第四章_插值法与曲线拟合
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的n次插值多项式（2.2），这样，由（2.2）式可以求出n+1个n次插 插多项式 l0 (x), l1(x),,ln (x) 。容易看出，这组多项式仅与节点的取
法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值
基函数。
11
2.2 拉格朗日插值多项式
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次插值
找到它的解析表达式，只能通过实验和 观测得到在有限个点上的函数值（即一 张函数表）。显然，要利用这张函数表 来分析函数 的性态、甚至直接求出其
2
它一些点上的函数值是非常困难的。在有些
情况下，虽然可以写出函数 f x 的解析表达
式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方 便。面对这些情况，总希望根据所得函数表 （或结构复杂的解析表达式），构造某个简
4
节点 x0, x1,, xn 处的插值函数。求插值
函数 p(x) 的方法称为插值法。插值函数类 φ的取法不同，所求得的插值函数p(x)逼 近f(x)的效果就不同它的选择取决于使用 上的需要。常用的有代数多项式、三角多 项式和有理函数等。
当选用代数多项式作为插值函数时， 相应的插值问题就称为多项式插值。
由插值条件（1.3）知，插值多项式 Pn x 的系数 ai i 0,1,n
满足线性方程组
a0 a1x0 an x0n y0 a0 a1x1 an x1n y1
a0 a1xn an xnn yn
（1.4）
由线性代数知，线性方程组的系数行列式（记为V）是n+1阶范德蒙 （Vandermonde）行列式，且
在多项式插值中，最常见、最基本的 问题是：求一次数不超过n的代数多项式
5
Pn x a0 a1x an xn (1.2)
使
Pn xi yi i 0,1,,, n (1.3)
其中 a0, a1,, an 为实数。满足插值条件
(1.3)的多项式(1.2)，称为函数f(x) 在节点
处的n次插值值多项式。
形如(2.3)的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记为
Ln x y0l0 (x) y1l1(x) ynln (x)
n
yk
k 0
(x x0 )(x xk1)( x xk1)(x xn ) (xk x0 )(xk xk1)( xk xk1)(xk xn )
（2.4)
12
作为的特例，令n=1，由（2.4）即得两点插值公式
1 x0 x02 x0n
1
V
x1
x12
x1n
n i 1
i 1 j0
xi x j
1 xn xn2 xnn
8
因 x0, x1, xn 是区间 a,b上的不同点，上式右端乘积中的
每一个因子 xi x j 0，于是 V 0 ，方程组（1.4）的解存在且
唯一。故有下面的结论：
定理1 若节点 x0, x1, xn 互不相同，则满足插值条件（1.3）
单函数P(x)作为 f x的近似。
插值法是解决此类问题的一种比较古老 的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接 广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且 也是进一步学习数值计算方法的基础。
3
定义 设函数 y = f(x) 在区间 [a,b]上连续，
且在n+1个不同的点
a x0, x1,, x上n b
n次插值多项式 Pn x的几何意义：过
曲线y = f(x) 上的n+1个点(xi , yi )(i 0,1,, n)
作一条n次代数曲线 y Pn (x)，作为曲线
y = f(x) 的近似，如图2-1。
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Y
y f x
y Pn x
y0 y1
0 a x0 x1
பைடு நூலகம்yn
xn b
X
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1 .2 插值多项式存在唯一性
的n次插值多项式（1.2）存在且唯一。
9
§2 拉格朗日插值多项式
在上一节里，我们不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且也
提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（1.4）来确定其系数ai
，但是，这种作法的计算工作量大，不便于实际应用，下面介绍几种 简便的求法。
2.1 插值基函数
点 余点xk 先x0i 考i 虑k 0一,1n,下k,作简1一,单kn的次1插,多值项, 问n式题上l：k取(对x值) 节为, 使点零它, x在即i 该i 点0上,1,取值n为 1,中而任在一其
1 Ak (xk x0 )(xk xk1)( xk xk1)(xk xn )
故
lk
(x)
(x x0 )(x (xk x0 )(xk
xk1)( x xk1)(x xk1)( xk xk1)(xk
xn ) xn
)
(2.2)
对应于每一节点 xk 0 k n ，都能求出一个满足插值条件（2.1）
lk
( xi
)
1 0
ik ik
（2.1）
（2.1）表明n个点 xi i 0,1, k 1, k 1,n 都是n次多项式 lk (x) 的
零点，故可设
lk (x) Ak (x x0 )( x x1)(x xk1)( x xk1)(x xn )
10
其中 Ak 为待定系数，由条件 lk (xk ) 1可得
多项式
y0l0 (x) y1l1(x) ynln (x)
（2.3）
事实上，由于每个插值基函数lk (x)(k 0,1,, n) 都是n次多项
式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同时，根据条
件 为（yi2i.1）0,1容,易,验n证，多因项此式，（它2就.3是）待在求节的点nx次i 处插值的多值项式Pn x。
第四章 插值与曲线拟合
§1 引言 §2 拉格朗日插值多项式 §3 牛顿插值多项式 §4 分段低次插值 §5 最小二乘拟合
1
§1 引 言
1. 1插值问题的提法
在生产和科研中出现的函数是多种 多样的。常遇到这种情况：在某个实际
问题中，虽然可以断定所考虑的函数f x
在区间 a, b上存在且连续，但却难以
分别取值 y0, y1,, y，n 在一个性质优良、
便于计算的函数类φ 中，求一简单函数
p(x) ，使
Pxi yi i 0,1,n (1.1)
而在其它点 x xi 上，作为 f(x) 的近似。 称区间为插值区间，点 x0, x1,, xn为插
值节点，称（1.1）为 f(x)的插值条件，称 函数类φ 为插值函数类，称 p(x)为函数在
法有关，称它们为在n+1个节点上的n次基本插值多项式或n次插值
基函数。
11
2.2 拉格朗日插值多项式
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件（1.3）的n次插值
找到它的解析表达式，只能通过实验和 观测得到在有限个点上的函数值（即一 张函数表）。显然，要利用这张函数表 来分析函数 的性态、甚至直接求出其
2
它一些点上的函数值是非常困难的。在有些
情况下，虽然可以写出函数 f x 的解析表达
式，但由于结构相当复杂，使用起来很不方 便。面对这些情况，总希望根据所得函数表 （或结构复杂的解析表达式），构造某个简
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节点 x0, x1,, xn 处的插值函数。求插值
函数 p(x) 的方法称为插值法。插值函数类 φ的取法不同，所求得的插值函数p(x)逼 近f(x)的效果就不同它的选择取决于使用 上的需要。常用的有代数多项式、三角多 项式和有理函数等。
当选用代数多项式作为插值函数时， 相应的插值问题就称为多项式插值。
由插值条件（1.3）知，插值多项式 Pn x 的系数 ai i 0,1,n
满足线性方程组
a0 a1x0 an x0n y0 a0 a1x1 an x1n y1
a0 a1xn an xnn yn
（1.4）
由线性代数知，线性方程组的系数行列式（记为V）是n+1阶范德蒙 （Vandermonde）行列式，且
在多项式插值中，最常见、最基本的 问题是：求一次数不超过n的代数多项式
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Pn x a0 a1x an xn (1.2)
使
Pn xi yi i 0,1,,, n (1.3)
其中 a0, a1,, an 为实数。满足插值条件
(1.3)的多项式(1.2)，称为函数f(x) 在节点
处的n次插值值多项式。
形如(2.3)的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记为
Ln x y0l0 (x) y1l1(x) ynln (x)
n
yk
k 0
(x x0 )(x xk1)( x xk1)(x xn ) (xk x0 )(xk xk1)( xk xk1)(xk xn )
（2.4)
12
作为的特例，令n=1，由（2.4）即得两点插值公式
1 x0 x02 x0n
1
V
x1
x12
x1n
n i 1
i 1 j0
xi x j
1 xn xn2 xnn
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因 x0, x1, xn 是区间 a,b上的不同点，上式右端乘积中的
每一个因子 xi x j 0，于是 V 0 ，方程组（1.4）的解存在且
唯一。故有下面的结论：
定理1 若节点 x0, x1, xn 互不相同，则满足插值条件（1.3）
单函数P(x)作为 f x的近似。
插值法是解决此类问题的一种比较古老 的、然而却是目前常用的方法，它不仅直接 广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且 也是进一步学习数值计算方法的基础。
3
定义 设函数 y = f(x) 在区间 [a,b]上连续，
且在n+1个不同的点
a x0, x1,, x上n b
n次插值多项式 Pn x的几何意义：过
曲线y = f(x) 上的n+1个点(xi , yi )(i 0,1,, n)
作一条n次代数曲线 y Pn (x)，作为曲线
y = f(x) 的近似，如图2-1。
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Y
y f x
y Pn x
y0 y1
0 a x0 x1
பைடு நூலகம்yn
xn b
X
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1 .2 插值多项式存在唯一性
的n次插值多项式（1.2）存在且唯一。
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§2 拉格朗日插值多项式
在上一节里，我们不仅指出了插值多项式的存在唯一性，而且也
提供了它的一种求法，即通过解线性方程组（1.4）来确定其系数ai
，但是，这种作法的计算工作量大，不便于实际应用，下面介绍几种 简便的求法。
2.1 插值基函数
点 余点xk 先x0i 考i 虑k 0一,1n,下k,作简1一,单kn的次1插,多值项, 问n式题上l：k取(对x值) 节为, 使点零它, x在即i 该i 点0上,1,取值n为 1,中而任在一其
1 Ak (xk x0 )(xk xk1)( xk xk1)(xk xn )
故
lk
(x)
(x x0 )(x (xk x0 )(xk
xk1)( x xk1)(x xk1)( xk xk1)(xk
xn ) xn
)
(2.2)
对应于每一节点 xk 0 k n ，都能求出一个满足插值条件（2.1）
lk
( xi
)
1 0
ik ik
（2.1）
（2.1）表明n个点 xi i 0,1, k 1, k 1,n 都是n次多项式 lk (x) 的
零点，故可设
lk (x) Ak (x x0 )( x x1)(x xk1)( x xk1)(x xn )
10
其中 Ak 为待定系数，由条件 lk (xk ) 1可得
多项式
y0l0 (x) y1l1(x) ynln (x)
（2.3）
事实上，由于每个插值基函数lk (x)(k 0,1,, n) 都是n次多项
式，故其线性组合（2.3）必是不高于n次的多项式，同时，根据条
件 为（yi2i.1）0,1容,易,验n证，多因项此式，（它2就.3是）待在求节的点nx次i 处插值的多值项式Pn x。
第四章 插值与曲线拟合
§1 引言 §2 拉格朗日插值多项式 §3 牛顿插值多项式 §4 分段低次插值 §5 最小二乘拟合
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§1 引 言
1. 1插值问题的提法
在生产和科研中出现的函数是多种 多样的。常遇到这种情况：在某个实际
问题中，虽然可以断定所考虑的函数f x
在区间 a, b上存在且连续，但却难以
分别取值 y0, y1,, y，n 在一个性质优良、
便于计算的函数类φ 中，求一简单函数
p(x) ，使
Pxi yi i 0,1,n (1.1)
而在其它点 x xi 上，作为 f(x) 的近似。 称区间为插值区间，点 x0, x1,, xn为插
值节点，称（1.1）为 f(x)的插值条件，称 函数类φ 为插值函数类，称 p(x)为函数在