高二数学下学期第三次月考试题 文
2022-2023学年云南省曲靖市高二下学期月考(三)数学试题【含答案】
2022-2023学年云南省曲靖市高二下学期月考（三）数学试题一、单选题1．设集合{}|24A x x =-≤≤，{}|2,B x x n n ==∈N ，则A B = （）A ．{}2,0,2,4-B ．{}2,4C ．{}24x x ≤≤D ．{}0,2,4【答案】D【分析】{}0,2,4,6,8,B = ，再计算交集得到答案.【详解】{}0,2,4,6,8,B = ，∴{}0,2,4A B = .故选：D.2．已知复数z 满足()11z i i +=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．i -B ．iC ．1D ．1-【答案】D【分析】根据复数z 满足()11z i i +=-，利用复数的除法求得z ，再根据复数的概念求解.【详解】因为复数z 满足()11z i i +=-，所以()()()211111i iz i i i i --===-++-，所以z 的虚部为1-.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．随机变量X 的分布列如下表所示：X1234P0.1m0.32m则()2P X ≤=（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】C【分析】利用分布列的性质求出m 的值，然后由概率的分布列求解概率即可．【详解】解：由分布列的性质可得，0.10.321m m +++=，可得0.2m =，所以(2)(1)(2)0.10.20.3P X P X P X ==+==+= ．故选：C ．4．已知数列{}n a 是等差数列，且237820a a a a +=--，则5a =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据数列的下标和性质，对原式进行转化即可求得.【详解】因为237820a a a a +=--，所以()()283720a a a a +++=，5420a =，解得55a =.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题.5．2022年12月4日是第九个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则()P BA =∣（）A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A【分析】根据条件概率的计算公式，即可求得答案.【详解】依题意()()()()()12132,,23243P AB P A P AB P BA P A ==∴===∣，故选：A6．已知随机变量(,)X B n p ，且()4,()2E X D X ==，则(1)P X ==（）A ．312B ．412C ．512D ．612【答案】C【分析】根据二项分布的方差和期望公式，列方程即可解出,n p 的值，进而可求.【详解】由二项分布的方差和期望公式可得：()()()412E X np D X np p ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，解得1,82p n ==，则1718851181(1)2222P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．7．已知 1.30.72,4,ln 6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b<c<a C ．c<a<b D ．c b a<<【答案】C【详解】因为0.7 1.4 1.34222b ==>>，2ln6lne 2c =<=，所以c a b <<；故选C.8．关于函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞.下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减C ．()f x 的值域为(]0,1D ．不等式()2f x e ->的解集为()(),22,-∞-+∞ 【答案】D【解析】根据函数()()22,,x f x ex -=∈-∞+∞，逐一对其进行奇偶性，复合函数的单调性分析，即可判断选项A ，B ，C 均正确，而选项D 也可由单调性转化为关于x 的二次不等式求解，解集应为(2,2)-，则D 错误.【详解】因为函数22(),(,)x f x e x -=∈-∞+∞，22()22()()x x f x eef x ----===，则该函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，故选项A 说法正确；令22x t =-，在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，又t y e =在(,0]-∞单调递增，则由复合函数的单调性可知()f x 在(,0)-∞单调递增，(0,)+∞单调递减，故选项B 说法正确；由(,0]t ∈-∞可得(0,1]y ∈，即()f x 的值域为(0,1]，故选项C 说法也正确；由不等式2f x e ->（）即222x e e -->222x ->-，则24x <，22x -<<故的不等式2()f x e ->解集为(2,2)-，选项D 说法错误.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对复合函数的单调性的判断，并由此应用到求值域和解不等式.二、多选题9．已知抛物线2:4x yΓ=的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有（）A ．点F 坐标为(1,0)B ．抛物线Γ的准线方程为1y =-C ．线段MN 长为4D ．直线2y x =-与抛物线Γ相切【答案】BC【解析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定A 不正确，B 正确；令1y =，可得求得4MN =，可判定C 正确；联立方程组，根据∆<0，可判定D 不正确.【详解】由抛物线2:4x yΓ=，可得24p =，即2p =，且焦点在y 轴上，所以焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，所以A 不正确，B 正确；令1y =，可得24x =，解得2x =±，所以4MN =，所以C 正确；联立方程组224y x x y=-⎧⎨=⎩，整理得2480x x -+=，可得2(4)480∆=--⨯<，所以直线2y x =-与抛物线没有公共点，所以D 不正确.故选：BC.【点睛】求解直线与抛物线的位置关系问题的方法：在解决直线与抛物线的位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法的思想来求解.10．已知函数()33sin2cos222f x x x =+，则下列选项正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f x 的最大值为3D ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称【答案】CD【分析】利用三角函数辅助角公式化简可得()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求得周期，判断A ；结合正弦函数的最值判断C ；结合正弦函数的对称性判断B ，D.【详解】由题意得函数()33πsin2cos23sin 2226f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；由于πππ33sin 203362f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则曲线()y f x =不关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，故B 错误；由于()π3sin 2,R 6f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故max ()3f x =，故C 正确；由于πππ3sin 23666f ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为函数最值，则曲线()y f x =关于直线π6x =对称，故D 正确，故选：CD.11．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）A ．共有60种不同的坐法B ．空位不相邻的坐法有72种C ．空位相邻的坐法有24种D ．两端不是空位的坐法有18种【答案】ACD【分析】按照题目给定的条件排列即可.【详解】对于A ，3554360A =⨯⨯=，故A 正确；对于B ，相当于先排好这3个人有33A 种排法，然后把2个空位插在3个人中间，故有24C 种插法，234336C A =，故B 错误；对于C ，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人中，134324C A =，故C 正确；对于D ，相当于先从3人中抽取2人排好后放在两端，第三个人在中间的3个空位中任取一个，故有123318C A =种，故D 正确；故选：ACD.12．设函数()e ln xf x x=，则下列说法正确的是()A ．()f x 定义域是()()0,11,+∞ B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有两个极值点【答案】ABC【分析】直接根据函数解析式即可判断A 、B ；求f (x )的导数，利用导数即可研究函数的单调性、极值点，由此即可判断C 、D.【详解】对A 选项，()e ln xf x x =需满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，∴()e ln xf x x=的定义域为()()0,11,+∞ ，故A 正确；对B 选项，由()e ln xf x x=，当()0,1x ∈时，ln 0x <，∴()0f x <，∴()f x 在()0,1上的图像都在x 轴的下方，故B 正确；对C 选项，()21e ln (ln )x x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭='，令()1ln g x x x =-，∵()2110g x x x '=+>，∴()g x 在()0,∞+单调递增，∵()12ln 202g =->，∴x ＞2时，g (x )＞0，()0f x ¢>，∴()f x 存在单调递增区间，故C 正确；对D 选项，由B 可知，()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方；当x ＞1时，∵g (x )在()0,∞+单调递增，且()11ln1101g =-=-<，()12ln 202g =->，∴存在唯一的()01,2x ∈使g (x )＝0，即()00f x '=，当()00,x x ∈时，g (x )＜0，()0f x '<，()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，g (x )＞0，()0f x ¢>，()f x 单调递增，∴f (x )只有一个极小值点，故D 错误.故选：ABC.三、填空题13．若向量()3,21a x x =-- ，()2,5b = ，且a b ∥ ，则x =___________.【答案】13【分析】利用向量平行的充要条件列方程求x .【详解】因为向量()3,21a x x =-- ，()2,5b = ，a b ∥ ，所以()()53221x x -=-，解得：x =13.故答案为：1314．41(1)(1)x x-+的展开式中2x 项的系数为__________．【答案】2【分析】根据二项式定理求出4(1)x +通项，再求2x 项的系数.【详解】因44411(1)(1)(1)(1)x x x x x-+=+-+，只需要求4(1)x +的展开式中含23,x x 项的系数．又4(1)x +的展开式的通项为14C r rr T x +=，则含23,x x 项的系数分别是2443C 62⨯==，34C 4=，()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344C C 642-=-=.故答案为：2.15．网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程.某同学有一圆锥状的木块，想把它打磨成“车珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm ，体积为396πcm ，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积的最大值是__________3cm .【答案】36π【分析】根据圆锥体积求出圆锥的高和母线长，利用轴截面面积求得珠子的半径，即可求得答案.【详解】设圆锥的高为cm h ，则21π696π,83h h ⋅⋅=∴=，故圆锥的母线长为228610(cm)l =+=，作圆锥轴截面和其内切圆，此时珠子的体积最大，设内切圆的半径为r ，则()11128101012,3(cm)22r r ⨯⨯=⨯++⨯∴=，故该珠子的体积最大值是33)4π336π(cm 3⋅=，故答案为：36π四、双空题16．已知函数()()221x f e x x x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】10x y +-=(],0-∞【解析】（1）求出()0f '，可得出所求切线的斜率，并求出切点的坐标，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用参变量分离法得出()f x a x≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()f xg x x=，利用导数求出函数()g x 在区间()g x 在区间()0,∞+上的最小值，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()()221x e x f x x =-+ ，()()()()2221221x x x f x e x x e x e x '∴=-++-=-，所以()01f '=-，又因为()01f =，所以切线方程为1y x =-+，即10x y +-=；（2）由题可得：()≥f x a x在()0,∞+恒成立，设()()12xe g xf x x x x⎛⎫=+- ⎝=⎪⎭，则()()()2211x e x xx x g -+'=，因为0x >，所以当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，所以当1x =时，()g x 有最小值()10g =，所以0a ≤.故答案为：10x y +-=；(],0-∞.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.五、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d 为整数，535S =，且236,1,a a a +成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足n b =11n n a a +，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)32n a n =-(2)n T =31+n n 【分析】(1)运用等差数列的求和公式和通项公式，等比数列的中项性质，解方程可得公差，进而得到所求通项公式.(2)求得n b =1311()3231n n --+，用数列的裂项相消求和，计算可得所求和.【详解】（1）由53535S a ==，得37a =，由236,1,a a a +成等比数列，得()2263164a a a =+=，即()()33364a d a d -⋅+=，整理得2314150d d -+=，又因为公差d 为整数，所以3d =，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-；（2）n b =11n n a a +=1(32)(31)n n -+=1311()3231n n --+，所以123n n T b b b b =++++= 11111111[(1)()()()]34477103231n n ⨯-+-+-++--+ =11(1)331n ⨯-+=31+n n ．18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在①()3cos sin a b C b C -=，②()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=这两个条件中任选一个，并解答：（1）求角B 的大小；（2）若2a c +=，3b =，求ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）3B π=；（2）312.【分析】（1）若选①：根据正弦定理得()3sin sin cos sin sin A B C B C -=，化简成3cos sin sin sin B C B C =，即可得解；若选②：由正弦定理得：()()2222a c a c a c b -⋅+=⋅-，结合余弦定理即可求解；（2）结合（1）利用余弦定理求出13ac =，即可得到三角形面积.【详解】（1）若选①：因为()3cos sin a b C b C -=，由正弦定理得()3sin sin cos sin sin A B C B C -=，即()3sin sin cos sin sin B C B C B C +-=⎡⎤⎣⎦，3cos sin sin sin B C B C =，又因为B ，()0,C π∈，所tan 3B =，即3B π=若选②：()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=由正弦定理得：()()2222a c a c a c b -⋅+=⋅-化简得：222a c b ac +-=，又由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，得1cos 2B =，又因为()0,B π∈，得3B π=·（2）由余弦定理得2222cos3=+-b a c ac π∴()223b a c ac =+-，又2a c +=，3b =，代入得13ac =，所以13sin 212S ac B ==.19．在如图所示几何体中，四边形ABCD 与ABEF 均为直角梯形，AB CD ∥，AF BE ∥，AB AD ⊥，AB AF ⊥，且平面ABCD ⊥平面ABEF ．已知2==AB AF ，1AD CD BE ===．(1)证明：BC FC ⊥；(2)求直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)105【分析】（1）由面面垂直的性质得到AF ⊥平面ABCD ，即可得到BC AF ⊥，再连接AC ，即可得到BC AC ⊥，从而得到BC ⊥平面AFC ，即可得证；（2）建立直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，又AB AF ⊥，平面ABCD ⋂平面ABEF AB =，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC AF ⊥，连接AC ，在梯形ABCD 中，由2AB =，1AD =，1CD =，AD AB ⊥，所以45DCA BAC ∠=∠=︒，所以45CBA ∠=︒，所以BC AC ⊥，因为BC AC ⊥，BC AF ⊥，,AC AF ⊂平面AFC ，AC AF A ⋂=，所以BC ⊥平面AFC ，因为FC ⊂平面AFC ，所以BC FC ⊥（2）解：分别以AB 、AF 、AD 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()1,0,1C ，()0,2,0F ，()2,1,0E ，所以()1,0,1BC =- ，()0,1,0BE = ，()2,1,0EF =- ，设平面BEC 的法向量为(),,n x y z = ，平面BEC 与直线EF 所成的角为θ，则00n BE y n BC x z ⎧⋅==⎨⋅=-+=⎩ ，令1x =，则1z =，0y =，所以()1,0,1n = ，所以()2222210sin 52111n EF n EFθ⋅-===⋅-+⋅+ ，所以直线EF 与平面BEC 所成角的正弦值为105；20．2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组[30,35)，第二组[35,40)，第三组[40,45)，第四组[45,50)，第五组[50,55)，第六组[55,60]，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）求实数a 的值；（2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设ξ为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ.【答案】（1）0.036a =（2）①310p =②见解析【分析】（1）根据频率和为1列方程，解方程求得a 的值.（2）利用分层抽样的知识计算出每组的抽取人数.①用古典概型的概率计算公式计算出这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②利用超几何分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】解：（1）直方图中的组距为5，可得0.024520.035520.0451a ⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=，得0.036a =.（2）从直方图中可得第四组的人数为0.04520040⨯⨯=（人），第五组的人数为0.03520030⨯⨯=（人），第六组的人数为0.03520030⨯⨯=（人），三组共100人，按组用分层抽样法抽取10人，则第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.①三组各有一人参加优胜比赛的概率111433310310C C C p C ⋅⋅==；②ξ的可能取值为0，1，2，3，()0346310106C C P C ξ===，()2164310112C C P C ξ===，()21463103210C C P C ξ===，()30463101330C C P C ξ===，ξ的分布列为ξ0123P 1612310130()11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图有关的计算，考查古典概型，考查超几何分布，属于中档题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)，且离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点P (0，3)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA = ，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，1432y x =±+.【分析】（1）点()2,1代入椭圆方程，得22211a b +=，由22e =得22c a =可转化为a 2=2b 2，解出a ，b ，进而得出方程.（2）分两种情况讨论，斜率不存在时，显然不满足2PB PA = ，斜率存在时设所求直线方程l ：y =kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14=0，结合韦达定理和2PB PA = ，分析斜率，进而写出方程.【详解】解：（1）由已知点代入椭圆方程得22211a b +=，由22e =得22c a =可转化为a 2=2b 2，由以上两式解得a 2=4，b 2=2，所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.（2）存在这样的直线.当l 的斜率不存在时，显然不满足2PB PA = ，所以设所求直线方程l ：y =kx +3代入椭圆方程化简得：(1+2k 2)x 2+12kx +14=0，1221212k x x k +=-+①，1221412x x k =+②△=(12k )2﹣4×14×(1+2k 2)>0，274k >，设所求直线与椭圆相交两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由已知条件2PB PA = 可得x 2=2x 1③，综合上述①②③式子可解得27724k =>符合题意，所以所求直线方程为：1432y x =±+.【点睛】本题考查椭圆的方程，以及直线和椭圆相交问题，属于中档题.22．已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）求出函数()y f x =的定义域和导数()1f x a x'=-，然后分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析()f x '在()0,∞+上导数符号的变化，即可得出函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，函数()y f x =有两个零点，则0a >且有10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即可求出实数a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x'=-.①当0a ≤时，由()0f x ¢>，知函数()y f x =在()0,∞+内单调递增；②当0a >时，由()0f x ¢>，即10a x ->得10x a<<；由()0f x '<，即10a x-<得1x a >.所以，函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.因此，当0a ≤时，()y f x =在()0,∞+内单调递增；当0a >时，()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减；（Ⅱ）当0a ≤时，则函数()y f x =在()0,∞+上为增函数，函数()y f x =最多一个零点，不合乎题意，舍去；当0a >时，由（Ⅰ）知，函数()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减.且当0x →时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，则11ln1ln10f aa a⎛⎫=-=-->⎪⎝⎭，即ln1a<-，解得10ae<<.因此，实数a的取值范围是1 0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查带参函数单调区间的求解，同时也考查了利用函数的零点个数求参数的取值范围，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。
河南省周口市中英文学校2013-2014学年高二数学下学期第三次月考试题 文 新人教A版
高二下学期第三次月考数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数iiz -=1在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2．下列推理是归纳推理的是（ ）A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜出椭圆1by a x 2222=+的面积S ＝πab D ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式 3．对于回归分析，下列说法错误的是（ ）A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．样本相关系数()1,1-∈rC ．回归分析中，如果r 2＝1，说明x 与y 之间完全相关 D ．线性相关系数可以是正的，也可以是负的4．如图4所示是调查某地区男、女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（ ） A ．性别与喜欢理科无关 B ．女生中喜欢理科的比例为80%C ．男生中不喜欢理科的比例为60%D ．男生比女生喜欢理科的可能性大些5．用演绎法证明函数3x y =是增函数时的小前提是（ ） A ．增函数的定义B ．若21x x <，则)()(21x f x f <图4C ．函数3x y =满足增函数的定义D ．若21x x >，则)()(21x f x f > 6．如图6所示，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，若S △AEF ＝2 cm 2，则S ▲CDF 为（ ） A ．54 cm 2B ．24 cm2C18 cm2D ．12 cm 27．相关指数R 2、残差平方和与模型拟合效果之间的关系是（ ） A ． R 2的值越大，残差平方和越小，拟合效果越好 B ．R 2的值越小，残差平方和越大，拟合效果越好 C ． R 2的值越大，残差平方和越大，拟合效果越好 D ．以上说法都不正确8．如下图，如果程序运行的 结果为S ＝132，那么判断框中应填入（ ）A. k≤10?B. k≥10? C . k≤11? D . k≥11?9．如图所示，PA 为⊙O 的直径，PC 为⊙O 的弦，过弧AC 的中点H 作PC 的垂线交PC 的延长线于点B .若HB ＝4，BC ＝2，则⊙O 的直径为（ ） A ．10 B ．13 C ．15 D ．2010．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论： ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行 ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行 ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行 则正确的结论是（ ） A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④11．如图所示，AT 切⊙O 于T ，若AT ＝62，AE ＝3，AD ＝等于（ ）图6第9题第8题A ．3B ．4C ．6D ．812．根据下列各图中三角形的个数，推断第10个图中三角形的个数是（ ） A ．60 B ．62 C ．65D ．66第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.已知复数i1i2z --=，其中i 是虚数单位，则|z|＝________. 14.对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________． 15.如图所示，设l 1∥l 2∥l 3，AB ∶BC ＝3∶2，DF ＝10， 则DE ＝________.16．如果f (＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则=++++)2013(f )2014(f )3(f )4(f )2(f )3(f )1(f )2(f ________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)已知复数z 1＝2－3i ，22)i 2(i 515z +-=.求：(1)z 1·z 2；(2)z 1z 2.18．(12分)设a >0， b >0，a ＋b ＝1，求证：8ab1b 1a 1≥++.19.(12分)已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E , AD 、EC 交于点F . 求证BD FD AD CD =.20.(12分)调查某桑场采桑员和辅助工患桑毛虫皮炎病的情况，结果如下表：第12题第15题第19题利用2×2列联表的独立性检验估计，“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？ 附表：21.(12分)已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1) (n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，n an 1n 2b b +=+ 求}b {n 的通项n b22.(12分)如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点， CH ⊥AB ，垂足为点H ． （Ⅰ）求证：DC 是⊙O 的切线： （Ⅱ）求证：AH ·HB=DF ·DA第22题H●周口中英文学校2013—2014学年下期高二第三次考试数学（文）参考答案一、选择题：BDBDC CAAAC BD 二、填空题:13、21014、x 5.610yˆ+-= 15、4 16、4026 三、解答题：17.解 z 2＝15－5i2＋i2＝1－3i. (1)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝1110＋310i.18.证明 方法一 综合法 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab≥4，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 分析法∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4，也就是证a ＋b a ＋a ＋b b≥4，即证b a ＋ab≥2.由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b≥2成立，所以原不等式成立19.即证证明：BDFDAD CD CDFR ∽ADB R DCFDAB DCFEAF CDE R ∽AFE R CFD AFE t t t t =∴∠=∠∴∠=∠∴∴∠=∠∆∆∆∆20.解 由已知a ＝18，b ＝12，c ＝5，d ＝78，所以a ＋b ＝30，c ＋d ＝83， a ＋c ＝23，b ＋d ＝90，n ＝113.所以K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d＝－230×83×23×90≈39.6>10.828.所以有99.9%的把握认为“患桑毛虫皮炎病与采桑”有关系． 认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%.21. 1)解 由已知得a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为1的等差数列. 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n.(2)解：由(1)知：a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n.b n ＝ (b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.22.().O ⊙DC ,CD OC 90DCA OCA 90DCA DAC OCA DAC OCA OAC HAC DAC BAF CA OC100的切线为即又平分证明：连接∴⊥=∠=∠∴=∠+∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠第19题()()DADF HB AH CHCD AB CH DA CD DAB CA DADF DC DC HB AH CH AB CH ACB R ACB AB BC⋅=⋅∴=⊥⊥∠⋅=⋅=⊥=∠∴∆由角分线的性质，知平分又由切割线定理，得切线为知，由由射影定理，知中，在的直径是证明：连接,,O ⊙190O ⊙222t 0。
2023-2024学年重庆市高二下学期3月月考数学质量检测试题(含答案)
2023-2024学年重庆市高二下册3月月考数学质量检测试题一、单选题1．已知集合(){}{}21,60A x y ln x B x x x ==+=--≤，则A B = （）A ．(]2,3-B ．(]1,3-C ．(]3,2-D ．()1,3-【正确答案】B【分析】首先求出集合A 、B ，再利用集合的交运算即可求解.【详解】(){}{}{}1101A x y ln x x x x x ==+=+>=>-，{}()(){}{}26032023B x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤，所以A B ⋂{}(]131,3x x =-<≤=-，故选：B2．为对某组数据进行分析，建立了四种不同的模型进行拟合，现用回归分析原理，计算出四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，则拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是（）A ．0.97B ．0.86C ．0.65D ．0.55【正确答案】A【分析】在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，即可求解．【详解】由题意，四种模型的相关指数R 2分别为0.97，0.86，0.65，0.55，根据在回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好，可得拟合效果最好的回归模型对应的相关指数R 2的值是0.97．故选：A ．本题考查了用相关指数拟合模型效果的应用问题，其中解答中熟记回归分析中，模型的相关指数R 2越接近于1，其拟合效果就越好是解答的关键，属于基础题．3．已知26=22464+--，53=25434+--，71=27414+--，102=210424-+---，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A ．8=24(8)4n n n n -+---B ．1(1)5=2(1)4(1)4n n n n +++++-+-C ．4=24(1)4n n n n ++-+-D ．15=2(1)4(5)4n n n n ++++-+-【正确答案】A【分析】由已知结合归纳推理即可求解【详解】解：从各个等式可以看出，等式右端均为2，左端为两个分式的和，且两个式子的分子之和恒等于8，分母则为相应分子减去4，设其中一个分子为n ，另一个分子必为8－n ，故8=24(8)4n n n n -+---满足；故选：A4．已知命题p ：220x x +->，命题q ：()(){|lg 23}x f x x =-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B分别化简命题p 和命题q ，利用必要不充分条件的定义进行判断即可．【详解】命题p ：220x x +->等价于1x >或<2x -；命题q ：()(){}3{|lg 23}|230|2x f x x x x x x ⎧⎫=-=->=>⎨⎬⎩⎭则p 是q 的必要不充分条件故选：B5．函数22o )l g (1f x x x =-+的零点所在区间是（）A ．1184⎛⎫⎪⎝⎭，B ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．112⎛⎫⎪⎝⎭D ．()12，【正确答案】C【分析】利用零点存在性定理即可求解．【详解】2111151log 08484f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭211151log 04242f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭21111log 1022f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭()12110f =-=>()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，221log ()f x x x ∴=-+的零点所在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C6．某产品的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间的关系如下表，由此得到y 与x 的线性回归方程为6y x a =+$$，由此可得：当广告支出5万元时，随机误差的效应（残差）为x24568y3040605070A ．-10B ．0C ．10D ．20【正确答案】C【分析】由已知求得,x y 的值，得到ˆa，求得线性回归方程，令5x =求得y 的值，由此可求解结论.【详解】由题意，根据表格中的数据，可得2456830406050705,5055x y ++++++++====，所以ˆ6506520ay x =-⨯=-⨯=，所以ˆ620y x =+，取5x =，得ˆ652050y=⨯+=，所以随机误差的效应（残差）为605010-=，故选C.本题主要考查了回归直线方程的求解，以及残差的求法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．设曲线f (x )＝ax 2在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，则a ＝（）A ．2B ．－116C ．12D ．－1【正确答案】B【分析】由已知结合导数的几何意义即可求解．【详解】f (x )＝ax 2，则()2f x ax'=因为在点(2，4a )处的切线与直线4x －y ＋4＝0垂直，所以()1244f a =-'=所以116a =-故选：B8．函数3222xxx y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x xx x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．9．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.10．若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【正确答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.11．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(,-∞B ．(C ．(,-∞D ．(0,【正确答案】A先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可.【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120xg x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x x x e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数；1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 为增函数；()f x 的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ≤故选：A.利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立；（2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.12．若正实数a ，b 满足22ln ln 222+≥+-b a b a ，则（）A ．124+=+a bB ．122-=-a b C ．2a b >D ．240b a -<【正确答案】B【分析】利用基本不等式可得)222212b a +-≥（当且仅当222b a =时取等号），利用熟知的结论1ln x x -≥（当且仅当1x =时取等号）进行放缩可得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知条件，得到22ln ln 222b a b a +=+-，考虑到各不等式取等号的条件，解得,a b 的值，然后逐一检验即可做出正确判断.【详解】先证明熟知的结论：1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.设()1ln f x x x =--,则()11f x x'=-,在(0,1)上，()0f x '<,()f x 单调递减;在(1,+∞)上，()0f x '>,()f x 单调递增.故()()11100min f x f ==--=,∴()1ln f x x x =-≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号.由)22222212lnln ln 2b a a b +-≥=≥+,由已知22ln ln 222b a b a +≤+-，∴22ln ln 222b a b a +=+-，且2221b a ⎧=⎪=，解得12a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,经检验只有B 正确，故选：B.本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论1ln x x -≥恒成立，且当且仅当1x =时取等号进行研究，得到2222ln ln 2b a a b +-≥+，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和1ln x x -≥取等号的条件，才能列出方程组求得,a b 的值.二、填空题13．函数()f x =__________．【正确答案】(0,1)(1,]e ⋃【分析】利用对数、分式、根式的性质列不等式，求x 的范围，即得定义域.【详解】由函数解析式，知：01ln 0220x x x ⎧>⎪-≥⎨⎪-≠⎩，解得0x e <≤且1x ≠.故答案为.(0,1)(1,]e ⋃14．i 是复数单位，若()1243i z i +=+，z 的虚部为__________.【正确答案】1【分析】由复数除法求得z 后可得z ，从而得其虚部．【详解】由已知243(43)(12)4836212(12)(12)5i i i i i i z i i i i ++--+-====-++-，2z i =+，虚部为1．故1．15．已知函数()f x 定义域为R ，满足 ()(2)f x f x =-，且对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-，则不等式(21)(3)0f x f x ---≥解集为______．【正确答案】4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先求出函数()f x 关于直线1x =对称，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．在(],1-∞上单调递减，再解不等式|211||31|x x --≥--即得解.【详解】因为函数()f x 满足()(2)f x f x =-，所以函数()f x 关于直线1x =对称，因为对任意121x x ≤<，均有()()12120x x f x f x ->-成立，所以函数()f x 在[)1,+∞上单调递增．由对称性可知()f x 在(],1-∞上单调递减．因为()()2130f x f x ---≥，即()()213f x f x -≥-，所以|211||31|x x --≥--，即|22||2|x x -≥-，解得0x ≤或43x ≥．故4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭方法点睛：对于函数问题的求解，通常要先研究函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性等，再利用这些性质求解函数的问题.16．已知函数()()()202ln f x a x x x a =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.【正确答案】(),16ln 224-∞-【分析】确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围．【详解】函数()()22ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <），则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>，所以()()()()()22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a ⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦，令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a-''=-=，当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<，所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-.因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-.故答案为.(),16ln 224-∞-本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知命题:,p x R ∀∈240++≤mx x m .（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）命题[]:2,8q x ∃∈，使得2log 1m x ≥，当p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题时，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）14m ≤-；（2）14m ≤-.（1）由题得0m <且21160∆=-≤m ，解不等式即得m 的取值范围；（2）先转化为[]2,8x ∃∈，21log m x ≥，再求21log x的最小值得m 的范围，因为p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题，所以p 真q 假，从而得到关于m 的不等式组，解不等式组即得解.【详解】（1）∵2,40x R mx x m ∀∈++≤，0m ∴<且21160∆=-≤m ，解得14m ≤-p ∴为真命题时，14m ≤-.（2）[2,8]∃∈x ，21log m x ≥，又[2,8]x ∈时，211[,1]log 3x ∈，13m ∴≥∵p q ⌝∧⌝为假命题且q ⌝为真命题∴当p真q假，有1413mm⎧≤-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得14m≤-【点晴】方法点晴：复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.18．2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占2 5．（1）完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？赞成种植不赞成种植合计45岁及以下45岁以上合计（2）为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．附表：()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.072 2.706 3.841 5.0246.6357.87910.828参考公式为：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【正确答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”；（2）35．【分析】（1）根据题中数据，直接完善列联表，再由公式计算2K ，结合临界值表，即可得出结论；（2）先由题中条件，确定被抽取的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ；用列举法写出总的基本事件，以及满足“恰有1人不赞成种植”的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.【详解】（1）由题意可得2×2列联表：赞成种植不赞成种植合计45岁及以下20015035045岁以上100150250合计30030060022600(200150150100)300300350250K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯12017.1437.8797=≈>经查表，得()27.8790.005P K >≈，所以有99.5%的把握认为“是否赞成种植与年龄有关”．（2）在45岁以上的人中，赞成种植和不赞成种植的人数比为2:3，所以被抽取到的5人中，“赞成种植的”有2人，记为a ，b ，“不赞成种植的”有3人，记为C ，D ，E ，从被选取到的5人中再从中抽取2人，共有如下抽取方法：(,)a b ，(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E ，共有10种不同的结果，两人中恰好有1人为“不赞成种植的”包含了(,)a C ，(,)a D ，(,)a E ，(,)b C ，(,)b D ，(,)b E ，共有6种结果．所以所求概率63105P ==．方法点睛：求古典概型的概率的常用方法：（1）古典概型所包含的基本事件个数较少时，可用列举法列举出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率；（2）古典概型所包含的基本事件个数较多时，可根据排列组合数的计算，求出总的基本事件个数，以及满足条件的基本事件个数，进而求出所求概率.19．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（2）若a<0，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.【正确答案】（1）20190x y --=；（2）答案见解析.【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义可得直线的斜率，再由直线的点斜式方程即可得解；（2）对函数求导，结合二次函数的性质，按照0a -≤<、a <-()0f x '>、()0f x '<的解集即可得解.【详解】（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++，2()324f x x x '=++Q ，(2)20f '∴=即切线的斜率20k =，(2)21f =Q ，∴切线方程为2120(2)y x -=-即20190x y --=；（2）导函数2()324f x x ax '=++的对称轴为03a x =->，①当24480a ∆=-≤即0a -≤<时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增；②当24480a ∆=->即a <-(0)40f '=>，令2()3240f x x ax '=++=，则13a x -=，23a x -=，因为120x x <<，所以当0x <<或x >时，()0f x '>；x <<时，()0f x '<；所以()f x在0,3a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；()f x 在33a a a a ⎛---+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减.本题考查了导数几何意义的应用及利用导数研究函数的单调性，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.20．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(2)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【正确答案】(1)210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩；(2)2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.【分析】（1）根据给定的函数模型，直接计算作答.（2）利用（1）中函数，借助二次函数最值及均值不等式求出最大值，再比较大小作答.【详解】（1）依题意，销售收入700x 万元，固定成本250万元，另投入成本210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩万元，因此210600250,040()700()25010000()9200,40x x x W x x R x x x x ⎧-+-<<⎪=--=⎨-++≥⎪⎩，所以2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式是210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩.（2）由（1）知，当040x <<时，2()10(30)87508750W x x =--+≤，当且仅当30x =时取等号，当40x ≥时，10000()()920092009000W x x x =-++≤-+=，当且仅当10000x x =，即100x =时取等号，而87509000<，因此当100x =时，max ()9000W x =，所以2020年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元.21．已知函数2()e x f x ax x =+-.（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【正确答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e x f x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20x f x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增.(2)[方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥，①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102x h x x x x =---≥，则()e 1x h x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102x x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max 7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦,综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.[方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x x f x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e 74244e -+++⇔xx x x ，令()223e 7424()(0)e -+++=≥x x x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x x x x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=x x x x ()2(2)2e 9e ⎡⎤--+-⎣⎦x x x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎣⎦x 时，()0,()h x h x <'单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e 1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2x g x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22x x x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x x g x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21x g x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意.综上，27e 4a -.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.【正确答案】(1)2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2))6π,)3π,2)3π,5)6π.【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围.(2)根据条件ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3πθ=或23πθ=，此时P 的极坐标为3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π.此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23．设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）求函数()f x 的最小值.【正确答案】（1）{7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭；（2）92-．【分析】(1)将绝对值函数化为分段函数，用不同的区间对应的解析式大于2，分别解出不等式求其并集即可.(2)由分段函数求其值域即可得到最小值.【详解】1521()33425(4)x x f x x x x x ⎧⎛⎫--<- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+>⎪⎩⑴①由5212x x -->⎧⎪⎨<-⎪⎩解得7<-x ；②332142x x ->⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩解得543x <≤；③524x x +>⎧⎨>⎩解得>4x ；综上可知不等式的解集为{|7x x ∈<-R 或53x ⎫>⎬⎭.⑵由(1)知，当12x <-时，()195522f x x =-->-=-；当142x -≤≤时，()33f x x =-，()992f x -≤≤；当>4x 时，()59f x x =+>；综上x ∈R 时，()92f x ≥-，所以min 9()2f x =-故函数()f x 的最小值为92-.。
重庆市第一中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题
12023年重庆一中高2024届高二下学期3月月考数学试题卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1. 若255C C n =，则n =（ ）A. 2B. 2或3C. 3D. 42. 已知一组样本数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数x 为2，则51(2)ii x =−=∑（ ）A. 0B. 2C. 2.5D. 13. 若()()()()112110121121111R x a a x a x a x x −=+−+−++−∈,，则01211a a a a ++++=（ ）A. 1B. 1131−C. 113D. 1131+4. 某校为了了解同学们参加社会实践活动的意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取200人进行调查，已知该校高一年级学生有1300人，高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（ ） A. 50人B. 60人C. 65人D. 75人5. 已知正项数列{}n a 中，22111,1n n a a a +=−=，则数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前120项和为（ ）A. 4950B. 10C. 9D.149506. 某班级周三上午共有5节课，只能安排语文、数学、英语、体育和物理.数学必须安排，且连续上两节，但不能同时安排在第二三节，除数学外其他学科最多只能安排一节，体育不能安排在第一节，则不同的排课方式共有( ) A. 48种B. 60种C. 72种D. 96种7. 将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往①，②，③三个社区进行核酸信息采集，每个社区至少派1名志愿者，事件A =“志愿者甲派往①社区”； 事件B= “志愿者乙派往①社区”； 事件C= “志愿者乙派往②社区”，则（ ） A. 事件A 、B 同时发生的概率为19 B. 事件A 发生的条件下B 发生的概率为16C. 事件A 与B 相互独立D. 事件A 与C 为互斥事件8. 已知O 为坐标原点，P 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上位于x 轴上方的点，F 为右焦点.延长PO 、PF 交椭圆E 于Q 、R 两点，QF FR ⊥，4QF FR =，则椭圆E 的离心率为（ ）A.33B.22 C.53D.104的2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）A. 图中x 的值为0.020B. 在被抽取的学生中，成绩在区间[)70,80内的学生有60人C. 估计全校学生成绩的中位数约为87.7D. 估计全校学生成绩的众数为95 10. 对于函数()22ln xf x x=，下列说法正确的有（ ） A. ()f x 的单调递减区间为()1,+∞ B. ()f x 在e x =1eC. ()f x 只有一个零点D. ()3πf f>11. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为12 B. 第二次抽到3号球的概率为1148C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种12. 冬春季节，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作，有专业机构认为某地区在一段时间内没有发生大规模群体发热现象的标志为“连续10天，该地区每天新增疑似发热病例不超过7人”.下列连续10天疑似发热病例人数的统计特征数中，能判定该地没有发生群体性发热的为（ ） A. 总体平均数为23 B. 总体平均数为4，总体方差为32C. 总体平均数为3，中位数为4D. 总体平均数为2，第65百分位数为5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在nx x ⎛ ⎝的展开式中，第3项和第4项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数为_____.314. 透明袋子中装有黑球1个、白球3个，这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，将袋子中的球摇匀，再随机摸出一个球，记下颜色，求前后两次摸出的球都是白球的概率为___________. 15. 数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222221231112220=+++=+++.设222236a b c d =+++，其中a b c d ,,,均为自然数，则满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是___________.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足3n n S k a =⋅−（k 是常数，1k >）10122a =，且23420222048a a a a ++++=，则23420221111a a a a ++++=___________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；18. (本小题满分12分)在数列{}n a 中，*1111,20,N 3n n n n a a a a a n ++=+−=∈． （1）求证：1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）满足不等式()*122311N 8k k a a a a a a k ++++<∈成立的k 的最大值．的419. (本小题满分12分)随机抽取100名男学生，测得他们的身高（单位：cm ），按照区间[)160165,，[)165170,，[)170175,，[)175,180，[]180,185分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示：（1）求身高在170cm 及以上的学生人数； （2）估计该校100名学生身高75%分位数.（3）据统计，身高在[)170175,，[)175,180，[]180,185时，体重超过70kg 的概率分别为16、13、12.现在从身高在[170，185]的学生中任选一个学生，估计其体重超过70kg 的概率.20. (本小题满分12分) 在二项式4)2n x x的展开式中，前三项的系数依次为M ，P ，N ，且满足2P M N =+.（1）若直线l ：0ax by c的系数a ，b ，c （a b c >>）为展开式中所有无理项系数，求不同直线l 的条数；（2）求展开式中系数最大的项.21. (本小题满分12分) 已知C ：22221x y a b+=7，离心率为12，过椭圆左焦点F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M 、N 两点，直线m 的方程为：2x a =−，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E .（1）求椭圆C 标准方程：（2）①若线段EN 必过定点P ，求定点P 的坐标； ②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值.22. (本小题满分12分) 已知函数()xf x xe =（其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的最小值；（2）求证：()1ln 2xf x e x >+−.的5。
2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【正确答案】B利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（）A ．910B ．1518C ．95D ．185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求．【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯===⨯，故选D.等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有12326C A =种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有222A =种，共计有628+=种，故选：A.4．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴，若NF MN =，则MF =（）A ．3B ．1C ．3D ．4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，2p =，抛物线焦点F 为()1,0，准线l 为=1x -，设准线l 与x 轴的交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由抛物线的定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则在Rt NEF 中，因为MN EF ∥，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以224MF NF EF p ====．故选：D5．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥．若3AB =，1BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．2B ．43C ．1D ．23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS≤，进而得到23A BCDB ACD V V --=≤，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又BD CD ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，因为AD ⊂平面ACD ，所以BD AD ⊥，在Rt △ABD 中，3AB =，1BD =，则AD ==，因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，在Rt ACD △中，不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>，则由222AC CD AD +=得228a b +=，所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=，当且仅当a b =且228a b +=，即2a b ==时，等号成立，所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..6．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （）A ．2B ．4C ．2-D ．-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数，可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数，从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A ．5B ．8C ．14D ．21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A ．()()f x g x <B ．()()f xg x >C ．()()()()f x g a g x f a +<+D ．()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB ，不妨设()2f x x =-，()1g x =，则()2f x '=-，()0g x '=，满足题意，若()1,x a b =-∈，则()()21f x g x =>=，故A 错误，若()0,x a b =∈，则()()01f x g x =<=，故B 错误；对于CD ，因为()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，令()()()h x f x g x =-，则()()()0h x f x g x ''-'=<，所以()h x 在R 上单调递减，因为(),x a b ∈，即a x b <<，所以()()()h b h x h a <<，由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-，则()()()()f x g a g x f a +<+，故C 正确；由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-，则()()()()f x g b g x f b +>+，故D 错误.故选：C.二、多选题9．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A ．共有66A 种不同的排法B ．男生不在两端共有2424A A 种排法C ．男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D ．三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A ；利用有位置条件的排列判断B ；利用相邻、不相邻问题的排列判断C ，D 作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A 种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有2434A A 种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有2525A A 种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC 10．()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ，若16069a =-，则下列结论正确的有（）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=- C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数，从而求解a ，即可判断选项A ，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B 、C ，利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ，112023C 20236069a a a =⋅==-，可得3a =-，故A 错误；对于B ，因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ，令1x =，则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ，故B 正确；对于C ，令0x =，则01a =，令13x =，则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，由展开式知，20n a >，210n a -<，故第1012项的系数10110a <，不会是展开式中系数最大的项，故D 错误.故选：BC11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ，与y 轴相交于点()0,G m ，则（）A ．四边形12MF NF 的周长为8B ．1114MF NF +的最小值为9C ．直线BM ，BN 的斜率之积为34-D ．当12m =-时，12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解；对B 选项，由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知：12NF MF =，11121414MF NF MF MF ∴+=+，借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，由点()11,M x y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值；对D 选项，设出()()11,0t E t -<<，由条件推出()121MF t =+，()221MF t =-，又在椭圆C 中，由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+，从而得到M ，E ，G 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．【详解】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==，A 正确；对B 选项，1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，又(B，所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-．因为点()11,M x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2121334BM BNy k k x -⋅==-，C 正确；对D 选项，设()()11,0t E t -<<，则12F E F E 1211MF t t MF +==-，124MF MF +=所以()121MF t =+，()221MF t =-，在椭圆C ：22143x y +=中，由其第二定义1MF e d =（d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+，12MF ∴=+()11212x t =+，所以14x t =，故()14,M t y ，(),0E t ，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，因为三点共线，所以1123y t t =，解得132y =，则29164143t +=，解得14t =±，当14t =时，1211541314F E F E +==-，当14t =-时，1211341514F E F E -==+，故D 错误．故选：AC方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有36C 20=种方法，故答案为.2014．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底1，则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1R OA OA ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO 中，22R 4h =+①，在11A OO 中，()22R 11h =++②，联立①②得1h =，2R 5=，所以刍童外接球的表面积为20π，同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有22R 1h =+，()22R 14h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故20π．15．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ，依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---，即()()242020210n n n n --=+-=，解得21n =或20n -（舍去）．16．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n 项和为____________．【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，根据()212222n n n n n n ++=⨯-+，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，()212222n n n n n n ++=⨯-+ ，∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17．现有一些小球和盒子，完成下面的问题．(1)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【正确答案】(1)256；【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【详解】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法；（2）①将4个小球分为3组，有24C 6=种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有3343C A 24=种情况，则624144⨯=种不同的放法．18．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．【正确答案】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC BD ⊥，进而得到BD =与4AC EC =，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设1CE = ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角，所以ABD ACD ∠=∠，因为AB AD =，所以在等腰ABD △中，ABD ADE ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因为AC 是圆柱的底面直径，所以90ADC ∠=︒，则90CAD ACD ∠+∠=︒，所以90CAD ADE ∠+∠=︒，则90AED ∠=︒，即AC BD ⊥，所以在等腰ABD △，BE DE =，AC 平分BAD ∠，则1302CAD BAD ∠=∠=︒，所以60ADE ∠=︒，则30∠=︒CDE ，故在Rt CED 中，2CD EC =，DE ，则2BD DE ==，在Rt ACD △中，24AC CD EC ==，因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅，所以12V V =．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CE = ，则44AC EC ==，DE =44PC CE ==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ，所以()CD = ，()0,0,4CP = ，()4,0,4PA =- ，因为4PA PF =，所以()11,0,14PF PA ==- ，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3x =-，则1y z ==，故(n =- ，设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ，则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩，令3p =-，则0q r ==，故(m =- ，设二面角F CD P --的平面角为θ，易知π02θ<<，所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ，因此二面角F CD P --19．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且111,(2)n n a a T n -==≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设m 为整数，且对任意*n ∈N ，1212nn m a a a ≥+++ ，求m 的最小值．【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】（1）由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ，结合范围即可得解.【详解】（1）因为111,(2)n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n n a T T a a +-+===，故()222222n n n a a n --==⋅≥，且11a =不满足上式，故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）设1212n nn S a a a =+++ ，则11S =，当2n ≥时，102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ，故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ，于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-．整理可得27(2)2n n S n -=-+，所以7n S <，又54968S =>，所以符合题设条件的m 的最小值为7．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．(1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅，设出直线:DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．【详解】（1）由题意可得2232910a b-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -=．（2）设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，当x =2321169y -=，解得3=±y ，则||3t <， 双曲线的渐近线方程为34y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE方程为(34y x =±-，令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-．由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=，所以212229x x t +=-，21221614429t x x t +=-．()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=．所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =．关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21．设()()21031x Q x x ax b -=-++，其中()Q x 是关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若28ax b +=，求103x -除以81的余数．【正确答案】（1）10a =，12b =-；（2）28.【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；（2）由题可知x 的值，然后利用二项式定理可求.【详解】（1）由已知等式，得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦，∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++，∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦，∴1012x ax b -=+，∴10a =，12b =-．（2）∵28ax b +=，即101228x -=，∴4x =，∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++，∴所求的余数为28．22．已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；(2)见解析.【分析】（1）求导，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，即可解决；（2）由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---，求导，由()()1e 6k g k k k =---，再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---，证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦，所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦，当1k =时，()e x f x x '=，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，（2）由题知12k ≤≤，[]0,x k ∀∈，()2f x x <，所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦，因为12k ≤≤，所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时，2ln x k=，当()0g x '≥时，2lnx k ≥，即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()0g x '≤时，2ln x k ≤，即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为(0)70g =-<，()()1e 6k g k k k =---，令()()()1e 6k h k g k k k ==---，所以()e 1k h k k '=-，因为12k ≤≤，所以()e 10k h k k '=->，所以()h k 在[]1,2上单调递增，所以2max ()(2)e 80h k h ==-<，所以()0g k <恒成立，因为(0)0,()0g g k <<，所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，即得证.。
2023-2024学年宁夏回族自治区石嘴山市高二下册3月月考数学(理)模拟试题(含解析)
2023-2024学年宁夏回族自治区石嘴山市高二下册3月月考数学（理）模拟试题一、单选题1．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为A ．B ．C ．D．【正确答案】D【分析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案.【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，符合条件的只有D 选项，故选D.本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题.2．211e x dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰（）A ．2e ln 2-B ．2e e ln 2--C ．2e e ln 2++D ．2e e ln 2-+【正确答案】D【分析】根据定积分的运算法则进行求解即可.【详解】()()()2222111e e ln e ln 2e ln1e e ln 2x x dx x x ⎛⎫+=+=+-+=-+ ⎪⎝⎭⎰.故选：D.3．已知随机变量X 的概率分布为()()()1,2,3,41aP X n n n n ===+，其中a 是常数，则1522P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．23C ．13D ．56【正确答案】D【分析】根据概率和为1，求得参数a ，再求()()1,2P X P X ==，则问题得解.【详解】因为()()()()12341261220a a a a P X P X P X P X =+=+=+==+++=，解得54a =.故()()555128246P X P X =+==+=.故选：D本题考查根据分布列求参数值，属基础题.4．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有（）A ．18种B ．12种C ．9种D ．6种【正确答案】B【分析】先确定1号盒子的选择情况，再确定剩下盒子的选择情况，进而根据分布计数原理求得答案.【详解】由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球2种方法，则剩下3个盒子各放一个球有33A 种方法，一共有332=12A ⨯种方法.故选：B.5．小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5【正确答案】D根据条件概率，即可求得在第一个路口遇到红灯，在第二个路口也遇到红灯的概率．【详解】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B “小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C 则()0.4P A =，()0.5P B =，()0.2P AB =()0.2(|)0.5()0.4P AB P B A P A ===故选D.本题考查了条件概率的简单应用，属于基础题．6．若4m A ＝183m C ，则m 等于（）A ．9B ．8C ．7D ．6【正确答案】D【详解】由A ＝m (m －1)(m －2)(m －3)＝18·，得m －3＝3，m ＝6.7．函数()ln 25y x x =+的导数为（）A ．()ln 2525x x x+-+B ．()ln 25225x x x +++C ．()2ln 25x x +D ．25x x +【正确答案】B【分析】根据复合函数的求导法则以及导数的乘法运算法则求解出原函数的导数.【详解】解析：因为()()()()ln 25ln 25y x x x x '''=⋅++⋅+，所以()()1ln 252525y x x x x ''=++⋅⋅++，所以()2ln 2525x y x x '=+++，故选：B.8．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A ．420B ．180C ．64D ．25【正确答案】B【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论．【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种，A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种，共有180种不同的涂色方案．故选：B ．本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.9．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线:40l x y +-=距离的最小值为（）A．2BC．D．【正确答案】C【分析】由题知过点P 作曲线2ln y x x =-的切线，当切线与直线:40l x y +-=平行时，点P 到直线:40l x y +-=距离的最小，再根据导数的几何意义求解即可.【详解】解：过点P 作曲线2ln y x x =-的切线，当切线与直线:40l x y +-=平行时，点P 到直线:40l x y +-=距离的最小.设切点为000(,)(0)P x y x >，12'=-y x x，所以，切线斜率为0012k x x =-，由题知00121x x -=-得01x =或0 12x =-（舍），所以，(1,1)P -，此时点P 到直线:40l x y +-=距离d ==.故选：C10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【正确答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．11．如图，已知电路中有5个开关，开关5S 闭合的概率为13，其它开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A ．78B ．1516C ．2324D ．45【正确答案】A【分析】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，则事件灯不亮可表示为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅，由已知12341()()()()2P A P A P A P A ====，51()3P A =，∴1234511121()(1)42238P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=-⨯⨯⨯=，∴事件灯亮的概率78P =，故选：A.12．某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l ，左右两端均为半球形，其半径为r ，若其表面积为S ，则胶囊的体积V 取最大值时r =()A 4S πB 2S πC SπD 6S π【正确答案】A【分析】由圆柱和球的表面积公式将l 用r 和S 表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V ，利用求导求出V 的最大值及此时r 的值.【详解】依题意，224422S r r rl S l rππππ-+=⇒=，故32342()323Sr V r r r l r πππ=+=-2()22S V r r π'=-，当4Sr π=()0V r '=，V 取最大值．故选：A二、填空题13．由曲线1x =-，0x =，e x y =以及x 轴所围成的面积为______．【正确答案】11e-【分析】根据定积分的几何意义即可求解区域面积.【详解】曲线1x =-，0x =，e x y =以及x 轴所围成的面积可表示：x 在()1,0-上的定积分，被积函数为e x y =，所以0001111e ee e 1ex xdx ---==-=-⎰.故答案为.11e-14．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )等于________．【正确答案】65【详解】分析：由题意知，X ～B （5，3m+3），由EX=5×3m+3=3，知X ～B （5，35），由此能求出D （X ）．详解：由题意知，X ～B （5，3m+3），∴EX=5×3m+3=3，解得m=2，∴X ～B （5，35），∴D （X ）=5×35×（1-35）=65．点晴：二项分布X ～B （n ，p ）则EX=np ．DX=np(1-p)15．已知在()()22nx y x y -+的展开式中含有24x y 项，则求24x y 的系数是______．【正确答案】70-【分析】由二项式定理展开项的特点即性质求解即可.【详解】()2nx y +展开式的通项为：()1C 2C 2n rr r r n rn r r r n n T x y x y ---+=⋅=⨯⋅⋅则()()22nx y x y -+的展开式含11C 22C 2C 22C 2r n r n r r r n r n r r r n r n r r r n rn r r n n n n x x y y x y x y x y -----+---+⨯⋅⋅-⨯⋅⋅=⨯⋅⋅-⨯⋅⋅，若其展开式中含有24x y 项，则1246n +=+=，故5n =，所以24x y 的系数为413255C 22C 2108070⨯-⨯=-=-.故答案为.70-16．若函数()()232e xf x mx x x =+-+在R 上单调递增，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】[e,)+∞【分析】求出函数的导数，结合题意可知()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立，即()21e x m x x -≤--在R 上恒成立，从而构造函数，将问题转化为求函数的最值问题即可.【详解】因为函数()()232e xf x mx x x =+-+在R 上单调递增，故()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立，即()21e xm x x -≤--在R 上恒成立，设()2()1e x g x x x =--，则()2()2e xg x x x '=+-，当<2x -或1x >时，()0g x '>，当2<<1x -时，()0g x '<，由220x x +-=，得121122x x ==，当x <x ()0g x >x <()0g x <，作出函数()2()1e xg x x x =--的大致图象如图：故1x =为函数极小值点，此时函数也取得最小值，最小值为(1)e g =-，故e,e m m -≤-∴≥，经验证，当e m =时，()()21e 0xf x m x x '=+--≥在R 上恒成立,仅在1x =时取等号，适合题意，故实数m 的取值范围是[e,)+∞，故[e,)+∞三、解答题17．现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三个组每组两本．【正确答案】(1)60；(2)360；(3)15.【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．【详解】（1）根据题意，第一组3本有36C 种分法，第二组2本有23C 种分法，第三组1本有1种分法，所以共有3263C C 160⨯=种分法.（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有3263C C 160⨯=种分法，再将分好的三组分给3人，有33A =6种情况，所以共有606360⨯=种分法.（3）根据题意，将6本书平均分为3组，有22264233C C C A =15种不同的分法．18．某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从8道题目中随机抽取3道回答，至少答对2道可以晋级.已知甲同学能答对其中的5道题.(1)设甲同学答对题目的数量为X ，求X 的分布列，(2)求甲同学能晋级的概率.【正确答案】(1)分布列见解析(2)57【分析】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，从而可求出X 的分布列，（2）甲同学能晋级的概率(2)(3)P P X P X ==+=，从而可求得结果【详解】（1）由题意可知甲同学答对题目的数量X 的可能取值为0，1，2，3，则33381(0)56C P X C ===，12533815(1)56C C P X C ===，21533815(2)28C C P X C ===，35385(3)28C P X C ===，所以X 的分布列为X0123P15615561528528（2）由题意可得甲同学能晋级的概率为1555(2)(3)28287P P X P X ==+==+=19．已知(2n x +展开式中第3项和第7项的二项式系数相等（1）求展开式中含2x 的项的系数；（2）系数最大的项是第几项？【正确答案】(1)1120；(2)第3项或第4项.【分析】(1)利用二项式系数的性质求出n 值，再求出二项展开式的通项即可求出指定项的系数；(2)利用(1)的信息根据系数最大列出不等式组即可作答.【详解】（1）依题意，26n n C C =，由组合数的性质得8n =，于是得8(2x展开式的通项88213888(2)2,,8rrr r rr r T C x C x r N r --+-=∈⋅⋅=≤，由3822r -=得4r =，则8844167012120C -⋅=⋅=，所以展开式中含2x 的项的系数为1120；（2）令Tr ＋1项的系数最大，由(1)得89188871882222r r rr r r rr C CC C-----+⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即8!8!2(8)!!(9)!(1)!8!8!2(8)!!(7)!(1)!r r r r r r r r ⎧≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⎪--+⎩，整理得1292181r rr r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得23r ≤≤，而,8r N r ∈≤，从而得2r =或3r =，所以展开式中系数最大项是第3项或第4项.20．已知函数()()221ln f x ax a x x =+--．(1)当12a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)讨论函数()f x 单调性．【正确答案】(1)()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；函数()f x 的极小值()1f 12=，无极大值(2)答案见解析【分析】（1）利用导数与函数的单调性、极值的关系求解，注意函数的定义域，即可得到答案；（2）利用导数与函数的单调性的关系求解，注意对a 的取值范围进行分类讨论，求解即可．【详解】（1）当12a =时，()21ln ,02f x x x x =->，则()()()111x x f x x x x+-'=-=，当01x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '>，则()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞，当1x =时，函数()f x 取得极小值()1f 12=，无极大值．（2）()()221ln ,0f x ax a x x x =+-->，则()22(21)1(1)(21)ax a x x ax f x x x+--+-='=，当0a ≤时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当0a >时，当102x a <<时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减，当12x a>时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．21．2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为34，小陈同学每道题答对的概率均为23，每道题是否答对互不影响.(1)求小陈同学有机会答题的概率；(2)记X 为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求X 的分布列和数学期望.【正确答案】(1)1516(2)分布列见解析，55()4E X =【分析】（1）利用对立事件及独立事件的概率乘法公式计算即可；（2）先求出变量取值的概率，然后列出随机变量的分布列，利用期望公式求解即可【详解】（1）记“小陈同学有机会答题”为事件A ，所以()()331511114416P A P A ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以小陈同学有机会答题的概率是1516.（2）X 的所有可能取值为0，5，10，15，20，所以()3310114416P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21233215C 1144324P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2211223322321110C 1C 1144334348P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()221122332322515C 1C 144343312P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2232120434P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：X05101520P 116124114851214所以11115155()051015201624481244E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.22．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，()212x x x <.（1）求实数a 的取值范围；（2）证明.21122x x x -<-【正确答案】（1）(),e +∞；（2）证明见解析.【分析】（1）求导，对参数分类讨论，通过导数研究函数的零点情况，求得参数取值范围；（2）方法一：由题意得1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩，令210t x x =->，两式相除得11t t x e =-，欲证21122x x x -<-，即证()212t e t t-<-，即证2222t t t e ++<，记()()2220t t t h t t e ++=>，通过导数研究函数的最值情况，即可证得不等式；方法二：令211x t x =>，代入化简得1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，将不等式转化为()21ln 2ln t t t -<-，即证()2ln 2ln 220t t t +-+<.记()()()2ln 2ln 221g t t t t t =+-+>，通过求导，并对导数中的部分函数求导研究原函数的最值情况，证得不等式.【详解】（1）解：()f x 的定义域为R ，()'x f x e a =-.①当0a ≤时，()'0x f x e >≥，所以()f x 在R 上单调递增，故()f x 至多有一个零点，不符合题意；②当0a >时，令()'0f x <，得ln x a <；令()'0f x >，得ln x a >，故()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()1,na +∞上单调递增，所以()()()min ln ln 1ln f x f a a a a a a ==-=-（i ）若0a e <≤，则()()min 1ln 0f x a a =-≥，故()f x 至多有一个零点，不符合题意；（ii ）若a e >，则ln 1a >，()()min 1ln 0f x a a =-<，由（i ）知0x e ex -≥，∴ln ln ln 0a e e a a a -=-≥，∴2ln ln 0a a a e a ->-，()()22ln 2ln 2ln 0f a a a a a a a =-=->.又∵()010f =>，0ln 2ln a a <<，故()f x 存在两个零点，分别在()0,ln a ，()ln ,2ln a a 内.综上，实数a 的取值范围为(),e +∞.（2）证明：方法1：由题意得1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩，令210t x x =->，两式相除得212111x x t x x t e e x x -+===，变形得11t t x e =-.欲证21122x x x -<-，即证()212t e t t-<-，即证2222t t t e ++<.记()()2220t t t h t t e ++=>，()()()2222'220t t t t t e t t e t h t e e+-++==-<，故()h t 在()0,∞+上单调递减，从而()()02h t h <=，即2222t t t e ++<，所以21122x x x -<-得证.方法2：由题意得：1212x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩由（1）可知1x ，20x >，令211x t x =>，则21x tx =，则1111x tx e ax e atx ⎧=⎨=⎩，两式相除得()11t x e t -=，1ln 1t x t =-，2ln 1t t x t =-，欲证21122x x x -<-，即证()21ln 2ln t t t -<-，即证()2ln 2ln 220t t t +-+<.记()()()2ln 2ln 221g t t t t t =+-+>，()()2ln 112'2ln 2t t g t t t t t-+=⋅+-=，令()()ln 11h t t t t =-+>，()11'10t h t t t-=-=<，故()h t 在()1,+∞上单调递减，则()()10h t h <=，即()'0g t <，∴()g t 在()1,+∞上单调递减，从面()()10g t g <=，∴()2ln 2ln 220t t +-+<得证，即21122x x x -<-得证.方法点睛：通过导数研究函数零点问题，带参需要分类讨论；对于双变量问题，一般选择另一个变量对双变量进行代换，如本题中令210t x x =->或211x t x =>，然后构造新函数，通过导数研究函数的最值情况.。
2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故3．14．解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故21．15．解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝2...+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故8．16．解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故②③④．三．解答题（共6小题）17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣......+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．解：（Ⅰ）由得，故，∵an＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。
2021-2022学年吉林省白城市洮南市高二年级下册学期第三次月考数学试题【含答案】
2021-2022学年吉林省白城市洮南市第一中学高二下学期第三次月考数学试题一、单选题1．（，）可以表示为（ ）()()()()34910n n n n --⋅⋅⋅--*n ∈N 10n >A ．B ．C ．D ．83C n -810A n -73A n -83A n -【答案】D【分析】根据排列数和组合数计算公式计算4个选项，得到正确答案.【详解】，()()()()83C 872134910n n n n n ---=⨯⨯⋅⋅⋅-⨯-⨯ ，()()()()81010111617A n n n n n -=--⋅⋅⋅--，()()()73A 349n n n n -=--⋅⋅⋅-，D 正确.()()()()83A 34910n n n n n -=--⋅⋅⋅--故选：D2．某单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y （单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：月份（x ）5678日平均用电量（y ）1.93.4t7.1若y 与x 线性相关，且求得其线性回归方程，则表中t 的值为（ ）A ．5.8B ．5.6ˆ 1.787.07yx =-C ．5.4D ．5.2【答案】B【分析】由样本中心必在回归直线上即可求解.(),x y 【详解】解：由表格中的数据可得，，5678 6.54x +++== 1.9 3.47.112.444t ty ++++==将点代入回归直线方程得，解得．(,x y 12.4 1.78 6.57.07 4.54t+=⨯-= 5.6t =故选：B ．3．函数的极值点的个数为( )431143y x x =-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】因为，所以,由得,当变化时，431143y x x=-()322'1y x x x x =-=-'0y =120,1x x ==x 的变化情况如下表',y y x(),0∞-0()0,11()1,+∞'y --+y无极值极小值由表可知，函数只有一个极值点，故选B.4．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．35251223【答案】B【分析】设男生甲被选中为事件，女生乙被选中为事件，分别求得，，再结合条A B ()P A ()P AB 件概率的计算公式，即可求解.【详解】解：由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件，其概率为，A 2536C 1()C 2P A ==设女生乙被选中为事件，B 则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，1436C 1()C 5P AB ==所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为. ()1()25|1()52P AB P B A P A ===故选：B.5．4个男生，3个女生站成一排，且甲乙二人之间恰好有三个人，则不同的排法种数为（ ）A ．360个B ．480个C ．720个D ．960个【答案】C【分析】选三人排在甲乙之间，然后捆绑在一起与其他2人排列，由此可得．【详解】从5人选3人排在甲乙之间，这5人捆绑一起与其他2人全排列，方法数为：．323523A A A 720=故选：C ．6．某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表x y 所示：根据表中的数据可得回归直线方程，，以下说法正确的是（ ）ˆ 2.27 1.08y x =-20.96R ≈广告支出费用x 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9销售量y3.85.47.011.6122A ．销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的yB ．销售量的多少有4%是由广告支出费用引起的yC ．第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果一般3ˆ1e =-D ．第三个样本点对应的残差，回归模型的拟合效果较好3ˆ1e =【答案】A【分析】根据已知条件结合残差和相关系数的定义可得答案.【详解】因为表示解释变量对于预报变量的贡献率，，所以销售量的多少有96%由2R 20.96R ≈y 广告支出费用引起的，故A 正确，B 错误；当时，第三个样本点对应的残差为，又，4x =ˆ7 2.274 1.081=-⨯+=-y 20.96R ≈故拟合效果较好，故CD 错误.故选：A.7．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约30%的人近视，而该校大约有40%的学生每天玩手机超过2h ，这些人的近视率约为60%.现从每天玩手机不超过2h 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11038252225【答案】A 【分析】令“玩手机时间超过2h 的学生”，“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查1A =2A =一人，利用全概率公式计算即可.【详解】令“玩手机时间超过2h 的学生”，“玩手机时间不超过2h 的学生”，B ＝“任意调查1A =2A =一人，此人近视”，则，且，互斥，，，，，12A A Ω= 1A 2A ()10.4P A =()20.6P A =()1|0.6P B A =()0.3P B =依题意，，()()()()()()11222||0.40.60.6|0.3P B P A P B A P A P B A P B A =+=⨯+⨯=解得，所以所求近视的概率为．()21|10P B A =110故选：A8．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲、乙胜的概率都为,则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为( )12A ．6∶1B ．7∶1C ．3∶1D ．4∶1【答案】B【分析】由题意，可知奖金分配比即为甲、乙取胜的概率比，甲前两局已胜，甲胜有3种情况，分别求解其概率，利用互斥事件的概率求和公式，即可求解.【详解】由题意，可知奖金分配比，即为甲、乙取胜的概率比，甲前两局已胜，甲胜有3种情况:①甲第三局胜为A 1，P(A 1)=；②甲第三局负、第四局胜为A 2，P(A 2)=；③第三局、第12111224⨯=四局甲负,第五局甲胜为A 3，P(A 3)=，所以甲胜的概率P=P(A 1)+P(A 2)+P(A 3)=，乙胜11112228⨯⨯=78的概率则为，故选B.18【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率计算问题，其中解答中认真审题，得出甲胜有3中情况，分别求解其概率，再利用互斥事件的概率求和公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、多选题9．已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则（ ）22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ．9n =11n =C ．常数项是672D ．展开式中所有项的系数和是-1【答案】AD【分析】求得的值判断选项AB ；求得常数项的值判断选项C ；求得展开式中所有项的系数和判n 断选项D.【详解】由，可得，则选项A 判断正确；选项B 判断错误；27C C n n =9n =的展开式的通项公式为22nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭929399C (2)(2)C r r r r r r r x x x ----=-令，则，则展开式的常数项是.选项C 判断错误；930r -=3r =339(2)C 672-=-展开式中所有项的系数和是.判断正确.292111⎛⎫- ⎪⎭=-⎝故选：AD10．已知随机变量，满足，且，则下列说法正确的是（ ）ξη25ξη+=()~10,0.2B ξA ．B ．()()46P P ξξ===()1E η=C ．D ．()0.64D η=() 1.6D E ξξ-=⎡⎤⎣⎦【答案】BD 【分析】因为，可判断A ；因为可求出，由方差和标准差的()~10,0.2B ξ()~10,0.2B ξ()(),E D ξξ性质，可判断B 、C 、D.【详解】因为随机变量，满足，且，所以ξη25ξη+=()~10,0.2B ξ对于A ，，所以A 不正确；()()()()()()466446101040.20.8,60.20.8P C P C ξξ====对于B ，，，()~10,0.2B ξ()100.22E ξ=⨯=，所以B 正确；()()()52525221E E E ηξξ=-=-=-⨯=对于C ，，，()~10,0.2B ξ()100.20.8 1.6D ξ=⨯⨯=，所以C 不正确；()()()25224 1.6 6.4D D D ηξξ=-==⨯=对于D ，，所以D 正确.()() 1.6D E D ξξξ⎡⎤-==⎣⎦故选：BD.11．已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，X Y ~X N，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是（ ）()211,μσ()222~,Y N μσ参考数据：若，则，()2~,Z N μσ()0.6827P Z μσμσ-≤≤+≈()220.9545P Z μσμσ-≤≤+≈A ．()111120.8186P X μσμσ-<<+≈B ．()()21P Y P Y μμ≥<≥C ．()()21P X P X σσ≤<≤D ．对于任意的正数，有t ()()P X t P Y t ≤>≤【答案】ABD【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可．μσ【详解】对于A ，，故A 选项正确；()111112(0.68270.9545)0.81862P X μσμσ-<<+≈+⨯=对于B ，由正态分布密度曲线，可知，所以，故B 选项正确；12μμ<21()()P Y P Y μμ<≥≥对于C ，由正态分布密度曲线，可知，所以，故C 选项错误；12σσ<21()()P X P Xσσ>≤≤对于D ，对于任意的正数，由图象知表示的面积始终大于表示的面积，所以t ()P X t ≤()P Y t ≤，D 选项正确，()()P X t P Y t ≤>≤故选：ABD ．12．已知函数，若，则下列结论正确的是（ ）()ln f x x x =120x x <<A ．B ．()()2112<x f x x f x ()()1122+<+x f x x f x C ．D ．当时，()()12120f x f x x x -<-ln 1x >-()()()1122212x f x x f x x f x +>【答案】AD【分析】设，函数单调递增，可判断A ；设，则()()ln f x g x x x ==()g x ()()h x f x x =+不是恒大于零，可判断B ；，不是恒小于零，可判断C ；()ln 2h x x ='+()ln f x x x=()ln 1'=+f x x 当时，，故，函数单调递增，故1x e >ln 1x >-()ln 10f x x +'=>()ln f x x x =，()()()()()()()2121112221120x x f x f x x f x x f x x f x x f x ⎡⎤--=+-->⎣⎦即，由此可判断D.得选项.()()()()11222112+x f x x f x x f x x f x +>【详解】解： 对于A 选项，因为令，在上是增函数，所以当()()ln f x g x x x ==()0,+¥时，，所以，即．故A 选项正确；120x x <<()()12g x g x <1212()()f x f x x x <()()2112<x f x x f x 对于B 选项，因为令，所以，所以时，()()ln g x f x x x x x=+=+()ln 2g x x '=+()2,x e -∈+∞单调递增，时，单调递减．所以与无()()0,g x g x '>()20,x e -∈()()0,g x g x '<()11x f x +()22xf x +法比较大小．故B 选项错误；对于C 选项，令，所以时，在单调递减，()ln 1f x x '=+10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '<10,e ⎛⎫⎪⎝⎭时，在单调递增，所以当时，，故1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()()0,f x f x '>1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1210x x e <<<()()12f x f x >成立，当时，，．故C 选项错误；1212()()0f x f x x x -<-121e x x <<()()12f x f x <1212()()0f x f x x x ->-对于D 选项，由C 选项知，当时，单调递增，又因为A 正确，成ln 1x >-()f x ()()2112<x f x x f x 立，所以()()()()()()()112221112221122x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ⋅⋅⋅--⋅+->+,故D 选项正确.()()()()112212x f x f x f x f x x =-+⎡-⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()()12120x x f x f x =-->⎡⎤⎣⎦故选：AD ．【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.三、填空题13．在一组样本数据不相等）的散点图中，若所有样本点1122(,),(,),x y x y ...(),,n n x y 12(2,,n n x x x ≥ 都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为_________()(),1,2,,i i x y i n =⋯132y x =+【答案】1【分析】根据样本相关系数的定义及直线的斜率为正，得到相关系数为1.【详解】因为所有样本点都在直线上，且直线的斜率为，132y x =+132y x =+102>故相关系数为1.故答案为：114．在的展开式中，的系数为__________．25(2)x x y ++52x y 【答案】60【详解】, 而在中 ， 223235(2)T C x x y =+23(2)x x +236133()(2)2k k k k k k k T C x x C x --+==⋅⋅'65,1k k -==，，则 ，的系数为60.5232T x ='⨯52523103260T x y x y =⨯⨯=52x y 15．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.【答案】96【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，分析6个区域的涂色方A B C D E F 案数，再根据分步计数原理计算即可.【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为、、、、、，如图所示：A B C D E F要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对区域涂色有3种方法，A 、、、、这5个区域都与相邻，每个区域都有2种涂色方法，B C D E F A 所以共有种涂色方案.32222296⨯⨯⨯⨯⨯=故答案为：96【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.16．已知，若关于x 的方程有3个不同实根，则实数取值范围为()3,0e 3,0xxx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩()f x a =a ______．【答案】10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用导函数研究出函数的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问()y f x =题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数的取值范围.a 【详解】当时，，，0x ≥()e xx f x =()1e xxf x -'=当时，，当时，，[)0,1x ∈()10e x xf x -'=>()1,x ∈+∞()10e x x f x -'=<故在上单调递增，在上单调递减，()f x [)0,1x ∈()1,x ∈+∞且，当时，恒为正，()11e f =0x >()e xxf x =当时，，，0x <()33=-f x x x ()()()233311f x x x x '=-=+-当时，，当时，，(),1x ∈-∞-()2303'=-<f x x ()1,0x ∈-()2303'=->f x x 故在上单调递减，在上单调递增，()f x (),1x ∈-∞-()1,0x ∈-且，()1312f -=-+=-画出的图象如下：()3,0e 3,0xxx f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩要想关于x 的方程有3个不同实根，则要函数与有3个不同的交点即可，()f x a=()y f x =y a =显然当时，符合要求.10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个小球放入5个盒子中.（1）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？（2）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【答案】（1）119种（2）31种【分析】(1)利用间接法可得满足题意的方法数.(2)由分类加法计数原理结合分步乘法计数原理可得满足题意的方法数.【详解】（1）利用间接法可知满足题意的投放方法为：种.551119A -=（2）分为三类：第一类，五个球的编号与盒子的编号完全相同的投放方法有1种；第二类，三个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的35C 编号与盒子的编号不同的投放方法有1种，所以投放方法有种；35110C ⨯=第三类，两个球的编号与盒子的编号相同，球的编号与盒子的编号相同的投放方法有种，球的25C 编号与盒子的编号不同的投放方法有2种，所以投放方法有种.35220C ⨯=根据分类加法计数原理得，所有的投放方法有种.1102031++=【点睛】本题主要考查间接法的应用，分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率是，乙获胜概率是.2313(1)求甲恰好在第四局获胜的概率是多少？(2)记表示比赛决出胜负时的总局数，求的分布列与期望.X X【答案】(1)881(2)分布列见解析；22481【分析】（1）根据题意，分析甲在每局的胜负情况即可求解.（2）根据题意先确定随机变量的取法，再分别求解对应概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.【详解】（1）由题意可知，比赛四局，甲获胜，则第一局甲胜，第二局甲负，第三局甲胜，第四局甲胜，故甲恰好在第四局获胜的概率是.21228333381P =⨯⨯⨯=（2）由题可知，的可能取值为2，3，4，5，X ,22115(2)33339P X ==⨯+⨯=,1222112(3)3333339P X ==⨯⨯+⨯⨯=,2122121110(4)3333333381P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=;8(5)1(2)(3)(4)81P X P X P X P X ==-=-=-==所以的分布列为：X X2345P59291081881数学期望.52108224()234599818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19．2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表（单位：人）天文爱好者非天文爱好者合计女2050男15合计100附：，其中.()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率.【答案】(1)表格见解析，能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；(2)910【分析】（1）完善列联表，计算卡方，与7.879比较后得到结论；（2）先根据分层抽样的定义求出抽取的5人中，2名为“天文爱好者”，3名为“非天文爱好者”，从而利用列举法求出相应的概率.【详解】（1）天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100()()()()()222100(20153035)9.0917.87950505545n ad bc K a b c d a c b d ⨯-⨯≈>-=+++⨯⨯+⨯故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；（2）因为抽取的女性人群中，“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型人数比为，20:302:3=故按分层抽样抽取的5人中：2名为“天文爱好者”，编号为a 、b ；3名为“非天文爱好者”，编号为1、2、3，则从这5人中随机选出3人，所有可能结果如下：ab 1，ab 2，ab 3，a 12，a 13，a 23，b 12，b 13，b 23，123，共10种情况，其中至少有1人是“天文爱好者”的有9种，概率为.∴91020．已知.()()()()2111ng x x x x =++++⋅⋅⋅++2012nn a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+(1)若，求121253n a a a n -++⋅⋅⋅+=-n(2)当，时，求除以7所得的余数.1x =29n =()g x 【答案】(1)7(2)6【分析】（1）令，根据等式的特点，结合等比数列前项和公式求出、的值，进而求出1x =n 0a n a 的值；n （2）根据等比数列前项和公式，结合二项式定理进行求解即可.n 【详解】（1）令，，1x =()210122(12)12222212n nn n g a a a a +⋅-=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+==--又，，所以，0a n =1n a =1121122n n n a a a +-+++⋅⋅⋅++=-故，所以，1121221253n n a a a n n +-++⋅⋅⋅+=---=-7n =（2）当，时，1x =29n =，()292293010212)1222228212g -=++⋅⋅⋅+==-=--（而()10101019282919101010182(71)2771717112g C C C =-=+-=+⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+- 化简得：，()1019288291101010101777771g C C C C =+⋅+⋅++⋅+⋅- 因此除以7所得的余数6.()1g 所以当，时，除以7所得的余数为61x =29n =()g x 21．随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份201620172018201920202021年份代码x123456新能源乘用车年销售y （万辆）5078126121137352(1)根据表中数据，求出y 关于x 的线性回归方程；（结果保留整数）(2)若用模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程为，请分别利用（1）与（2）e nxy m =0.331ˆ37.7e =x y 中两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值；参考数据：设，其中．ln u y =ln i i u y =yu61()()iii x x y y =--∑61()()i ii x x uu =--∑ 3.63e 5.94e 6.27e 144 4.78841 5.7037.71380528参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（i ＝1，2，3，⋅⋅⋅，n ），其回归直线(),i i x y 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，ˆˆˆybx a =+121()()ˆ())niii ni ii x x y y bx x ==--=-∑∑ˆˆay bx =-【答案】(1)4824ˆyx =-(2)312万辆，380万辆【分析】（1）根据表中数据和参考数据，得出，，，的值，运用x y ()()61i i i x xy y=--∑()21ni i x x=-∑最小二乘法求回归直线方程即可；（2）根据回归方程，代入的值即可求出预测值.x 【详解】（1）由表中数据得，，，，123456 3.56x +++++==144y =()()61841i ii x x y y =--=∑()()()()()()()22222221234561nii x x x x xxxxxxxxxx=-=-+-+-+-+-+-∑()()()()()()2222221 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.5=-+-+-+-+-+-，17.5=，，()()()121841ˆ4817.5niii nii x x y y x x b==--∴=≈-=∑∑ˆˆ14448 3.524a b y x =-=-⨯=- y 关于x 的线性回归方程为：；∴4824ˆyx =-（2）由（1）知，y 关于x 的线性回归方程为：，4824ˆyx =-当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：7x =（万辆）；487ˆ24312y =⨯-=对于回归方程，0.3337.71e x y =当时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：7x =（万辆）．0.337 3.63 2.31 5.9437.71e e e e 380y ⨯==⨯==22．已知函数，求：()ln 3f x x x kx k =+-(1)当时，求曲线在点处的切线方程；1k =()f x (1(1))f ，(2)当时，总有，求整数的最小值.3x >()1f x >k 【答案】(1)240x y --=(2)-3【分析】（1）先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；（2）分离参数转化为函数的最值问题.【详解】（1）当时，1k =()ln 3f x x x x =+-()ln 2'∴=+f x x (1)2(1)2f f '∴==-在点处的切线方程为即()f x ∴(1,(1))f 22(1)y x +=-240x y --=（2）由题意，，即，即，()1f x >ln 31x x kx k +->(3)1ln k x x x ->-又，恒成立.3x >1ln 3x xk x -∴>-令，1ln ()3x x g x x -=-23ln 2()(3)x x g x x -+'∴=-令，则恒成立.()3ln 2h x x x =-+3()0x h x x -'=<在上递减，()h x ∴()3,+∞，(8)3ln 860h =-> (9)3ln 970h =-<使，即，则，0(8,9)x ∴∃∈0()0h x =003ln 20x x -+=002ln 3x x -=当时，，当时，∴0(8,)x x ∈()0g x '>0(,)x x ∈+∞()0g x '<00000max 000211ln 1103()()(,3)3333x x x x x g x g x x x --⋅-+∴====-∈----因为，且，，即整数k 的最小值为-3max ()k g x >Z k ∈3k ∴≥-【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。
高二数学下学期第三次月考试题文 3
2021年高二下学期第三次月考试卷创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学〔文〕题号一二三总分得分一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1.圆的极坐标方程为ρ=2〔cosθ+sinθ〕，那么该圆的圆心极坐标是〔〕A. B. 〔，〕 C. 〔，〕 D.2.以下各点中与〔2，〕不表示极坐标系中同一个点的是〔〕A. 〔2，-π〕B. 〔2，π〕C. 〔2，π〕D. 〔2，π〕3.曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x'2+y'2=1，那么曲线C的方程为〔〕A. B. C. D. 4x2+9y2=14.点M的直角坐标是，那么点M的极坐标为〔〕A. B.C. D.5.点M的直角坐标为，那么它的柱坐标为()A. B. C. D.6.以下各式的运算结果为纯虚数的是〔〕A. i〔1+i〕2B. i2〔1-i〕C. 〔1+i〕2D. i〔1+i〕7.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角〞的结论的否认是〔〕A. 有两个内角是钝角B. 有三个内角是钝角C. 至少有两个内角是钝角D. 没有一个内角是钝角8.用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理〔〕A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 是正确的9.把1，3，6，10，15，…这些数叫作“三角形数〞，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，那么第15个三角形数是〔〕A. 120B. 105C. 153D. 9110.下面是一个2×2列联表y1y2总计x1* 16 40x2a b*总计28 * 70那么表中a、b处的值分别为〔〕A. 14，16B. 4，26C. 4，24D. 26，411.某政府在调查民收入增减与旅游愿望的关系时，采用HY性检验法抽查了3000人，计算发现K2的观测值k，根据这一数据查阅下表，政府断言民收入增减与旅游愿望有关系这一断言犯错误的概率不超过〔〕P〔K2≥k0〕0. 25k0A. B. 0. 05 C. D.12.某奶茶店的日销售收入y〔单位：百元〕与当天平均气温x〔单位：℃〕之间的关系如下：x-2 -1 0 1 2y 5 2 2 1通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程：=-x；但如今丧失了一个数据，该数据应为〔〕A. 3B. 4C. 5D. 2二、填空题〔本大题一一共4小题，一共2分〕13.a∈R，i为虚数单位，假设为实数，那么a的值是______ ．14.观察下面的数阵，那么第40行最左边的数是______．15.15、在极坐标系下，点，，O是极点，那么△AOB的面积等于______．16、点P的柱坐标为〔，，1〕，写出点P直角坐标______ ．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共7分〕17、〔10分〕i是虚数单位，且复数z满足〔z-3〕〔2-i〕=5．〔Ⅰ〕求z及|z-2+3i|；〔Ⅱ〕假设z•〔a+i〕是纯虚数，务实数a的值．18、〔12分〕直线的极坐标方程为3ρcosθ-4ρsinθ=3，求点P〔2，〕到这条直线的间隔．19、〔12分〕在极坐标系中，点A〔2，〕，B〔1，-〕，圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．〔Ⅰ〕求直线AB的直角坐标方程；〔Ⅱ〕求圆O的直角坐标方程．20、〔12分〕曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，有曲线C2：ρ=2cosθ-4sinθ 〔1〕将C1的方程化为普通方程，并求出C2的平面直角坐标方程〔2〕求曲线C1和C2两交点之间的间隔．21、〔12分〕在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中有6人患色盲．〔1〕根据以上数据建立一个2×2列联表；〔2〕假设认为“性别与患色盲有关系〞，那么出错的概率会是多少？附1：随机变量：K2=附2：临界值参考表：P〔K2≥x0〕x022、〔12分〕如表提供了某厂消费甲产品过程中记录的产量x〔吨〕与相应的消费能耗y〔吨HY煤〕的几组对照数据：x 2 4 6 8 10y 5 6 5 9 10〔Ⅰ〕请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；〔Ⅱ〕根据〔1〕求出的线性回归方程，预测消费20吨甲产品的消费能耗是多少吨HY 煤？〔参考公式：=，参考数值：2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236〕答案和解析【答案】1. B2. C3. A4. C5. C6. C7. C8. A9. A10. B11. C12. B13. -214. 152215、416〔1，1，1〕17解：〔Ⅰ〕∵〔z-3〕〔2-i〕=5，∴z=+3=+3=〔2+i〕+3=5+i…〔4分〕∴|z-2+3i|=|3+4i|==5；…〔6分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知z=5+i，∴z•〔a+i〕=〔5+i〕〔a+i〕=〔5a-1〕+〔a+5〕i；…〔10分〕又z•〔a+i〕是纯虚数，∴5a-1=0且a+5≠0；解得．…18、解：直线的极坐标方程为3ρcosθ-4ρsinθ=3，转化为直角坐标方程为3x-4y-3=0，点P〔2，〕直角坐标为〔0，-2〕，那么点P到这条直线的间隔19、解：〔Ⅰ〕点A〔2，〕，B〔1，-〕，直角坐标为A〔0，2〕，B〔，-〕，k AB=-〔4+〕∴直线AB的直角坐标方程为y=-〔4+〕x+2；〔Ⅱ〕将原极坐标方程ρ=4sinθ，化为：ρ2=4ρsinθ，化成直角坐标方程为：x2+y2-4y=0，即x2+〔y-2〕2=4．20、解：〔1〕曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为〔t为参数〕，消去参数t可得普通方程：y=2x-1．由曲线C2：ρ=2cosθ-4sinθ，即ρ2=ρ〔2cosθ-4sinθ〕，可得直角坐标方程：x2+y2=2x-4y．〔2〕x2+y2=2x-4y．化为〔x-1〕2+〔y+2〕2=5．可得圆心C2〔1，-2〕，半径r=．∴曲线C1和C2两交点之间的间隔 =2=．21、解：〔1〕2×2列联表如下患色盲不患色盲总计女性 6 514 520男性38 442 480总计44 956 1000〔2〕根据公式得K2=．由于＞，∴有99.9%的把握认为色盲与性别是有关的，∴出错的概率会是．22、解：〔I〕==6，==7，=2×5+4×6+6×5+8×9+10×10=236，=4+16+36+64+100=220，∴=，．∴线性回归方程为x．〔II〕当x=20时，．答：预测消费20吨甲产品的消费能耗吨HY煤．创作人：历恰面日期：2020年1月1日。
2021-2022学年山西省怀仁市第一中学校云东校区高二下学期第三次月考数学(文)试题 解析版
绝密★启用前山西省怀仁市第一中学校云东校区2021-2022学年高二下学期第三次月考数学（文）试题总分：150分；考试时间：120分钟一、选择题（共12小题，每小题5.0分，共60分）1．若(1)nx +的展开式共有12项，则n =（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 2．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）A ．13 B ．25 C ．23 D ．453．设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）A ．15B ．25C ．12D ．454．已知随机变量X 满足(1)5E X -=，(1)5D X -=，下列说法正确的是（ ） A ．()5E X =-，()5D X = B ．()4E X =-，()4D X =- C ．()5E X =-，()5D X =- D ．()4E X =-，()5D X =5．设两个正态分布()()2111,0N μσσ>和()()2222,0N μσσ>的密度函数图象如图，则有（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ<，12σσ>C ．12μμ>，12σσ<D ．12μμ>，12σσ>6．10张奖券中有3张是有奖的，若某人从中依次抽取两张，则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率是（ ） A ．27 B ．29 C ．310 D ．137．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π8．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．83 9．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A ．55 B ．255 C ．355 D ．45510．已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-，则8a 等于（ ）A ．5-B ．5C ．90D ．18011．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据()i i ,(i 1,2,,20)x y =⋅⋅⋅得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+ C ．e xy a b =+ D ．ln y a b x =+12．如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．分卷Ⅱ二、填空题（共4小题，每小题5.0分，共20分）13．71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数是________．14．直线380x -+=和圆222(0)x y r r +=>相交于A ，B 两点．若||6AB =，则r 的值为________．15．某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为________．16．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的方差为________．三、解答题（共6小题，共70分，17题10分，其余各题每题12分）17．求下列圆的方程（每小题5分，共10分）（1）若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y x =对称，求圆C 的标准方程； （2）过点(4,1)A 的圆C 与直线10x y --=相切于点(2,1)B ，求圆C 的标准方程．18．甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）根据0.050α=的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82819．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1BB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1AD E ；（6分）（2）求直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值．（6分）20．下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，17）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1，2，…，7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 21．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况3互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．22．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点．（1）证明：OA CD ⊥；（5分）（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积．（7分）高二文科数学月考三答案解析1．【答案】A【解析】由二项式定理知展开式共有1n +项，所以112n +=，即11n =．故选A ． 2．【答案】C【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有15C 5=种排法，若2个0不相邻，则有25C 10=种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+．故选：C ．3．【答案】A【解析】从O ，A ，B ，C ，D 5个点中任取3个有{,,}O A B ，{,,}O A C ，{,,}O A D ，{,,}O B C ，{,,}O B D ，{,,}O C D ，{,,}A B C ，{,,}A B D ，{,,}A C D ，{,,}B C D 共10种不同取法，3点共线只{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=．故选：A ． 4．【答案】D【解析】：已知(1)5E X -=，(1)5D X -=，根据均值和方差的性质可得1()5E X -=，()5D X =，解得()4E X =-，()5D X =．故选D ．5．【答案】A【解析】μ反映的是正态分布的平均水平，x μ=是正态密度曲线的对称轴，由图可知12μμ<；σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知12σσ<．故选A ． 6．【答案】B【解析】在第一次抽中奖后，剩下9张奖券，且只有2张是有奖的，所以根据古典概型可知，第二次中奖的概率29P =，故选B ． 7．【答案】D【解析】在正方体1111ABCD A B C D -，连接1BC ，1PC ，PB ，因为11AD BC ∥， 所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111A B C D ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B =，所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则1BC =11112PC D B ==，1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=． 8．【答案】C【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=︒，因为2AB =，所以1BC =，从而求得1CC =22V =⨯⨯=C ． 9．【答案】B【解析】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(,)a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为222()()x a y a a -+-=． 由题意可得222(2)(1)a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=的距离均为5d ==． 10．【答案】D 【解析】因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以82810C (2)454180a =-=⨯=．11．【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+． 12．【答案】D 13．【答案】35-【解析】在71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项7217C (1)k k kk T x -+=-中，令721k -=，得3k =，即得71x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 项的系数为337C (1)35⨯-=-．故选A ．14．【答案】5【解析】因为圆心(0,0)到直线80x -+=的距离4d ==，由||AB =可得6=5r =．15．【答案】20 16．【答案】36017．【答案】（1）22(1)1x y +-=；（2）22(3)2x y -+=【解析】（1）因为(1,0)关于y x =的对称点为(0,1)，所以圆C 是以(0,1)为圆心，以1为半径的圆，其方程为22(1)1x y +-=．（2）由题意知A ，B 两点在圆C 上，∴线段AB 的垂直平分线3x =过圆心C ． 又圆C 与直线1y x =-相切于点(2,1)B ，∴1BC k =-． ∴直线BC 的方程为1(2)y x -=--，即3y x =-+．3y x =-+与3x =联立得圆心C 的坐标为(3,0)，∴||r BC ===C 的方程为22(3)2x y -+=．18．【答案】（1）75%；60%；（2）能．【解析】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075%200=，乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060%200=． （2）零假设HO ：甲机床的产品与乙机床的产品质量无差异 由公式得：22400(1508012050)40010 6.63527013020020039K ⨯-⨯==>>⨯⨯⨯，根据0.050α=的独立性检验，我们推断HO 不成立，即认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05．19．【解析】（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，11AB A B ∥且11AB A B =，1111A B C D ∥且1111A B C D =，∴11AB C D ∥且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，则11BC AD ∥，∵1BC ⊂/平面1AD E ，1AD ⊂平面1AD E ，∴1BC ∥平面1AD E ；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，设正方体1111ABCD ABCD -的棱长为2，则(0,0,0)A 、1(0,0,2)A 、1(2,0,2)D 、(0,2,1)E ，1(2,0,2)AD =，(0,2,1)AE =，设平面1AD E 的法向量为(,,)n x y z =，由10n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令2z =-，则2x =，1y =，则(2,1,2)n =-，11142cos ,323||n AA n AA n AA ⋅<>==-=-⨯⋅． 因此，直线1AA 与平面1AD E 所成角的正弦值为23．20．【答案】（1）利用模型①预测值为226.1，利用模型②预测值为256.5；（2）利用模型②得到的预测值更可靠．【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ30.413.519226.1y =-+⨯=（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为ˆ9917.59256.5y =+⨯=（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5y t =+可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 21．【答案】（1）见解析；（2）20243【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~3,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而3321()C (0,1,2,3)33k kk P X k k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=． （2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y ，则2~3,3Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====．由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立， 从而由（1）知：()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y ===== (3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=．22．【答案】（1）详见解析；（2）6【解析】（1）因为AB AD =，O 为BD 中点，所以AO BD ⊥ 因为平面ABD平面BCD BD =，平面ABD ⊥平面BCD ，AO ⊂平面ABD ，因此AO ⊥平面BCD ，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥（2）作EF BD ⊥于F ，作FM BC ⊥于M ，连FM 因为AO ⊥平面BCD ，所以AO BD ⊥，AO CD ⊥ 所以EF BD ⊥，EF CD ⊥，BD CD D =，因此EF ⊥平面BCD ，即EF BC ⊥因为FM BC ⊥，FMEF F =，所以BC ⊥平面EFM ，即BC MF ⊥则EMF ∠为二面角E BC D --的平面角，4EMF π∠=因为BO OD =，OCD 为正三角形，所以OCD 为直角三角形因为2BE ED =，∴111212233FM BF ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ 从而23EF FM ==，∴1AO = AO ⊥平面BCD ，所以111113326BCDV AO S =⋅=⨯⨯⨯⨯=．。
江苏省宿迁北附同文实验学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(含答案解析)
江苏省宿迁北附同文实验学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题B．A．62二、多选题6．从点P（1，2，3）出发，沿着向量v ＝（－4，－1，8）方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为（）A．（－1，－2，3）B．（9，4，－13）C．（－7，0，19）D．（1，－2，－3）三、单选题四、多选题五、单选题12．下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是()()2,3,1,2,3,1a b =-=，则12l l ∥B ．直线l 的方向向量为()1,1,2a =-，平面α的法向量为()6,4,1u =- ，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则l α∥六、填空题13．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知平面α的一个法向量是()1,1,2n =-，且平面α过点(0,3,1)A 若(,,)P x y z 是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是_______.14．已知向量()2,1,1a =- ，()1,2,b t = ，若a 与b的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为______.15．若异面直线1l 的方向向量与2l 的方向向量的夹角为150°，则1l 与2l 所成的角为______.16．平面α的法向量是()2,2,1n =--，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为___________.七、解答题(1)求证：MN AB ⊥，MN (2)求异面直线AN 与CM 所成角的余弦值20．如图，已知正方形ABCD M 是线段EF 的中点.(1)求证：AM BD⊥.(2)求证：AM⊥平面21．已知正方形ABCDBC的中点.（1）求点D到平面PEF（2）求直线AC到平面22．如图，在平行六面体＝3，∠BAD＝120°.(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．参考答案：故选：ABC111D B D D DB AA AB =+=-+- 11122EF EA AF D A AC =+=+ （2）()1111122D F D D D B =+= 11,,122x y z ∴==-=-18．(1)(2,4,1),(2,4,a b ==-- (2)219-【分析】（1）利用空间向量平行与垂直的坐标表示即可求解；由2AB =，1AF =，得()0,0,1E ，()2,2,1F 所以22,,122AM ⎛=-- ⎝ 所以2(AM BD ⋅=⨯- 所以AM BD⊥（2）由（1）知，AM = 设(),,n x y z = 是平面BDF 所以222n BD x y n DF y z ⎧⋅=-⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1y =，得1x =，z =-因为22,,122AM ⎛=-- ⎝ 所以AM ⊥平面BDF .21．（1）31717；（2）17【分析】（1）建立如图坐标系，求出平面的法向量，即可求出点(2)平面A 1DA 的一个法向量为 设(),,x y z =m 为平面BA 1D 的一个法向量，又()(13,1,3,A B BD =--=- 则10,0,m A B m BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即3333x y x y ⎧--⎪⎨-+⎪⎩不妨取x =3，则3,2y z ==，所以()3,3,2m =为平面BA 1D 从而(3,0,0,AE m cos AE m AE m ⋅== 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ因为[]0,θπ∈，所以1sin θ=。
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二下册3月月考数学模拟试题A卷(含解析)
2023-2024学年黑龙江省哈尔滨高二下册3月月考数学模拟试题A 卷一、单选题1．54886599A A A A +=-（）A ．58B ．527C ．49D ．12【正确答案】B【分析】用排列数公式展开，约分化简即可求解．【详解】54886599A A 876548765415A A 9876549876594927+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+===-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-.故选：B.2．若将9名会员分成三组讨论问题，每组3人，则不同的分组方法种数有（）A ．3396C C B ．3396A A C ．33396333C C C AD ．333963A A A 【正确答案】C【分析】利用组合数平均分组法即可.【详解】解析：由于三组之间没有区别，且是平均分组，故共有33396333C C C A 种分组方法，故选：C ．3．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为A ．10B ．15C ．20D ．24【正确答案】A将问题等价转化为将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内，进而求得结果.【详解】问题等价于将3盏关着的灯插入6盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的5个空档之内∴关灯方案共有：3510C =种故选：A本题考查组合数的应用，关键是能够将问题进行等价转化为符合插空法的形式.4．若随机变量()2~2,X N σ，且()50.7P X ≤=，那么()1P X ≤-=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8【正确答案】B【分析】由题意可得()5P X >，根据()()15P X P X ≤-=>即可求得．【详解】由()50.7P X ≤=，得()50.3P X >=，由题意，正态曲线关于2x =对称，所以()()150.3P X P X ≤-=>=，故选：B ．5．已知随机变量X 的分布列如下表，若1()3E X =，则()D X =（）X1-01Pab12A ．13B ．23C ．59D ．79【正确答案】C【分析】由期望公式可得16a =，结合分布列的性质有13b =，再应用方差公式求()D X .【详解】由题设，11()23E X a =-+=，即16a =，则11123b a =--=，而2222111()(1)0162323E X =⨯-+⨯+⨯=，所以322211215()[()]()[()]3399i i D X X E X E X E X ==-=-=-=∑.故选：C6．若一个四位数的各位数字之和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”．试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”的个数为（）A ．55B ．59C ．66D ．71【正确答案】D【分析】根据和为10的无重复的四个数字的可能情况进行分类讨论，由此求得不同的方法总数.【详解】记千位为首位，百位为第二位，十位为第三位，由题设中提供的信息可知，和为10的无重复的四个数字有(0，1，2，7)，(0，1，3，6)，(0，1，4，5)，(0，2，3，5)，(1，2，3，4)，共五组．其中第一组(0，1，2，7)中，7排在首位有33A ＝6(种)情形，2排在首位，1或7排在第二位上时，有222A ＝4(种)情形，2排在首位，0排在第二位，7排在第三位有1种情形，共有6＋4＋1＝11(种)情形符合题设；第二组中3，6分别排在首位共有233A ＝12(种)情形；第三组中4，5分别排在首位共有233A ＝12(种)情形；第四组中2，3，5分别排在首位共有333A ＝18(种)情形；第五组中2，3，4分别排在首位共有333A ＝18(种)情形．依据分类计数原理可知符合题设条件的“完美四位数”共有11＋12＋12＋18＋18＝71(个).故选：D7．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（）A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小【正确答案】C【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,XH n ，可得出2nEX =，再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以()111222E P n ξξ===++，()1111222D P n ξξ=-==-+，从而可判断出E ξ和D ξ的增减性.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,XH n ，其中()336k n k n C C P X k C -==，其中Nk ∈，3k ≤且k n ≤，362n nEX ==.故从甲盒中取球，相当于从含有12n+个红球的1n +个球中取一球，取到红球个数为ξ.故()111211222n P n n ξ+===+++，随机变量ξ服从两点分布，所以()111211222n E P n n ξξ+====+++，随着n 的增大，E ξ减小；()()()211111422D P P n ξξξ⎡⎤=-===-⎣⎦+，随着n 的增大，D ξ增大.故选：C.本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.8．现准备将8本相同的书全部分配给5个不同的班级，其中甲、乙两个班级每个班级至少2本，其它班级允许1本也没有，则不同的分配方案共有（）A ．60种B ．70种C ．82种D ．92种【正确答案】B【分析】根据题意，可将8本相同的书看成是相同的元素首先要满足甲、乙两个班至少2本书，可以先分给甲、乙两个班各2本书，余下的4本书任意分给五个班，分4种情况讨论分配方案，①4本书都给一个班，②4本书按1、3分成两份或按2、2分成两份给2个班，③4本书按1、1、2分成三份分给三个班，④4本书按1、1、1、1分成4份分给4个班，分别求出其分配方案数目，将其相加即可得答案【详解】根据题意，8本相同的书是相同的元素，首先要满足甲、乙两个班至少2本书，可以先分给甲、乙两个班各2本书，余下的4本书任意分给五个班，分4种情况讨论：①、当4本书都给一个班时，有5种结果，②、4本书按1、3分成两份或按2、2分成两份给2个班，有225530A C +=种结果，③、当4本书按1、1、2分成三份时分给三个班时，有1254C C 30=种结果，④、4本书按1、1、1、1分成4份分给4个班，有455C =种结果所以不同的分配方案有5+30+30+5=70种结果故选：B本题考查分类计数原理，注意分类时做到不重不漏，其次注意相同的书是相同的元素,属于中档题.二、多选题9．已知双曲线的方程为2216416y x -=，则（）A ．渐近线方程为12y x=±B．焦距为CD ．焦点到渐近线的距离为8【正确答案】BC【分析】A 选项，先判断出双曲线焦点在y 轴上，利用公式求出渐近线方程；B选项，求出c =，得到焦距；C 选项，根据离心率公式求出答案；D 选项，利用点到直线距离公式进行求解.【详解】2216416y x -=焦点在y 轴上，故渐近线方程为2a y x x b =±=±，A 错误；2641680c =+=，故c =，故焦距为B 正确；离心率为c a ==C 正确；焦点坐标为(0,±，故焦点到渐近线2y x =±4=，D 错误.故选：BC10．已知数列{}n a 是等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，则（）A ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 也可能为等差数列C ．若1q >，则{}n a 为递增数列D ．若13n n S r -=+，则13r =-【正确答案】ABD 【分析】由已知可得1n na q a +=，利用等比数列的定义可判断A ；当1q =时可判断B ；当10a <时{}n a 为递减数列可判断C ；分别求出1a ，2a ，3a 再由2213a a a =求出r 的值可判断D ，进而可得正确选项.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，公比为q ，所以1n na q a +=，对与A ：令1n n b a =，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===是常数，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，故选项A 正确；对于B ：若1q =，则{}n a 各项都相等，所以{}n a 是公差为0的等差数列，所以选项B 正确；对于C ：数列{}n a 是等比数列，公比为q ，则11n n a a q -=⋅，若1q >，10a <，则{}n a 为递减数列，故选项C 不正确；对于D ：若13n n S r -=+，则111a S r ==+，2213(1)2a S S r r =-=+-+=，()332936a S S r r =-=+-+=；由{}n a 是等比数列，得2213a a a =，即()461r =+，解得13r =-，故选项D 正确；故选：ABD ．11．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，以下命题正确的是（）A ．函数()y f x =在4x =-处取得最小值B ．0x =是函数()y f x =的极值点C ．()y f x =在区间(4,1)-上单调递增D ．()y f x =在1x =处切线的斜率大于零【正确答案】ACD【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当(,4)x ∈-∞-时，()0f x '<，在(4,)x ∈-+∞时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在(,4)-∞-上单调递减，在(4,)-+∞上单调递增，且故C 正确；易知函数()y f x =在4x =-处取得最小值，故A 正确；在(4,)-+∞上单调递增，故0x =不是函数()y f x =的极值点，故B 不正确； 函数()y f x =在1x =处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D 正确.故选：ACD ．12．对于189x ⎛- ⎝展开式，下面结论正确的是（）A ．第9，10项的二项式系数最大B ．常数项为1218C C ．展开式中所有项系数之和为18263⎛⎫⎪⎝⎭D ．展开式中有理项的二项式系数和为172【正确答案】BCD【分析】对于A ：运用二项式系数的性质可求得结果；对于B ，写出二项式展开式通项，令x 上方的指数幂为0，即可求得常数项；对于C ，令1x =即可；对于D ，先求出展开式中的所有有理项，再将相应的二项式系数加起来即可.【详解】二项式189x ⎛⎝展开式的第1r +项()31818182118181C 99C 3r rr rrr r r T x x---+⎛⎛⎫==⨯-⨯ ⎪ ⎝⎭⎝对于A ：由二项式系数的性质可知：对二项式系数18C r中，当9r =时，取得最大值，此时第10项对应的二项式系数最大，所以A 错误；对于B ：令31802r -=，则12r =，所以常数项为：12181********181********C 9C C 33-⎛⎫⨯-⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C ：在原式中令1x =，则展开式中所有项系数之和是1818126933⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；对于D ：由018318Z 2Nr r r ≤≤⎧⎪⎪-∈⎨⎪∈⎪⎩，可知r 可取0，2，4，6，8，10，12，14，16，18，因此相应有理项的二项式系数和为：024*******18181818C C C C 22-+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+==，所以D 正确．故选：BCD ．三、填空题13．某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.15．邻居记得浇水的概率为0.9．则该人回来植物没有枯萎的概率为______．【正确答案】0.785【分析】根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.【详解】记A 为事件“植物没有枯萎”，W 为事件“邻居记得给植物浇水”，则根据题意，知()0.9P W =，()0.1P W =，()0.2P A W =，()0.85P A W =，因此()()()()()0.850.90.20.10.785P A P A W P W P A W P W =+=⨯+⨯=．故0.785．14．已知事件A ，B 满足()()P A P A =，()0.3P B =，()0.4P B A =，则()|P B A =______.【正确答案】0.2##15【分析】根据全概率公式计算可得.【详解】因为A A 、互为对立事件且()()P A P A =，所以()()0.5P A P A ==，()()()()()()0.5|||0.50.30.4P B P B A P B P B A P A P A A =⨯⨯=++=，所以()|0.2P B A =.故答案为.0.215．已知随机变量X 的分布列为X 1234P0.20.3α0.1则()27D X +=______．【正确答案】3.36【分析】利用分布列的性质求出α，然后求解期望与方差即可．【详解】解：由题意可得0.20.30.11α+++=，解得0.4α=，∴()10.220.330.440.1 2.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴()()()()()22221 2.40.22 2.40.33 2.40.44 2.40.10.84D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，∴()()227240.84 3.36D X D X +=⋅=⨯=．故3.36．16．用六种不同的颜色给如图所示的几何体的各个顶点染色，要求每条棱的两个端点不同色，则不同的染色方法种数为______．【正确答案】8520【分析】分用6种、5种、4种、3种颜色三种情况讨论，先染A ，B ，C 再染D ，E ，F ，由分步乘法计算原理求每一种情况的染色方法数，再求和即可求解.【详解】第一类：若6种颜色都用上，共66A 720=种；第二类：若用其中5种颜色，首先选出5种颜色，方法有56C 种．先染A ，B ，C ，方法有35A 种，再染D ，E ，F 中的两个点，方法有23A 种，最后剩余的一个点只有2种染法，故此时染色方法共有532653C A A 24320⨯⨯⨯=种；第三类：若用其中4种颜色，首先选出4种颜色，方法有46C 种．先染A ，B ，C ，方法有34A 种，再染D ，E ，F 中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种染法，故此时染色方法共有4364C A 333240⨯⨯⨯=种；第四类：若用其中3种颜色，首先选出3种颜色，方法有36C 种．先染A ，B ，C ，方法有33A 种，再染D ，E ，F 方法有2种，故此时染色方法共有3363C A 2240⨯⨯=种；综上可知：不同的染色方法共有720432032402408520+++=种，故答案为.8520四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足332n n S a n =+-.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）若()()()31323log 1log 1...log 1n n b a a a =-+-++-，1=n nc b .求数列{}n c 的前n 项和n T .【正确答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n =+【分析】（1）由已知条件可得132n n a a -=-，给等式两边同时减1得，()1311n n a a -=--，从而可证得数列{}1n a -是以3为公比，3为首项的等比数列；（2）由（1）可求得13nn a -=，从而可求出(1)2n n n b +=，所以()211211n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后利用裂项求和的方法可求得n T .【详解】解：（1）当1n =时，1113132S a a ==+-，得14a =，当2n ≥时，()113132n n S a n --=+--，则1133122n n n n n a S S a a --=-=-+，即132n n a a -=-，∴()1311n n a a -=--，∴数列{}1n a -是以113a -=为首项，公比为3的等比数列.（2）由（Ⅰ）得13nn a -=，∴()()()()313231log 1log 1...log 1123 (2)n n n n b a a a n +=-+-++-=++++=，∴()1211211n n c b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭，∴111111221 (22334)11n n T n n ⎛⎫=-+-+-++-=⎪++⎝⎭.此题考查了由递推式证明等比数列，裂项求和的方法，属于中档题.18．已知n⎝⎭的展开式中，第七项与第五项的二项式系数相等．（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数；（Ⅱ）求该展开式中系数最大的项．【正确答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）252815360T x-=【分析】(Ⅰ)由条件有64n n C C =可得10n =，再由展开式的通项公式()10221102010,r r r r r T C x x r r N --+=≤≤∈可得答案.（Ⅱ）设第1r T +项的系数最大,则1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎨≥⎩,解出7r =，得出答案.【详解】(Ⅰ)由题意，n ⎝⎭的展开式中第七项与第五项的二项式系数相等.所以64n n C C =，解得：10n =所以()10221102010,rr r r r T C x x r r N --+=≤≤∈.要求展开式中的有理项的项，则令1052r Z -∈所以0,2,4,6,8,10r =，所有有理项的项数为6项.(Ⅱ)设第1r T +项的系数最大.则1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++⎧≥⎨≥⎩，即211112101r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得：192233r ≤≤，又r N ∈，且7r =.所以展开式中的系数最大的项为25257722810215360T C x x --==.本题考查二项式展开式中的有理项和系数最大值的项，属于中档题.19．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)设甲公司答对题数为随机变量X ，求X 的分布列、数学期望和方差；(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【正确答案】(1)115；(2)分布列见解析，数学期望为2，方差为25；(3)甲公司竞标成功的可能性更大.【分析】（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答.（2）求出X 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.（3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答.【详解】（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题”的事件为A ，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，则有12211123424233366C C C C 2221()C ()(1)(1)C 33C 315P A =⨯-+⨯-=，所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是115.（2）设甲公司答对题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3，()()()122130424242333666C C C C C C 1311,2,3C 5C 5C 5P X P X P X =========，则X 的分布列为：X123P 153515期望()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=，方差()2221312(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.（3）设乙公司答对题数为Y ，则Y 的取值分别为0,1,2,3，312311212(0)(),(1)C ()327339P Y P Y =====⨯⨯=，223321428(2)C (),(3)()339327P Y P Y ==⨯⨯====，则Y 的分布列为：Y0123P 1272949827期望()124801232279927E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=，方差()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，显然()()()(),E X E Y D X D Y =<，所以甲公司竞标成功的可能性更大.20．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，点G是椭圆上一点，12GF F △的周长为6+（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面积为定值.【正确答案】（1）221123x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由抛物线的定义和离心率得出椭圆C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出G 点坐标，代入椭圆方程，再由弦长公式，点线距公式结合三角形的面积公式化简计算可得定值．【详解】（1）因为12GF F △的周长为6+所以226a c +=+，即3a c +=+又离心率c e a ==a =3c =，2223b a c =-=.∴椭圆C 的方程为221123x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,G x y ，将y kx m =+代入221123x y +=消去y 并整理得()2221484120k x kmx m +++-=，则122814km x x k +=-+，212241214m x x k -⋅=+，()121222214m y y k x x m k +=++=+，∵四边形OAGB 为平行四边形，∴()1212,OG OA OB x x y y =+=++ ，得2282,1414km m G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，将G 点坐标代入椭圆C 方程得()223144m k =+，点O 到直线AB 的距离为d =，12AB x =-，∴平行四边形OAGB 的面积为124S d AB m x x m =⋅=-=3=故平行四边形OAGB 的面积为定值为关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点线距公式和弦长公式，解决本题的关键点是借助于平面向量的坐标表示，利用点在曲线上得出方程，代入平行四边形的面积公式，消去参数得出定值，考查学生计算能力，属于中档题．21．已知函数()ln ,a f x x a x=+∈R ．(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当1x ≥时，若关于x 的不等式()2f x x a ≤-恒成立，试求a 的取值范围．【正确答案】(1)()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞(2)1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间.（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时，()()1ln 0f x x x x =+>，()'22111x f x x x x -=-=，所以()f x 在区间()()()'0,1,0,f x f x <递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增.所以()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞.（2）1,()2,ln 2a x f x x a x x a x ≥≤-+≤-，2ln 12x x x a x-≤+恒成立.构造函数()()2ln 112x g x x x x x-≥+=，()113g =，()()()2''22ln 11,1912x x g x g x --==+，构造函数()()22ln 11h x x x x =--≥，()()()2'212114140x x x h x x x x x +--=-==>，所以()h x 在[)1,+∞上递增，()110h =>，所以()'0g x >在[)1,+∞上成立，所以()()113g x g ≥=，所以13a ≤，即a 的取值范围是1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.22．2021年新高考数学试卷中对每道多选题的得分规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．小明在做多选题的第11题、第12题时通常有两种策略：策略:A 为避免选错只选出一个最有把握的选项．这种策略每个题耗时约3min ．策略:B 选出自己认为正确的全部选项．这种策略每个题耗时约6min ．某次数学考试临近，小明通过前期大量模拟训练得出了两种策略下第11题和第12题的作答情况如下：第11题：如果采用策略A ，选对的概率为0.8，采用策略B ，部分选对的概率为0.5，全部选对的概率为0.4．第12题：如果采用策略A ，选对的概率为0.7，采用策略B ，部分选对的概率为0.6，全部选对的概率为0.3．如果这两题总用时超过10min ，其他题目会因为时间紧张少得2分．假设小明作答两题的结果互不影响．(1)若小明同学此次考试中决定第11题采用策略B 、第12题采用策略A ，设此次考试他第11题和第12题总得分为X ，求X 的分布列．(2)小明考前设计了以下两种方案：方案1：第11题采用策略B ，第12题采用策略A ；方案2：第11题和第12题均采用策略B ．如果你是小明的指导老师，从整张试卷尽可能得分更高的角度出发，你赞成他的哪种方案？并说明理由．【正确答案】(1)分布列见解析(2)赞成小明的方案1，理由见解析【分析】（1）分析可知随机变量X 的可能取值有0、2、4、5、7，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列；（2）计算出两种方案下得分的期望和所用的时间，结合题意可得出结论.【详解】（1）解：设事件1B 为“第11题得0分”，2B 为“第11题得2分”，3B 为“第11题得5分”，1A 为“第12题得2分”，2A 为“第12题得0分”，所以()10.1P B =，()20.5P B =，()30.4P B =，()10.7P A =，()20.3P A =．由题意可知X 的可能取值为0、2、4、5、7，()()()()121200.03P X P B A P B P A ====，()()()()()()1122112220.22P X P B A B A P B PA PB P A ==+=+=，()()()()212140.35P X P B A P B P A ====，()()()()323250.12P X P B A P B P A ====，()()()()313170.28P X P B A P B P A ====，所以X 的分布列为：X02457P 0.030.220.350.120.28（2）解：设随机变量Y 为第11题采用策略B 的得分，1Z 为第12题采用策略A 的得分，2Z 为第12题采用策略B 的得分．Y 的分布列为Y025P 0.10.50.4E Y=⨯+⨯+⨯=．所以()00.120.550.43Z的分布列为1Z021P0.30.7E Z=⨯+⨯=.所以()100.320.7 1.4Z的分布列为2Z0252P0.10.60.3E Z=⨯+⨯+⨯=.所以()200.120.650.3 2.7+=（分），若采用方案1，两题总得分均值为3 1.4 4.4+=（分），若采用方案2，两题总得分均值为3 2.7 5.7但方案2因时间超过10min，后面的题得分少2分，相当于得分均值为3.7分．>，所以我赞成小明的方案1．因为4.4 3.7。
高二数学下学期第三次月考 文 A 试题
清苑中学2021-2021学年高二下学期月考三数学〔文科〕试题制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
第I 卷〔选择题一共60分〕一选择题〔每一小题5分〕1. 设集合U={1 ,2 ,3 ,4}，M={1 ,2 ,3},N={2,3,4},那么)(N M C U ⋂= A ．{1,2} B.{2，3} C ．{2,4} D ．{1,4}2. 以下函数中，既是偶函数，又在区间〔0， +∞〕上单调递减的函数是 A ． y=x 3B ． y=2xC ．y=-2x D ．y=cosx3. 使不等式032<-x x 成立的充分不必要条件是A ． 0<x<4B ．0< x < 2C ．0<x<3D ．x<0或者x>3 4. 平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1a b ，那么向量a 与b 的夹角为A.6π B. 3π C. 32π D. 65π5. 设a=52)53(，b=53)52(,c=52)52(,那么a,b,c 的大小关系是A ．a > c > bB ． a > b >cC ．c> a > bD ．b > c > a6．设实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+-0,004022y x y x y x ，目的函数y x z -=的最小值为A ．83- B ．－2 C ．2 D ．47．函数141)(++=x a x f 满足()()0f x f x -+=，那么a 的值是 A. 1 B. 41C.21-D. 1-8．圆2220x y x my +-+=上任意一点M 关于直线0x y +=的对称点N 也在圆上，那么m 的值是A ．1-B ．1C ．2-D ．29．将函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为 A ．1sin y x =- B ．1sin y x =+C ．1cos y x =-D ．1cos y x =+10．一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积是A ．21B ． 1C ．23D ．211. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，那么5a = A. 16- B. 16 C. 31 D. 32 12. 偶函数f(x)在区间[)+∞,0上单调递增，那么满足f(2x-1)<f(31)的x 取值范围是侧视俯视A ．〔32,21 〕 Ｂ．[)32,31 Ｃ．(32,31) Ｄ．[)32,21第II 卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，把最简答案填在答题卡的相应位置上〕13.设α为△ABC 的内角，且tan α=－34，那么sin2α的值是＿＿＿＿ 14.函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时，xx f 4)(=，那么=-)21(f15.的解集是不等式21≥-xx _________“0322>--ax ax 不成立〞是真命题 ,那么实数a 的取值范围是_________.三、解答题〔本大题一一共6小题，70分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕17. 〔本小题一共10分〕设集合2{40}A x x x =+=，22{2(1)10}B x x a x a =+++-=．〔1〕假设A B B ⋂=，求a 的值； 〔2〕假设A B B ⋃=，求a 的值．Q PBACD18．〔本小题一共12分〕 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos .a B b C c B -= 〔I 〕判断△ABC 的形状；〔Ⅱ〕假设()sin cos f x x x =+，求f 〔A 〕的最大值． 19 〔本小题一共12分〕{}{}项和。
2021-2022学年河北省邢台市第二中学高二下学期第三次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河北省邢台市第二中学高二下学期第三次月考数学试题一、单选题1．小张去工作室需要通过三重门，他必须问管理员要到每重门的钥匙才能到达工作室.第一重门的钥匙有3把（每把颜色不同），第二重门的钥匙有4把（每把颜色不同），第三重门的钥匙有3把（每把颜色不同），管理员要求他从这10把钥匙中取3把，则他能到达工作室的不同的取法共有（ ） A ．10种 B ．24种C ．36种D ．120种【答案】C【分析】根据给定条件，得用分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】依题意，进入第一重门有3种取法，进入第二重门有4种取法，进入第三重门有3种取法，由分步乘法计数原理可知，不同的取法共有34336⨯⨯=种. 故选：C2．已知函数()f x 与()g x 的部分图像如图所示，则（ ）A ．()()101g f ''-<<-B ．()()11f g ''-<-C ．()()101f g ''-<<-D ．()()33f g ''>【答案】B【分析】利用导数的几何意义直接判断.【详解】由图可知，()f x 与()g x 在区间[]1,3-上单调递增，所以()10g '->，()10f '->.在区间[]1,3-上，()g x 的图像比()f x 的图像更陡峭，所以()()11f g ''-<-，()()33f g '<'.故选：B3．()52a a b -的展开式中33a b 的系数为（ ） A ．80B ．80-C ．40D ．40-【答案】B【分析】先求得()52a b -的展开式中23a b 的系数，即可得到()52a a b -的展开式中33a b 的系数【详解】因为()52a b -的展开式的通项公式为()515C 2rr rr T a b -+=- 令3r =，则展开式中23a b 的系数为()335C 280-=-， 所以()52a a b -的展开式中33a b 的系数为80-. 故选：B4．用0，2，4，5，6，8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（ ） A ．120个 B ．192个 C ．252个 D ．300个【答案】C【分析】根据个位数是否为零分类讨论即可.【详解】若这个偶数的个位数是0，则有3560A =个；若这个偶数的个位数不是0，则有112444192C C A =个.故满足条件的四位数中偶数的总个数为60192252+=； 故选：C.5．若函数()()4220f x x mx x x =-+>为增函数，则m 的取值范围是（ ） A ．[)0,∞+ B ．[)4,-+∞C ．[)6,-+∞D ．[)8,-+∞【答案】D【分析】利用导函数去求m 的取值范围【详解】依题意可得，()33440f x x m x '=++≥，即3344m x x-+≤对()0,x ∈+∞恒成立.由0x >，得33448x x +=≥（当且仅当3344x x =，即1x =时，等号成立）， 所以8m -≤，即8m ≥-. 故选：D6．将7名志愿者分配到4个社区做垃圾分类宣传，每个社区至少分配1名至多分配2名志愿者，则志愿者的分配方法种数为（ ） A ．2520 B ．2640C ．4200D ．15120【答案】A【分析】先将7名志愿者分成4份，再全排列即可.【详解】依题意可得，4个社区志愿者分配的人数分别为1，2，2，2，故志愿者的分配方法种数为1222247644332520 C C C C A A =. 故选：A7．1224111x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中常数项为（ ） A ．512CB ．612CC ．513CD ．613C【答案】C【分析】先写出121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为1r T +，可得12411r T x x +⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可求出常数项对应的r 值，即可求出常数项【详解】121x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项为12122112121C C rr r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1222r -=或1224r -=，则=5r 或4r =，故所求常数项为455121213C C C +=，故选：C8．定义在()0,8上的函数()f x 的导函数为fx ，且()()2xf x f x '<，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24f x x <的解集为（ ）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．0,1D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】构造()()2f xg x x =并利用导数研究在()0,8上的单调性，再将不等式化为()12g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合单调性求解集.【详解】设()()2f xg x x =，08x <<，则()()()320xf x f x g x x '-'=<，则()g x 在()0,8上单调递减，由()24f x x <，得：()24f x x<，而21124212f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()12g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则182x <<．故不等式()24f x x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A9．关于()77x -的展开式，下列判断正确的是( ) A ．展开式共有8项B ．展开式的各二项式系数的和为128C ．展开式的第7项的二项式系数为49D ．展开式的各项系数的和为76【答案】ABD【分析】根据二项式定理的性质逐项判断即可． 【详解】展开式共有718+=项，故A 正确． 展开式的各二项式系数的和为72128=，故B 正确．展开式的第7项的二项式系数为6177C C 7==，故C 错误．展开式的各项系数的和为()77716-=，故D 正确． 故选：ABD ．10．生命在于运动，小兰给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和跳绳.（ ）A ．若瑜伽被安排在周一和周六，则共有48种不同的安排方法B ．若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则共有216种不同的安排方法C ．若周一不练习瑜伽，周三爬山.则共有36种不同的安排方法D ．若瑜伽不被安排在相邻的两天，则共有240种不同的安排方法 【答案】BCD【分析】对于A ，安排剩下的四种运动项目即可；对于B ，利用间接法可求解；对于C ，先排特殊的项目；对于D ，先排其他四项运动，再插空可求解.【详解】对于A ，若瑜伽被安排在同一和周六，则共有4424A =种不同的安排方法，故A 不正确；对于B ，若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，则由间接法可得，不同的安排方法种数为422644216A A A -=，故B 正确对于C ，若周一不练习瑜伽，周三爬山，则共有234136A C =种不同的安排方法，故C 正确；对于D ，若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有44A 种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有4245240A C =种不同的安排方法，故选：BCD11．将12支完全相同的圆珠笔分给4位小朋友.（ ）A ．若每位小朋友至少分得1支，则有411C 种分法 B ．若每位小朋友至少分得1支，则有311C 种分法C ．若每位小朋友至少分得2支，则有37C 种分法D ．若每位小朋友至少分得2支，则有38C 种分法 【答案】BC【分析】利用隔板法求得每位小朋友至少分得1支的分法总数判断选项AB ；求得每位小朋友至少分得2支的分法总数判断选项CD.【详解】若每位小朋友至少分得1支，则由隔板法可得，不同的分法种数为311C . 则选项A 判断错误；选项B 判断正确；若每位小朋友至少分得2支，则每位小朋友可先各发1支，剩下8支，再由隔板法可得，不同的分法种数为37C .则选项C 判断正确；选项D 判断错误. 故选：BC 12．若()()00000,,limx f x x y x y f x ∆→+-∆∆存在，则称()()0000,,lim f x x y f x y x∆→∞+∆-∆为二元函数(),z f x y =在点()00,x y 处对x 的偏导数，记为()00,x f x y '.已知二元函数()()322,0,2f x y x x y y x y =-+>>-，()()434,40,2g x y x x y x y =-->>-，则（ ）A ．()1,11x f '-=B ．关于t 的函数()1,18x g '-=-C ．(),3x f t '的最小值为3-D ．关于t 的函数(),x g t t '有极小值【答案】BCD【分析】根据所给的定义分别得到()00,x f x y '、()00,x g x y '后就容易求解了.【详解】对于A 、C ，因为()322,f x y x x y y =-+，所以()()()00002000000,,,lim32x x f x x y f x y f x y x y x x∆→+∆-'==-∆，则()1,15x f '-=.因为()()22,336313x f t t t t '=-=--，所以当1t =时，(),3x f t '取得最小值，且最小值为3-. 故A 错误，C 正确..对于B 、D ，因为()434,4g x y x x y =--，所以()()()00003200000,,,lim412x x g x x y g x y g x y x x x∆→+∆-'==-∆，则()1,18x g '-=-. ()()32,4120x g t t t t t '=->，令()()324120g x x x x =->，()21224g x x x '=-.当02x <<时()0g x '<；当2x >时()0g x '>.所以()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增， 所以()g x 在2x =处取得极小值. 故B 、D 都正确. 故选：BCD 三、填空题13．若227C 9A n +=，则n =_________.【答案】6【分析】利用排列数公式和组合数公式去求n 的值 【详解】因为2776993C 02⨯+=+=，所以()130n n -=，解得6n =或5n =-(舍去) 故答案为：614．甲、乙、丙、丁、戊等8人排成一排拍照，要求甲、乙、丙、丁四人排在一起，且戊排在两端，则不同的排法共有_________种. 【答案】1152【分析】捆绑法进行求解，再考虑让戊排在这7人的两端，得到不同的排法有44442A A 种. 【详解】先不考虑戊，安排其他7人，甲、乙、丙、丁四人要在一起，由捆绑法可得不同的排法种数为4444A A ，再考虑戊，可以让戊排在这7人的两端，故所求不同的排法种数为44442A A 1152=.故答案为：115215．如图，某款酒杯容器部分的形状为圆锥，且该圆锥的轴截面为边长是6cm 的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为___________3cm .【答案】43π【分析】根据圆锥轴截面的形状以及长度，求得圆锥的底面半径、母线以及高，利用三角形相似，求得其内接圆柱体的高和半径的关系， 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，故可得圆锥的底面半径13r =，母线长6PN =，则圆锥的高133h =，根据题意，设该圆锥内接圆柱的底面半径为,(03)r r <<，高为h ， 则由△1~O PM OPN 可得11O M O P ON OP =，即33333r h-，则333h r =， 故该圆柱的体积()2233V r h r r ππ=⨯-，令()()23,(03)f r r r r =-<<，则'()f r ()32r r =-，则当()0,2r ∈时，'()f r 0>，()f r 单调递增；当()2,3x ∈时，'()f r 0<，()f r 单调递减，故()()max 24f r f ==，故圆柱体积的最大值为43π. 故答案为：43π. 四、双空题16．在等差数列{}n a 中，216a =，317a =，则n a =_________，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为_________.【答案】 14n +14+n275【分析】根据等差数列定义即可求公差的，根据等差数列通项公式即可求n a ，根据11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式的特征可采用裂项相消法求其前10项和． 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，则17161d =-=， ∴()2214n a a n d n =+-=+． ∵()()1111114151415n n a a n n n n +==-++++， ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为：111111112151616172425152575-+-++-=-=． 故答案为：n +14；275． 五、解答题 17．已知)66016xaa x a x=+++.(1)求0a ；(2)123628a a ++++；(3)求2a .【答案】(1)8 (2)8- (3)60【分析】（1）用赋值法，令0x =，即可求解； （2）用赋值法，令x （3）利用二项展开式的通项公式直接求解. 【详解】(1)令0x=，得608a==.(2)令x 02613280aa a ++++=，12360288a a a ++++=-=-.(3)因为()422222660a x C x x =-=，所以260a =.18．已知函数()32610f x x x =-+．(1)若曲线()y f x =切线的斜率为－9，求切点的坐标； (2)求()f x 在区间[]3,6-上的最大值与最小值． 【答案】(1)切点的坐标为()1,5或()3,17- (2)最大值为10，最小值为－71【分析】（1）利用曲线的几何意义求解即可；（2）对函数求导，解导数不等式得到函数单调性，由单调性即可得到最值.【详解】(1)()2312f x x x '=-，曲线()y f x =切线的斜率为－9，由()9f x '=-，得1x =或3x =．当1x =时，()15f =，当3x =时，()317f =-， 故切点的坐标为()1,5或()3,17-．(2)令()23120f x x x '=-=，得10x =，24x =令()0f x '<，得04x <<,函数单调递减， 令()0f x '>，得0x <或4x >，函数单调递增，所以()f x 在[)3,0-，(]46，上单调递增，在()0,4上单调递减． 因为()371f -=-，()()0610f f ==，()422f =-， 所以()f x 在区间[]3,6-上的最大值为10，最小值为－71．19．在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，且侧棱1AA 垂直于底面ABCD ，11124AA AD A D ===，O ，E 分别是AC 与1DD 的中点.(1)证明：OE ∥平面11BD A .(2)求1CC 与平面11BD A 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接BD ，得到O 为BD 的中点，证得1//OE BD ，结合线面平行的判定定理，即可证得//OE 平面11BD A ；（2）以A 为原点，以1,,AB AD AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，求得向量1(2,2,4)CC =--和平面11BD A 的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】(1)证明：连接BD ，因为ABCD 为正方形，可得O 为BD 的中点，在1BDD 中，因为,O E 分别为1,BD DD 的中点，所以1//OE BD ， 又因为OE ⊄平面11BD A ，且1BD ⊂平面11BD A ， 所以//OE 平面11BD A .(2)解：因为1AA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以11,AA AB AA AD ⊥⊥， 以A 为原点，以1,,AB AD AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得111(0,0,0),(4,0,0),(0,0,4),(0,2,4),(4,4,0),(2,2,4)A B A D C C ， 则1111(0,2,0),(4,0,4),(2,2,4)A D A B CC ==-=--，设平面11BD A 的法向量(,,)n x y z =，则11120440n A D y n A B x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1z =，可得1,0x y ==，所以(1,0,1)n =， 设1CC 与平面11BD A 所成的角为θ，则111sin cos ,2n CC n CC n CC θ⋅====⋅， 即1CC 与平面11BD A20．①{}2nn a 为等差数列，且358a =；②21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等比数列，且234a =.从①②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 在数列{}n a 中，112a =，________. (1)求{}n a 的通项公式；(2)已知{}n a 的前n 项和为n S ，试问是否存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-？若存在，求p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)212n nn a -=； (2)存在，3p =，4q =，2r =﹒【分析】(1)若选①，则可根据等差数列性质求出{}2nn a 的公差d ，根据等差数列通项公式可求2nn a ，从而求得n a ；若选②，则可证明等比数列概念求出21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比，根据等比数列通项公式可求21n an -，从而求得n a ；(2)根据n a 通项公式的特征，采用错位相减法即可求其前n 项和，将其化为n n r S p qa +=-形式即可得p 、q 、r 的值． 【详解】(1)若选①：设等差数列{}2nn a 的公差为d ，则33122512312a a d --===-，∴()1222121nn a a n n =+-=-，即212n nn a -=． 若选②：设等比数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的公比为q ，则2112212211a q a ⨯-==⨯-， ∴11112121122n nn a a n -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭， 即212n n n a -=； (2)21321222n nn S -=+++， 231113212222n n n S +-=+++， 则两式相减得，23111111212222222n nn n S +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭ 12n S =111121214212212n n n ++⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--12n S =132322n n ++=-， ∴2332n nn S +=-． ∵()22221233343422n n n n n n S a +++-+=-=-⨯=-， ∴存在正整数p ，q ，r ，使得n n r S p qa +=-，且3p =，4q =，2r =．21．已知函数()2ln f x x a x =-.(1)若()f x 在)+∞上有2个零点，求a 的取值范围； (2)证明：222ln e x x x x -->-. 【答案】(1)42e,ln 2⎛⎤ ⎥⎝⎦(2)证明见解析【分析】（1）先分离出a ，利用导数确定函数的单调性，再运用数形结合的思想可求解； （2）将222ln ex x x x -->-转化为证明222ln e x x x x -->-，再分别求最值可求证. 【详解】(1)当)x ∞∈+时，ln 0x >， 由()2ln 0f x x a x =-=，得2ln x a x=. 设函数()(2lnx g x x x=，则()()22ln 1'ln x x g x x-=. x ()'0g x <；当x >()'0g x >.所以()g x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以()min 2e g x g ==.因为4ln 2g=，且()f x 在)+∞上有2个零点. 所以a 的取值范围为42e,ln 2⎛⎤ ⎥⎝⎦. (2)证明：要证222ln e x x x x -->-，只需证222ln e x x x x -->-. 当2a =时，()22ln f x x x =-，则()222'x f x x-=. 当01x <<时，()'0f x <；当1x >时，()'0f x >. 所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以()()11f x f ≥=，当且仅当1x =时，等号成立. 设函数()()2e0x h x x x -=->，则()2'1e x h x -=-.当02x <<时，()'0h x >；当2x >时，()'0h x <. 所以()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减， 所以()()21h x h =≤，当且仅当2x =时，等号成立.故()()f x g x ≥，因为12≠，所以等号取不到，所以()()f x g x >， 即222ln e x x x x -->-，所以222ln e x x x x -->-.22．已知椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，上顶点为P .直线PF 与椭圆T 交于另一点Q ，且7PF FQ =，点12E ⎫⎪⎭在椭圆T 上.(1)求椭圆T 的方程；(2)过点()0,2M ，且斜率为k 的直线l 与椭圆T 相交于A ，B 两点，点A 关于y 轴的对称点为A '，作MN A B '⊥，垂足为N .是否存在定点R ，使得NR 为定值？若存在，请求出定点R 和NR ；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2214x y +=(2)存在，50,4R ⎛⎫⎪⎝⎭，34NR =【分析】（1）待定系数法去求椭圆T 的方程；（2）利用设而不求的方法求得'A B 恒过点10,2G ⎛⎫⎪⎝⎭，再利用直角三角形的性质找到定点R 并求得NR 的值.【详解】(1)由()0,P b ，(),0F c -，7PF FQ =，可得点Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则2264114949c a +=，解之得c a =c =，12b a =又因为点12E ⎫⎪⎭在椭圆T 上，所以223114a b +=，则22311a a +=解之得2a =，则1b =，c =故椭圆T 的方程为2214x y +=.(2)由题可知直线l 的方程为2y kx =+，设点()11,A x y ，()22,B x y ，则()11',A x y -. 联立方程组22142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()224116120k x kx +++=.则()()22216484164480k k k ∆=-+=->，1221641k x x k +=-+，1221241x x k =+. 直线'A B 的方程为()211121y y y y x x x x --=++， 整理得()()12211221y y x x x y x y x y -++=+.()()()12211221121228222241kx y x y x kx x kx kx x x x k +=+++=++=-+. 令0x =，得12211212x y x y y x x +==+，所以'A B 恒过点10,2G ⎛⎫⎪⎝⎭. 在Rt △MGN 中，存在定点50,4R ⎛⎫⎪⎝⎭为斜边MG 的中点，使得1324NR MG ==，为定值.。
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桐城中学2015-2016年度高二第二学期第三次月考数学试题（文科）注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卷中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.设2{|1},{|4},P x x Q x x =<=<则P Q =（ ）(A){|12}x x -<< (B){|31}x x -<<- (C){|14}x x <<- (D){|21}x x -<<2.函数22log 2xy x-=+的图像关于（ ） （A ）原点对称 （B ）y x =-对称 （C ）y 轴对称 （D ）y x =对称3.)(x f 为奇函数，∈x )0.(-∞时，)1()(-=x x x f ，则∈x ),0(+∞时，)(x f 为（ ） （A ）)1(+-x x （B ）)1(+--x x (C))1(+-x x (D))1(-x x4. 以下四个数中的最大者是（ ） （A ）2)2(ln (B))2ln(ln (C)2ln (D)2ln5. 已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）（A ）()()76f f > (B) ()()96f f > (C) ()()107f f > (D) ()()97f f >6. 若方程022=-+ax x 在区间[]5.1上有解,则实数a 的取值范围是（ ）（A ）),523(+∞-(B)),1(+∞ (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,523 (D)⎥⎦⎤⎝⎛-∞-523,7.定义在-+∞⋃∞（，0）（0，）上的奇函数)(x f 在+∞（0，）上为增函数，当0x >时，)(x f 的图像如图所示，则不等式[]()()0x f x f x --<的解集是( ) （A ）(,3)(0,3)-∞-⋃ (B)(,3)(3,)-∞-⋃+∞ (C)(3,0)(3,)-⋃+∞ (D)(3,0)(0,3)-⋃8.函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，的关系是（ ）（A ）101a b -<<<(B)101b a-<<<(C)101b a -<<<- (D)1101ab --<<<9.已知⎩⎨⎧≥-<+-=11,4)13()(x a a x a x a x f x 是R 上的减函数，则a 的范围是（ ）（A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)710. 已知关于x 的方程02131=-⎪⎭⎫⎝⎛x x ，那么在下列区间中含有方程的根的是（ ）（A ）)31,0( (B))21,31( (C))32,21( (D) )1,32(11.函数2x y =(-21≤x ≤21)图象上一点P ，以点为P 切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ） （A ）[0,π] (B) [0,4π]∪(2π,43π)(C) [4π,43π] (D) [0,4π]∪[43π,π)12. 设()y f x =在R 上有定义。
对于给定的正数K ，定义 (),()(),()k f x f x Kf x K f x K ≤⎧=⎨>⎩，取函数()f x =xe x 12--。
若对任意的R x ∈，恒有()k f x =()f x ，则（ ） （A ）K 的最小值为1 (B)K 的最小值为2(C)K 的最大值为1 (D)K 的最大值为21-Oyx第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. ,1sin )(3++=bx x a x f 若,2)2(=-f 则=)2(f _____________.14.曲线21xy xe x =++在点（0,1）处的切线方程为_____________.15．方程3)2(42+-=-x k x 有两个不等实根，则k 的取值范围是__________.16．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为_____________.三、解答题(本大题共6小题，共70分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题10分）已知集合{}11123-<+<=x x A 丨，{}121+≤≤-=m x m x B 丨 （1）当3=m 时，求BR C A ⋂；（2）若A B A =⋃，求m 的取值范围..18. （本小题12分）二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）设()2g x x m =+，若对任意的[]1,1-∈x ，()()f x g x >恒成立，求m 的取值范围.19. （本小题12分） 函数21)(xb ax x f ++=是定义在)1,1(-上的奇函数，且52)21(=f . （1）求()f x 的解析式；（2）证明()f x 在)1,1(-上是增函数； （3）求不等式0)()1(<+-x f x f 的解集.20. （本小题12分）对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围.21. （本小题12分）已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值； （2）当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.22. （本小题12分） 已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<桐城中学2015-2016年度高二第二学期第三次月考数学试题（文科）参考答案一． 选择题 DBAD CCDA CBDA二．填空题 13. 014. 13+=x y 15. ⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 16.()∞+-.1三、解答题17. （1）由题意可知，当时，，（2）①若 ，则 ，此时；②若 ，综上， 的取值范围是18. (1)有题可知： ，解得：由 .可知：化简得：所以： .∴(2)不等式 可化简为即：设 ，则其对称轴为，∴ 在[-1,1]上是单调递减函数.因此只需 的最小值大于零即可，∴代入得： 解得： 1-<m所以实数 的取值范围是：1-<m （备注：此题分离参数也可）19. （1）21)(x xx f +=（2）求导，证导函数0≥（或用定义证）（3）移项，利用奇函数，单调性转化不等式，结果：⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 20. （1）3,1- （2）()1,0∈a21. 解析:(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =, 3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+①又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:33a b =⎧⎨=⎩.(2)24a b =,∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26ax =-;0a >,∴26a a-<-,∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增,在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减,在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤,即2a ≤时,最大值为2(1)4a h a =-;②若126a a -<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22.解析：（1）()f x 的导数2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线， 则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根； 当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根； t(0)-∞， 0 (0)a ， a()a +∞， g'(x)+-+g(x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上所述，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即()a b f a -<<．。