第二型曲线积分的分部积分方法

㊀[收稿日期]２０１８Ｇ０３Ｇ１５;㊀[修改日期]２０１８Ｇ０６Ｇ３０
㊀[基金项目]山东科技大学教学团队项目(J X T D ２０１８０５０４);山东科技大学青年教师支持计划项目(B J １６２)㊀[作者简介]董浩宇(１９９７－),男,本科在读,数学专业．E m a i l :d o n g d o n g
９７１１２２＠１６３．c o m ㊀[通讯作者]高德智(１９６３－),男,博士,教授,从事应用泛函分析方面的教学与研究工作．E m a i l :d h h s h h ＠１６３．c o m
第３４卷第５期
大㊀学㊀数㊀学
V o l ．３４,ɴ．５
２０１８年１０月
C O L L E G E MA T H E MA T I C S
O c t ．２０１８
第二型曲线积分的分部积分方法
董浩宇,㊀高德智
(山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛２６６５９０
)㊀㊀[
摘㊀要]利用乘积函数的全微分法,给出了平面和空间中第二型曲线积分的分部积分公式．通过几个实例说明所给的方法在计算曲线积分中是方便有效的．
[关键词]全微分;曲线积分;分部积分
[中图分类号]O １７３．１㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０５Ｇ０１１４Ｇ０４
１㊀引㊀㊀言
微积分方法由于有其深刻的实际背景和系统的计算公式,因而在实际中得到非常广泛的应用[１－３
]．
计算定积分的值是微积分的一个重要内容,对于定积分,一般可以通过求原函数利用牛顿－莱布尼茨公式得到．多重积分和曲线曲面积分可以通过累次积分和参数方程形式化为定积分逐步求出．因此,定积分的计算是最基本和最重要的内容．然而,有些看似很简单的函数要直接求出原函数有一定的难度,有时可以借助分部积分方法进行一些转换,使得求积分变得简单易行．例如,ʏl n x d x ,ʏ
a r c t a n x d x 等
等[４]．
然而,这个重要的方法在多元函数积分和线积分中还没有被提到,这样在计算多元积分时就少了一些选项．
由于第二型曲线积分与定积分有一定的关系,如果知道积分路径,并且路径能用参数方程表示,就
可以化为定积分;或者积分与路径无关时,也可以有很好的积分方法．文[５]利用线积分的某些对称性可以在特殊情形下简化计算过程,文[６]利用换元法讨论了曲线积分的计算问题．本文试图把分部积分法应用在第二型曲线积分上,以此拓展积分计算的范围,并通过几个例子说明本文所给的方法在某些问题中是非常方便的．
２㊀第二型曲线积分的分部积分公式
先考虑二元函数情形．
假设u (x ,y )和v (x ,y )是两个可微的二元函数,由全微分公式知:d [u (x ,y )v (x ,y )]＝v (x ,y )d u (x ,y )＋u (x ,y )d v (x ,y )
．另一方面,对于第二型曲线积分
ʏ
A B
︵p (x ,y )d x ＋q (x ,y )d y ,如果被积表达式满足d u (x ,y )＝p (x ,y )d x ＋q (x ,y )d y ,
则有
ʏ
A B
︵p (x ,y )d x ＋q (x ,y )d y ＝u (x ,y )B
A ．该公式类似于定积分中的牛顿－莱布尼兹公式,说明曲线积分与路径无关．结合上面的两点讨论,给出曲线积分的分部积分公式:
ʏ
A B ︵u (x ,y )d v (x ,y )＝u (x ,y )v (x ,y )B A －ʏ
A B
︵v (x ,y )d u (x ,y )．该公式左侧如果不易计算,则经过转化,右侧的第一部分容易计算出值,第二部分如果容易计算,那么通过上述公式就能计算出曲线线积分．
对于三维空间情形也有类似公式
ʏ
A B ︵u (x ,y ,z )d v (x ,y ,z )＝u (x ,y ,z )v (x ,y ,z )B A －ʏ
A B
︵v (x ,y ,z )d u (x ,y ,z )．３㊀应用举例
为了说明本文所给的公式在计算线积分时的方便和有效性,举几个应用实例．例１㊀求曲线积分ʏ
A B ︵y l n y d x ＋(x l n y －x )d y ,其中积分路径沿圆周(x －５２
)
２
＋(
y －
５
２
)
２
＝
１２
从A (２,２)逆时针到B (３,３)．
解㊀容易得到
㊀ʏ
A B ︵y l n y d x ＋(x l n y －x )d y ＝ʏ
A B ︵l n ２y l n y d (x y )－x y d (l n y )l n ２
y æèçöø÷＝ʏ
A B ︵l n ２y d x y l n y æèçöø
÷＝x y l n y B
A －２ʏ
A B ︵x d y ＝９l n ３－４l n ２－２ʏ
A B
︵x d y ．
对于积分
ʏ
A B ︵x d y ,用圆的参数方程:x ＝５２＋１２c o s θ,y ＝５２＋１２s i n θ,其中θ从－３４π变化到１４
π,则ʏ
A B
︵x d y ＝１２
ʏπ４
－３π
４
(５２＋１２c o s θ)c o s θd θ＝５２＋１４
π,
所以
ʏ
A B ︵y l n y d x ＋(x l n y －x )d y ＝９l n ３－４l n ２－５－１２
π．对于本题,用线积分的分部积分方法非常方便．当直接利用参数方程把例１中的线积分化为定积分
时,则有
㊀㊀ʏ
A B ︵y l n y d x ＋(x l n y －x )d y
㊀＝
ʏ
π４
－３π４－１２５２＋１２s i n θæèçöø÷l n (５２＋１２s i n θ)
s i n θ＋１２５２＋１２c o s θæè
çöø÷l n (
５２＋１２s i n θ)
－１æèçöø÷c o s θéëêêùûúúd θ．此至少从形式上来说就非常复杂,因此本文所给的方法对该问题的计算有一定的优越性．事实上此积分也可以通过添加一条连接A 到B 的线段利用格林公式间接地计算,具体如下:
ʏA B
︵y l n y d x ＋(x l n y －x )d y ＝∬D
(－２)d x d y ＋ʏA B
ңy l
n y d x ＋(x l n y －x )d y ．其中,D 为半圆形区域．直线A B ң用方程y ＝x 表示,x 从２到３作积分也能得到相同的结果．
事实上,不论是本文提供的方法还是用参数方程计算的方法,都是要把曲线积分化为定积分计算．只不过本文的方法相当于先化简再化为用定积分计算,而参数方程方法类似于先化为定积分,再通过简化计算．一般而言,只要方法得当,两种方法都可以．下面我们再给一例说明两种方法在某些情形下计算都比较方便．
５
１１第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀董浩宇,等:第二型曲线积分的分部积分方法
例２㊀求曲线积分ʏ
A B ︵l n y d x －x y
d y ,其中积分路径沿曲线y ＝x 从A (４,２)到B (９,３)．解㊀由于
ʏ
A B ︵l n y d x －x y d y ＝ʏ
A B ︵l n ２y l n y d x －x y d y l n ２
y
æ
èççöø÷÷＝ʏ
A B ︵l n ２y d x l n y æèçöø÷
＝x l n y B
A －２ʏ
A B ︵x y d y ＝９l n ３－４l n ２－２ʏ
A B ︵x y
d y ,
对于积分
ʏ
A B ︵x y
d y ,可把y 当做参数化为定积分,其中y 从２变化到３,则９l n ３－４l n ２－２ʏA B ︵x
y d y ＝９l n ３－４l n ２－２ʏ
３
２
y d y ＝９
l n ３－４l n ２－５．对上面的积分如果直接用所给的参数方程化为定积分计算,则化为形如:
㊀ʏA B ︵l n y d x －x
y
d y ＝
ʏ
３２
２y l n y －y ()d y ＝２ʏ
３２
y l n y d y －ʏ
３
２
y d y ㊀
＝(y ２
l n y －１２y ２
)３２
－１２
y
２
３２
＝９
l n ３－４l n ２－５．例３㊀求曲线积分
ʏ
A B
︵l n (x ２＋y ２＋z ２
＋１)x d x ＋y d y ＋z d z [],其中积分路径为中心在原点的椭球面x ２１＋y ２２＋z ２
３＝１上从A (１,０,０
)沿短程线[４
]较短的一段到B (
０,２２,２２
)
．解㊀利用上面的线积分分部积分公式,可得
㊀㊀㊀ʏ
A B
︵l n (x ２＋y ２＋z ２
＋１)[x d x ＋y d y ＋z d z ]㊀㊀＝１２ʏA B
︵l n (x ２＋y ２＋z ２＋１)d (x ２＋y ２＋z ２
＋１)㊀㊀＝１２l n (x ２＋y ２＋z ２＋１)(x ２＋y ２＋z ２
＋１)|B
A
－１２ʏA B ︵(x ２＋y ２＋z ２＋１)d (l n (x ２＋y ２＋z ２
＋１))㊀㊀＝９４l n ３－１３４l n ２－ʏA B
︵(x ２＋y ２＋z ２
＋１)１x ２＋y ２
＋
z ２
＋１(x d x ＋y d y ＋
z d z )㊀㊀＝９４l n ３－１３
４
l n ２－ʏA B
︵(x d x ＋y d y ＋
z d z )㊀㊀＝９４l n ３－１３４l n ２－１２(x ２＋y ２＋
z ２)|B
A ＝９４l n ３－１３４l n ２－１８．此题如果直接利用曲线的参数式计算,需要利用微分几何知识先求测地线,这相当困难,再取其参数式,计算量很大,不如本文给出的方法简单．
从所举的例子可以感受到,适当地应用曲线积分的分部积分公式,对有些问题可以大大地简化计算步骤,主要原因是把问题中的一部分积分简化或转化为与路径无关的积分．因此,本文提出的曲线积分分部积分公式很有意义．理论上第一型曲线积分㊁二重积分㊁曲面积分都可以转化为第二型曲线积分,对于具体的问题可以尝试利用本文给出的方法来计算,但是实际操作具有很大的难度．
[参㊀考㊀文㊀献]
[１]㊀金玲玉,房少梅,刘文琰．数学分析教学改革的几点认识和体会[J ]．大学数学,２０１２,２８(４):２５－３０．[２]㊀傅苇．高等数学教学方法的探索与实践[J ]．大学数学,２００７,２３(６):６－１０．[３]㊀冯伟杰,贺欧阳．第一类曲面积分的新方法[J ]．大学数学,２０１７,３３(６):５５－５８．[４]㊀华东师范大学数学系．数学分析(下)[M ]．４版．北京:高等教育出版社,２０１３．[５]㊀张辉,赵伟舟,李应岐,景慧．第二类曲线积分的对称性[J ]．高等数学研究,２０１３,１６(４):１０９－１１０．
[６]㊀宁荣健,彭凯军．曲线积分的换元法[J ]．大学数学,２０１６,３２(４):６２－６７．
６
１１大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３４卷
T h eF o r m u l a s o f I n t e g r a t i o nb y P a r t s f o r t h e S e c o n dT y p eC u r v e I n t e g
r a l D O N G H a o Ｇy
u ,㊀G A OD e Ｇz h i (S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dS y s t e m s ,S h a n d o n g U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,Q i n g d a oS h a n d o n g ２６６５９０,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g t h em e t h o do f d i f f e r e n t i a l p r o d u c t o f f u n c t i o n s ,t h e f o r m u l a so f i n t e g r a t i o nb yp
a r t s
b e g i v e n f o r t h e s e
c o n
d t y p ec u r v
e i n t e g r a lo
f p l a n ea n ds p a c e ．S e v e r a le x a m p l e ss h o wt h a t t h e
g i v e na p p r o a c hi sc o n v e n i e n ta n d e f f e c t i v e o n c a l c u l a t i n g c u r v e i n t e g
r a l ．K e y w
o r d s :t o t a l d i f f e r e n t i a l ;c u r v e i n t e g r a l ;i n t e g r a t i o nb yp a r t s ７
１１第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀董浩宇,等:第二型曲线积分的分部积分方法。