工程力学压杆稳定
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工程力学-26压杆稳定11-2
Pcr2
=σcr ⋅ A= 200.9×106
(3)、d=63.8mm
×3.2×10−3 = 644KN
i = 1 d =15.95mm
3m
Pcr 3
λ3 =
= σ cr
μ
i
⋅
l
A
=
=
94 (λs≤ λ< λ4p)中柔度杆 (304 −1.12 × 94) ×106 × 2.3
×10
−3
= 635KN
1
1
5 Pa 3 − N (2 a ) 3 = Na
1 6 EI
3 EI
EA
(1) BC杆的稳定: C
λ = μl = 4 ×1 = 66.6
N = 0.312 P
(λ0≤ λ< λp)中柔度杆
i 0.06
Pcrσ=crσ=c3r ⋅3A8-=12.1528λ×1=036 3×8π-1×.610242××1606−.66=258MPa
8
四、中小柔度压杆的临界力
1. 直线型经验公式
σ
σs σcr=σs A
σp
σcr=a−bλ
B
σ cr
=
π 2E λ2
O
λO
λp
λ
10
中长杆： σcr＝ a - bλ
λo≤ λ＜ λp
a , b 查表 11-2
粗短杆： σcr＝ σs (σb)
λ＜ λo
11
λo 的计算
σs = a－bλo
σ
σs σcr=σs A
=
353.5 105
=
3.367 ＞[nw]
满足稳定条件
22
例题10:图示结构用低碳钢A5制成,求:[P]。已知:E=
简明工程力学14章压杆稳定
4π 2 EI F1cr Fcr ' ' = = 2 cos α l cos α
1 Fcr ' = Fcr ' ' , tgα = , α = 18.43o 3
§14-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
一、 欧拉公式的应用范围 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
σ cr
Fcr = A
w Fcr
w=0；
代表了压杆的直线平衡状态。 代表了压杆的直线平衡状态。
此时A可以不为零。 此时 可以不为零。 可以不为零
l
w l 2 x
M (x)= Fcrw
x
B y (a)
B y (b)
w = A sin kx ≠ 0 失稳 失稳!!!
失稳的条件是： 失稳的条件是： sin kl = 0
kl = nπ
§14–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力： ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ：
1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 理想压杆
y
B y (c)
B (d)
x
§14-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度系数
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 Fcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 A C— D C B Fcr B Fcr B 一端固定 另端自由 Fcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Fcr
1 Fcr ' = Fcr ' ' , tgα = , α = 18.43o 3
§14-4 欧拉公式的应用范围 · 临界应力总图
一、 欧拉公式的应用范围 1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
σ cr
Fcr = A
w Fcr
w=0；
代表了压杆的直线平衡状态。 代表了压杆的直线平衡状态。
此时A可以不为零。 此时 可以不为零。 可以不为零
l
w l 2 x
M (x)= Fcrw
x
B y (a)
B y (b)
w = A sin kx ≠ 0 失稳 失稳!!!
失稳的条件是： 失稳的条件是： sin kl = 0
kl = nπ
§14–1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力： ①强度 ②刚度 ③稳定性 工程中有些构 件具有足够的强度、 刚度，却不一定能 安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ：
1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ：
1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 理想压杆
y
B y (c)
B (d)
x
§14-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式 · 压杆的长度系数
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定 两端固定 另端铰支 Fcr 失 稳 时 挠 曲 线 形 状 A C— D C B Fcr B Fcr B 一端固定 另端自由 Fcr 两端固定但可沿 横向相对移动 Fcr
工程力学——压杆稳定
Pcr 2 EI 2E I 2E 2 2E cr i 2 2 2 2 A ( l ) A ( l ) A ( l )
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
第十一章压杆的稳定 - 工程力学
第十一章压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
(a) 稳定平衡图11.1 稳定平衡与不稳定平衡上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a)所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a)，平衡是稳定的；若轴向压力F足够大，即使微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
工程力学压杆稳定ppt
0
铸铁 331.9 1.453
松木 39.2 0.199 59
3：小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
——直线型经验公式 细长压杆。
ls
lP
临界应力总图[a]
细长杆—发生弹性屈曲 (llp) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (ls l< lp) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (l< ls)
——直线型经验公式
B=0 sinkl • A =0
y FN
0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
B=0 sinkl • A =0
若 A = 0，则与压杆处于微弯状态 的假设不符，因此可得：
sinkl = 0
（n = 0、1、2、3……）
y Fcr
临界载荷:
屈曲位移函数 :
临界力 F c r 是微弯下的最小压 力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最 小的轴弯曲。
l=50cm,
求临界载荷 .(已知
)
F
解: 惯性半径:
柔度: A3钢:
可查得
因此
l0 l< lp 可用直线公式.
例:截面为120mm200mm的矩形木柱，长l=7m，材料的弹性模量
E=10GPa,p=8MPa。试求该木柱的临界力。
解: 在屏幕平面内（xy）失稳时柱的两端可 视为铰支端(图a)；
若在垂直于屏幕平面内（xz）失稳时， 柱的两端可视为固定端(图b)。
最小临界载荷:
——两端铰支细长压杆的临界载荷 的欧拉公式
二、支承对压杆临界载荷的影响
两端铰支
一端自由 一端固定
一端铰支 一端固定
两端固定
临界载荷欧拉公式的一般形式:
工程力学压杆稳定
4
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线 上拐点处旳弯矩为0，故可设想 此处有一铰，而将压杆在挠曲 线上两个拐点间旳一段看成为 两端铰支旳杆，利用两端铰支 旳临界压力公式，就可得到原 支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ： 工作压力
： 折减系数
A： 横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。
MA=MA =0 相当长为2l旳两端简支杆
Fcr
EI 2
(2l ) 2
l
F
0.5l
两端固定 EI 2
Fcr (0.5l) 2
图形比拟：失稳时挠曲线 上拐点处旳弯矩为0，故可设想 此处有一铰，而将压杆在挠曲 线上两个拐点间旳一段看成为 两端铰支旳杆，利用两端铰支 旳临界压力公式，就可得到原 支承条件下旳临界压力公式。
两端铰支
= 1
一端固定，一端自由 = 2
一端固定，一端铰支 = 0.7
两端固定
= 0.5
§11-4中小揉度杆旳临界压力
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
对细长杆
cr
2 EI (l)2 A
2 Ei2 ( l ) 2
2E ( l )2
记 l
i
i
cr
2E 2
––– 欧拉公式
：柔度，长细比
[cr] = [] < 1，称为折减系数
[ cr ] [ ]
根据稳定条件
F Fcr nst
F A
Fcr Anst
cr
nst
[ cr ： 工作压力
： 折减系数
A： 横截面面积
[]：材料抗压许用值
解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示
下端固定，上端自由旳压杆。
＝2
F
l=0.375m
i I d A4
l l 2 0.375 75
i d 0.04 / 4 4
查表， = 0.72
F
A
80 103
0.72 0.042
88.5106 88.5MPa [ ] 160MPa
4
故此千斤顶稳定性足够。
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件以压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件为题，我们来探讨一下这个问题。
压杆稳定问题是工程力学中的一个经典问题，研究的是在受到外力作用下，压杆是否会发生失稳。
而欧拉公式则是描述了在何种条件下，压杆会发生失稳的公式。
我们来看一下欧拉公式的表达式。
欧拉公式可以用数学语言来表示为Fcr = π²EI / L²，其中Fcr表示压杆的临界压力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆长。
这个公式告诉我们，只有当外力超过了临界压力时，压杆才会发生失稳。
那么，欧拉公式成立的条件是什么呢？欧拉公式的推导是基于一些假设条件的。
这些条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零。
只有在满足这些条件的情况下，欧拉公式才能成立。
欧拉公式的成立还与杆件的形状有关。
对于不同形状的杆件，其欧拉公式的形式也会有所不同。
例如，对于长方形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Ebh² / L²，其中b和h分别表示杆件的宽度和高度。
对于圆形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Eπr⁴ / L²，其中r表示杆件的半径。
欧拉公式还要求杆件处于稳定的静力平衡状态。
也就是说，在外力作用下，杆件的挠度要小到可以忽略不计。
如果杆件的挠度过大，那么欧拉公式就不再适用。
欧拉公式成立的条件还包括杆件的材料特性。
杆件的弹性模量E是杆件材料的一个重要参数，它描述了杆件材料的刚度。
当杆件的材料刚度较大时，欧拉公式更加准确。
欧拉公式成立的条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零；杆件处于稳定的静力平衡状态；杆件的形状和材料特性。
在工程实践中，我们经常使用欧拉公式来计算杆件的临界压力，以确定杆件是否会发生失稳。
通过合理选择杆件的形状和材料，我们可以满足欧拉公式成立的条件，从而保证杆件的稳定性。
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
工程力学-细长压杆稳定性分析
E为材料的弹性模量，常用单位GPa
I
为横截面的轴惯性矩，常用单位 m 4或m m4
l
为压杆长度，常用单位m或mm
μ为压杆的长度因数，反映压杆两端支承对临界力的影响。
由欧拉公式
cr
得到
Fcr 2 EI A (l ) 2 A
令
2 i I/A 令
2E cr ( l / i) 2
10 22 3 Iz 8873.3mm 4 12
I y I z 压杆截面必绕y轴转动而失稳，因此将Iy代入公式，计算
截面对y轴的惯性半径。
iy
Iy A
1833.3 2.89mm 22 10
0.5 800 138.4 2.89
得到矩形截面柔度为
y
l
iy
y 138.4 101 采用欧拉公式计算临界应力
cr s
s
几种材料的相应数值。
例一矩形截面压杆，两端固定，已知b=10mm，h=22mm，l=800mm，
材料为Q235钢，弹性模量E=206GPa，试计算此压杆的临界力和临界
应力。
22
10
解：1）计算压杆的柔度
压杆两端固定，μ =0.5，截面对y轴和z轴的惯性矩为：
22 10 3 Iy 1833.3mm 4 12
d0=50mm ，最大起重量 F = 90kN ，材料为 Q235 钢，规定稳定安全因 数 nw 4 ，试校核该螺旋杆稳定性。
解： 1 ）螺旋杆可以简化为下端固定，上端自由的杆，长度因数
μ =2。
2）计算柔度
i
I d 0 50 12.5mm A 4 4
《工程力学》第十六章 压杆稳定
力，称为压杆的临界应力，并以σlj表示。 则细长压杆的临界应力为
• 式中：I和A都是与截面有关的几何量，如果将 惯性矩写成横截面面积与某一距离平方的乘积， 即I=Ai2。i称为此横截面面积对于某一轴的惯性 半径。如果截面对y轴或z轴的惯性半径分别为
• 其量纲为长度一次方。常见图形的惯性半径 可从有关手册中查到。将I=Ai2代入(a)式得
•或
• 式中 P——工作压力； • Plj——压杆临界压力； • nw——压杆工作时实际具有的稳定安全
系数； • ［nw］——规定的稳定安全系数。 • 也可采用应力形式表示压杆稳定性条件，
将式(16-10)及式(16-11)，同除以压杆 的横截面面积A得
•或
• 式中［σw］——稳定许用应力。
• 二、折减系数法 • 由式(16-12)可知，压杆的稳定条件为
• 一、减小压杆的支承长度
• 由大柔度杆的临界应力公式
可
知在压杆材料一定的条件下，临界应力与
柔度的平方成反比，压杆的柔度愈小，相
应的临界应力愈高。而柔度
与压
杆长
• 度l成正比，减小压杆支承长度是降低柔度的方 法之一，在条件允许的情况下，应尽可能地减 小压杆的长度。例如，钢铁厂无缝钢管车间的 穿孔机的顶杆(图16-14)，为了提高其稳定性， 在顶杆中段增加一个抱辊装置，这就达到了提 高顶杆稳定性的目的。
于是，压杆稳定性条件可以写成
• 对于已有压杆，其λ已知，可直接查表163得φ，代入式(16-14)进行稳定性校核。至
于设计截面尺寸，可采用逐次逼近法，即先
设定一个φ值，由式(16-14)计算出A值，然
后进行验算、调整，使杆件的工作应力逐渐 靠近许用应力。
表16-3.tif
• 式中：I和A都是与截面有关的几何量，如果将 惯性矩写成横截面面积与某一距离平方的乘积， 即I=Ai2。i称为此横截面面积对于某一轴的惯性 半径。如果截面对y轴或z轴的惯性半径分别为
• 其量纲为长度一次方。常见图形的惯性半径 可从有关手册中查到。将I=Ai2代入(a)式得
•或
• 式中 P——工作压力； • Plj——压杆临界压力； • nw——压杆工作时实际具有的稳定安全
系数； • ［nw］——规定的稳定安全系数。 • 也可采用应力形式表示压杆稳定性条件，
将式(16-10)及式(16-11)，同除以压杆 的横截面面积A得
•或
• 式中［σw］——稳定许用应力。
• 二、折减系数法 • 由式(16-12)可知，压杆的稳定条件为
• 一、减小压杆的支承长度
• 由大柔度杆的临界应力公式
可
知在压杆材料一定的条件下，临界应力与
柔度的平方成反比，压杆的柔度愈小，相
应的临界应力愈高。而柔度
与压
杆长
• 度l成正比，减小压杆支承长度是降低柔度的方 法之一，在条件允许的情况下，应尽可能地减 小压杆的长度。例如，钢铁厂无缝钢管车间的 穿孔机的顶杆(图16-14)，为了提高其稳定性， 在顶杆中段增加一个抱辊装置，这就达到了提 高顶杆稳定性的目的。
于是，压杆稳定性条件可以写成
• 对于已有压杆，其λ已知，可直接查表163得φ，代入式(16-14)进行稳定性校核。至
于设计截面尺寸，可采用逐次逼近法，即先
设定一个φ值，由式(16-14)计算出A值，然
后进行验算、调整，使杆件的工作应力逐渐 靠近许用应力。
表16-3.tif
工程力学压杆的稳定问题
稳定安全系数一般大于强度安全系数。
例题 ： 1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆为一
端 固 定 、 一 端 铰 支 的 压 杆 。 已 知 杆 长 l=2m ， 直 径 d=65mm，材料的E=210GPa，p=288MPa，顶杆工作 时承受压力F=18.3吨，取稳定安全系数nst=3.0。试校 核该顶杆的稳定性。
①
90
②
l
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：
N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
2E I 2E I Pcr 1 2 ， Pcr 2 2 l1 l2
要使P最大，只有 N1、 N2 都达
到临界压力，即
P
（） 1 （） 2
①
P cos P sin
2E cr 2 p
或写成：
2E p
令： 2 E p
p
欧拉公式的 适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
如对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
E p p
2
2 206 109
200 106
应用欧拉公式
654 1012 2 (210 109 ) ( ) 2 EI 64 Fcr N 925.2kN 2 2 (l ) (0.7 2)
Fcr 925.2 103 5.16 n 3 18.3 10 9.8 F
该杆满足稳定性要求
＞ nst 3.0
x l时：v 0
sin kl 0
kl n (n 0,1, 2,)
n k l
工程力学 压杆稳定性
w j ( )
提高压杆稳定性的措施
2 EI Fcr ( l ) 2
Fcr
欧拉公式
越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
11-6
内容回顾
1.临界力：
2 EI Fcr ( L) 2
2.细长压杆的临界应力： 3.柔度：
cr
L
i
2E 2
——杆的柔度（或长细比）
I i — —惯性半径。 A
4.大柔度杆的分界：
2E cr 2 P
2E P P
例1：图示压杆，材料为A3钢，E 200 103 MPa ,
l=1m
讨论：Fs s
A
(235 106 ) (0.02 0.04)N A
压杆失稳在先 188kN 14.2Fcr
临界应力总图
右图示出了细长压杆临 界应力cr随柔度的变化情 况，以及欧拉公式的适用范 围。
cr
p
cr
π2 E
2
双曲线
p
欧拉公式可用
应该注意的是：“≥p时欧拉公式可用”系按 理想中心压杆得到的。事实上，对于比p大得不太 多的实际压杆，由于有偶然偏心等，就会在弯压组合 下因强度不足而丧失承载能力，因此欧拉公式不适用。
• 图示（a）、（b）、（c）三个支撑情况不同的圆截面 压杆，已知各杆的直径及所用材料均相同，且都属细长 杆。μ值分别1、0.7、0.5。 • 1、若只考虑平面受力，试判断哪种结构临界压力最大。 • 2、当l＝2m，d＝40mm，E＝2×105MPa， σp＝200MPa，求（a）结构的临界力Fcr
工程力学29-压杆稳定计算
33. 压杆的稳定计算
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
山东建筑大学期末工程力学第11章压杆稳定
上的工作应力超过材料的极限应力 ( b 或 S ) 时, 就会因其强度不 足而失去压杆承载能力. 以此建立起 强度条件 .
对于等直杆
F N max [ ] max A
例题：一长为300 mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢 的许用应力为[ ]=196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的 轴向压力为
一, 两端为绞支（球形绞支），长为 l 的 细长 压杆。
当 F 达到 FCr 时，压杆的特点是：保持微弯形式的平衡。
x
F cr
x
w
l
l 2
m w m
F cr
M ( x) F cr w
m m
x
o w o
x
w
F cr
FCr
x
w
m
M ( x) F cr w
m
x
o w
FCr
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移为 w = f (x) 该截面的弯矩为
E F cr cr A ( l / i )
l
i
称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约
束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。
2 E 2
cr
cr
E 2
2
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
F Cr A Cr
x
y
2 EI F cr 2 ( l )
z
2 EI y ( F Cr ) y ( l )2 y
2 EI z ( F Cr ) z ( l )2 z
F Cr {( F Cr ) y,( F Cr ) z}min
对于等直杆
F N max [ ] max A
例题：一长为300 mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1mm 。钢 的许用应力为[ ]=196 MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的 轴向压力为
一, 两端为绞支（球形绞支），长为 l 的 细长 压杆。
当 F 达到 FCr 时，压杆的特点是：保持微弯形式的平衡。
x
F cr
x
w
l
l 2
m w m
F cr
M ( x) F cr w
m m
x
o w o
x
w
F cr
FCr
x
w
m
M ( x) F cr w
m
x
o w
FCr
压杆任一 x 截面沿 w 方向的位移为 w = f (x) 该截面的弯矩为
E F cr cr A ( l / i )
l
i
称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约
束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。
2 E 2
cr
cr
E 2
2
越大，相应的 cr 越小，压杆越容易失稳。
F Cr A Cr
x
y
2 EI F cr 2 ( l )
z
2 EI y ( F Cr ) y ( l )2 y
2 EI z ( F Cr ) z ( l )2 z
F Cr {( F Cr ) y,( F Cr ) z}min
工程力学第5节 提高压杆稳定性的措施
一、选择合理的截面形状 提高压杆稳定性，就是在给定面积大小的条件下， 提高压杆的临界力。临界力 Fcr A cr ，当面积一定 时，提高临界力的关键在于提高临界应力 cr 。 细长杆 cr 2 E 2，中长杆 cr a b ，因此， 减小柔度 即可以提高临界应力 cr 。
（a）工字型
（b）槽型
（l )2
对于大柔度杆，其临界力与杆长 l 的平方成反比。 因此使压杆长度减小可以明显提高压杆的临界力。 若压杆长度不能减小，则可以通过增加压杆的约束 点，以减小压杆的计算长度，从而达到提高压杆承 载能力的目的。
注意
对于小柔度杆，则不能通过减小压杆 长度的办法来提高临界力。
但对各种钢材来说，弹性模量值差别不大，用高强 度钢时，临界应力的提高不显著，所以细长压杆用 普通钢制造，既合理又经济。
对于中柔度压杆，由经验公式看出，临界应力与材 料的强度有关，因此对于中柔度的压杆，可用高强 度钢制造以提高稳定性。对小柔度的短粗压杆，本 身就是强度问题，高强度钢优于普通碳素钢。
三、改变杆端约束形式 根据两端铰支细长压杆的临界载荷公式，由表 11-1 可知，加固杆端支承，长度因数值降低，可以提高 临界载荷，即提高了压杆的稳定性。一般来说，增 加压杆的约束，使其不容易发生弯曲变形，可以提 高压杆承载能力。
2 EI Fcr 2 ( l )
四、合理选用材料 对于大柔度杆（ P ），其 cr 与材料的 E 成正 比，故在其他条件相同的情形下，用弹性模量高的 材料制成的压杆，其临界力也高。 从材料手册中可以查出，碳钢的弹性模量大于铜、 铸铁或铝材料的弹性模量，故钢制压杆的临界力也 是这几种材料制成的压杆中最高的。
l A l i I
在截面面积不变的情况下，增大惯性矩的办法是尽 可能地把材料放在离形心较远的地方。
（a）工字型
（b）槽型
（l )2
对于大柔度杆，其临界力与杆长 l 的平方成反比。 因此使压杆长度减小可以明显提高压杆的临界力。 若压杆长度不能减小，则可以通过增加压杆的约束 点，以减小压杆的计算长度，从而达到提高压杆承 载能力的目的。
注意
对于小柔度杆，则不能通过减小压杆 长度的办法来提高临界力。
但对各种钢材来说，弹性模量值差别不大，用高强 度钢时，临界应力的提高不显著，所以细长压杆用 普通钢制造，既合理又经济。
对于中柔度压杆，由经验公式看出，临界应力与材 料的强度有关，因此对于中柔度的压杆，可用高强 度钢制造以提高稳定性。对小柔度的短粗压杆，本 身就是强度问题，高强度钢优于普通碳素钢。
三、改变杆端约束形式 根据两端铰支细长压杆的临界载荷公式，由表 11-1 可知，加固杆端支承，长度因数值降低，可以提高 临界载荷，即提高了压杆的稳定性。一般来说，增 加压杆的约束，使其不容易发生弯曲变形，可以提 高压杆承载能力。
2 EI Fcr 2 ( l )
四、合理选用材料 对于大柔度杆（ P ），其 cr 与材料的 E 成正 比，故在其他条件相同的情形下，用弹性模量高的 材料制成的压杆，其临界力也高。 从材料手册中可以查出，碳钢的弹性模量大于铜、 铸铁或铝材料的弹性模量，故钢制压杆的临界力也 是这几种材料制成的压杆中最高的。
l A l i I
在截面面积不变的情况下，增大惯性矩的办法是尽 可能地把材料放在离形心较远的地方。
工程力学2第九章压杆稳定的概念及三种平衡状态
02
临界载荷的概念
失稳与屈曲（Buckling)
补充知识： 求二阶常系数线性齐次方程通解
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
挠曲线近似微分方程
弯矩
令
则
通解
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件： 若 则 （与假设矛盾） 所以
如图（b）,截面的惯性矩为
两端固定时长度系数
柔度为
7m
12cm
20cm
y
z
§9.5 压杆的稳定校核
应用经验公式计算其临界应力,查表得
则
临界压力为
木柱的临界压力
临界应力
§9.6 提高压杆稳定性的措施
欧拉公式
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束）
增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 长度系数（无量纲） 相当长度（相当于两端铰支杆） 欧拉公式的普遍形式： 两端铰支 x y O
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
x
z
F
l1
F
例题1 由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，z = 1， 长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固 定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。
F
FR
x
方程组的非零解条件：
具有非零解
单击此处添加大标题内容
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。为了能让您有更直观的字数感受，并进一步方便使用，我们设置了文本的最大限度，当您输入的文字到这里时，已濒临页面容纳内容的上限，若还有更多内容，请酌情缩小字号，但我们不建议您的文本字号小于14磅，请您务必注意。
临界载荷的概念
失稳与屈曲（Buckling)
补充知识： 求二阶常系数线性齐次方程通解
临界压力 — 能够保持压杆在微小弯曲状态下平衡的最小轴向压力。
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
挠曲线近似微分方程
弯矩
令
则
通解
§9.2 两端铰支细长压杆的临界压力
边界条件： 若 则 （与假设矛盾） 所以
如图（b）,截面的惯性矩为
两端固定时长度系数
柔度为
7m
12cm
20cm
y
z
§9.5 压杆的稳定校核
应用经验公式计算其临界应力,查表得
则
临界压力为
木柱的临界压力
临界应力
§9.6 提高压杆稳定性的措施
欧拉公式
越大越稳定
减小压杆长度 l
减小长度系数μ（增强约束）
增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
§9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 长度系数（无量纲） 相当长度（相当于两端铰支杆） 欧拉公式的普遍形式： 两端铰支 x y O
9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力
x
z
F
l1
F
例题1 由Q235钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形铰。 在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，z = 1， 长度为 l1 。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固 定 y = 0.5 ，长度为 l2 。求 Fcr。
F
FR
x
方程组的非零解条件：
具有非零解
单击此处添加大标题内容
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。为了能让您有更直观的字数感受，并进一步方便使用，我们设置了文本的最大限度，当您输入的文字到这里时，已濒临页面容纳内容的上限，若还有更多内容，请酌情缩小字号，但我们不建议您的文本字号小于14磅，请您务必注意。
工程力学(高教版)教案：第九章 压杆稳定
第九章 压杆稳定第一节 压杆稳定的概念对于一般的构件，其满足强度及刚度条件时，就能确保其安全工作。
但对于细长压杆，不仅要满足强度及刚度条件，而且还必须满足稳定条件，才能安全工作。
例如，取两根截面（宽300mm ，厚5mm ）相同；其抗压强度极限40=c σMpa 的松木杆；长度分别为30mm 和1000mm ，进行轴向压缩试验。
试验结果，长为30mm 的短杆，承受的轴向压力可高达6kN （A c σ），属于强度问题；长为1000mm 的细长杆，在承受不足30N 的轴向压力时起就突然发生弯曲，如继续加大压力就会发生折断，而丧失承载能力，属于压杆稳定性问题。
如图9-1(a)所示，下端固定，上端自由的理想细长直杆，在上端施加一轴向压力P 。
试验发现当压力P 小于某一数值cr P 时，若在横向作用一个不大的干扰力，如图9-1b 所示，杆将产生横向弯曲变形。
但是，若横向干扰力消失，其横向弯曲变形也随之消失，如图9-1c 所示，杆仍然保持原直线平衡状态，这种平衡形式称为稳定平衡。
当压力cr P P =时，杆仍然保持直线平衡，但此时再在横向作用一个不大的干扰力，其立刻转为微弯平衡，但此时在，如图9-1d 所示，并且当干扰力消失后，其不能再回到原来的直线平衡状态，这种平衡形式称为不稳定平衡。
压杆由原直线平衡状态转为曲线平衡状态，称为丧失稳定性，简称失稳。
使压杆原直线的平衡由稳定转变为不稳定的轴向压力值cr P ，称为压杆的临界载荷。
在临界载荷作用下，压杆既能在直线状态下保持平衡，也能在微弯状态保持平衡。
所以，当轴向压力达到或超过压杆的临界载荷时，压杆将产生失稳现象。
图9-1在工程实际中，考虑细长压杆的稳定性问题非常重要。
因为这类构件的失稳常发生在其强度破坏之前，而且是瞬间发生的，以至于人们猝不及防，所以更具危险性。
例如：1907年，加拿大魁北克的圣劳伦斯河上一座跨度为548m 的钢桥，在施工过程中，由于两根受压杆件失稳，而导致全桥突然坍塌的严重事故；1912年，德国汉堡一座煤气库由于其一根受压槽钢压杆失稳，而致致使其破坏。
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0.02
4
Fcr
y
B
z
24.2 (kN)
l
2、从强度分析 s 235 MPa
Fs
A s
0.02 2
4
235 106
73.8
(kN)
A
22
第三节 欧拉公式的使用范围 临界应力总图
一、临界应力与柔度
cr
Fcr A
2EI (l)2 A
2E (l)2
i 2
2E ( l )2
2E 2
i
由 k 2 Fcr 可得 EI
Fcr
n2 2 EI
l2
17
临界载荷:
Fcr
n2 2 EI
l2
nx
屈曲位移函数 :y(x) Asin
l
临界力 F c r 是微弯下的最小压 力，故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最
小的轴弯曲。
最小临界载荷:
Fcr
2 EI min
l2
——两端铰支细长压杆的临界载荷 的欧拉公式
18
二、支承对压杆临界载荷的影响
两端铰支
一端自由 一端固定
一端铰支 一端固定
两端固定
19
临界载荷欧拉公式的一般形式:
Fcr
2EI ( l ) 2
一端自由，一端固定 : 一端铰支，一端固定 :
两端固定 : 两端铰支 :
＝ 2.0 ＝ 0.7 ＝ 0.5 ＝ 1.0
20
欧拉临界力公式
Fcr
——临界应力的欧拉公式
l ——压杆的柔度（长细比）
i
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
i I A
——惯性半径 Iz Aiz2,I y Aiy2.
cr 压杆容易失稳
23
二、欧拉公式的适用范围
p,
cr p
cr
2E 2
p
.
2E p
p
2E p
cr
无效
（细长压杆临界柔度）
p
欧拉公式的适用围:
，
p
称大柔度杆（细长压杆 ）
o
例：Q235钢，E 200 GPa, p 200 MPa.
有效 crຫໍສະໝຸດ E 2pl ip
2E p
2 200103 99.35 100
200
24
三、临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。
1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。
cr a b ——直线型经验公式
P
cr
2E 2
细长压杆。
o
s
P
l
i
26
cr a b ——直线型经验公式
a, b是与材料性能有关的常数。
s
a
s
b
直线公式适合合金钢、铝合金、铸铁与 松木等中柔度压杆。
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
9
10
11
12
受压直杆平衡的三种形式
F Fcr
F Fcr
F Fcr
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
13
电子式万能 试验机上的压杆 稳定实验
14
第二节 细长压杆临界压力的欧拉公式 一、两端铰支细长压杆的临界载荷
当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡。
p ( p )
临界压力：
Fcr
2EI (l)2
cr
临界压应力：
cr
2E 2
P
cr
2E 2
细长压杆。
o
l
P
i
25
2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。
s p ( p s ) cr a b ——直线型经验公式 a, b是与材料性能有关的常数。
s
a
s
b
cr
5人死亡、7人受伤。
7
2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工程封顶，由于脚手
架失稳，模板倒塌，造成6人死亡，35人受伤，其中一名死者是南京电 视台的摄象记者。
8
稳定性：平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。 失 稳：不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下的变 化或破坏过程。
小球平衡的三种状态
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的
弯曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强
度不够，而是由于压杆不能保持原有直线平
(a)
(b)
衡状态所致。这种现象称为失稳。
5
稳定问题:主要针对细长压杆
课堂小实验:横截面为26mm×1mm的钢尺,求其能承受的 Fmax=?
F
l
若取l 2cm, 按屈服强度 s 235MPa计算，
第十一章 压杆稳定
§11-1 压杆的稳定概念 §11-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 §11-3 欧拉公式的使用范围 临界应力总图 §11-4 压杆的稳定计算 §11-5 提高压杆稳定性的措施
1
工程实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆.
压杆
液压缸顶杆
2
木结构中的压杆
脚手架中的压杆 3
桁架中的压杆 4
Fmax 235 106 26 106 6110N
若取l 30cm, 按两端铰接方式使其受轴向压力, 当产生明显变形时，Fmax 180N
若取l 100cm,则产生明显变形时， Fmax 50N
若取l 200cm, 则产生明显变形时，
1mm
26mm
Fmax 12.80N
6
1983年10月4日，高 54.2m、长17.25m、 总重565.4KN大型脚 手架局部失稳坍塌，
y FN
y
Fcr
15
y FN
Fcr
考察微弯状态下局部压杆的平衡:
M (x) = Fcr y (x)
d2y
M (x) = –EI
d x2
令 k 2 Fcr EI
d2y dx2
k
2
y
0
二阶常系数线性奇次微分方程
微分方程的解: y =Asinkx + Bcoskx
y 边界条件: y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 0
第一节 问题的提出
压杆的稳定概念
拉压杆的强度条件为：
= —F—N [ ] A
(a): 木杆的横截面为矩形（12cm),高为 3cm，当荷载重量为6kN时杆还不致破坏。
(b)：木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m (细长压杆），当压力为0.1KN时杆被压弯， 导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
B=0 sinkl • A =0
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y FN
y Fcr
0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0
B=0 sinkl • A =0
若 A = 0，则与压杆处于微弯状态 的假设不符，因此可得：
sinkl = 0
kl n （n = 0、1、2、3……）
2 EI min ( l ) 2
中的
Imin 如何确定
？
定性确定 Imin
21
例：图示细长圆截面连杆，长度 l 800 mm，直径 d 20 mm,材 料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr .
解：1、细长压杆的临界载荷
Fcr
2 EI
l2
2E
l2
d4
64
3
200 109 0.82 64