运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧

著名的平均值不等式,,,,"212121n

n n

n a a a n

a a a R a a a ≥

+++∈+则

若

仅当n a a a === 21),2(N n n ∈≥时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。 一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。 （1） 注意“正数”。

例1、求函数x

x y 4+

=的值域 。 误解：4424=⨯

≥+x

x x

x （仅当2=x 时取等号），所以值域为[)+∞,4。

这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+∈R b a ,

正确解法：)2(4424,0)(时取等号当时当==⨯≥+>x x

x x

x x a ；

4

4)2(4)4)((2)4()(0,0)(-≤+

∴-==-

-≥-

+->-

x x x

x x

x x x b 时取等号当而时当所以函数的值域是{}44≥-≤y y y 或。 （2） 注意“取等”

例2、设+

∈R x ，求函数2

13x

x y +

=的最小值。

误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有 3min 332

2

232312312,=∴=⋅

⋅≥+

+=∈+

y x

x x x

x x y R x 。

这里的错误是没有考虑等号成立的条件。显然要2

12x

x x ==，这样的不存在x ，故

导致错误。此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，

正确解法：时取等号）2

3

3

22

12

3(

182

312323312323x

x x x x x

x x y =

=⋅⋅≥++=

。

所以2

183,3

183min 3

=

=

y x 。

例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2

2

2

2

误解：)1(2

9)(2

12

,2

2

2222

22

2 =

+++≤

+∴+≤

+≤

y x b a by ax y x bx b a ax

所以by ax +的最大值为2

9。

这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所以不可能

取到上述的最大值。

正确解法：222222222)())((,2by ax y x b a aybx x b y a +≥++∴≥+ 仅当

bx ay =时取等，所以时取等仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==⨯≤

+6

323632

22

2y x b a bx ay by ax 。

如取23)(,3,2

6max =+=

==

=by ax y x b a

（3）注意“定值”

例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+。

误解：12),(27

)

2()3

(

3

3

2

=+=+=

++≤y x y x y x y

x x y x 又时取等当，

27

1,3

12

≤

==∴y x y x 时。

以上过程只能说明当27

13

12

=

=

=y x y x 时。但没有任何理由说明,27

12

≤

y x 这种似是

而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。

正确解法：

27

2)322(41)34(4144

1,,332

=+⨯=++≤

⋅⋅⋅=

∴∈+

y x y x x y x x y x R y x ， 所以仅当27

2,6

1,32,12,42

最大值为

时取等号所以而y x y x y x y x ∴=

==+=。

二、常用处理方法和技巧 （1） 拆项

例5、求函数)0(322

>+=x x

x y 的最小值。

解：

x

x

x y 232322

+

+

=时取等号）x

x

x

x x 232(362

323

23

232

3

32

=

=

⋅

⋅

≥，

（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆x

3为相同两项，同时使得含变量的因子x