时间序列模型概述

Wold 分解定理：任何协方差平稳过程x t ，都可以被表示为

x t - - d t = u t + 1 u t -1+ 2 u t -2 + … + =

其中 表示x t 的期望。d t 表示x t 的线性确定性成分，如周期性成分、时间t 的多项式和指数形式等，可以直接用x t 的滞后值预测。

= 1，

∑∞

=0

2

j j ψ< ∞。u t 为白噪声过程。u t 表示用x t 的滞后项预测x t

时的误差。

u t = x t - E(x t x t -1, x t -2 , …)

∑

∞=-0

j j

t j u ψ称为x t 的线性非确定性成分。当d t = 0时，称x t 为纯线性非确定性过程。

Wold 分解定理由Wold 在1938年提出。Wold 分解定理只要求过程2阶平稳即可。从原理上讲，要得到过程的Wold 分解，就必须知道无限个j 参数，这对于一个有限样本来说是不可能的。实际中可以对

j 做另一种假定，即可以把

(L )看作是2个有限特征多项式的比， (L ) =∑

∞

=0

j j

j L

ψ=)()(L L ΦΘ=p p q q L L L L L L φφφθθθ++++++++...1 (1221221)

注意，无论原序列中含有何种确定性成分，在前面介绍的模型种类中，还是后面介绍的自相关函数、偏自相关函数中都假设在原序列中已经剔除了所有确定性成分，是一个纯的随机过程（过程中不含有任何确定性成分）。如果一个序列如上式，

x t = + d t + u t + 1 u t -1+ 2 u t -2 + … +

则所有研究都是在y t = x t - - d t 的基础上进行。例如前面给出的各类模型中都不含有均值项、时间趋势项就是这个道理。

2.3 自相关函数

以上介绍了随机过程的几种模型。实际中单凭对时间序列的观察很难确定其属于哪一种模型，而自相关函数和偏自相关函数是分析随机过程和识别模型的有力工具。

1. 自相关函数定义

在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第一节知随机过程{x t }中的每一个元素x t ，t = 1, 2, … 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用 表示，即

E(x t ) = , t = 1, 2, … (2.25)

随机过程的取值将以为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量

Var(x t) = E [(x t- E(x t))2] = E [(x t- )2] = x2, t= 1, 2, … (2.26) x

2用来度量随机过程取值对其均值的离散程度。

相隔k期的两个随机变量x t与x t - k的协方差即滞后k期的自协方差，定义为

k= Cov (x t, x t - k) = E[(x t- ) (x t - k- ) ] (2.27)自协方差序列

k, k= 0, 1, …, K,

称为随机过程 {x t} 的自协方差函数。当k = 0 时

0 = Var (

x t) = x2

自相关系数定义

k =

)

(

)

(

)

,

(

k

t

t

k

t

t

x

Var

x

ar

V

x

x

Cov

-

-

（2.28）

因为对于一个平稳过程有

Var (x t) = Var (x t - k) = x2 (2.29)所以（2.28）可以改写为

k =

2

)

,

(

x

k

t

t

x

x

Cov

σ

-

=

2

x

k

σ

γ

= 0γ

γk

（2.30）

当k = 0 时，有0 = 1。

以滞后期k为变量的自相关系数列

k, k= 0, 1, …, K (2.31)

称为自相关函数。因为k = - k即Cov (x t - k, x t ) = Cov (x t, x t + k )，自相关函数是零对称的，所以实际研究中只给出自相关函数的正半部分即可。

2.自回归过程的自相关函数

(1) 平稳AR(1)过程的自相关函数

AR(1) 过程如下

x t = x t-1 + u t , 1

用x t- k同乘上式两侧

x t x t- k= x t-1 x t- k + u t x t- k

两侧同取期望，

k = 1 k -1

其中E(x t- k u t) = 0（u t与其t - k期及以前各项都不相关）。两侧同除0 得,

k = 1 k -1 = 1 1 k -2= … = 1k

因为o = 1。所以有

k = 1

k , （k 0）

对于平稳序列有。所以当1为正时，自相关函数按指数衰减至零（过阻尼情形），当1为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。见图2.6。因为对于经济时间序列，1一般为正，所以第一种情形常见。指数衰减至零的表现形式说明随着时间间隔的加长，变量之间的关系变得越来越弱。