2.2_线性微分方程(积分因子法)

例4 求方程
的通解.
dy y x dx 2 x 2 y
2
2 令 z y , 代入方程得 解: 这是Bernoulli 方程, n 1, dz 1 z x2 dx x
解以上线性方程得
z e

2
1 dx x
( x e
2


1 dx x
1 3 dx c) cx 2 x
( (4 x 1)e
2
2
3 dx x
dx c)
1 x ( (4 x 1) 3 dx c) x
3
1 x (4 ln x 2 c) 2x x 3 4 x ln x cx3 2 3 将初始条件 y(1) 1代入后得 c 2
3
1 x ( (4 x 1) 3 dx c) x
3 2
故所给初值问题的解为
3 4
3 3 x y x ln x x 2 2
初值问题
dy P( x) y Q( x) dx
(1)
y( x0 ) y0
的解为：
y y0e

x0
x
P ( s ) ds

x
x0
P ( t ) dt x Q( s )e ds (3)
s
二 伯努利( Bernoulli )方程
dy n x n y e ( x 1) dx x 1
n dx x 1
p ( x ) dx 积分因子为 e e
Baidu Nhomakorabea ( x 1)
n
故通解为
y ( x 1)n (ex c), c为任意常数
dy y 例2 求方程 2 通解. dx 2 x y
解: 原方程不是未知函数 y的线性方程 ，但将它改写为
ye
p ( x ) dx
p ( x ) dx ( Q( x)e dx c)
(3)
注: (i) 求(1)的通解可直接用公式(3) (ii) 课本用的是常数变易法，方程整理的形式不同
例1 求方程
dy ( x 1) ny e x ( x 1) n 1 dx
的通解,这里n为常数 解: 将方程改写为
若Q( x) 0, 则(1)称为非齐次线性方程。
一阶线性微分方程的一般形式为 dy a ( x ) b( x ) y c ( x ) dx
一 一阶线性微分方程的解法-----积分因子法
dy P( x) y Q( x) dx (1)
求解思想：方程两边乘一个函数，使得左边变成 一个函数的导数
dx 2 x y 2 dy y
即
dx 2 x y dy y
p ( y ) dy ( Q( y)e dy c)

它是以x为未知函数 , y为自变量的线性方程 ，
x e 故其通解为
e
p ( y ) dy
2 dy y
( ( y )e

2 dy y
dy c)
§2.2 线性微分方程与积分因子法
在a( x) 0的区间上可写成 dy P( x) y Q( x) (1) 标准形式 dx 这里假设P( x),Q( x)在考虑的区间上是 x的连续函数 若Q( x) 0, 则(1)变为
dy P( x) y 0 (2) 齐次线性方程 dx
y ( ln y c), c为任意常数.
2
此外， y=0 也是解
例3 求初值问题 dy 3 y 4 x 2 1, dx x
的解. 解: 先求原方程的通解
y (1) 1
ye
p ( x ) dx
p ( x ) dx ( Q( x)e dx c)
e
3 dx x
2
将z y 代入得所给方程的通解 为:
1 3 y cx x 2
作业
P49 1(2),(4),(12),(15),(16) 2, 5
形如
dy p( x) y Q( x) y n dx
0
n 0,1是常数
。 的方程,称为伯努利方程. 这里P( x),Q( x)为x的连续函数
解法:
1
引入变量变换 zy
1n
, 方程变为
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) dx 20 求以上线性方程的通解
3
0
变量还原
dy y 2 6 xy 的通解. 例3 求方程 dx x
解 这是 n 2 时的伯努利微分方程。令 z y 1
x 6 x8 代回原来的变量，得到方程的通解为 y 8 c
此外，方程还有解 y 0
dz 2 dy y 得 dx dx dz 6 zx 代入原方程得到 dx x c x2 求得它的通解为 z 6 x 8