流体力学基本方程

∂ (ρA) + ∂ (ρAu) = 0
∂t
∂s
式中：u为速度，ds为流动方向 s的弧长。
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由质量守恒定律，流入控制体的质量-流出控制体的质量=控制体内质量的 增加（单位时间）
流入质量： 流出质量：
∫A ρ udA
∫A
ρ
udA
+
(
∂ ∂s
∫A
ρ
udA) ds
其中a、b、c、t为拉格朗日变量。
vv = ∂ rv ∂t
av = ∂ 2rv ∂t2
2
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二、欧拉法 欧拉法研究的是各空间上流体运动参数随时间的变化，把全部空间点上的 流动情况综合起来，就得到整个流场的运动情况。
场：如果在空间中的每一点，都对应着某个物理量的一个确定值，这个空 间就称为这个物理量的场。如：数量场（温度场、密度场、电位场）、矢 量场（力场、速度场）。
速度。
加速度=当地加速度+迁移加速度
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用欧拉法求其它物理量N对时间的变化率时
dN = ∂N + (vv ⋅ ∇)N dt ∂t
∇ = iv
∂
+ vj
∂
+
v k
∂
∂x ∂y ∂z
全导数=当地导数+迁移导数 ∇ ：微分算子
四、系统与控制体
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∂v = 2 ∂y
∂w = 4 ∂z
∂u + ∂v + ∂w = 6 + 2 + 4 = 12 ≠ 0 ∂x ∂y ∂z
对不可压缩流体，以上流动不存在。对可压缩流体，因密度的变化未给 出，故无法判断。
例题3：假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面 上流动物理量是均匀的，试证明连续性方程具有下述形式：
系统：一团流体的集合，在运动过程中，系统始终包含着确定的这些流体 质点。有确定的质量，而这一团流体的表面常常是不断变形的。 控制体：控制体是流场中某一确定的空间区域，即相对于坐标系是固定不 变的。控制体的表面是控制面，控制体的形状是根据流体运动情况和边界 情况选定的。
7
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流、非定常流
流动的简化：三元
二元
一元
四、轨迹与流线
1.迹线：流体质点的运动轨迹，即质点在 不同时刻所在位置的连线。
dx dt
=
vx (x,
y, z,t)
dy dt
=
vy (x,
y, z,t)
dz dt
=
vz (x,
y, z,t)
积分后所得表达式中消去时间t即得迹线方程
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+
∂vx ∂x
dx 2
ρ − ∂ρ dx
∂x 2
ρ + ∂ρ dx
∂x 2
左边流入控制体的流体质量
右边流出控制体的流体质量
(ρ − ∂ρ
∂x
dx 2 )(vx
− ∂vx ∂x
dx )dydz 2
(ρ
+
∂ρ
∂x
dx 2 )(vx
+
∂vx ∂x
dx )dydz 2
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2.流线：流场中某一瞬时的一条光滑曲线，曲线上每一点的速度矢量总是 在该点与曲线相切。
vv × dsv = 0
iv vj vx vy dx dy
v k vz = 0 dz
dx = dy = dz vx vy vz
10
① 定常流时，流线形状不随时间变化， 流线和迹线重合
∂y
∂z
三维、非定常流动、可压缩流体最一般的情况的连续性方程
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∂ρ + ∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz ) = 0
∂t ∂x
∂y
∂z
定常流动 ∂ρ = 0
∂t
不可压缩流体 ρ = c
∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz ) = 0
R
=
A
χ
de
=
4
A
χ
在流束的过流断面上取一微元面积dA，速度为v，则通过dA的体积流量为
dQ = vdA
Q = ∫∫AvdA
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Q
=
∫∫A
v
cos(vv
⋅
nv)dA
=
∫∫A
vn
dA
=
∫∫Avv
⋅
v dA
cos(vv ⋅ nv) ：是速度矢量和法线方向（截面）的夹角余弦
流管的性质： ① 流管不能相交；② 流管的形状和位置在定常流时不随时间变化，而 在非定常流时，则随时时间变化；③ 流管不能在流场内部中断，因为 在实际的流场中，流管截面不能收缩到零，否则在该处的流速要达到无 限大，这是不可能的。因此，流管只能始于或终于流场边界，如物体表 面、自由面，或形成环形，或伸到无穷远处。
x方向流入和流出控制 体的流体质量差为：
(−ρ
∂vx ∂x
dx
−
vx
∂ρ
∂x
dx)dydz
=
−
∂(ρ vx )
∂x
dxdydz
y方向流入和流出控制体的流体质量差为：
− ∂(ρ vy ) dxdydz
∂y
z方向流入和流出控制体的流体质量差为：
− ∂(ρ vz ) dxdydz
∂z
单位时间内流入和 流出的质量差为：
2.平均流速
v=Q A
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八、动能、动量修正系数 用过流断面上平均流速表示的动能、动量与实际速度所求的动能、动量引 起的误差称动能、动量修正系数。
∫AudA = vA ∫ ρ dQ u = βρ Q v
∫ ρ udA = ρ vA
β = ∫ ρ dQ u = ∫ ρ u 2dA
− [∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz )]dxdydz (1)
∂x
∂y
∂z
单位时间内控制体内的质量增量：
t=0
ρ dxdydz
t = dt (ρ + ∂ρ dt)dxdydz
∂t 18
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dt时段内控制体内流体的质量增量为：
(ρ + ∂ρ dt)dxdydz − ρdxdydz = ∂ρ dtdxdydz
=
m
2π
x2
x + y2
在x轴上处处vy=0，试决定其y方向的速度分量。
ux
=
v h(t)
x
例题2：水平放置的分支管路 ，已知A、B、C、D处管路直径 和A、C处的速度，求B、D处的 速度大小。
22
AB段
QA = QB
vA
⋅
1π
4
d
2 A
=
vB
⋅
1π
4
d
2 B
vB
=
d
2 A
d
2 B
vA
BC段
QB = QC + QD
vB
⋅
1π
4
d
2 B
=
vC
⋅
1π
4
d
2 C
+
vD
⋅1π
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2. 流束：流管内部的流体称为流束，断面无穷小的流束为微小流束，无数 微小流束的总和称为总流。如管道的水流可视为总流。
六、过流断面、湿周、水力半径和当量直径
过流断面
湿周
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水力半径和当量直径
七、流量、断面平均流速 1．流量 体积流量、质量流量和重量流量 体积流量的表示
∂N = 0 ∂vv = ∂p = ∂ρ = ∂T = 0
∂t
∂t ∂t ∂t ∂t
二、均匀流、非均匀流
∂vv = ∂vv = ∂vr = ∂p = ∂p = ∂p = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = 0 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
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三、一元流动、二元流动、三元流动
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单位时间内流出控制体的质量为： ρ u(x)bh(t)
单位时间内控制体内的质量变化（质量增量）：
∂ ∂t
∫VdV
=
∂ [ρ
∂t
xbh(t)] =
ρ
xb ∂ [h(t)] ∂t
=
−ρ
xbv
流入质量 - 流出质量 = 质量增量
0 − ρ u(x)bh(t) = −ρ xbv
∂x
∂y
∂z
∂ vx + ∂ vy + ∂ vz = 0 ∂x ∂y ∂z
二维流动 不可压缩流动
∂vx + ∂vy = 0 ∂x ∂y
二、一维、定常、不可压缩流体连续性方程
在流场中取一流束，取断面1、2和流管 所围体积为控制体，由质量守恒定律： 单位时间内：流入质量 - 流出质量 = 控制体内的质量增量。
对控制体内应用质量守恒定律：
−
∂ ( ∂s
∫A ρ
udA) ds
Байду номын сангаас
=
∂ ∂t
(ρ
A) ds
∂ ∂t
(ρA)
+
∂ ∂s
∫A
ρ
udA
=
0
∂ (ρA) + ∂ (ρ uA) = 0
∂t
∂s
Q为常数
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例题：假设有一不可压缩流体的平面流动，其x方向的速度分量为：
vx
② 流场中，除速度为零的点（驻点）、 速度为无穷大的点（奇点）外，流线既 不能相交，也不能突然转折。
③ 流线没有大小、粗细，但 有疏密、疏的地方表示流速 小，密的地方表示流速大。
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五、流管、流束 1.流管：在流场中任取一封闭曲线（不是流线），过的每一点作流线，这 些流线所组成的管状表面称为流管。
∂t
∂t
单位时段内控制体内流体质量的增量为：
∂ρ dtdxdydz / dt = ∂ρ dxdydz
(2)
∂t
∂t
− [∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz )]dxdydz
(1)
∂x
∂y
∂z
∂ρ + ∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz ) = 0
∂t ∂x
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第二章 流体力学的基本方程
第一节：研究流体运动的两种方法
首先介绍流体运动的描述方法、基本概念，然后利用物理学的基本定律（质 量守恒、动量守恒、能量守恒）导出流体力学中的方程。（连续性方程、动 量方程、伯努利方程）。
v=s t
流体质点的流速
v = ζ 2gh
ρQv
ρ v2A
∫ 1ρ dQ u 2 = α 1 ρ Q v 2
A2
2
α
=
∫
1 2
ρ
dQ u 2
=
∫
1 2
ρ
u
3 dA
1 ρ Qv2
1 ρ v3A
2
2
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第三节 连续性方程
∑ 质量守恒方程 Q厂 = Q用户
一、三维连续性方程
vx
−
∂vx ∂x
dx 2
vx
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流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率：
av = lim Δvv = lim vv1 − vv0 Δt→0 Δt Δt→0 Δt
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Δvv = vv1(x + Δx, y + Δy, z + Δz,t + Δt) − vv0 (x, y, z,t)
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对于定常流动：控制体内的质量增量 ，所以流入 = 流出
单位时间内流入控制体的质量： ρ v1 A1 单位时间内流出控制体的质量： ρ v2 A2
v1 A1 = v2 A2 Q1 = Q2
例1：如上图所示，有二块平 行平板，上板以匀速v向下平 移，间隙中的油向左右挤出 ，前后油液无流动。间隙宽b ，高h(t)，求油的平均流速 随位置变化的关系u(x)。
= ∂ vv Δt + ∂ vv Δx + ∂ vv Δy + ∂ vv Δz
∂t
∂x
∂y
∂z
av
=
dvv dt
=
∂vv ∂t
+
vx
∂vv ∂x
+
vy
∂vv ∂y
+
vz
∂vv ∂z
av = dvv = ∂vv + (vv ⋅ ∇)vv dt ∂t
∂vv :表示同一固定空间点上流体质点的速度变化率（即：同一固定空间点 ∂t 上由于时间变化而引起的加速度），称为当地加速度。 (vv ⋅ ∇)vv :表示同一时间，不同空间点转移时引起的速度变化，称为迁移加
固定空间点的流速
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一、拉格朗日法
以每个运动的流体质点为研究对象，通过对每个质点的运动研究来获得整 个流体运动的规律。
⎧x = x(a,b, c,t)
⎪ ⎨
y
=
y(a,b, c,t)
⎪⎩z = z(a,b, c,t)
rv = rv(a,b,c,t)
vv = vv(a,b, c,t) av = av(a,b, c,t)
4
d
2 D
vD
=
v
B
d
2 B
−
vC
d
2 C
d
2 D
⎧ u = 6(x + y)
例题3：已知某流场的速度分布为：
⎪ ⎨
v = 2y + z
试分析流动是否连续（存在）。 ⎪⎩ w = x + y + 4z
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∂u = 6 ∂x
流场：充满运动流体的空间。 vv = vv(x, y, z,t) av = av(x, y, z, t)
ρ = ρ(x, y, z,t)
p = p(x, y, z,t)
其中x、y、z、t为欧拉变量。
3
三、随体加速度 1. 拉格朗日的加速度 2. 欧拉法表示的流体加速度
av = ∂ 2rv ∂t2
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