金属丝杨氏弹性模量的测定

金属丝杨氏弹性模量的测定

本实验是根据胡克定律测定固体材料的一个力学常量——杨氏弹性模量。实验中采用光杠杆放大原理测量金属丝的微小伸长量，并用不同准确度的测长仪器测量不同的长度量；在数据处理中运用了两种基本而常用的方法——逐差法和作图法。

[一]. 实验目的

1．掌握不同长度测量器具的选择和使用，掌握光杠杆测微原理和调节。 2．学习误差分析和误差均分原理思想。

3．学习使用逐差法处理数据及最终测量结果的表达。 4．测定钢丝的杨氏弹性模量E 值。

[二]. 实验原理

固体材料在外力作用下产生各部分间相对位置的变化，称之为形变。如果外力较

小时，一旦外力停止作用，形变将随之消失，这种形变称为弹性形变；如果外力足够大，当停止作用时，形变却不能完全消失，这叫剩余形变。当剩余形变开始出现时，就表明材料达到了弹性限度。

在许多种不同的形变中，伸长(或缩短)形变是最简单、最普遍的形变之一。本实验是针对连续、均匀、各向同性的材料做成的丝，进行拉伸试验。设细丝的原长为l ，横截面积为A ，在外加力P 的作用下，伸长了l ∆的长度，单位长度的伸长量l l /∆称为应变，单位横截面所受的力则称为应力。根据虎克定律，在弹性限度内，应变与应力成正比关系，即

l

l

E A P ∆= (1) 式中比例常数E 称为杨氏弹性模量，它仅与材料性质有关。若实验测出在外加力P 作用下细丝的伸长量l ∆，则就能算出钢丝的杨氏弹性模量E ：

l

A l P E ⋅∆⋅=

工程中E 的常用单位为(N/m 2

)或(Pa)。

几种常用材料的杨氏模量E 值见下表：

应当指出，(1)式只适合于材料弹性形变的情况。如果超出弹性限度，应变与应力的关系将是非线性的。右图表示合金钢和硬铝等材料的应力-应变曲线。

为了测定杨氏弹性模量值，在(2)式中的P 、l 和A 都比较容易测定，而长度微小变化量l 则很难用通常测长仪器准确地度量。本实验将采用光杠杆放大法 进行精确测量。

[三]. 实验装置

实验装置原理如右图所示。

被测钢丝的上端被夹头夹住(或螺丝顶住)，悬挂于支架顶部A 点。下端被圆柱体B 的夹头夹住。圆柱体能在支架中部的平台C 的一个圆孔中自由上下移动，圆柱体下端悬有砝码盘P 。支架底座上有三个螺丝用来调节支架铅直。

光杠镜如右图所示，它由一平面反射镜M 和T 字形支座构成。支座的刀口放在平台C 的凹槽内，后脚尖认放在圆柱体B 的上端面

上。当钢丝伸缩时，圆柱体B 则随之降升，光杠镜将绕沿O 1O 2的轴线转动。

望远镜G 及标尺H 与光杠镜彼此相对放置(相距1m 以上)，从望远镜中可以看到标尺经反射镜反射所成的标尺像，望远镜中水平叉丝对准标尺像的某一刻度线进行读数。

下面介绍如何利用光杠杆测量微小长度的变化。光杠杆是由光杠镜、望远镜和标尺组成，它有很高的测量灵敏度。

右图是表示一机械杠杆ab ，支点

为o 。oa 为短臂，ob 为长臂。令短臂的末端下降一很小距离aa ′，则长臂末端将上升一显著距离bb ′、两距离之比等于两臂长之比，即

ob

oa

b b a a =

'' 或 b b ob

oa

a a '=' (3)

所以aa ′微小位移量将被放大ob/oa 倍。如果长臂用光线代替(称之光臂)，如右图所示，我们称它为光杠杆。假定开始时光杠镜镜面法线刚好是水平线，此时从望远镜中观测到标尺朗读数为S 1；当钢丝伸长l ∆之后，镜面转动了一微小的角度θ，镜面法线也跟着转过θ角，这时从标尺S 2处发出的光线经镜面反射后进入望远镜，因而从望远镜中观测到的读数变为S 2。由图可知，光线S 1和S 2的夹角为2θ，由于θ很小，

故有

S D

b S S D b l ∆=-=

∆2)(212 (4)

(4)式中，b 为光杠镜T 形的后脚尖O3到

O1O2线的垂直距离（如右图），而D 为镜面到标尺的距离。

l ∆——短臂末端的微小位移，b ——短臂

长，D 2——长臂(光臂)长，12S S S -=∆——光臂末端的位移。

测量出12S S S -=∆、b 和D ．再利用(4)式求得物体的伸长或缩短l ∆。由于光臂长度较长，S ∆就较显著，所以利用光杠杆来显示微小位移的灵敏度效高。比如b

＝5cm ．2D=200cm ，则l S ∆∆/＝200：5＝40：1，于是利用兴杠杆可将微小位移

扩大40倍，故有光放大法之称。

现将(4)式代入(2)式，并利用2

4

1πρ=

A (ρ为钢丝的直径)，则得 E =

S

b P

D L ∆2

8ρπ (5)

此式即为利用光杠杆原理测定杨氏模量的关系式。

[四]. 实验内容

1. 仪器的认识和调整

(1) 调节杨氏模量仪支架成铅直 (2) 调节光杠镜和望远镜：

粗调：先调节理远镜的高度,使之与光杠镜等高，并调节光杠镜的镜面垂直于C 平台面。移动望远镜。使标尺与经远镜几乎对称地分居反射镜的法线两侧。然后利用望远镜上面的瞄准器，使望远镜对准反射镜(类似于枪瞄准靶)，调节镜面使通过镜筒上方应能从反射镜上看到标尺像。

细调：从望远镜内观察、旋转目镜直至看清叉丝。然后调节镜简中部的凋焦

螺旋。以改变组合物镜的焦距达到清晰地看到标尺像。仔细调节目镜和调焦螺旋，使标尺像与叉丝共面，此刻若眼睛略微上下移动，标尺像与叉丝没有相对移动，这叫消视差。升降标尺高度，今标尺像的零刻线与望远镜叉丝的水平丝几乎重合。

2. 实验现象的观察和数据测量

(1) 在正式测量之前，必需先观察实验基本现象和可能产生误差来源。例

如．加荷重时钢丝伸长是否线性变化；加砝码时轻放或重放对测量有何差别；砝码盘摆动对读数影响情况；加砝码与减砧码两者读数重复酌情况；手按桌子对读数有何影响等等，从而掌握实验正确操作方法和练习操作技能。

(2) 测量钢丝在不同荷重下的伸长变化：先在祛码盘上放1—2kg 砝码，用以

拉直钢丝。作为荷重为零，然后逐次增加1kg 砝码，同时记下相应的标尺保读数，共七次。再将所加的七个砝码依次取下，并记下相应的标尺像读数。测量中应随时注意判断数据的可靠性、以便及时发现问题，予以改正。

(3) 根据误差均分思想(应选择适当的测量仪器，使得各直接测量的误差分量

对间接测量的最终结果的误差的影响大致相同)，合理选择并正确使用不同测长仪器(皮尺、米尺、游标尺和螺旋测微计)来测量光杠镜至标尺的距离D 、钢丝的长度l 和直径ρ以及光杠镜后脚尖至O 1O 2的垂直距离

b (为了方便起见，可将光杠镜底脚印在纸上加以测量)。例如，从(5)式

导出E 的最大相对误差公式：

E

E ∆=S S b b D D L L ∆∆∆+∆+∆+∆+∆)

(2ρρ 其中，ρ最小，约为0.5mm ，使用以上仪器中最精密的螺旋测微计测量，仪器误差为0.005mm ，所以，测量ρ引入的相对误差约为ρ

ρ

∆2

=2%。D