2018年全国高中数学联赛试卷

2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

a 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 ◆答案： π3★解析:记圆锥的顶点P 在底面的投影为O ，则O 为底面中心，且1tan ≤=∠OQOPOQP ，即1≥OQ ，故所以区域的面积为πππ31222=⨯-⨯。

2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：101 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=⨯种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=⨯种，从而def abc +为奇数的概率为101!672=。

2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-★解析:易知直线l 的方程为x y 3-=，因此对任意正整数n ，有n n a a 311-=+，故{}n a 是以31-为a 公比的等比数列.于是23123-=-=a a ，由等比数列的性质知325354321-==a a a a a a2018B 5、设βα,满足3)3tan(-=+πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为◆答案： 47-★解析:由两角差的正切公式可知7463tan =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+πβπα，即可得47)tan(-=-βα2018B 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ∆的面积为为 ◆答案：21★解析:设直线l 与MN 的斜率为k ，:l 11-=y k x ，:MN 211-=y k x 分别联立抛物线方程得到：0222=+-y k y （*），和0122=+-y ky （**）对（*）由0=∆得22±=k ；对（**）得2442=-=-k y y NM所以2121=-⋅⋅=-==∆∆∆∆N M KBAN BAM BMN KMN y y AB S S S S2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1)(010x f x 的解集为◆答案：[]ππ--4,62★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为a[]ππ--4,622018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则133221z z z z z z ++的实部是（用含有r 的式子表示） ◆答案： 232-r★解析:记133221z z z z z z w ++=，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，331z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。

2018年全国高联数学试题

高考数学试卷一、单选题 1.函数21x y x +=-的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且 B ．{|21}x x x ≥-≠且 C ．)[(21,1,)-⋃+∞ D ．)((21,1,)-⋃+∞2．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（）A ．16B ．13C ．34D ．563.已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.255± B.255 C.55 D.55± 4.已知函数2()2sin cos 33(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值。

5．已知函数1()2f x x x =+-（1）用定义证明函数()f x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）当函数()lg y f x k =-有两个大于0的零点时，求实数k 的取值范围6.要得到函数2sin x y e =的图像，只需将函数cos2x y e =的图像（）A ．向右平移4π个单位B ．向右平移2π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向左平移2π个单位 7.tan 3π=（）A ．33B ．32C ．1D ．38．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件9.设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（） A.12 B.6 C.27 D.3010．下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=--C.()()2111x x x +-=-D.()2211x x -=- 11.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 二、填空题12．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为13.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的（）倍。

2018年全国高中数学联赛试题

的屮点 ,点
D和 J分别为 Δ/BCr的外接阈姒町和 BC∶ 的中点 ,F为乙犭 BC的内 ,则 DF⊥ JC.(笞饿时泔将国画在笛卷纸上冫
J与 BCJ的交点 ,Ⅳ 在线段 EF~⒈ ,满足 ⅣB⊥ 彳 L的切点 ,σ 为彳 B。切I囚在 /B边 ˇ
证明 :希 BⅣ 哀 E″
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In。
过点FG,O的弦,扭 oB的外接圆交抛物线于点P(不同于点o,/,B)。若PF 伊B,求丨 PFl的所有可能值。平分乙
(本趑满分 ⒛ 分)在平面直角坐标系豸勿中,设 /B是抛物线
/=仙的
2018年全国高中数学联合竞赛加试试题《 A卷冫
-、 (本题满分 00分 )设刀是正貉数 ,〃 I,曰 2,¨ Ⅱ %。 DlⅡ 2,¨ 、慨,彳 ,B均为 1「
⒛18年全国高中数学联合竞赛一试试题 (A卷 )
-、填空题 :本大题共
1。
8小题 ,每小题 8分 ,满分 “ 分。
设集合 /=[,2,3,… ,991,B=仫豸 u∈
/l,c=伽 |2丌 ∈彳 B∩ C的元刂卜贝
素个数为_⊥____・ 2.设点平面 α的距离为雨 ,点 g在平面 α上 ,使得直线 Pg与 α所成角
(本履满分 m分冫三、设″ ,七 ,胛是
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2018年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)

{}{}{}{}∈⎢,3⎥，即OQ∈[1,3]，6⨯6=36种，从而abc+def为奇数的概率为722018年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2018A1、设集合A=1,2,3, ,99，集合B=2x|x∈A，集合C=x|2x∈A，则集合B C 的元素个数为◆答案：24★解析：由条件知，B C=2,4,6, ,48，故B C的元素个数为24。

2018A2、设点P到平面α的距离为3，点Q在平面α上，使得直线PQ与平面α所成角不小于300且不大于600，则这样的点Q所构成的区域的面积为◆答案：8π★解析：设点P在平面α上的射影为O，由条件知tan∠OQP=OP⎡3⎤OQ⎣3⎦所以区域的面积为π⨯32-π⨯12=8π。

2018A3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc+def是偶数的概率为◆答案：9 10★解析：先考虑abc+def为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的排列，进而d,e,f为2,4,6的排列，这样共有6⨯6=36种；②若abc为偶数，由对称性得，也有119=，故所求为1-=6!1010102018A4、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y2+a2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F,F，12椭圆C的弦ST与U V分别平行于x轴和y轴，且相交于点P，已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6，则∆PF F的面积为12★解析：由对称性，不妨设点 P x , y在第一象限，则 x = PT -PS 即 P 2,1 。

进而可得 U2,2 ， S 4,1 ，代入椭圆方程解得： a 2 = 20 ， b 2 = 5 ，从而 2 2[ ]◆答案： π - 2,8 - 2π ][ ] [ ][ ] 所以 π - 2 < x < 8 - 2π ，即不等式的解集为 π - 2,8 - 2π ] ⎩bx 2 - 2bx = 0◆答案： 15()2 = 2 ，y 0 =PV - PU2= 1( ) ( ) ( )S ∆PF 1F2=1 1F F ⨯ y = ⨯ 2 15 ⨯ 1 = 15 。

2018年全国高中数学联合竞赛一试参考答案(B卷)word版含解析

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（B 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1．设集合{2,0,1,8}A =，{2|}B a a A =∈，则A B 的所有元素之和是__________．解：易知B ={4,0,2,16}，故AB ={0,1,2,4,8,16}.AB 的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31．2．已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于45︒，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为__________．答案：3π．解：圆锥顶点P 在底面上的投影即为底面中心，记之为O ．由条件知，3．将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是奇数的概率为__________．解：当abc +def 为奇数时，abc ,fde 必为一奇一偶，若abc 为奇数，则a,b,c 为1,3,5的排列，d,e,f 为2,4,6的排列，这样有3!×3!=36种情况．由对称性可知，满足条件的情况数为36×2=72种．从而所求概率为72721==672010！ 4．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过原点，(3,1)=n 是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点1(,)n n a a +均在l 上．若26a =，则12345a a a a a 的值为________5．设,αβ满足πtan()33α+=-，πtan()56β-=，则tan()αβ-的值为__________．6．设抛物线22C y x=：的准线与x轴交于点A，过点(1,0)B-作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M，N，则KMN△的面积为__________．=2x7．设()f x是定义在R上周期为2的偶函数，在[1,2]严格递减，且满足(π)1f=，(2π)0f=，则不等式组01,0()1,xf x⎧⎨⎩≤≤≤≤的解集为__________．8．已知复数123,,z z z 满足123||||||1z z z ===，123||z z z r ++=，其中r 是给定实数，则312231z z z z z z ++的实部是__________（用含有r 的式子表示）．二、解答题：本大题共3小题，共56分。

2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷

| log3 x 1|, 0 x 0 f x = 4 x , x 9
an1 an 2, n 1, 2, 3, an
，2 求满足 an 42018 的
设 a,b,c 是三个互不相同的实数，满足 f (a) f (b) f (c) ，求 abc 的取值范围．
3
r
而 abc = r.
点（句， f(Co ））作平行于·x 抽的直线l，则l与 f(x）的图像另有两个交点仰，！（α ））， (b, /(b)) c其中αε （0，匀， bε （3, 9) ），满足！（α ） = f(b)= f(c），并且 ab=9 ，从
四本题满分50分给定整数2018年全国高中数学联合竞赛一试b卷参考答案及评分标准说明评阅试卷时请依据评分标填空题只设分和分两档其他各题评请严格按照本准次结不得增加他中间次如果考生解答方法本解答同只要思路合理步骤正确评卷时参考本评分标准适当划分档次评分解答题中第9小题分个档次小题分aub的所0124863解
’叫
一1.
显然｛a.｝单调递增．由于 a11 = 23012 1 < 24036 = 420 ,s, a = 26144 12 故满足题目条件的n的最小值是12.
..................... 8分 1 > 2喃36 = 420 1&' …………......... 16分
10. （本题满分20分）己知定义在R ＋上的函数 f(x）为 [ pog 3 x-11，。＜λ三9, ) = ( /x { 卢 x>9. 14-..Jx,
f (9)=l ，故结合图像可知
cε （9, +oo),
..................... 5分

2018年全国高中数学联赛A卷真题word版

一试一、填空题1. 设集合{}99,,3,2,1 =A ，{}A x x B ∈=2，{}A x x C ∈=2，则CB 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于︒30且不大于︒60，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 .3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 .4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1，则21F PF ∆的面积为 .5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ，则不等式组()⎩⎨⎧≤≤≤≤2121x f x 的解集为 .6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 .7. 设O 为ABC ∆的外心，若AC AB AO 2+=，则BAC ∠sin 的值为 .8. 设整数数列1021,,,a a a 满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11 =++∈+i a a a i i i ，则这样的数列的个数为 .二、解答题9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()⎪⎩⎪⎨⎧--=,4,1log 3x x x f .9.90>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足()()()c f b f a f ==，求abc 的取值范围.10. 已知实数列 ,,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有()12=-n n n a S a ，其中n S 表示数列的前n 项和. 证明：（1）对任意正整数n ，有n a n 2<；（2）对任意正整数n ，有11<+n n a a .11. 在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线x y 42=的过点()0,1F 的弦，AOB ∆的外接圆交抛物线于点P （不同于点B A O ,,）.若PF 平分APB ∠，求PF 的所有可能值.二试一、设n 是正整数，B A b b b a a a n n ,,,,,,,,,2121 均为正实数，满足i i b a ≤，A a i ≤，,,,2,1n i =且ABa a ab b b n n ≤ 2121. 证明：()()()()()()111111112121++≤++++++A B a a a b b b n n .二、ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.三、设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n kk m n 12-<≤.设A 是{}m ,,2,1 的n 元子集. 证明：区间⎪⎭⎫⎝⎛-1,0k n 中的每个整数均可表示为a a '-，其中A a a ∈',.四、数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 是与∑=ni ia1互素，且不等于n a a ,,1 的最小正整数. 证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现.ED。

2018年全国高中数学联赛真题(一试和二试)(A卷)试题(教师版)

1 1
x2 f (x) 2
的解集为
．
解析 [π − 2, 8 − 2π]．由 f (x) 为偶函数及在 [0, 1] 上严格递减知，f (x) 在 [−1, 0] 上严格递增，再结合 f (x) 以 2 为周期可知，[1, 2] 是 f (x) 的严格递增区间．注意到 f (π − 2) = f (π) = 1, f (8 − 2π) = f (−2π) = f (2π) = 2，所以 1 f (x) 2 ⇔ f (π − 2) f (x) f (8 − 2π)，而 1 < π − 2 < 8 − 2π < 2，故原不等式组成立当且仅当 x ∈ [π − 2, 8 − 2π]．
·
1 b2
2 · |F1F2| · |yP | = a2 −
= b2
16 · · · yP
11 =· a√2 1+5．b2
=
1，解得
a2
=
20, b2
=
5．从而
5. 设 f (x) 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 [0, 1] 上严格递减，且满足 f (π) =
1,
f
(2π)
=
2，则不等式组
离实部与虚部后等价于 ax2 + 2ax + 2 = 0，①
bx2 − 2bx = 0．②
若 b = 0，则 a2 = 1，但当 a = 1 时，① 无实数解，从而 a = −1，此时存在实数
√
x = −1 ± 3 满足 ① ，② ，故 z = −1 满足条件．若 b = 0，则由 ② 知 x ∈ {√0, 2}，但
=
− sin ∠M OC
=
MC −
=

2018年全国高中数学联合竞赛一试(含答案)

则(�� + ��)��2 + 2(�� − ��)�� + 2 = 0，
整理得：(��2 + 2�� + 2) + (��2 − 2��)�� = 0
由图结合对称性得：
��1 = �� − 2, ��2 = 2�� − [4 + 2(2�� − 6)] = 8 − 2�� 所以，由函数单调性，不等式1 ≤ ��(��) ≤ 2在[1，2]内
分析：�� + ��为偶数，则��与��奇偶性相同，
故当�� ≥ 2 时，
�� = √�� ± √�� − 1 ≤ √�� + √�� − 1 < 2√�� (2) ��与��+1异号时结论显然成立，
当��与��+1同号时：由(1)得�� = ±√��，不妨得：�� = √�� − √�� − 1
6. 设复数��满足|��|=1，使得关于�� 的方程z��2 + 2��̅�� +
2 = 0有实根，则这样的复数��的和为

2018年全国高中数学联合竞赛一试B卷参考答案(含加试)

三）叶
(9a+b+I) — ( 6矗+ b) 分 [1, 9], 均有 11cx)I<2, 则 ………………10 分切 @ @
由句，＠得， 2a-6 = /(2)-/(1); 又由＠，＠得， 6a-2 = /(3)-/(2). 由上述两式消去 a, 可知但 /(3)-4/(2)+3/(1)<2+4 . 2+3. 2=16, 矛盾！从而命题得证．
2018年全国高中数学联合竞赛一试(B卷）参考答案及评分标准
为
是0+1+ 2+ 4+8+16=31. 2. 已知圆锥的顶点为P, 底面半径长为2'高为1.在圆锥底面上取一点Q , ° 使得直线PQ与底面所成角不大千45 , 则满足条件的点Q所构成的区域的面积解：圆锥顶点 P在底面上的投影即为底面中心，记之为o. 由条件知， OP = tan乙OQP三1'即OQ之1'故所求的区域面积为7r·22 -Jr-12 =31r. OQ 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e ,f, 则abc+def是奇数的概答案： 1 — 答案： 31r.
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可一个档次，第10、参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，不得增加其他中间档次． 11小题5分为一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． {2, 0,1,8}, B= {2a I a E A}, 则AUB的所有元素之和是 1. 设集合A= ．

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．
一、（本题满分 40 分）设 a, b 是实数，函数 f (x) = ax + b + 9 ． x
知，满足条件的情况数为 36 × 2 =72 种．从而所求概率为= 72 7= 2 1 ． 6! 720 10
4. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 通过原点， n (3, 1) 是 l 的一个法向
量．已知数列{an}满足：对任意正整数 n ，点 (an1, an ) 均在 l 上．若 a2 6 ，则
11.（本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中， A 、 B 与 C 、 D 分别是椭圆
x2 y2 : a2 b2 1 (a b 0) 的左、右顶点与上、下顶 A 点．设 P, Q 是上且位于第一象限的两点，满足
y
R
P
C
M
Q
O
Bx
OQ ∥ AP ， M 是线段 AP 的中点，射线 OM 与椭
是 0 1 2 4 8 16 31 ．
2. 已知圆锥的顶点为 P ，底面半径长为 2 ，高为1．在圆锥底面上取一点 Q ，
使得直线 PQ 与底面所成角不大于 45 ，则满足条件的点 Q 所构成的区域的面积
为
．
答案： 3 ．
解：圆锥顶点 P 在底面上的投影即为底面中心，记之为 O ．由条件知， OP tan OQP 1 ，即 OQ 1 ，故所求的区域面积为 22 12 3 ． OQ

2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及问题详解

2018全国高中数学联赛某某赛区初赛试卷时间：120分钟总分为：150分某某：一、填空题〔此题共10小题，每一小题107分，总分为70分.要求直接将答案写在横线上.〕 1、函数cos cos2(R)y x x x =-∈的值域为__ __.2、2(i)34i a b +=+，其中,R a b ∈，i 是虚数单位，如此²²a b +的值为_ ___.3、圆心在抛物线²2x y =上，并且和该抛物线的准线与y 轴都相切的圆的方程为___ __.4、设函数14()2xxf x x -=-，如此不等式2(1)(57)0f x f x -+-<的解集为__ ___.5、等差数列{}n a 的前12项的和为60，如此1212a a a +++的最小值为__ ___.6、正四面体内切球的半径是1，如此该四面体的体积为___ __.7、在ABC ∆中，54AB AC ==，，且12=⋅AC AB ,设P 是平面ABC 上的一点，如此)(PC PB PA +⋅的最小值为_____.8、设()g n =∑=nk n k 1),(，其中*Nn ∈，(,)k n 表示k 与n 的最大公约数，如此(100)g 的值为=___ __.9、将1,2,3,4,5,6,7,8,9，这9个数随即填入3⨯3的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所填的数各不一样，如此使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为__ __.10、在1,2,3,4,,1000中，能写成²²1(N)a b a b -+∈，的形式，且不能被3整除的数有__ ____个.二、解答题〔本大题共4小题，每一小题20分，共80分〕11、如图，在平面直角坐标系xoy 中，圆O 的方程为224x y +=，过点(0,1)P 的直线l 与圆O 交于,A B 两点，与x 轴交于点Q ，设PB QB PA QA μλ==,，求证：μλ+为定值.12、{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，且t a t a t a +=+=+33221，（1）某某数t d ，的值；（2）假如正整数满足0222r p =-=-=-rr pp mm t a t a t a m ，＜＜，求数组(,,)m p r 和相应的通项公式n a .13、如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，ABD ∆与ABC ∆的内心分别为1I 和 2I ，直线21I I 分别与AC BD ，交于点,M N ，求证：PM PN =.14、从1,2,3,,2050这2050个数中任取2018个数组成集合A ，把A 中的每个数染上红色或蓝色，求证：总存在一种染色方法，是使得有600个红数与600个蓝数满足如下两个条件：①这600个红数的和等于这600个蓝数的和； ②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.参考答案：〔1〕9[0,]8；〔2〕5；〔3〕221(1)()12x y±+-=；〔4〕(2,3)；〔5〕60；〔6〕83；〔7〕658-；〔8〕520；〔9〕114；〔10〕501；〔11〕83；〔12〕①12t=-，38d=；②(,,)(1,3,4)m p r=，1(311)8na n=-；。

2018年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)

2,
4,
6,,
48
，
故 B C 的元素个数为 24 ． 2. 设点 P 到平面的距离为 3 ，点 Q 在平面上，使得直线 PQ 与所成
角不小于 30 且不大于 60 ，则这样的点 Q 所构成的区域的面积为
．
答案：8 ．
解：设点 P 在平面上的射影为 O ．由条件知，OP OQ

tan
OQP

3, 3求的区域面积为 32 12 8 ．
3. 将1, 2, 3, 4, 5, 6 随机排成一行，记为 a, b, c, d , e, f ，则 abc + def 是偶数的
概率为
．
答案： 9 ． 10
在[9,) 上严格递减，且 f (3) 0, f (9) 1，故结合图像可知
a (0, 3) ， b (3, 9) ， c (9, ) ，
并且 f (a) f (b) f (c) (0, 1) ．
…………………4 分
由 f (a) f (b) 得 1 log3 a log3 b 1，
注意到 f ( 2) f () 1, f (8 2) f (2) f (2) 2 ，
所以 1 f (x) 2 f ( 2) f (x) f (8 2) ，
而1 2 8 2 2 ，故原不等式组成立当且仅当 x [ 2, 8 2] ． 6. 设复数 z 满足 z 1，使得关于 x 的方程 zx2 2zx 2 0 有实根，则这样
证明： (1) 约定 S0 0 ．由条件知，对任意正整数 n ，有
1

an
(2Sn