运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧
均值定理求最值
均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。
它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。
本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。
一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。
在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。
2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。
二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。
具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。
2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。
首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。
接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。
均值不等式定理求最值
均值不等式定理求最值复习目标：熟练掌握均值不等式求最值的思想方法和实际应用 一、 基础知识1、 均值不等式定理(1)、ab b a b a 2R,22≥+∈、 (当且仅当b a =时取“=”)(2)、ab b a R b a 2,≥+∈+、 (当且仅当b a =时取“=”) (3)、22,,22b a b a ab R b a +≤+≤∈+(当且仅当b a =时取”=”) 此定理六个方面的应用要多体会掌握。
(4)、abc c b a R c b a 3,333≥++∈+、、 (当且仅当c b a ==时取“=”)(5)、33,abc c b a R c b a ≥++∈+、、 (当且仅当c b a ==时取”=”) 2、 均值不等式定理求最值的基本原则 （1）、“一正”：要求在正数条件下或能转化为正数条件的情况下才用均值不等式定理。
(2)、“二定”：即“和定积大与积定和小”原则，这一原则要求：求某些变量的和的最小值问题应使变量的乘积为定值；而求变量的乘积的最大值问题应转化到变量的和为定值。
反之，变量的和为定值必转化为求变量积的最大值问题，变量的积为定值必转化为求变量和的最小值问题。
总之，使用均值不等式定理后使变量消去成常数是均值不等式定理求最值的指导思想，也是产生各种技巧的力量源泉。
(3)、“三相等”：即“二”成立原则，这一原则要求验算“二”成立的充要条件，这是保证所求最值正确与否的关键。
完成这一步骤主要看两点：一看“二”成立的充要条件是否有解；二看“二”成立的充要条件有解时的解是否在函数定义域内。
如这两点均符合要求，所求函数最值就正确无疑了。
3、均值不等式定理及在求函数最值中的应用是高考热点之一。
均值定理的运用最为灵活，往往需灵活变形才能使用。
用均值不等式求最值应着重注意三原则：一正、二定、三相等，其中“三相等”就是等号成立的充要条件，这是求解变量取什么值可有最值的唯一途径，应该注意求得的变量是否在函数的定义域内或满足题中的限制条件下，这也是验证这种方法是否可行的唯一办法。
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧
例说利用均值不等式求函数最值的几种技巧利用均值不等式求函数最值是数学中常用的一种方法，通过这种方法，可以简单地确定函数的最大值和最小值。
本文将介绍几种利用均值不等式求函数最值的常用技巧。
1.权值平均：使用均值不等式时，通过给定变量的权重，我们可以找到一个平均值，该平均值应该落在函数的最大值和最小值之间。
例如，如果我们要找出一个函数f(x)在一些闭区间[a,b]上的最大值，我们可以找到一个适当的c，使得a<c<b，并应用以下均值不等式：f(a)≤f(c)≤f(b)然后，我们可以将函数的值乘以相应的权重（比如(a-c)和(b-c)），并利用均值不等式得出结论。
2.凸函数和凹函数：对于凸函数而言，任意两个点之间的连线位于这两个点所对应的函数值之上。
如果我们要找到函数f(x)在一些闭区间上的最大值，我们可以在该区间上找到两个点，判断这两个点的连线是否位于这个函数值之上。
如果是，那么函数值将成为该区间的最大值。
对于凹函数来说，与凸函数类似，只是方向相反。
3.形象化问题：通过将问题形象化，我们可以更好地理解利用均值不等式求函数最值的思路。
例如，我们有一个数轴上的几个点，我们想找到距离它们最近和最远的点。
我们可以将这些点放在数轴上，并根据它们的位置找到距离最近和最远的点。
同样地，在函数的最大值和最小值问题中，我们可以通过绘制图形并观察函数曲线来找到函数的最大值和最小值。
4.极值问题：利用均值不等式求函数最值时，我们可以寻找函数的极值点。
当函数的导数为0时，函数可能取得最大值或最小值。
我们可以计算导数，找到可能的极值点，并对这些极值点应用均值不等式，从而确定函数的最大值和最小值。
5.多元函数：均值不等式也可以应用于多元函数的情况。
在多元函数的情况下，我们可以将问题转化为一元函数的情况，并使用上述方法解决。
综上所述，利用均值不等式求函数最值是一个实用的方法。
通过使用权值平均、凸函数和凹函数特性、形象化问题、极值问题和多元函数等技巧，我们可以更好地利用均值不等式来确定函数的最大值和最小值，从而解决数学中的一些问题。
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。
解：因为x >0，y>0，所以34343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
均值不等式解题方法和技巧总结
利用均值不等式求最值的方法和技巧几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
一、 配凑（8种技巧）1.拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=∙∙∙-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++-⎪∙∙-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。
2.利用均值定理求最值
4x 9 y 当且仅当 , 即x =15 , y=10时,x+y取 y x
得最小值25.
题型二:配凑定值, 求最值 2 x 7 x 10 1.设x＞0，则函数 y 的最小 x 值是 2 10 7 .
10 x 6 x 10 2.函数 y 的最小值是 3
x3
.
注意验证等号能否成立!
恒成立，则a的取值范围是__________.
1 1 (2010’四川)设a>b>0，则 a ab a(a b )
2
的最小值是(
A.1 B.2
)
C.3 D.4
题型三:两数和与积同时出现的题目
1.若正数a、b满足ab=a+b+3，则a+b的取值范
围是___________. [6, ) 2.(2010’浙江)若正实数x,y满足xy=2x+y+6，则
18 xy的最小值是__________.
3.(07’北京)如果正数a，b，c，d 满足 a+b=cd=4，那么（ A ） Ａ．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值唯一 Ｂ．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值唯一 Ｃ．ab≤c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值不唯一 Ｄ．ab≥c+d，且等号成立时a，b，c，d的取 值不唯一
∴ x+y的最小值为24.
此 解 法 是 否 正 确
多次利用均值定理时,不要忽视“相等”
4 9 3.已知正数x、y满足 1 ,求x+y的最小值. y x
正解：
4 9 x y ( x y )( ) y x 4x 9 y 13 y x 4x 9 y 2 13 25 y x
利用均值定理求最大(小)值的几个技巧
利用均值定理求最大(小)值的几个技巧白国军【期刊名称】《赤峰学院学报：自然科学版》【年(卷),期】2000(000)005【摘要】最大（小）值问题是一类很典型的题目,是高考的热点之一,有关这类题目的处理涉及很多教学方法,其中利用均值定理便是众多方法中常用的一种。
由于这种方法在应用中经常需要技巧,所以初学者不易掌握,本文拟介绍这一方法在解最大（小）值问题时的一些具体技巧。
所谓均值定理,就是"n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数",即若:a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>,…,a<sub>n</sub>∈R<sup>+</sup>,则有（a<sub>1</sub>+a<sub>2</sub>+a<sub>3</sub>+…a<sub>n</sub>）/n≥（a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>a<sub>3</sub>…a<sub>n</sub>）<sup>1/n</sup>,当且仅当a<sub>1</sub>=a<sub>2</sub>=a<sub>3</sub>=…=a<sub>n</sub> 时,不等式取"="号。
新大纲对这一定理只要求掌握 n=2,3的情况。
这一定理在实际解题时,可用来求解"和"的最小值或"积"的最大值,当然必须有几个前提条件。
巧用均值定理求函数最值
巧用均值定理求函数最值今天我们要介绍一种求函数最值的方法，那就是利用均值定理。
首先，我们先来了解一下均值定理。
均值定理是微积分中的重要定理之一，它指出，若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则存在 $cin(a,b)$，使得$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在某一点的函数值等于函数在该区间上的平均值。
那么，我们如何利用均值定理来求函数最值呢？我们可以对于一个函数 $f(x)$，假设其在区间 $[a,b]$ 上连续，那么根据均值定理，我们有$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$其中$cin(a,b)$，因此，对于函数 $f(x)$，我们可以得到$$maxf(x)leqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x$$$$minf(x)geqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在区间 $[a,b]$ 上的最大值不会超过函数在该区间上的平均值，最小值不会小于函数在该区间上的平均值。
因此，我们可以利用均值定理来快速估算函数的最值。
比如，如果我们要求 $f(x)=x^2-x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值，那么根据均值定理，我们有$$max f(x)leqslantfrac{1}{1-0}int_0^1(x^2-x+1)mathrm{d}x=frac{5}{6}.$$因此，$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值不会超过 $dfrac{5}{6}$。
实际上，我们可以通过求导来得到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为$dfrac{5}{6}$。
当然，利用均值定理来求函数最值并不是万能的，它只能给出函数最值的估计值，而不能精确计算。
但是，均值定理可以帮助我们快速估算函数的最值，从而加快我们的计算速度。
如何利用均值不等式求最值的解题思路
文章标题：深度剖析：如何利用均值不等式求最值的解题思路在解决数学中的最值问题时，均值不等式是一种十分重要的工具。
通过合理运用均值不等式，我们可以更加简洁地解决各种最值问题。
在本文中，我们将深入探讨如何利用均值不等式来求解最值问题，并且通过具体的例子和理论分析，逐步揭示其中的奥妙。
1. 了解均值不等式的基本概念我们需要了解均值不等式的基本概念。
均值不等式是数学中的一个重要定理，它指出了若干个非负数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，而几何平均数又大于等于它们的调和平均数。
这一定理为我们解决最值问题提供了重要的数学基础。
2. 利用均值不等式求解具体问题接下来，我们将通过具体的例题来展示如何利用均值不等式来求解最值问题。
假设我们需要求解一个函数的最小值，而这个函数必须满足一定的条件。
这时，我们可以首先利用均值不等式对这个函数进行变形，使得我们可以更加方便地找到最小值点。
通过逐步展开和演算，我们可以将问题简化，最终得到最小值的具体解。
3. 回顾与总结在本文中，我们深入探讨了如何利用均值不等式来求解最值问题。
通过分析均值不等式的基本概念和具体应用，我们可以更好地理解这一数学工具的作用和价值。
通过丰富的例题和细致的论证，我们可以清晰地掌握利用均值不等式解题的思路和方法。
在我们的个人观点中，我们强调了均值不等式在解决最值问题中的重要性，并指出了在实际运用中需要注意的细节和技巧。
总结起来，通过本文的阅读，读者可以更加深入地理解利用均值不等式求解最值的思路，并且能够更加灵活地应用到具体的数学问题中。
希望本文能够为读者提供有益的启发和帮助，使他们在数学学习和解题过程中更加游刃有余。
深入剖析：如何利用均值不等式求最值的解题思路在数学问题中，求最值是一个常见的问题。
而在解决最值问题时，均值不等式无疑是一个重要的工具。
它不仅可以帮助我们更加简洁地解决最值问题，还可以提高我们的解题效率。
在本文中，我们将进一步深入地探讨如何利用均值不等式来求解最值问题，并结合具体的例子和理论分析来展示其奥妙之处。
均值不等式求最值的常用技巧及习题(含解答：经典)
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当 _____________时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”）2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。
解：因为x >0，y>0，所以234343x y x yxy+≥=(当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等号)，于是13xy≤， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=1621211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立技巧二：配凑项求 例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
均值定理求最值常见问题剖析
例1、求函数f(x)＝x＋(x＜0)的最值.
对于本题，初学者常犯以下错误：
错解：由均值定理，f(x)＝x＋＝2
故f(x)有最小值为2.
但很明显，当x＜0时，f(x)的值为负数，最小值不可能是正数！问题就出在“x＜0”上.
例2正确解法是：
正解：f(x)＝x＋
当且仅当，即x＝时取等号
即f(x)的最小值为.
这里显然有＜2.
三取等.这也是均值定理求最值的一个重要条件，如果不能取到等号，就不能称其为最值，这一点大家心里都明白，但往往在解题中被忽略，应该引起高度重视.
例3、当x＞0时，求函数f(x)＝x＋的最小值.
错解：记x＋＝t，∵x＞0，∴t＞0(满足正数条件)
例4、已知a＝x2＋y2，b＝m2＋n2，其中x，y，m，n均为正实数，求mx＋ny的最大值.
错解：f(x)＝x＋
当且仅当x＝且x＞0时，即x＝1时取等号
此时，f(x)＝2
故f(x)的最小值为2.
这里错就错在使用均值定理后，乘积不是定值！
许多同学对这里的“定值”要求不甚理解，认为只要不等关系成立，而且能够取到等号，就应该是最值了。其实这又是一个很隐蔽的错误.如图分别是函数f(x)＝x2和g(x)＝2x－1的图像，他们相切于点(1，1)，即使说当x∈R时，恒有f(x)≥g(x)且当x＝1时等号成立，但f(x)的最值显然不在x＝1处取得.
所以，f(x)＝t＋≥2(定值条件也符合)
所以f(x)的最小值为2.
这种解法的错误就是忽略了等号成立的条件，由x＞0，有t＝x＋≥2
3.2均值不等式—最值问题
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
s ab （2）若a+b=S(a,b∈R+),则 ab 4 2 （当且仅当a=b时取等号）
a bmin 2 p
2
2
2
abmax
s 4
例题：求函数
y x 3 2x 0 x 1
s 4
求最值要注意三点：
⑴正数⑵定值⑶检验等号是否成立
练习：求函数
以及此时x的值。
- 2 x2 + x - 3 f ( x) = , ( x > 0) 的最大值， x
1. 均值定理： ab ab 如果 a, b R，那么 当且仅当 a b 时，式中等号成立 2. 定理：(重要不等式）
最值定理： （1）若a,b∈R+且ab=p（p为常数）则
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
s ab （2）若a+b=S(a,b∈R+),则 ab 2 4 （当且仅当a=b时取等号）
a bmin 2 p
2
2
2
abmax
的最大值为________________.
例题、(1)一个矩形的面积为100 m ，问：这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为36 m.问这个矩形的 长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
2
小结：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
若a,b∈R，那么 a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
2
3.2 均值不等式的应用— 最值问题
均值不等式求最值的方法
均值不等式求最值的方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。
一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a= b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b +≤≤≤222b a +。
二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
2、求几个正数积的最大值。
例2、求下列函数的最大值：①23(32)(0)2y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<<解析：①30,3202x x <<->∴，∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=⋅⋅-3(32)[]13x x x ++-≤=，当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。
利用均值不等式求最值常用技巧
（2） a b c 3 abc ， (a, b, c R ) ， abc a b c 3 。当且仅当 a=b=c 时，取等号。
3
3
6、熟悉一个重要的不等式链：
2 11
ab a b 2
ab
a2 b2 。 2
7、利用均值不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等 ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值（和定积最大,积定和最小）； ③必须有自变量值能使函数取到等号. 二、利用均值不等式求最值常用解题技巧
x
0，y
4x
9 x2
2x
2x
9 x2
3
3
2x 2x
9 x2
33 36
当且仅当 2x
9 x2
，即 x
3
36 2
时等号成立，所以当 x
3
36 2
时， ymin
33
36
。
技巧五：换元
例 1、求 y x2 7x 10 (x 1) 的值域。 x 1
解：令 t=x＋1， y (t 1)2 7(t 1）+10 = t2 5t 4 t 4 5
例 1：求函数 y x2 5 的值域。 x2 4
解：令 x2 4 t(t 2) ，则 y x2 5 x2 4 1 t 1 (t 2)
x2 4
x2 4
t
因 t 0, t 1 1 ，但 t 1 解得 t 1不在区间2, ，故等号不成立，考虑单调性。
t
t
因为 y t 1 在区间1, 单调递增，所以在其子区间2, 为单调递增函数，故 y 5 。
C．3 ＝，
D．3
∴a+2b＝（s﹣1）+2（t﹣1）＝s+2t﹣3，
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧(精)
运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1）注意“正数”。
例1、求函数的值域。
误解：（仅当时取等号），所以值域为。
这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。
（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。
误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。
这里的错误是没有考虑等号成立的条件。
显然要，这样的不存在，故导致错误。
此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。
所以。
例3、误解：所以的最大值为。
这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。
正确解法：仅当时取等，所以。
如取（3）注意“定值”例4、已知。
误解：，。
以上过程只能说明当。
但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。
正确解法：，所以仅当。
二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。
解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。
（2）裂项例6、设，求函数的最小值。
解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。
即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。
（3）添项例7、求函数的最小值。
解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。
所以当。
例8、若.的最小值。
解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。
如何使用均值定理求函数的最值
均值定理是高中数学中重要的内容，在高考中占有很重要的地位，成为高考的高频考点，它们总能在高考的舞台上与其姊妹知识合理、巧妙、有机地结合在一起进行联合演出，成为检查学生知识掌握情况和提升学生综合应用能力的训练战场。
因此，如何合理正确地使用均值定理就显得尤为重要了。
我们知道使用均值定理时，一定要遵循“一正、二定、三相等”的原则。
下面给出使用均值定理求最值的题型及使用方法，以供参考。
1直接套用公式例1(2014年新课标全国卷Ⅰ，16)已知a，b，c分别为ΔABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则ΔABC面积的最大值为______。
解析由正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，也即a2=b2+c2-bc。
由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，所以A=60°。
又因为a=2，所以4=b2+c2-bc，又因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，所以SΔABC= 12bcsinA≤12·4·3√2=3√，也即面积ΔABC的最大值为3√。
点评在解题中通过配凑，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab （a，b∈R）达到了求最值的目的。
例2若函数f（x）=-1b e ax（a>0，b>0）的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A.4B.22√C.2D.2√解析因为f′（x）=-a b e ax，所以所求切线的斜率为k=f′（x）|x=0= -a b。
因为f（0）=-1b，所以切点为（0，-1b），则切线方程为l：y-（-1b）=-a b（x-0），也即ax+by+1=0。
因为直线l与圆相切，所以1a2+b2√=1，则a2+b2=1。
因为a2+b2≥12（a+b）2，所以（a+b）2≤2（a2+b2）=2，所以0≤a+b≤2√，也即（a+b）max=2√，故选D。
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧是一种常用的数学技巧，它可以帮助我们在解决数学问题时给出一个最优解。
均值不等式是一个基本的数学定理，它表明任何一个序列的平均值大于或等于它的最小值。
因此，可以利用这个定理来求解最大值或最小值。
首先，要使用均值不等式求最值，我们需要确定问题中的变量。
通常情况下，均值不等式求最大值或最小值时，有两个变量：最大值x和最小值y。
确定变量之后，我们需要根据题目给出的信息确定均值不等式的右侧。
对于求最大值的情况，右侧的值将是最小值y；而求最小值的情况下，右侧的值将是最大值x。
接下来，需要计算左侧的值，也就是均值。
计算均值的方法是：将所有数字相加，然后除以总数。
有时，问题中会给出一些数字，我们也可以将它们相加再除以总数算出均值。
有时，问题中会给出一些表达式，我们可以将它们计算出来，再把结果相加得出均值。
接下来，我们可以将左右两边的值代入均值不等式，解出最大值x或最小值y。
如果题目中有多个变量，我们可以分别解出每个变量，然后将它们带入原来的数学表达式，求出最终的最大值和最小值。
最后，要注意的是，均值不等式只能求出最大值或最小值，而不能求出其他值。
因此，在使用均值不等式求最值的时候，要确保问题中的变量正确，并且计算出来的均值也是正确的。
总之，利用均值不等式求最值的技巧是一种有效的数学技巧，能够帮助我们解决许多有关最大值和最小值的问题，提高我们解决问题的效率。
2.2 均值定理
(2)最大值.①a>0,b>0;②a+b是定值;③当且仅当a=b时,a·b有
最大值
(
a
2
b
)2
.
【说明】 注意运用均值定理求最值时条件缺一不可,记忆
时可记为一“正”、二“定”、三“等”.
【例题精解】
【例1】 (1)若x>0,y>0,x+y=8,则xy的最大值是
;
(2)若x>0,y>0,xy=9,则x+y的最小值是
y
x
x
1
1
x
1
x
1
1
1,由于( x
1)
x
1 1
1为定值,
且依题知x 1 0,故可用均值定理求最值.
【解】 x 1, x 1 0.
y
x
1 x 1
x
1
1 x 1
1
2
(
x
1)
x
1
1
1
3,
当且仅当x 1 x 11,即x 2时, y x x 11取最小值3.
【同步训练】
1.若x>0,y>0,x+y=4,则xy的最大值是
.
【分析】 两题显然都可以用均值定理求解.
【解】
(1)
xy
x
2
y
2
8 2
2
16,当且仅当x y 4时,xy有最大值16.
(2)x y 2 xy 2 9 6,当且仅当x y 3时,x y取最小值6.
【点评】
①若x, yR ,且x y k(常数),则xy
k 2
2
;
②若x, yR,且xy k(常数),则x y 2 k .
不等式专题——利用均值不等式求最值(全面详细整理)
所以 y (x 1)2 5(x 1) 5 (x 1) 5 5 2 (x 1) 5 5 2 5 5
x 1
(x 1)
x 1
当且仅当 (x 1)2 5 ，即 x 5 1 取等号
另一解 x 1 5 1 （舍去）
所以 ymin 2 5 5
例 3．求 y x2 7x 10 (x≠ 1) 的值域。 x 1
解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
y x2 7x 10 (x 1)2 5(x 1) 4 (x 1) 4 5
x 1
x 1
利用均值不等式求最值的方法
利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一，应注意条件“一正二定三相等”. 在解题的过程中，有时往往 不能直接套用公式，即出现“变量是负数”、“和(或积)不是定值”、“等号取不到”等情形，这时该怎么办？下面浅析此 时的应付对策，供参考.
一、变量是负数，怎么办？ ————化负为正
例 5． 求函数
的最小值。
解：因为 ，所以
3
故
当且仅当
，即 时，
（4）. 平方法
例 6．求函数 y 2x 1 5 2x ( 1 x 5) 的最大值。
2
2
解析：注意到 2x 1与5 2x 的和为定值。
y2 ( 2x 1 5 2x )2 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8
例 1． 当 0 x 4 时，求 y x(8 2x) 的最大值。 解析：由 0 x 4 知， 8 2x 0 ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。注意到 2x (8 2x) 8 为定值，故只需将 y x(8 2x) 凑上一个系数即可。
均值定理在求最值中的应用
例 ５ 已知 ＋ 一 （ ０ｙ ｏ ， ｘ 的最小值 ２ｘ ， ）求 ｙ ＞ ＞
ｘ
穹 鱼 ｘ 小ｘ＋－ ＝ ＋ （） ＋ －Ｅ ２ １＿ ｘ
＞ ｏ
解‘，．｝ ≥／・＿ ＞ ｏ０ ＋ ２ ’ ２ ０ 】ｙ ・ 、 、 。 ‘＞２ ＞ ・ ‘ ． ＝ ｙ Ｖ ／
ｘ ｌ ％
＝
．
例 ４ 求函数 ｙ ＝
的最／值 Ｊ 、
脚
・ ．
＝
。 ＋—
，
单
＋ 丽１
＂ＥＲ， Ｘ 都有 ｘ≥Ｏ 贝 ｘ ｌ ， Ⅱ ２ ≥１ ＋
２
皿 ’ ‘
． ．
．
Ｌ ≥１当 ｘ０ ＝ 时取等号 ’ｙ ． ≥ｌ ． ． ２ ／ Ｔ－ Ｘ－ … … 。 … ￣ 一 …
Ｈ—． ｕ
．
．
普＋２ ８ ≥ ｂ
当 扛、 取 号． ｝的 值 间 ：、 ， ） ／ 时 等 ・ ． 取 区 为 ／ ＋
了均值定理在解题中的运用 。经过适当 练习， 记住使用条件 ， 相信大部分学生都可以理解和掌握 。
（ 上接 ８ ４页 ） 助学 生理解概 念 、 进行 自主学 习 的环境 ， 激发 学生 主动 计算 等等它们 的正确 与否对 企业将 产生重 大影 响 ， 以会 计人员 不愿让 所 探索 的愿望。 网络 和课件为学 生提供充 分 自主学 习的手段 ， 也应是 现代 实 习学生亲 自操作 ， 往使得 社会 实践流 于形式 。在模拟 实验 的手工操 往 教育技 术努力和发展 的方 向。 作 中， 以班为单 位派专 职教师 辅导 ， 每个学 生做一 套账 ， 条件 的还 可 以 有 设计一 个模 拟银 行 和税务 局使 学 生对结 算业 务 和报税 程序有 更好 的 了 ２４ 虚 拟 现 实 教 学 ．
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运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式,,,,"212121nn nn a a a na a a R a a a ≥+++∈+则若仅当n a a a === 21),2(N n n ∈≥时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。
且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。
因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。
一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。
（1） 注意“正数”。
例1、求函数xx y 4+=的值域 。
误解：4424=⨯≥+xx xx （仅当2=x 时取等号），所以值域为[)+∞,4。
这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+∈R b a ,正确解法：)2(4424,0)(时取等号当时当==⨯≥+>x xx xx x a ；44)2(4)4)((2)4()(0,0)(-≤+∴-==--≥-+->-<xx x xx xx x x b 时取等号当而时当所以函数的值域是{}44≥-≤y y y 或。
（2） 注意“取等”例2、设+∈R x ，求函数213xx y +=的最小值。
误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有 3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥++=∈+y xx x xx x y R x 。
这里的错误是没有考虑等号成立的条件。
显然要212xx x ==，这样的不存在x ，故导致错误。
此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xx x x x xx x y ==⋅⋅≥++=。
所以2183,3183min 3==y x 。
例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222误解：)1(29)(212,222222222 =+++≤+∴+≤+≤y x b a by ax y x bx b a ax所以by ax +的最大值为29。
这里（1）取等号的条件是仅当b y a x ==,；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。
正确解法：222222222)())((,2by ax y x b a aybx x b y a +≥++∴≥+ 仅当bx ay =时取等，所以时取等仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==⨯≤+6323632222y x b a bx ay by ax 。
如取23)(,3,26max =+====by ax y x b a（3）注意“定值”例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+。
误解：12),(27)2()3(332=+=+=++≤y x y x y x yx x y x 又时取等当，271,312≤==∴y x y x 时。
以上过程只能说明当271312===y x y x 时。
但没有任何理由说明,2712≤y x 这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。
正确解法：272)322(41)34(41441,,332=+⨯=++≤⋅⋅⋅=∴∈+y x y x x y x x y x R y x ， 所以仅当272,61,32,12,42最大值为时取等号所以而y x y x y x y x ∴===+=。
二、常用处理方法和技巧 （1） 拆项例5、求函数)0(322>+=x xx y 的最小值。
解：xxx y 232322++=时取等号）xxxx x 232(36232323232332==⋅⋅≥，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆x3为相同两项，同时使得含变量的因子x的次数和为零）所以仅当3min 3362326=y ，。
（2） 裂项例6、设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最小值。
解取等）141(9514)1(251411]1)1][(4)1[(+=+=+++≥++++=+++++=x x x x x x x x x y [先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。
即使得含变量的因子1+x 的次数和为零，同时取到等号] ]所以仅当9,1min ==y x 时。
（3） 添项例7、求函数222163xx y ++=的最小值。
解]216)2(3[638)216)(2(326216)2(3222222取等xx xx xx y +=+-=++≥-+++=（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子22x +的次数和为零，同时取到等号）。
所以当638,2334min -=-±=y x 。
例8、若y x yxy x +=+>>则且,191,0,0.的最小值。
解： 时取等）yxx y y x x y yx xy yxy x y x 9(169210991)91)((==⋅+≥+++=++=+ [所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘yx91+），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子xy 的次数和为零，同时取到等号]。
所以仅当⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1241919y x y xy x x y 时y x +的最小值为16。
4、放入根号内例9、求函数)10(122<<-=x x x y 的最大值。
解932)3122(4)1(224)1(132222222422=-++≤-⋅⋅=-=-=xxxx xxx x xxy（仅当2212x x-=时取等号）（把变量都放在同一条件下既根号里，求积的最值，凑和为定值，因此配变量x 次数相同且系数和为零，且取到等号）因此仅当932,36max ==y x 。
例10、已知,20<<x 求函数)4(62x x y -=的最大值。
解：)4)(4(218)4(360,20222222x x x x x y y x --⋅⋅=-=∴>∴<< ,+∈R x 取等）22322242(3332]3)4()4(2[18x xx x x -==-+-+≤（求积的最值，凑和为定值，因此首先配变量x 次数相同,故把变量放到根号内使次数升高，再配次数相同和系数和为零，且取到等号）因此仅当.3332,332max ==y x5、分之变量常数化 例、11设求函数4332+=x xy 的最大值。
解：由题223242234343xx x xx x xy ++=+=+=而,+∈R x 取等号）232242(34223422xx xxxxx x ==⋅⋅≥++∴（分子变量因子次数比分母的大且变量因子不为零，可同时除以分子所含变量因子化为前面形式解），所以仅当1,2max ==y x 。
6、取倒数例12、已知134,,=+∈+yx R y x ，求y x 2的最小值。
解：时取等）yxy x x y x x yx 32(3241)3322(121322121132==++≤⋅⋅⋅=（已知变量出现在分母，所求为变量积且出现在分子，故取倒数再如前面一样求解）因此仅当324)(,9613432max 2=⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y x y x y xy x练习：做学生用书的怎样最值的相应的例题和练习题，简略答案为：例1、（1）用椭圆的参数方程可把面积表示为角的函数即[]2,1)4s i n (2c o s s i n )],c o s (s i n 2c o s s i n 4[15∈+=+=+-+=θθθθθθθθt S 令，[],302302135)2,1(245)2(2152≤≤-∴∈+-=S t t S（2）、打开绝对值要对变量的取值分类：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤+=⇒++-=≤)21(43)21(1)(43)21()(,)(2min2a a a a x f a x x f a x a ， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-≤-=⇒+-+=>)21(1)21(43)(43)21()(,)(2min2a a a a x f a x x f a xb 综上：.43)(,21,1)(,2121;43)(,21min 2min min a x f a a x f a a x f a +=>+=≤<--=-≤例2、（1）用图形或添加辅助角或用万能公式进而可解得.254⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-y y 。
（3） 由题682442+-+=a a a S ，然后两边平方再用判别式可得解为623+。
例3、（1）[)0,17-。
（2）),0)(2(302>+=r rr y π这里均值定理取不到，故而用单调性求解得465,83,2min ===y h r 。
测式（1）1、 B 用二次函数性质可解得415)sin(-=-αβ 。
2、C 最大利润60])401(10401[100000)8050()40()50(10000022≤---=≤≤--x x x x x 。
3、 元后平方即可得解⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,21。
4、用二次函数性质求解5511min=y 。
5、 面积最大仅当半径最大，.642max r S π=6、（1）2)]11([,01max 22-=+->>++xxa x ax，（2）]414([22+++-≥x x a用单调性得25-≥a 。
7、22)2(22),22(244)(2--=≥+=+-+=---at t y t t a x f x x x x x x 则令2,24log,,22)(2min 2222--=-±==≥⇒---=a y a a x a t a a a t y 即；a y x t a 42,0,2,2min -===<即例4、（1）因为511001221001=≥≥+≥+∴≤≤≤≤≤tx ty yx tz yx t z y x ，仅当100.10,1====t z y x 时取等号。
因为1422,142,222≤+∴=++≥+xy xy xy y x xy y x 所以，所以2818)(,221,242max -=+-=+-=xy y x 。
（2）设直线方程然后用弦长公式及点到直线的距离公式可得 2525)1(42)5)(1(2)5(122+⋅+⋅-=+-=+-=b b b b b b b S01:281(28]325251[4m a x 3=--=-==++++-≤y x S b b b b 直线为时仅当例5、（1）找A 的对称点即可得交点（2，2），（2）用椭圆的第二定义得PM PA PB PA +=+2，过A 作AN 垂直L 于N ，即可得最小值为5。