网格中的勾股定理

网格中的勾股定理

正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是应用勾股定理来进行计算。

例1、如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是（ ）

A 、3：4

B 、 9：16

C 、5：8

D 、1：2

分析：可以设每一个小正方形的边长为1，则正方形ABCD 的面积就是4×4=16，小正方形的边长应该是直角三角形DEF 的斜边，另外两条直角边长度分别是1和3，根据勾股定

理可以求出EF=10，所以小正方形的面积就是2

)10(=10。所以阴影部分的面积与正方形

ABCD 的面积比是10：16=5：8。所以选择C

例2、如图2所示为一个6×6的网格，在△ABC、△A’B’C’、△A’’B’’C’’三个三角形中，直角三角形有（ ）

A 、3个

B 、2个

C 、1个

D 以上都不对

分析：要想判断是否为直角三角形，本题中可以根据勾股定理的逆定理来进行判断，前提条件是先求出三角形的三边的平方。同样可以设每一个小正方形的边长为1，在直角三角形ABC 中，AB 2

=10，BC 2

=5，CA 2

=5，因为，BC 2

＋CA 2

=AB 2

，所以该三角形是直角三角形。同理可以求出，A’B’2

=10，B’C’2

=5，C’A’2

=13，因为A’B’2

＋B’C’2

≠C’A’2

，所以该三角形不是直角三角形，同理可以判断△A’’B’’C’’是直角三角形。所以选择B 。

例3、如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求

122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．

F E

图1

C''

B''

A''

C'

B'

A'

B

C

A 图2

1A

2A

3A 4A

5A 5E

2E

1

1 1 1 4C

3C 2C

图3

解：连结32A E ．

32122222A A A A A E A E ==，，

32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．

322122A E A A E A ∴∠=∠．

由勾股定理，得

4532C E C E ===

，4532A E A E ===，

44332A C A C ==，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）． 323454A E C A E C ∴∠=∠．

122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．

由图可知224E C C △为等腰直角三角形．

22445A E C ∴∠=．即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．

例4、阅读下列材料：

正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形． 数学老师给小明同学出了一道题目：在图正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△ABC ，使5==AC AB ，2=BC ；

小明同学的做法是：由勾股定理，得51222=+==AC AB ，21122=+=BC ，于是画出线段AB 、AC 、BC ，从而画出格点△ABC ．

（1）请你参考小明同学的做法，在图23－2正方形网格（每个小正方形边长为1）中画出格点△C B A '''（A '点位置如图所示），使B A ''＝C A ''＝5，10=''C B ．（直接画出图形，不写过程）；

（2）观察△ABC 与△C B A '''的形状．．，猜想∠BAC 与∠C A B '''有怎样的数量关系。（不要求证明）

C

B

A

解：（1）正确画出△C B A '''（画出其中一种情形即可） （2）猜想：∠BAC ＝∠C A B '''

【参考】证明：∵

55

=

''=''C A AC B A AB ，5510

2==''C B BC ； ∴

C B BC

C A AC B A AB '

'=

''=''， ∴△ABC ∽ △C B A '''， ∴∠BAC ＝∠C A B '''

'