信息论与编码(第三版)
信息论与编码(第三版) 第6章 信道编码理论
相等)
❖ 信号差错的指标通常用概率大小表征，符号差错概率 也称为误码元率，是指信号差错的概率；
❖ 误比特率则是表示信息差错概率的一种方法 ；
❖ 对于M进制码元，差图样E为
E (C R)(mod M )
❖ 二进制码而言 E CR
2需要反馈信道， 占用额外频率资源
二、前向纠错方式（FEC）
检测 结果
发送端
信道
接收端
发送
纠错码
接收码字
根据编译 码规则
Y 错误
N
译码 规则 纠错
纠错能力足够好，能够纠 正信道引入的数据错误
输出信息
优点 不足
1.不需要反馈信道，能够实现一对多的同 步广播通信 2.译码实时性好，控制电路比ARQ也简 单 由于假设纠错码的纠错能力足够纠正信息序 列传输中的错误，也就是纠错码与信道的干 扰是相匹配的，所以对信道的适应性较差
❖ 差错图样中的1就是符号差错，同时也是比特差错，而差错 的个数就是汉明距离。
C (1010)
R (0011)
E C R (1001)
一、功能
纠错码的分类
检测码
纠错码
只检测信息传输是否出现错 误，本身没有纠错的能力
不仅能够检测信 息传输中的错误，
并且能够自动纠
循环冗余校验码、 奇偶校验码等
信号传输过程中出现大的 信号波形畸变，导致信号 检错时发生错误，进而出 现 码元错误
叠加强的干扰 或者噪声
信号传输过程 中出现线性或 者非线性失真
线性失真
信号传输过程中不同的频率 分量增益不同，或者由于非
线性相位引起的延时不同
最新信息论与编码(第三版)
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2.1.1 自信息
设离散信源X的概率空间为：
P X (x ) P ( a a 1 1 )
a 2 P (a 2)
a 3 ......a q P (a 3) .....P .(a q)
q
i 1
P(ai )
1
自信息量：事件ai发生所含有的信息量
须使用随机矢量的联合概率分布和条件概率分布来说明它们 之间的关联关系。
例：汉字组成的中文序列中，只有根据中文的语法、习惯用语、 修辞制约和表达实际意义的制约所构成的中文序列才是有意义 的中文句子或文章。所以，在汉字序列中前后文字的出现是有 依赖的，是彼此相关的。
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5）m阶马尔可夫信源（非平稳信源）
底为2，单位为“比特（bit, binary unit）”； 底为e，单位为“奈特（nat, nature unit）”； 底为10，单位为“哈特（hat, Hartley）”； 根据换底公式得：
loga
X
logb X logb a
1 nat = 1.44bit , 1 hat = 3.32 bit；
1948年香农的权威性长文“通信的数学理论”，讨论了信 源和信道特性，1949年香农“噪声中的通信”，两论文奠 定了现代信息论的理论基础。
此后，在基本理论和实际应用方面，信息论都得到了巨大 的发展。
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第2章 离散信源及其信息测度
2.1 信源的数学模型及分类 2.2 离散信源的信息熵 2.3 信息熵的基本性质 2.5 离散无记忆的扩展信源 2.6 离散平稳信源 2.7 马尔可夫信源 2.8 信源剩余度与自然语言的熵
a 2 P (a 2)
a 3 P (a 3)
信息论与编码第3版第3章习题解答
第3章 无失真离散信源编码习题3.1 设信源1234567()0.20.190.180.170.150.10.01X a a a a a a a P X(1) 求信源熵H (X )； (2) 编二进制香农码；(3) 计算其平均码长及编码效率。
解： (1)()()log ()(.log ..log ..log ..log ..log ..log ..log .).7212222222=-020201901901801801701701501501010010012609 i i i H X p a p a bit symbol(2)a i p (a i ) p a (a i ) k i 码字 a 1 0.2 0 3 000 a 2 0.19 0.2 3 001 a 3 0.18 0.39 3 011 a 4 0.17 0.57 3 100 a 5 0.15 0.74 3 101 a 6 0.1 0.89 4 1110 a 70.010.9971111110(3)()3(0.2+0.19+0.18+0.17+0.15)+40.1+70.01=3.1471i i i K k p a()() 2.609=83.1%3.14H X H X R K3.2 对习题3.1的信源编二进制费诺码，计算其编码效率。
解：a i p (a i ) 编 码 码字 k i a 1 0.2 000 2 a 2 0.19 1 0 010 3 a 3 0.18 1 011 3 a 4 0.17 110 2 a 5 0.15 10 110 3 a 6 0.1 10 1110 4 a 70.011 11114()2(0.2+0.17)+3(0.19+0.18+0.15)+4(0.1+0.01)=2.7471i i i K k p a()() 2.609=95.2%2.74H X H X R K3.3 对习题3.1的信源分别编二进制和三进制赫夫曼码，计算各自的平均码长及编码效率。
信息论与编码第三版答案
信息论与编码第三版答案《信息论与编码》是一本非常经典的书籍，已经成为了信息科学领域中的经典教材。
本书的第三版已经出版，相比于前两版，第三版的变化不小，主要是增加了一些新内容，同时也对一些旧内容做了修改和完善。
作为一本教材，上面的题目和习题都是非常重要的，它们可以帮助读者更好地理解书中的相关概念和知识点，同时也可以帮助读者更好地掌握理论和技术。
因此，本文将介绍《信息论与编码》第三版中部分习题的答案，方便读者快速查阅和学习。
第一章：信息量和熵1.1 习题1.1Q：两个随机变量的独立性和无关性有什么区别？A：独立性和无关性是两个不同的概念。
两个随机变量是独立的，当且仅当它们的联合概率分布等于乘积形式的边缘概率分布。
两个随机变量是无关的，当且仅当它们的协方差等于0。
1.2 习题1.7Q：什么样的随机变量的熵等于0？A：当随机变量的概率分布是确定的（即只有一个概率为1，其余全为0），其熵等于0。
第二章：数据压缩2.5 习题2.9Q：为什么霍夫曼编码比熵编码更加高效？A：霍夫曼编码能够更好地利用信源的统计特征，将出现频率高的符号用较短的二进制编码表示，出现频率低的符号用较长的二进制编码表示。
这样一来，在编码过程中出现频率高的符号会占用较少的比特数，从而能够更加高效地表示信息。
而熵编码则是针对每个符号分别进行编码，没有考虑符号之间的相关性，因此相比于霍夫曼编码更加低效。
第四章：信道编码4.2 习题4.5Q：在线性块码中，什么是生成矩阵？A：在线性块码中，生成矩阵是一个包含所有二元线性组合系数的矩阵。
它可以用来生成码字，即任意输入信息序列可以通过生成矩阵与编码器进行矩阵乘法得到相应的编码输出序列。
4.3 习题4.12Q：简述CRC校验的原理。
A：CRC校验是一种基于循环冗余校验的方法，用于检测在数字通信中的数据传输错误。
其基本思想是将发送数据看作多项式系数，通过对这个多项式进行除法运算，得到余数，将余数添加到数据尾部，发送给接收方。
信息论与编码第三版 第4章
p( x)
信息论与编码
3. 根据平均互信息量I（X; Y）达到信道容量的充要条件式对C进行验证：
p ( y j ) p ( xi ) p ( y j / xi )
i 1 3
1 P 0 0
0 1/ 2 0
0 1/ 2 0
0 0 1/6
x1 x2 x3 x4 x5
1 1 1 1 1
y1 y2 y3 y4 y5
1 0 P 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
【解】 该信道的信道容量为：
C max I ( X ; Y ) max H ( X ) log 5
C max I ( X ; Y ) max H (Y )
p( x) p( x)
由于
p( y ) p( x) p( y / x)，由于信道转移概率是确定的，求使H (
X
Y)
达到最大值的p ( x )的最佳分布就转化为求p ( y )的最佳分布。由极大离 散熵定理知，在p ( y )等概率分布时，H ( Y ) 达到最大，则
I ( x2 ; Y ) p ( y j / x2 ) log
j 1 2
p ( y j / x2 ) p( y j ) p ( y j / x3 ) p( y j ) p ( y j / x4 ) p( y j ) p ( y j / x5 ) p( y j )
1 log
1 1/ 2
log 2
I ( x3 ; Y ) p ( y j / x3 ) log
j 1 2
1 log
信息论与编码(曹雪虹第三版)第一、二章
根据传输介质的不同，信道可分为有线信道和无线信道两大类。有线信道包括 双绞线、同轴电缆、光纤等；无线信道包括微波、卫星、移动通信等。
信道容量的定义与计算
信道容量的定义
信道容量是指在给定条件下，信道能 够传输的最大信息量，通常用比特率 (bit rate)来衡量。
信道容量的计算
信道容量的计算涉及到信道的带宽、 信噪比、调制方式等多个因素。在加 性高斯白噪声(AWGN)信道下，香农 公式给出了信道容量的理论上限。
信道编码分类
根据编码方式的不同，信道编码可分为线性分组码和卷积码 两大类。
线性分组码
线性分组码定义
线性分组码是一种将信息 序列划分为等长的组，然 后对每个组独立进行编码 的信道编码方式。
线性分组码特点
编码和解码过程相对简单 ，适用于各种信道条件， 且易于实现硬件化。
常见的线性分组码
汉明码、BCH码、RS码等 。
将信源消息通过某种数学变换转换到另一个域中，然后对变换 系数进行编码。
将连续的信源消息映射为离散的数字值，然后对数字值进行编 码。这种方法会导致量化噪声，是一种有损的编码方式。
信道编码的定义与分类
信道编码定义
信道编码是为了提高信息传输的可靠性、增加通信系统的抗 干扰能力而在发送端对原始信息进行的一种变换。
信息熵总是非负的，因 为自信息量总是非负的 。
当随机变量为确定值时 ，其信息熵为0。
对于独立随机变量，其 联合信息熵等于各自信 息熵之和。
当随机变量服从均匀分 布时，其信息熵达到最 大值。
03
信道与信道容量
信道的定义与分类
信道的定义
信道是信息传输的媒介，它提供了信号传输的通路，是通信系统中的重要组成 部分。
信息论与编码第三版 第3章
（2）增强通信的可靠性： 综上所述，提高抗干扰能力往往是以降低信息传输效率为代价
信息论与编码
信源编码的概念：对信源的原始符号按一定的数学规则进行变换的一种
代码。
信源编码包括两个功能：
（1）将信源符号变换成适合信道传输的符号； {b1, b2,…, bD}是适合 编码输出码字cm = cm1 cm2 … {a1, a2, …, （2）压缩信源冗余度，提高传输效率。 ak}为信 信道传输的D个符号， cmn， c mk∈{b1, b2,…, bD}， 源符号集，序列中 用作信源编码器的 k = 1, 2 , …, n ，n表示码字 每一个符号uml都取 信源编码模型： 编码符号。 长度，简称码长。 自信源符号集。
1 1 1 n 2 2 2 3 4 4 2.75 （码元/符号） 4 8 16
RD
H X n
2.75 1 (比特/码元时间) 2.75
信息论与编码
§3.2 等长码及等长编码定理
一．等长编码定理
考虑对一简单信源S进行等长编码，信源符号集有K个符号，码符号集 含D个符号，码字长度记为n。对信源作等长无差错编码，要得到惟一可译 码，必须满足下式：
扩展信源
信源编码器
信道符号（码符号）集{b1,b2,...bD}
信源符号集{a1,a2,...ak}
原码的N次扩展码是将信源作N次扩展得到的新信源符号序列u（N） =u1 …uN = (u11 u12 … u1L) … (uN1 uN2 … uNL)，对应码符号序列c（N） =c1 …cN = (c11 c12 … c1n) … (cN1 cN2 … cNn) ，记集合C (N) = {c1(N), c2(N), …}，C (N) 即原码C的N次扩展码。
信息论与编码姜丹第三版答案
信息论与编码习题参考答案 第一章单符号离散信源信息论与编码作业是 74页，1.1的(1)(5)，1.3,1.4,1.6,1.13,1.14 还有证明熵函数的 连续性、扩展性、可加性1.1同时掷一对均匀的子，试求：(1) “2和6同时出现”这一事件的自信息量； (2) “两个5同时出现”这一事件的自信息量； (3) 两个点数的各种组合的熵； ⑷两个点数之和的熵；(5) “两个点数中至少有一个是 1”的自信息量。
解：样本空间：N =c ；c ； =6 X6 =36n 12(1) R =—”1(a) =—log R =log18=4.17bitN 36 n 2 1(2) F 2 N =36 I (a) = -log F 2 =log36 =5.17bit (3) 信源空间:2 36 1.H(x)=15 log 6 log 36 = 4.32bit36 2 36(4)log 36+ — l og 36 — log 36 — log 迸36 2 36 3 36 4 log 塑 + — log 36 =3.71bit5 36 6 (5) F 3 =匹 二11. 1(a) - Tog F 3 -log 36 =1.17bit N 36 111.2如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A 和B ，分别以等概落入任一方格内，且它2H(r.卫36们的坐标分别为(Xa，Ya) , (Xb，Yb),但A，B不能同时落入同一方格内。
(1)若仅有质点A，求A落入任一方格的平均信息量；(2)若已知A已落入，求B落入的平均信息量；(3)若A，B是可辨认的，求A，B落入的平均信息量。
解：1(1) 幕A落入任一格的概率:P(a i) I (aj =-log P(aJ = log 484848.H(a) - P(a j)log P(aJ = log 48 =5.58biti 41(2) ；在已知A落入任一格的情况下,B落入任一格的概率是：P(bJ = —47.I(b) - -logP(b i) =log4748.H(b) = -' P(b i)log P(b i) =log47 =5.55biti -11 1(3) AB同时落入某两格的概率是P(ABJ二一一48 47.I(ABJ =-log P(AB i)48 47H(AB」-八P(ABJIog P(ABJ =log(48 47)=11.14biti 二1.3从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。
信息论与编码第三版 第8章
由：c u G 得
信息位
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0
校验位
0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0
由两组码字循环构成的循环码。
信息论与编码
【例】（7，4）循环码： g ( x) 1 x x3 , k 4
g ( x) (1101000) xg ( x) (0110100) x 2 g ( x) (0011010) x3 g ( x) (0001101)
1101000 0110100 G 0011010 0001101
码字： c (c0 , c1 ,, cn 1 ) c( x) c0 c1 x cn 1 x n 1 对于线性分组码C，可以表示成码字多项式构成的集合：
字多项式 码字多项式
C C ( x) c0 c1 x cn1 x n1 (c0 , c1 ,, cn1 ) C
当一个循环码的生成矩阵确定后，其编码规则为：
c u G
1101000 0110100 (1110010) 如：u (1010) c (1010) 0011010 0001101
信息论与编码
三．循环码的系统码
由上述方法作出ห้องสมุดไป่ตู้生成矩阵所编出的码不是系统形式，如何得到系统形 式的循环码？
2 3 n k 1 则： xg ( x) g 0 x g1 x g 2 x g n k x
x 2 g ( x) g 0 x 2 g1 x 3 g 2 x 4 g n k x n k 2 x k 1 g ( x) g 0 x k 1 g1 x k g 2 x k 1 g n k x n 1
信息论与编码第三版教学设计 (2)
信息论与编码第三版教学设计课程教学目标本教学设计旨在通过对信息论与编码课程的讲解，使得学生能够理解信息的本质、量化信息的方法和信息在传输过程中的编码与解码技术。
同时培养学生的问题分析和解决问题的能力，开阔学生的科学思维视野。
课程大纲第一章课程介绍•课程目标和教学要求•课程内容简介•课程参考资料第二章信息的产生、表示和处理•信息的产生与传播•信息的表示与处理•信息量的概念和度量第三章熵、信息源以及离散无记忆信源的信息压缩•熵的定义和计算•信息源和信源模型•布劳德算法、霍夫曼编码和算术编码第四章总结无记忆信源的信息压缩•Fano-编码•信息源整体编码•高斯信源和均匀信源的信息率第五章离散有记忆信源的信息压缩•有记忆信源的熵与马尔可夫模型•上下文相关编码和自适应编码第六章通信系统与信道容量•简单通信系统模型•信道的概念与性质•香农极限与信道容量第七章传输信道上的编码•误差控制编码•矩阵和循环码•卷积码和码间干扰第八章内容完备的编码原理•信息多路传输和信道编码•带宽可接受信道的编码原理•分布式压缩与广播教学方法本课程采用讲授、讨论和实验相结合的教学方式。
每周教师讲授一定的叙述知识，随后进行课堂讨论，让学生探讨问题思路和解决方案。
每学期安排至少4次专题讲座，由特邀嘉宾或学生进行分组报告，向全班分享课程相关的研究和应用案例。
另外，本课程将结合MATLAB等相关软件，进行实验教学。
让学生通过编写相关程序，亲手实践信息编码算法，进一步加深对知识理论的理解和掌握。
评价方式本课程评价方式主要以作业、考试和实验三项为主。
其中，每周布置一定量的作业，要求学生灵活运用所学知识，并有一定程度的创新性。
每学期安排两次闭卷考试，考查学生对知识的掌握情况。
此外，每学期安排至少3个实验项目，旨在让学生学以致用，培养学生的问题解决和创新能力。
结语信息论与编码是计算机科学与电子信息工程领域中非常重要的一门基础课程。
希望通过本教学设计，能够深度挖掘信息论与编码的理论研究，加强学生对科学方法论的认识，培养出具有科学素养和创新意识的优秀人才。
信息论与编码(第三版) 第5章 信源编码技术
然满足
H(X) L 1 H(X)
log d
log d
❖ 费诺码是根据信源的统计特性进行编码的，经常出现的信源 符号分配短码，以减少平均码长，这是一种好的编码方法。
❖ 但是当信源符号较多时，符号的概率之间没有特别明显的差 距，从而使得后续分组时，每个小组的累加概率相差甚大， 并使得平均码长增加，所以费诺码不是最优码。
信息率受到熵的限制，平均码长 不小于熵
香农第1定理
限失真 编码
平均码长受到信息 率失真函数限制
香农第3定理
在平均失真一定条 件下，编码输出码 率不小于平均失真 所对应信息率
➢通过信源扩展，并对扩展信源序列进行编码，可以 有效提高信源编码效率；
➢增加序列的长度，最佳码的平均码长能够逼近信源熵。 ➢香农的信源编码理论只是指出了平均码长的界，即阐 述了存在性问题，没有给出具体的最佳编码方案。
❖ 由于先对概率进行排序，再进行分组，并指定码字，使得第 一次分组后的部分码长能大于第一组某些符号码长，即较小 概率分配较长码字，所以也会导致平均码长增加。
5.1.3哈夫曼码
❖ 哈夫曼提出了一种构造最佳码的方法，编码效率高。 ❖ 其基本思想是：概率大的符号分配短码字，而概率
小的信源符号分配长码字，为此首先为小概率符号 分配码元，分配码元后的符号进行概率合并，然后 按照大小顺序重排概率，并对概率小的符号或者符 号集合分配码元，直到概率合并结束为止。 ❖ 然后逆向搜索参与概率合并时分配的码元符号，形 成对应的码字。对于二元码，其编码步骤如下： ❖ （1）将信源消息符号按其出现的概率大小依次排 列为
❖ (5)从最后一级开始，反向搜索参与编码的符号，得 到各个 信源符号所对应的码元序列，即相应的码 字。
信息论与编码(第三版) 第3章 信道与信道容量
3信息量R必须小于信道容量C，否则传输过程中会造成信 息损失，出现错误；
如果R<C成立端
噪声问题
无 映射(输 噪 入到输出)
条件转移 矩阵
H(Y|X)=0
Y X n
一对一
X：信道输入 Y：信道输出 n：信道噪声
p(bj|ai):后向概率
表示当接收符号为bj时， 信道输入为ai的概率，所 以也称为后验概率
贝叶斯公式
p(ai
| bj)
p(aibj ) p(bj )
p(ai ) p(bj | ai )
r
p(ai ) p(bj | ai )
i1
后验概率都是十分 重要的，可以通过
p(b1 )
p(a1 )
第3章 信道与信道容量
目录
3.1信道分类 3.2 单符号离散信道及其容量
➢ 3.2.1 数学模型 ➢ 3.2.2信道容量 ➢ 3.2.3 离散信道容量的迭代算法
3.3 离散序列信道及其容量 3.4 信源与信道的匹配 3.5 连续信道及其容量
➢ 3.5.1 连续单符号加性信道 ➢ 3.5.2 多维无记忆加性连续信道 ➢ 3.5.3 加性高斯白噪声波形信道
只能进行单方向的通信
也称多端信道，输入端或者 输出端至少有一端具有两个 或者两个以上用户，并且可
以实现双向通信
输入、输出的取值特性
离散信道
也称为数字信道，该类信道中输入空间、输出 空间均为离散事件集合，集合中事件数量是有 限的，或者有限可数的，随机变量取值都是离 散的
连续信道
也称为模拟信道，输入空间、输出空间均为连续事 件集合，集合中事件的数量是无限的、不可数的
信息论与编码(第三版) 第4章 离散信源编码理论-0525
1
1
N log p(x1x2...xN ) N i log p(xi )
-E log p(x) 以概率
H(X)
定义4.1 关于p(x)的典型集合 A( N ) 是序列 (x1x2...xN ) X 的集合，具有下列性质 2N (H ( X ) ) p(x1x2...xN ) 2N (H ( X ) )
)
H(X
)
|
}
1
得到性质2
性质(3) 2 | A | 1 p(X)
p(X)
2N (H ( X ) )
XxN
XA ( N )
XA( N )
N (H ( X ) ) (N )
渐近等同 分割含义
典型序列 定义
相同数据 相加
性质(4) 对于充分大的N p{A (N)} 1
2 | A | 1 p{A(N)}
前
缀
典型序列数量不大于2N(H(X)+ε)
编码：0+序列编号
码
码长 N(H ) 2
非典型序列
编码：1+序列编号
码长： N log | X | 1
这是一种无失 真编码方法
❖ 上述的编码方案具有下列性质：
码与序列之间是一一对应的，第一位是前缀码，表示码的长 度或者类型。
非典型序列采用的是枚举法，尽管没有考虑非典型序列的长
X p(x)
0 p(0)
p
1 p(1) q
主要关心典型序 列，典型序列的 任何特性都是以 大概率成立的， 而且决定了样点
值的主要特性
如果随机变量 X1, X2,..., X N 都服从独立同一分布
那么序列 (x1x2...xN ) 的概率为
信息论与编码姜丹第三版答案精编版
信息论与编码习题参考答案 第一章 单符号离散信源信息论与编码作业是74页，1.1的（1）（5），1.3,1.4,1.6,1.13,1.14还有证明熵函数的连续性、扩展性、可加性1.1同时掷一对均匀的子，试求：(1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量； (2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量； (3)两个点数的各种组合的熵； (4)两个点数之和的熵；(5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。
解：bitP a I N n P bit P a I N n P c c N 17.536log log )(361)2(17.418log log )(362)1(36662221111616==-=∴====-=∴===⨯==样本空间：(3)信源空间：bit x H 32.436log 3616236log 36215)(=⨯⨯+⨯⨯=∴ bitx H 71.3636log 366536log 3610 436log 368336log 366236log 36436log 362)(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=∴＋＋ (5) bit P a I N n P 17.11136log log )(3611333==-=∴==1.2如有6行、8列的棋型方格，若有两个质点A 和B ，分别以等概落入任一方格内，且它们的坐标分别为（Xa ，Ya ）, （Xb ，Yb ）,但A ，B 不能同时落入同一方格内。
（1） 若仅有质点A ，求A 落入任一方格的平均信息量； （2） 若已知A 已落入，求B 落入的平均信息量； （3） 若A ，B 是可辨认的，求A ，B 落入的平均信息量。
解：bita P a P a a P a I a P A i 58.548log )(log )()(H 48log )(log )(481)(:)1(481i i i i i ==-=∴=-=∴=∑=落入任一格的概率bitb P b P b b P b I b P A i 55.547log )(log )()(H 47log )(log )(471)(:B ,)2(481i i i i i ==-=∴=-=∴=∑=落入任一格的概率是落入任一格的情况下在已知 bitAB P AB P AB H AB P AB I AB P AB i i i i i i i 14.11)4748log()(log )()()(log )(471481)()3(47481=⨯=-=-=∴⨯=∑⨯=是同时落入某两格的概率1.3从大量统计资料知道,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.如果你问一位男士：“你是否是红绿色盲？”他的回答可能是：“是”，也可能“不是”。
信息论与编码(第三版) 第7章 信道编码技术
234
0 0 1 234
1 1 2 340
2 2 3 401
3 3 4 012
4 4 0 123
·0 00 10 20 30 40
1 234 0 000 1 234 2 413 3 142 4 321
负元素 负元素每行、每列只有一个
逆元素 逆元素每行、每列只有一个
7.1 线性分组码
❖ 一般说来，有限域是由素数或者素数的幂构 造的。
❖ （0 0 0 0 0 0 0 ），（0 0 0 1 1 0 1 ）， ❖ （0 0 1 1 0 1 0 ），（0 0 1 0 1 1 1 ）， ❖ （0 1 1 0 1 0 0 ），（0 1 1 1 0 0 1 ）， ❖ （0 1 0 1 1 1 0 ），（0 1 0 0 1 1 1 ）， ❖ （1 1 0 1 0 0 0 ），（1 1 0 0 1 0 1 ）， ❖ （1 1 1 0 0 1 0 ），（1 1 1 1 1 1 1 ）， ❖ （1 0 1 1 1 0 0 ），（1 0 1 0 0 0 1 ）， ❖ （1 0 0 0 1 1 0 ） ， （1 0 0 1 0 1 1） ❖ 重量分布为（0，3，3，4，3，4，4，4，3，4，4，7，4，
如果原始码字中有偶数个1，附加比特为0；反之， 附加比特为1。结果是，如果(n,k)码的最小重量或者 最小距离为奇数，附加的校验位增加了一位重量。
我们称该(n+1,k)码为(n,k)码的扩展码，校验矩阵为
其中H是原始 码的校验矩阵
0
0
He
H
0 M
1 1 1 L 1
7.1.1 生成矩阵和校验矩阵
➢ 分组码分为线性和非线性的；
设Ci,Cj是分组码中的两个码字，并令 1,2表示 取值
信息论与编码(第三版) 第6章 信道编码理论
(2,1,2)卷积码编码器
定义6.3两个n重(x，y)之间对应码元取值不同的个数， 称为这两个重之间的汉明距离，记做d(x,y)
定义6.4 n重x非零码元的个数称为汉明重量，简称重 量,用w(x)表示
X:(10101) y:(00111)
w(x)=3 w(y)=3 d(x,y)=2
定义6.5 （n,k）分组码中，任意两个码字x、y之间的 汉明距离的最小值，称为该分组码的最小汉明距离， 简称为最小距离，用d0表示
6.3.1两种译码规则
最大概率译码(MAP) 错误译码的概率最小，也称最小错误概率译码
最大似然译码(MLD)
MAP的简化形式
单个符号传输情况(二元信道)
信道
输入X
0 1 pe
信道 输出Y
0
根据接收符号y来估计 发送符号x是0还是1
计算后验概率p(xi|y)
估值准则
x$ max P(xi | y)
结果是译码错误最 小，所以也称最小
d0
min {d(x,
x, y(n,k )
y)}
计算最小汉明距离方法1 将所有许用码字进行比较，记录每次比较的 汉明距离，最后取汉明距离的最小值即可
总的比较次数为 1 2 3 L 2k 1 (2k 1)2k
2
无论是否 线性分组
码
这种方法 都有效
特点：计算量很 大但是很简洁
❖ 例6.1 （3,2）码共有四个码字，分别为000，011，101， 110，显然d0 =2。 最小汉明距离d0是分组码的重要参数之一，表明 了该分组码抗干扰能力的大小，与码字的检错、 纠在错相能同力的有译关码，规则d0下越，大错，误码译的码抗的干概扰率能越力小越。强，
(4) 纠正t个随机错误, ρ个删除,则要求码的最小距离满足 d0 ≥ ρ +2t+1
第1章绪论-信息论与编码(第3版)-曹雪虹-清华大学出版社
13
信息论对研究实际通信系统的作用
提供一个最为普遍的概念性框架，在该 框架内可以构建实际信源和信道更详细 的模型;
由该理论建立的关系可为给定系统构建 编码器和译码器时进行折衷指明方向。
1.3 通信系统的模型
1.3 通信系统的模型
信源
产生消息的源，消息可以是文字，语言， 图像。可以离散，可以连续。随机发生。
信息、消息、信号
信息：一个抽象的概念。 消息：是信息的载体，相对具体的概念，如语言，文字，
数字，图像
信号：表示消息的物理量，电信号的幅度，频率，相位
等等
所以，消息是信息的数学载体、信号是信息的物 理载体
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
11
例
烽火台
信息：有/无敌情 消息：s(x)=sgn(x) 信号：火光（亮，灭）
of communications”信息时代的里程碑 ✓ 50年代开始，IRE成立信息论组，出版信息论汇刊
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
5
信息论发展简史
1948年，Shannon信息论奠基信息的度量
1952年，Fano证明了Fano不等式，给出了 Shannon信道编码逆定理的证明；1957年， Wolfowitz，1961 Fano，1968Gallager给出信道编 码定理的简单证明并描述了码率、码长和错误概 率的关系；1972年Arimoto和Blahut发明了信道划教材《信息论与编码》 曹雪虹等编著
4
1.1 信息论的形成与发展
信息论的发展过程
✓ 1924年，H Nyquist， 信息率与带宽联系 ✓ 1928年，RV Hartley, 引入非统计信息量 ✓ 1936年，EH Armstrong， 带宽与抗干扰能力 ✓ 1939年，H Dudley, 发明声码器 ✓ 40年代初，N Wiener, “控制论” ✓ 1948年，Shannon, “信息论” “A mathematical theory
教学课件 信息论与编码(第三版)邓家先
消息
信息的表现形 式；
文字，图像， 声音等；
信号
信号的变化描 述消息；
信息的基本特点
1.不确定性
受信者在接收到信息之前，不知道信源发送 的内容是什么，是未知的、不确定性事件；
2.受信者接收到信息后，可以减少或者消除不确定性；
3. 可以产生、消失、存储，还可以进行加工、处理；
4. 可以度量
1.2 通信系统的模型
冗 信源符号 余 变 相关性强 化 统计冗余强
信源编码器
码序列 相关性减弱 统计冗余弱
相关冗余 统计冗余 生理冗余
模型简化
信源输出前后符号之间存在一定相关性
信源输出符号不服从等概率分布
听音乐时，调节不同频率增益
调音
台
人的耳朵对相位引起失真不敏感
人的视觉对幅值失真不特别 敏感，但是对相位引起失真 很敏感
信息论主要立足点
基础：
信息可以度量
研究
通过
有效性
可靠性
目的 提高传输数据中每个码元
信源
携带的信息量，从而提高
编码
数据传输效率。
信道
编码
使系统能够检测、纠正传
输过程中的数据错误。
1.1信息论的形成与发展
信息论研究范围
信息度量
狭
义 信 息
信息特征 信息容量
论
干扰对信息传
递影响
除了狭义信息论内容
之外，还有
Z=Zˆ 并不是总是成立
信息
差错控制编码、译码足够好
无失真编码
符号
限失真失真
编码
Z=Zˆ Z Zˆ
Y=Yˆ 一般总是成立
1.2 通信系统的模型
信源
• 产生消息的来源，可以是文字、语言、图像等；
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8
的倒对数x的i的某不一确函定数性。可表示为先验概率p(xi) （4）自信息
（5）互信息
I (ai )
log
1 P(ai )
先验I 的(ai不;b确j ) 定 l性og减P去(1a尚i ) 存lo的g不p(确a1i定bj性) 。
后发验送概端率发p(的ai是|abi的j)概：率接。收端收到消息bj后而
信宿：信息归宿之意，亦即收信者或用户， 是信息传送的终点或目的地。
信道：传输信息的物理媒介。
13
信源编码器与译码器
信源编码器
通过信源编码可以压缩信源的冗余度,以提高通 信系统传输消息的效率。
信源编码器分为两类
无失真信源编码：适用于离散信源或数字信号；
限失真信源编码：用于连续信源或模拟信号,如 语音、图像等信号的数字处理。
信息论与编码 计算器
简介
是一门应用概率论、随机过程、数理统计和 近代代数的方法，来研究信息传输、提取和处 理中一般规律的学科。
奠基人：美国数学家香农（C.E.Shannon） 1948年“通信的数学理论”
2
简介
信息论的基本问题—信息的度量 无失真信源编码定理—香农第一定理 信道编码定理—香农第二定理 信源编码、信道编码
1）离散信源
特点：输出单符号消息。符号集的取值A:{a1,a2,…,aq} 是有限的或可数的,可用离散型随机变量X描述。
数学模型：设每个信源符号ai出现的(先验)概率p(ai)
(i=1,2,…,q) 满足：
q
p(ai ) 1
i 1
则：
X P(x)
a1 P(a1 )
简史 现代信息论是从20世纪20年代奈奎斯特和哈特莱的工 Nhomakorabea开始的：
1924年奈奎斯特(Nyquist)的 “影响电报速率因 素的确定” 。
1928年哈特莱(Hartley) 的“信息传输” 一文研 究了通信系统传输信息的能力，并给出了信息度 量方法。
17
1946年柯切尔尼柯夫的学位论文“起伏噪声下的潜在抗干 扰理论”，根据最小错误概率准则和最小均方误差准则研 究了离散和连续信道的最佳接收问题。
9
信息的特征
• 信息是物质存在的普遍属性，信息和能量、物质规定了 事物的功能和性能；
• 接收者在收到信息之前，对它的内容是不知道的，所以， 信息是新知识、新内容；它使认识主体对某一事物的未 知性或不确定性减少的有用知识；
• 信息的存在具有普遍性、无限性、动态性、时效性和相 对独立性；
• 信息可以产生，也可以消失，同时信息可以被传递、转 换、扩散、复制、贮存、分割，具有可共享性；
信源编码器的主要指标
是它的编码效率。一般来说，效率越高，编译码 器的代价也将越大。
信源译码器
把信道译码器的输出变换成信宿所需的消息形式，
相当于信源编码器的逆过程。
14
信道编码器与译码器
信道编码 主要作用是提高信息传送的可靠性。
信道编码器的作用 在信源编码器输出的代码组上有目的地增加一些监督 码元,使之具有检错或纠错的能力。
• 信息是可以量度的，信息量有多少的差别。 10
1.2 信息论研究的 对象、目的和内容
11
研究对象：通信系统模型
信源 信源编码
加密 信道编码
加密 密钥
解密 密钥
信道
信宿 信源解码
解密 信道解码
干扰源
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信源、信道、信宿
信源：发送消息的源 离散信源 模拟信源
信源是信息论的主要研究对象之一.我们不探讨信 源的内部结构和机理，而关注信源的输出。重点 讨论其描述方法及性质。
2.1 信源的数学模型及分类
信源 产生消息或消息序列的源。消息携带信息， 是信息的具体形式。
描述方法 通信过程中，信源发出何种消息是不确定 的、是随机的。 因此，信源可用随机变量、随机矢量或随 机过程（或样本空间及其概率测度）来描述。 不同的信源根据其输出消息的不同的随机 性质进行分类。
20
1、随机变量描述的信源（单符号）
信道编码的主要方法 增大码率或频带,即增大所需的信道容量。这恰与信 源编码相反。
信道译码器的作用 具有检错或纠错的功能,它能将落在其检错或纠错范 围内的错传码元检出或纠正,以提高传输消息的可靠 性。
15
1.3 信息论的形成和发展
16
信息论的形成
信息论是在长期的通信工程实践和理论研究 的基础上发展起来的。
a2 P(a2 )
a3 P(a3 )
1948年香农的权威性长文“通信的数学理论”，讨论了信 源和信道特性，1949年香农“噪声中的通信”，两论文奠 定了现代信息论的理论基础。
此后，在基本理论和实际应用方面，信息论都得到了巨大 的发展。
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第2章 离散信源及其信息测度
2.1 信源的数学模型及分类 2.2 离散信源的信息熵 2.3 信息熵的基本性质 2.5 离散无记忆的扩展信源 2.6 离散平稳信源 2.7 马尔可夫信源 2.8 信源剩余度与自然语言的熵
6
香农信息的度量
（1）样本空间 某事物各种可能出现的不同状态。
（2）概率测度 对每一个可能选择的消息指定一个概率。
（3）概率空间
X P(
x)
a1 p(a1
)
a2 p(a2 )
an p(an )
样本空间 概率测度
先验概率p(xi)：
选择符号xi作为消息的概率。 7
3
第1章
绪论
1.1 信息的概念
5
几个常见概念
情报：是人们对于某个特定对象所见、所闻、 所理解而产生的知识。 知识：一种具有普遍和概括性质的高层次的信 息 ，以实践为基础，通过抽象思维，对客观事 物规律性的概括。 消息：用文字、符号、语音、图像等能够被人 们感觉器官所感知的形式，把客观物质运动和 主观思维活动的状态表达出来。
例：气象预报
甲 X 晴 阴 大雨 小雨
p(x)
1/ 2,1/
4,
1/ 8,
1/8
乙 Y 晴 阴 大雨 小雨
p(y) 1/4,1/4, 1/4, 1/4
“甲地晴”比“乙地晴”的不确定性小。
某一事物状态出现的概率越小，其不确定性越大。 某一事物状态出现的概率接近于1,即预料中肯定会 出现的事件，那它的不确定性就接近于零。