倾斜角与斜率 .ppt

90°<α<180 °
斜率(范围) _k_=0__
_k_>_0_ 不存在
__k<_0_
思考5 已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？
y
如图，若α为锐角，
y2
P2 (x2 , y2 ) P2P1Q,
y1
Q(x2 , y1)
P1(x1, y1)
且x1 x2 , y1 y2 在Rt P2 P1Q中，
O
x
k y2 y1 0 x2 x1
思考7 当直线平行于y轴，或与y轴重合时，公
式还适用吗？ 不适用，因为分母为0， 斜率不存在.
y
P1 (x1, y1 )
O
P2 (x2 , y2 )
x
三、斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线的斜率公式
提示：(1)错误.除了倾斜角，还可以用坡度(比)描述倾斜程度. (2)错误.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应. (3)正确.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一 个点P和一个倾斜角α. (4)正确.斜率公式与两点的顺序无关，即两纵坐标和横坐标在公 式中的次序可以同时调换. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
思考:一条直线的倾斜角为0°,这条直线一定与x轴平行吗? 提示:不一定,也可能与x轴重合.
练习：请标出以下直线的倾斜角.
y
y
y
O
x
O
x
O
x
思考2 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？
①平面直角坐标系中每一条直线都
有确定的倾斜角;
y l
②倾斜程度不同的直线有不同的倾
斜角;
③倾斜程度相同的直线其倾斜角 O
答案：B
例1 如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求 直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角.
分析：直接利用公式求解.
解：直线AB的斜率kAB
1 2 4 3
1 7
;
B
直线BC的斜率
kBC
1 1 0 (4)
2 4
1; 2
y
A
O C
x
直线CA的斜率
第三章 直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率
笛卡儿（1596-1650）：法国数 学家、物理学家和哲学家，堪称 17世纪以来欧洲哲学界和科学界 最有影响的巨匠之一，被誉为 “近代科学的始祖”.
几何问题 代数化
观察下面的跷跷板，跷跷板的位置固定吗？
思考1 已知直线l经过点P，直线l 的位置能够确 定吗？ 不确定.过一个点有无数条直线.
y
α
o
x
二、直线斜率的定义
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率
(slope).
y
通常用小写字母k表示，即
k tan ( 90o).
注意：α= 90o时，k不存在.
α
o
x
倾斜角α不是90°的直线都有斜率.
斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范 围)
α=0°
0°<α<9 0°
α=_9_0_°
公式特点：
k
y2 x2
y1 x1
( x1
x2 ).
(1)与两点坐标的顺序无关.
(2)公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两点的
坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角. (3)当x1=x2时,公式不适用,此时α=90°.
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的惟一方法.( ) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( ) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线.( ) (4)斜率公式与两点的顺序无关.( )
o x1
x2 x
k
tan
tan P2P1Q
QP2 P1Q
y2 y1 0.
x2 x1
结论：当 0o 90o时，斜率k≥0.
பைடு நூலகம்
若α为钝角，α= 180o -θ（设∠P2P1Q=θ）,且x1 > x2,y1 < y2，
tanα= tan(180o -θ)= -tanθ.
y
y2
P2 (x2 , y2 )
kCA
1 2 03
3 3
1.
由 kAB 及 0 k知CA，直0 线AB与CA的倾斜角均为锐角；
由 kBC <知0，直线BC的倾斜角为钝角．
斜率为正，倾斜角为锐角； 斜率为负，倾斜角为钝角； 斜率为0，倾斜角为0°； 斜率不存在时，倾斜角为直角.
在RtΔP2QP1中，tanθ=
P2Q P1Q
= y2 - y1 ， x1 - x2
y1
Q(x2 , y1)
P1(x1, y1)
所以k
=
tanα=
-
y2 x1
- y1 - x2
=
y2 x2
-
y1 x1
0.
o x2 x1 x
结论：当 90o 180o时，斜率k＜0.
同样，当 P2P的1 方向向上时，也有 成立.
相同.
l"
l'" l
P
x
思考3 确定平面直角坐标系中一条直线的几何要
素是什么？
y
l
P
【提示】直线上的一个定点及它
α
o
的倾斜角二者缺一不可．
x
思考4 日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？
升 高 45° 量
前进量
坡度（比）
升高量 前进量
3m
3m
坡度越大，楼梯越陡．
升 高 45° 量
前进量
“坡度（比）”是 “倾斜角”的正切值.
例、选择题 下列说法正确的是( ) A．平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的范围是 0°≤α<180° C．若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为 tanα D．若一条直线的斜率为 tanα，则此直线的倾斜角为α
解析：倾斜角为90°的直线斜率不存在，故A，C错误；直 线的斜率可以用π＋kα求出，但是直线倾斜角的范围是 0°≤α<180°，故D错误．
tan y2 y1
x2 x1
y
y
P1(x1, y1)
P2 ( x2 , y2 )
o
x
P1(x1, y1)
P2 (x2 , y2 )
o
x
说明：此公式与两点坐标的顺序无关.
思考6 当直线P1P2平行于x轴，或与x轴重合时，
k y2 y1 还适用吗？为什么？ x2 x1
适用
y
P1(x1, y1) P2 (x2 , y2 )
l
y
O
l
l
P
x
这些直线有何区别？ 它们的倾斜程度不同．
如何描述直线 的倾斜程度？
一、直线的倾斜角
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角.
yl
α
o
规定：当直线l和x轴平行或 重合时，它的倾斜角为0°.
直线倾斜角α的范围为：
x
0o 180o.
注意：1、对直线的倾斜角的理解 (1)倾斜角定义中含有三个条件: ①x轴正、方向； ②直线向上的方向； ③小于180°的非负角. 2.倾斜角的范围 直线的倾斜角α的范围为__0_°__≤__α__<1_8_0_°__.