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ∴AF=AC.∵AG平分∠FAC∴∠FAG=∠CAG.在△AGF和△AGC中{AF=AC∠FAG=∠CAG AG=AG∴△AGF≌△AGC(SAS) ∴∠AFG=∠C.∵∠DFG=∠AFD+∠AFG∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°.答：∠DFG的度数为80°；（2）解：当GD=GF时∴∠GDF=∠GFD=80°.∵∠ADG=40°+θ∴40°+80°+40°+θ+θ=180°∴θ=10°.当DF=GF时∴∠FDG=∠FGD.∵∠DFG=80°∴∠FDG=∠FGD=50°.∴40°+50°+40°+2θ=180°∴θ=25°.当DF=DG时∴∠DFG=∠DGF=80°∴∠GDF=20°∴40°+20°+40°+2θ=180°∴θ=40°.∴当θ=10°，25°或40°时，△DFG为等腰三角形。
等腰三角形-八年级数学上册同步精品课堂知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第三课时——等腰三角形知识点一：等腰三角形：1.等腰三角形的概念：有两条边的三角形叫做等腰三角形。
2.等腰三角形的相关概念：等腰三角形相等的两边叫做等腰三角形的，另一边叫做等腰三角形的。
两腰之间的夹角叫做等腰三角形的，腰与底的夹角叫做等腰三角形的。
3.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰。
即AB AC。
②等腰三角形的两个底角。
即∠B ∠C。
【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互。
【简称底边上三线合一】即∠ABD ∠CAD，BD CD，AD BC。
特别说明：①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线这四个元素中，其中两个成立，则另两个一定成立。
【类型一：熟悉等腰三角形的性质】1．下列叙述正确的语句是（）A．等腰三角形两腰上的高相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．顶角相等的两个等腰三角形全等D．两腰相等的两个等腰三角形全等2．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（）A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．AD平分∠BAC D．AB＝2BD【类型二：求周长】3．等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（）A．12B．15C．10D．12或154．已知等腰三角形的两条边长分别为4和8，则它的周长为（）A．16B．20C．16或20D．145．已知等腰三角形中的一边长为5cm，另一边长为9cm，则它的周长为（）A．14cm B．23cm C．19cm D．19cm或23cm6．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作MN∥BC，分别交AB，AC于点M，N，若AB＝12，AC＝18，BC＝24，则△AMN的周长为（）第6题第11题A．30B．36C．39D．42【类型三：求边长和线段长度】7．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为（）A．11cm B．7.5cmC．11cm或7.5cm D．以上都不对8．等腰△ABC中，AC＝2BC，周长为60，则BC的长为（）A．15B．12C．15或12D．以上都不正确9．等腰三角形的周长为16，其一边长为4．那么它的底边长为（）A．5B．4C．8D．4或810．等腰三角形的面积为24平方厘米，腰长8厘米．在底边上有一个动点P，则P到两腰的距离之和为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm11．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若△BCD的周长是14，BC＝6，则AC的长是（）A．6B．8C．10D．14【类型四：求角度】12．若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（）A．20°B．50°C．80°D．100°13．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝80°，AD＝AE．则∠CDE＝（）第13题第14题第15题A．10°B．20°C．30°D．40°14．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B＝°．15．△ABC中，AB＝AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（）A．67.5°B．22.5°C．45°D．67.5°或22.5°16．如图，已知∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠FEG的度数为度．知识点一：等腰三角形的判定：1.判定定理一：一个三角形中如有两个角，则这两个角所对的两条边也。
八年级数学上册《第十三章 等腰三角形》同步练习题及答案-人教版
八年级数学上册《第十三章等腰三角形》同步练习题及答案-人教版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1. 边长为2的等边三角形的面积是( )B. √ 3C. 2D. 2√ 3A. √ 322. 已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为( )A. 6cm或13cmB. 6cmC. 13cmD. 大于7cm，且小于19cm的任何值3. 在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是( )A. ∠A=30°，∠B=60°B. ∠A=70°，∠B=50°C. ∠A=40°，∠B=70°D. ∠A=60°4. 如图，在△ABC中AB=AC，CE是△ACB的角平分线，若∠A=50°，则∠AEC的度数是( )A. 50°B. 65°C. 82.5°D. 97.5°5. 如图AB//CD，AB=AC，∠1=40°则∠ACE的度数为( )A. 80°B. 160°C. 120°D. 100°6. 如图，在3×3正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD=CE，∠1=∠2，则对△ADE的形状最准确的是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形8. 如图，BE⊥AC于点D，且AD=CD，BD=ED若∠ABC=54°，则∠E的度数为( )A. 25°B. 27°C. 30°D. 45°9. 如图所示，已知等腰直角三角形ABC中∠A=90∘，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD垂足为点E，若CE=2，则BD=( )A. 4B. 5C. 6D. 710. 如图，已知锐角△ABC中CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点∠A=70°则∠DME的度数为( )A. 15∘B. 30∘C. 40°D. 60∘二、填空题11. 等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的底角是．12. 如图，在△ABC中AB=AC，点D在BC上，BD=CD若∠BAD=20°，则∠C=______°.13. 如图，在△ABC中AB=AC，DE垂直平分AB交AC于点D，交AB于点E，若BC=4且△BDC的周长为10，则AE的长为______ ．14. 如图：在△ABC中∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作线段DE使DE//AB交BC于点E，F为AB上一点，连接DF，EF.已知DC=5，CE=12则△DEB的面积是______ ．15. 在扇形OAB中，∠AOB=30°，扇形所在圆的半径为12，点P，N，M分别是弧AB，线段OA，OB上的动点，则△PMN周长的最小值为______ ．16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(−2,0)，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，BA长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为．17. 如图，在△ABC中AB=AC，AD⊥BD于点D，且BD=1BC若∠ABD=67∘，则∠C=．218. 已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC如图，若DE平分∠ADC，∠ABC=30°在BC 边上取点F使BF=DF，若BC=9，则DF的长为．19. 如图，在△ABC中AC=BC，∠B=38°点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D//AC时，则∠BCD的度数为．20. 如图，AD，BE在AB的同侧AD=4，BE=9，AB=12，点C为AB的中点，若∠DCE=120∘则DE 的最大值是__.三、解答题21. 如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD，AB=BD，∠ABD=120°，BC=4m，求AB 的长度．22. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC=60°，∠C=45°．(1)求∠ADB的度数；(2)若BE=3，求EC的长度．23. 如图1，在△ABC中AB=AC，AD是△ABC的角平分线．(1)写出图中全等的三角形______ ，线段AD与线段BC的位置关系是______ ；(2)如图2，在(1)的条件下，过点B作BE⊥AC，垂足为E，交AD于点F，且AE=BE，请说明△AEF≌△BEC 的理由．24. 如图，△ABC中AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD和CE相交于点O．(1)OB与OC相等吗？请说明你的理由；(2)连接AO，AO的延长线交BC于点F，试判断AF与BC的位置关系，并说明理由．25. 已知：等边三角形△ABC，BC交y轴于点D，A(−3,0)，B(1,0)，如图，若点M在CA延长线上，点N在AB延长线上，且∠CMD=∠DNA，求AN−AM的值．参考答案1、B2、C3、C4、D5、D6、C7、C8、B9、A10、C11、55°或70°12、7013、314、65215、1216、(2,0)17、67∘18、319、33°20、1921、解：∵BC⊥AC∴∠ABD=120°∵AB=BD∴∠A=30°∵BC=4∴AB=2BC=8(米)．答：AB的长度为8米．22、解：(1)∵BD平分∠ABC∴∠DBC=12∠ABC=30°∵∠ADB是△BDC的一个外角∴∠ADB=∠DBC+∠C=75°∴∠ADB的度数为75°(2)∵AE⊥BC∴∠AEB=∠AEC=90°∵∠ABC=60°∴∠BAE=90°−∠ABC=30°∴AE=√ 3BE=3√ 3∵∠C=45°∴∠EAC=90°−∠C=45°∴∠EAC=∠C=45°∴AE=EC=3√ 3∴EC的长度为3√ 3．23、△ABD≌△ACD AD⊥BC24、(1)解：OB=OC，理由如下：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB∴∴∴OB=OC(2)解：AF⊥BC，理由如下：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB∴点O是△ABC三条角平分线的交点∴AF平分∠BAC又∵AB=AC∴AF⊥BC．25、解：如图2在CA上截取CE=CD=2∵∠C=60∘∴△CDE是等边三角形∴∠CED=60∘DE=CD=2∴∠MED=180∘−∠CED=120∘AE=2∵∠CBA=60∘BD=2∴∠NBD=120∘BD=DE∴∠MED=∠NBD∵∠CMD=∠BND∴△MED≌△NBD(AAS)∴BN=EM∵AN−AM=AB+BN−AM ∴AN−AM=AB+EM−AM=AB+AE=4+2=6．。
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人教版八年级数学上册第13章等腰三角形（讲义）➢ 课前预习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠1=∠2，则BD ____DC （填“>”，“<”或“=”）； （2）若BD =CD ，则AD ____BC （填“⊥”或“∥”）； （3）若AD ⊥BC ，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）．D CB A 212. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．➢ 知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写：已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：BD =CD ． 证明：➢ 精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．CB C B C B AAA108°60°2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．D CB ADCBAEDCBA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，BD =BE ，∠A =100°，则∠DEC =________．4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．CD B AABCE第4题图第5题图5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，AD =AE ，若∠BAD =50°，则∠CDE =________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E ．求证：AE =ED ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD于点D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ． E CB AAB CD8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13 cm ，其中一边长为3 cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．11.若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．13.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．➢课前预习1.（1）=（2）⊥（3）=2.18或21➢知识点睛1.有两边相等2.轴对称，三线合一，对称轴3.相等，等边对等角相等，等角对等边4.相等，60°5.证明：如图∵AB=AC，AD平分∠BAC∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一）∴BD=CD➢精讲精练1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.100°4.108°5.25°6.证明略提示：根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，再由平行可以得到∠CAD=∠BAD=∠ADE，从而AE=DE7.证明略提示：过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一可得BE=CD，再证△ABE≌△ACD即可．8.∠E=60°提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE9.3cm10.40°或100°11.50°或130°12.这样的点能找4个，作图略13.这样的点能找2个，作图略等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．CDB 2.已知等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为10cm，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 证明略提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD等腰三角形（习题）➢ 例题示范E DCB A例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于点D ，12CD BC =．求证：∠ACD =∠B ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：由条件12CD BC =，可尝试取BC 的中点E ，此时结合等腰构造三线合一的线AE ，如图所示．要证∠ACD =∠B ，可以证明△ABE ≌△ACD ．【过程书写】证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．∵E 是BC 的中点∴12BE BC =∵12CD BC = ∴BE =CD∵AB =AC ，E 是BC 的中点 ∴AE ⊥BC ∴∠AEB =90° ∵CD ⊥AD ∴∠D =90°∴∠AEB =∠D =90°在Rt △ABE 和Rt △ACD 中 AB AC BE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已证）∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ） ∴∠ACD =∠B例2：等腰三角形的周长为12cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________cm ．【思路分析】ACDEA B C D A CD等腰三角形一边长为5cm ，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论： ① 如果5cm 为底，则根据周长为12cm ，可知腰长为3.5cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．② 如果5cm 为腰，则根据周长为12cm ，可知底边长为2cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．综上，该等腰三角形的底边长为5cm 或2cm ． ➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =80°，求∠C 的度数．2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BE ∥AC ，∠BDE =100°，∠BAD =70°，则∠E =______．第2题图第3题图3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E作MN ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（）CBAED CB ADB AA ．6B ．7C ．8D ．95. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ．求证：BD =CE ．N M EC BADCBAPA B CD E7.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．8.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．9.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．➢思考小结1.要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：①如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；②如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．2.将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．【参考答案】➢巩固练习 1.50° 2.50° 3.36° 4. D5. 证明略提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD 垂直平分BC ，从而得到PB =PC6. 证明略提示：根据等边对等角可得∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，进而可得∠BAD =∠CAE ，从而证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形对应边相等，可得BD =CE7. 20 D C B A8.80°或40°9.这样的点能找4个，作图略➢思考小结1.①全等②等腰2.等边，=，12，12，一半。