【高中数学课件】函数的增减性ppt课件

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人教版高中数学选择性必修第二册5.3.1函数的单调性【课件】

′ = − <
所以，函数 = − 在 ∈ (, ) 上单调递减，如图（2）所示.
合作探究
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（3） =
解：
−

（3）因为

= − ， ∈ (−∞, ) ∪ +∞

所以
′

= >
新知讲解
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时
间t的增加而增加，即h(t) 单调递增. 相应地， = ′ >
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时
间t的增加而减少，即h(t) 单调递减. 相应地， = ′ < .
3
所以， f(x)在（−∞，-1）和（2，+∞）上都单调
递增，在（-1，2）上单调递减，如图5.3-6所示.
合作探究
规律方法：一般情况下，通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数 ′ 的零点；
第3步，用 ′ 的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 ′

1

所以，函数 = 1 − 在区间 −∞, 0 和(0, +∞)上单调递增，如图（3）所示.
合作探究
例2 已知导函数′ 的下列信息：
当1<x<4时，′ > ；
当x<1, 或x>4时，′ <
当x=1,或 x=4时，′ = .
试画出函数f(x)图象的大致形状.
′ = + = + >

1 第1课时　函数的单调性(共44张PPT)

提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体概念.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间.

函数的单调性ppt课件

利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值；利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤：判断：先判断函数的单调性．求值：利用单调性代入自变量的值求得最值．明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点：写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标．求最值忘记求定义域．求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(45张PPT)——高中数学必修第一册

一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．

函数的增减性课件

增函数的几何意义
增函数在直角坐标系中的图像是单调上升的曲线。
减函数的定义
减函数的定义
如果对于函数$f(x)$在区间$I$上的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上是减函数。
减函数的几何意义
减函数在直角坐标系中的图像是单调下降的曲线。
研究方法的局限性
目前对函数增减性的研究方法相对单一，需要探索更多元化的研究手段和角度。
展望未来函数增减性的研究方向
拓展理论框架
未来研究可以尝试突破传统数学分析理论框架的限制，探索更广泛、更深入的函数增减性理论。
跨学科应用
进一步拓展函数增减性在各个领域的应用，特别是与其他学科的交叉应用，以解决更多实际问题
当$a > 0$时，开口向上，函数在对称轴左侧为减函数，右侧为增函数；当$a < 0$时，开口向下，函数在对称轴左侧为增函数，右侧为减函数。
高次函数的增减性
要点一
高次函数
一般形式为 $y = ax^n + bx + c$，其中 $n geq 3, a, b, c$ 是常数。
要点二
高次函数的增减性取决于系数$a$ 的正负和函数的导数
解决数学问题
利用函数的增减性，可以解决代数、几何、概率统计等领域的数学问题。
证明数学定理
通过分析函数的增减性，可以证明数学定理和公式的正确性。
优化算法性能
在算法设计和分析中，利用函数的增减性可以优化算法的性能，提高计算效率。
05
增减性的实例分析
一次函数的增减性
一次函数：$y = ax + b$，其中$a$和$b$是常数，$a neq 0$。

5.3.1函数的单调性 (2课时)(教学课件)- 高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册

取一个值
表5.3-1取一个值
取一个值
X
(-0,-1)
-1
(-1,2)
2
(2,+0)
f'(x)
十
0
0
十
f(x)
单调递增
单调递减 f(2)=-3 单调递增
21
所以，f(x)在(-0,-1)和(2,+0)单调递增，在(-1,2)上单调递减，如图5.3-6所示.
y个
(-1,
2
-10
X
(2,-
如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题?运算过程麻烦吗?你有什么体会?
图5.3-6
用定义法求解本题时，应先在定义域内任取x₁,x₂ (x₁<x₂), 再通过判断f(x₁)-f(x₂)的符号来确定函数f(x)的单调性.但运算过程麻烦，有时需要很多变形技巧，因此学习了导数知识之后，我们一般借助导数求解与函数单调性有关的问题.
22
判断函数f(x)单调性的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f'(x) 的零点(即解方程f'(x)=0); (3)用f'(x) 的零点将f(x)定义域分为若干个区间，每个区间取一个值计算出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数f(x)在定义域内的单调性.
b)上函数单调递减，且减小得越来越快，所以f'(x)<0, 且
f'(x) 减小的速度也快.
15
归纳一般地，函数f(x) 的单调性与导函数f'(x) 的正
负之间具有如下的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间 (a,b) 上单调递增；

新教材高中数学第三章函数的单调性课件新人教B版必修第一册ppt

【解析】选 C.对于 A，y＝－2x 在定义域上无单调性，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数，所以 A 错误；对于 B，y＝x2＋1 1 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以 B 错误；对于 C，y＝－3x2－6x 图像是抛物线，对称轴是 x＝－1，所以函数在[－1，＋∞)上是减函数，所以 C 正确；对于 D，a>0 时，y＝ax＋3 在(－∞，＋∞)上为增函数，a<0 时，y＝ax＋3 在(－∞，＋∞)上是减函数，所以 D 错误．
A．[1，2]
B．12，2
C．(1，2]
D．21，2
【思路导引】分别考虑 x>0，x<0，分界点三个方面的因素求范围．
【解析】选 A.因为函数 f(x)＝（－2x2b＋－（1）2－x＋b）b－x，1，x≤x0>，0， 2b－1>0，
在 R 上为增函数，所以 2－2 b≥0，解得 1≤b≤2. b－1≥0，
3．函数 y＝|x－1|的单调增区间是____________．【解析】作出函数的图像，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞).
答案：[1，＋∞)
图像法求函数单调区间的步骤 (1)作图：作出函数的图像； (2)结论：上升图像对应单调递增区间，下降图像对应单调递减区间．
【补偿训练】画出函数 y＝|x|(x－2)的图像，并指出函数的单调区间．【解析】y＝|x|(x－2)＝x－2－x22＋x＝2x（＝x－－（1）x－2－1）1，2＋x≥1，0，x<0，函数的图像如图所示．由函数的图像知：函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).
类型三函数单调性的应用(数学运算、逻辑推理) 利用单调性解函数不等式【典例】已知函数 f(x)的定义域为[－2，2]，且 f(x)在区间[－2，2]上是增函数， f(1－m)＜f(m)，则实数 m 的取值范围为________．【思路导引】从定义域，单调性两个方面列不等式求范围．

函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT

探索点三函数单调性的应用【例 3】【例 3】 (1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]
上是减函数,则实数 a 的取值范围为 (-∞,-3] .
解析:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a -1)2+2, 所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a . 所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a]. 因为f(x)在(-∞,4]上是减函数, 所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合, 所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范围为(- ∞,-3].
(2) 已知 y=f(x) 在定义域 (-1,1) 上是减函数 , 且
f(1-a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是
.
3函.2数.1的第单1课调时性-【函新数教的材单】调人性教-A【版新高教中材数】学人必教修A第版一（册20优19 秀）课高件中数学必修第一册课件( 共28张 PPT)
函数的单调性-【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件
[基础测试] 1.判断.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知 f(x)= ,因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)是增函数.
() 解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大, 函数值也越大,而不是个别的自变量. 答案:×
解析:观察图象可知,y=f(x)的单调区间有[-5,-2], [2,1],[1,3],[3,5]. 其中 y=f(x) 在区间 [-5,-2],[1,3] 上是增函数,在区间[-2,1],[3,5]上是减函数.

函数的单调性【新教材】人教A版高中数学必修第一册精品ppt课件

第函三数章的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】册人课教件A 版2（优2秀01p 9pt）课高件中数学必修第一册课件(共69 张PPT) 第函三数章的单调3.性2.【1 新第教1材课】时人函教数A的版单高调中性数-学【必新修教第材一】册人课教件A 版2（优2秀01p 9pt）课高件中数学必修第一册课件(共69 张PPT)
第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】人教A 版（201 9）高中数学必修第一册课件(共69 张PPT) 第三章 3.2.1 第1课时函数的单调性-【新教材】人教A 版（201 9）高中数学必修第一册课件(共69 张PPT)
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《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】

（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减，在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增，在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大（减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称：【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用

人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件

k(x1 x2 )．
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )．由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)

高中数学必修一函数的单调性 (共17张PPT)

3），[3，4]。其中 y= f(x)在区间[-4，-2）， [1，3）上是减函数，在[-2，1）， [3，4]是增函数。
注意：函数y= f(x)在[-4，-2）∪[1，3）上不是减函数。可以说：函数y= f(x)在[-4，-2）和[1，3）上是减函数
y kx b 当k 0时，y在定义域R上单调递增当k 0时，y在定义域R上单调递减
b , 2a
b , 2a
a<0
b , 2a
返回
例2
判断函数f ( x) x 2x 的单调性.
2
y
f (x) x 2x
2
单调递减区间：
(, 1]
单调递增区间：
1
o
2
x
1 , )
例3.证明：函数 f ( x) 3x 2 在 , 上是增函数.
思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？
证明：在区间
, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
3( x2 x1 )
取值作差变形
则f ( x2 ) f ( x1 ) (3x2 2) (3x1 2)
x1, x2 , ，且 x1 x2 x2 区间D是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
y
（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y

《函数的增减性》课件

增减函数的图像特征
增函数图像特征
增函数的图像从左至右上升，即随着$x$的增大，$y$的值也相应增大。
减函数图像特征
减函数的图像从左至右下降，即随着$x$的增大，$y$的值相应减小。
判断增减性的方法
通过观察函数的图像特征，可以判断函数的增减性。如果图像从左至右上升，则是增函数；如果图像从左至右下降，则是减函数。
二次函数的增减性分析
二次函数
$y = ax^2 + bx + c$
增函数实例
$y = x^2$，在区间$(0, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$增大。
减函数实例
$y = -x^2$，在区间$(0, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$减小。
对数函数的增减性分析
对数函数
$y = log_a x$
在数学领域的应用
解决数学问题
增减函数是数学中常见的一种函数类型，通过研究增减函数的性质可以解决一些数学问题，例如，求函数的极值、判断函数的单
调性等。
建立数学模型
在数学建模中，可以利用增减函数来建立数学模型，例如，在微积分中利用增减函数来描述物体
的运动轨迹。
探究数学规律
通过研究增减函数的性质，可以探究数学规律，例如，利用增减函数的性质探究函数的极限和连
续性等。
04 增减函数的实例分析
一次函数的增减性分析
一次函数
$y = ax + b$
增函数实例
$y = x$，在区间$(-infty, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$也增大。
减函数实例
$y = -x$，在区间$(-infty, +infty)$上，随着$x$的增大，$y$减小。

函数单调性,增函数,减函数,单调区间课件.

结论
证明函数单调性的一般步骤:
取值作差变形
定号
结论
1 1.证明函数在 y x 上 ,0 是减函数.
证明
2.证明函数在y 2 x 1上 , 是减函数.
探究
证明
k (1)反比例函数 y ( x 0) 的单调性？ x (可分k>0,k<0讨论) (2)一次函数 y kx b(k 0) 的单调性又如何?
k 1 y (k 0, x 0) y 若将改为 ,则函数的单调性又 x x
如何?
k p 例2.物理学中的玻意耳定律 V (k为正常数)告诉我们,对于
一定量的气体,当其体积减小时,压强 p将增大,试用函数的单调
性证明之.
则证明：设 V1 , V2是定义域
0, 上任取两个实数,且V
那么就说在fx这个区间上是单调减函数d称为fx的单调如果对于属于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x如果对于属于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值xfx在区间d是单调增函数或单调减函数那么就说函数fx在区间d上具有单调性
上图是我国1949年至1995年的人口，粮食总产量以及人均粮食的变化从上图的数据我们可以看出人口和粮食总产量和人均粮食是逐年增加的。
1 3、证明函数 f（x）= x 在 x
的。(选做)
0,1
上是单调递增
返回
证明：在区间
,0 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
x2 x1 x1 x2
则
1 1 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2
x1, x2 ,0 ，且 x1 x2 x1 x2 0, x2 x1 0

5.3.1 函数的单调性课件ppt

利用导数求函数的单调区间
角度1 求不含参数的函数的单调区间
例3求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x2-ln
x;(2)f(x)=cos
1
x+ 2 x,x∈(0,π).
分析根据函数解析式求出函数的导函数,根据导函数的符号确定函数单调
区间.
解 (1)∵函数定义域为(0,+∞),且
∴令 f'(x)>0,即
.

f'(x)>0,得 x>1,由 f'(x)<0,得 0<x<1.
f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
+1
)(-1)

(+
(2)当 a>0 时,f'(x)=

,
+1
∵a>0,∴- <0.
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.
∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
变式训练 2(2021江西南昌二中高二期末)若函数y=xcos x-sin x在某区间内
单调递增,则该区间可能为(
A.
π 3π
,
2 2
C.(π,2π)
B.
π π
- ,
2 2
D.(0,π)
)
答案 C
解析 ∵y=xcos x-sin x,
∴y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
方法技巧解析式中含参数的函数的单调区间的求法

高中数学专题14函数单调性的判断与证明课件新人教A版

x
3
,
2
即实数x的取值范围是[1, 3). 2
总结：充分利用原函数的单调性及其定义域，建立关于x的不等式,
求解x的取值范围.
例5.函数f (x)在（0， )上是减函数，求f (a2 a 1)与f ( 3 )的大小.
4 解：f (x)在(0, )上是减函数，
∵a2 a 1 (a 1 )2 3 ，≥3 0， 2 44
例2.判断函数f
(x)=
ax x2 1
(1
x
1)的单调性.
解：设 1 x1 x2 1,
则f
(x1)
f
(x2 )
ax1 x12
1
ax2 x22 1
（ax(1x21x21） 1（ )(xx212x11） ) .
∵ x1x2 1 0, x2 x1 0, x12 1 0, x22 1 0,
( x1
x2 )
x2 x1 x1 x22
)
(x1 x2 )(x1x2 1) x1 x2
由0 x1 x2 1, 得0 x1x2 1，x1 x2 0，即f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 ).
所以函数f (x) x 1 在（0,1）上为减函数. x
∴f (a2 a 1) f ( 3). 4
注意：利用函数的单调性比较两个数的大小时，必须首先考虑定义域.
（1）理解函数单调性的定义；理解单调区间的概念；（2）熟练掌握证明单调性的步骤；
（3）证明单调性时常用的变形技巧有因式分解、通分、配方、分子有理化.
（3）定号：判断上式的符号，若不能确定，则可分区间讨论；
（4）结论：根据差的符号得出单调性的结论.
例1.证明函数f (x) x 1 在（0,1）上为减函数. x

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可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
课堂小结
1. 函数单调性定义、图象特征、范围。设定义域为I。在I内某个区间上的任意两个
自变量x1、x2的值，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2) ，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量x1、x2的值，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
1 （ 3 ） y x=
X -2 -1 0 1 2 y 41014
X -2 -1 0 1 2 y -8 -1 0 1 8
X -2 -1 0 1 2 y -0.5 -1 1 0.5
y
x1 x2 o
x
y
x1
o x2 x
y
o
x
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量值x1和x2，
当x1 < x2 时，都有f (x1) < f (x2) , 则 y = f (x) 叫做增函数，
2. 单调性的证明步骤。
取值作差变形定号判断
3.可利用函数的图象直接判断函数的增减性。
4.用特殊的反例可否定函数的增减性
课外作业
1. 课本60页练习4 2. 2. 求y=-x2-6x+10的单调增区间、单调减区
间。
3. 研究函数 f ( x ) = x +1/x 在其定义域内的单调性
பைடு நூலகம்
再见
当x1 < x2 时，都有f (x1) > f (x2) , 则 y = f (x) 叫做减函数。
图像特征：增函数
y
y = f (x)
f(x1)
f(x2)
a
x1 O x2 b
x
减函数
y
y = f (x)
f(x1) f(x2)
a x1 O x2 b
x
例1：如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x) 的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。
定号
即 f(x1)>f(x2)
所以，函数f(x)= 1/x在(-∞,0)上是单调减函数。判断
例3：证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想：在课本59页例3已
证明函数f(x)=1/x在(0，+∞) 上也是减函数。
在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢？
反例：取x1= - 1 , x2=1，则f(-1)=-1,f(1)=1
注意！用逗号间隔开
答：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5], 其中单调减区间是 [-5, -2), [1,3) ，单调增区间是 [-2,1), [3, 5] 。
例2：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且 x1<x2，取值
江西省波阳县第一中学陈建文
解答：如果下雨仍不止，8月10日0时水库水位将达到警戒线。最迟8月9日0时，全市将发布紧急动员令。
天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632
函数的单调性
研究下列函数的图象：
（ 1） y = x 2
（ 2） y = x 3
【高中数学课件】函数的增减性ppt课件
实例分析
我市某水库8月1日0时的水位距警戒线4.5米。据气象部门预报8月1日后我市区域仍将持续降雨，水库水位将以每天0.5米的速度上涨，若全市抗洪紧急动员后，全体抗洪人员到位还需1天。
问：最迟到几号如果下雨仍不止，全市将发布紧急动员令？
分析：可应用函数 y=0.5x，当x增大时、y随之增大。故 x= 9（天）时，y= 4.5（米）
例3：判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上的单调性。
证明：设x1,x2是(-∞,0)上的任意两个实数，且 x1<x2，
f(x1)-f(x2)=1/x1 – 1/ x2
=(x2 - x1 )/ x1 x2
取值
作差变形
由x1<x2 <0，得 x2 - x1 > 0 而x想1 x2一>0想？
于是 f(x1)-f(x2)>0
f(x1)-f(x2)=(3 x1 +2)-(3 x2+2)
作差
= 3( x1- x2)
变形
由x1<x2 ，得 x1- x2 <0
于是 f(x1)-f(x2)<0
定号
即 f(x1)<f(x2) 所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。
判断
例3：判断函数f(x)=1/x在(-∞,0)上的单调性。