随机事件样本空间及事件关系
1-2节 样本空间和随机事件
A ( B C ) ( A B) ( A C ),
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
(对偶律)
A A,
i 1 i i 1 i
样本空间的元素由试验的目的所确定.
二、随机事件
随机事件 在一次试验中可能发生也可能不发
生的结果称为随机事件, 简称事件.事件常用A、
B、C表示. 随机事件是由样本空间的某些样本点构成的. 例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 试验中,骰子“出现1点”, “出现2点”, … ,“出现6 点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
空集 和样本空间S都是样本空间S的子集, 在每次试验中 必不发生,称 为不可能事件; S 必发生,称 S为必然事件. 为叙述方便,把不可能事件和必然事件都包括 在随机事件中.
三、事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B, Ak (k 1,2,) 是 S 的子集.
个事件,称此事件为事件 A与事件B的积事
件. 记作 A I B或AB 显然 A I B {e | e A且e B}.
A AB
B
S
图示:事件A与B 的积事件.
积事件具有如下性质：
(1)若A B, 则A B A; B A, 则A B B.
(2) A B A; A B B.
3. 和事件
“事件 A与事件B至少有一个发生”也是 一 个事件, 称此事件为事件 A 与事件B的和事件. 记作A B，显然A B {e | e A或e B}.
B A
S
样本空间、随机事件ppt课件
2. 几点说明
（1）当且仅当集合A中的一个样本点出现时,称 事件A发生. 如在间为 : S 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
B发生当且仅当
B中的样本点1,
S { HHH ,HHT ,HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 S { 0 , 1 , 2 , 3 } .
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现
象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以
概括许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间
“骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥. A
B
S
6. 事件 A 与 B 的差 由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
S { H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的 模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模
型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的
模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件的概念
1. 基本概念
随机事件 随机试验 E 的样本空间 S 的子集称 为 E 的随机事件, 简称事件.通常以 大写英文字母 A, B, C, 来表示事件。 实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A ,B ,A ( k k
A
B
S
2. A等于B
若事件 A 包含事件 B， 而且事件
B 包含事件 A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作
随机事件与样本空间
随机事件与样本空间“随机事件”和“概率”是概率论中最基本的两个概念，“独立性”和“条件概率”是概率论中特有的概念。
一、随机事件的关系与运算[1]样本空间：由一个特定的随机试验所有可能发生的基本结果构成的一个集合，成为该实验的“样本空间”，以大写字母Ω表示；试验的每一个可能发生的基本结果称为“样本点”，用小写字母ω表示。
由Ω的一个样本点组成的单点集合称为“基本事件”；Ω的一个子集称为一个“随机事件”。
样本空间Ω和空集∅为两个特殊的子集，分别称为“必然事件”和“不可能事件”。
[2]事件的关系运算：[3] 事件的运算法则：❶A ∅⊂⊂Ω❷A B A A B ⋃⊃⊃- A A B ⊃ ❸A A ⋃∅= A ⋂∅=∅ ❹A A ⋃=Ω A A ⋂=∅ ❺A A == -Ω=∅-∅=Ω❻A A A ⋃= A A A = ()A B A A B A -⋃=⋃≠ ❼如果A B ⊃,则A B A ⋃=,A B B ⋂= ❽满足交换律：A B B A ⋃=⋃,AB BA =❾满足结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C= ❶⓿满足分配率：()A B C AB AC ⋃=⋃ ()()()A BC A B B C ⋃=⋃⋃ ❶❶= =二、随机事件的概率：[1]古典概型：设随机事件的样本空间Ω包含有有限个样本点（此模型称为古典概型），则事件A 发生的概率为： #()#A P A E n==Ω有利于事件A 的样本点数m实验的样本空间所含的样本点数 [2]几何定义： 设Ω是n R （n=1、2、3）中任何一个可度量的区域，从Ω中随机的选择一点，即Ω中任何一点都有相同的机会被选到，则相应的随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A 是Ω中任何一个可度量的子集，则：()()()A P A μμ=Ω 此式定义的概率称为几何概率，符合上述假定模型的称为几何概型。
[3]统计定义：对一特定的实验，进行多次重复试验，实验的某一结果A ，即随机试验A ，在大量的重复试验中出现的频率的稳定值p 称为A 的概率。
1.2 样本空间、随机事件
S
A=B，则称事件 相等。 若 A ⊂ B 且 B ⊃ A ，即 A=B，则称事件 A 与事件 B 相等。
2°事件 A U B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }称为事件 A 与 B 的 ° 中至少有一个发生。 和事件，它指的是事件 A 与事件 B 中至少有一个发生。 事件，它指的是事件
如何来研究随机现象? 如何来研究随机现象 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机现象是通过随机试验来研究的！ 随机试验来研究的 研究方法？数学方法？ 研究方法？数学方法？ 将E的结果数量化！---用集合：S={e}，A，B… 的结果数量化！---用集合：S={e}， 用集合 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数） 引进（随机）变量、函数（概率、分布函数）… 概率论研究的主线？ 概率论研究的主线？ 1、事件表示：---利用事件间关系、运算表示较复 事件表示：---利用事件间关系、 利用事件间关系 杂事件… 杂事件 计算事件的概率：----利用概率的定义 性质、 利用概率的定义、 2、计算事件的概率：----利用概率的定义、性质、 概率运算公式… 概率运算公式
2. 几点说明
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 基本事件
S 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生，称为 作为自己的一个子集，在每次试验中必然发生， 必然发生 必然事件; 必然事件; 空集∅ 作为 S 的一个子集，在每次试验中都不会发生，称 的一个子集，在每次试验中都不会发生， 都不会发生 为不可能事件 不可能事件. 事件
子集
事件间关系。。。 随机事件→事件间关系。。。 事件间关系
集合→ 集合→集合间关系运算
定义于集合的函数： 定义于集合的函数：函数
随机事件与样本空间的关系
随机事件与样本空间的关系在概率论中，随机事件与样本空间是密不可分的概念。
理解二者之间的关系对于概率计算和推理至关重要。
本文将介绍随机事件和样本空间的定义、关系以及在概率计算中的应用。
一、随机事件的概念随机事件是指在一次特定的试验中可能发生或不发生的现象。
它是样本空间中的一个子集。
例如，掷一枚硬币，其试验结果可以是正面朝上（事件A）或反面朝上（事件B）。
在这个例子中，事件A和事件B分别是试验的两个随机事件。
二、样本空间的定义样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
它包含了实验中的每一个可能结果。
以掷一枚硬币为例，样本空间为{正面，反面}。
样本空间可以有有限个元素，也可以是一个无穷集合。
三、随机事件与样本空间的关系随机事件是样本空间的子集。
它们之间的关系可以用包含关系来描述。
具体而言，一个事件A发生意味着试验的结果属于A所对应的样本点集合。
相反，如果试验结果属于事件A，那么事件A就发生了。
四、概率计算中的应用概率计算是研究随机事件发生可能性的重要方法。
随机事件和样本空间的关系在概率计算中起着关键作用。
1. 计算概率概率可以通过事件发生的样本点数量与样本空间中样本点总数的比值来计算。
例如，假设在掷一枚硬币的试验中，事件A表示正面朝上，那么事件A发生的概率为P(A) = |A| / |样本空间|，其中|A|表示事件A中的样本点数量，|样本空间|表示样本空间中的样本点数量。
2. 事件间的运算根据随机事件和样本空间的关系，可以进行并、交、差等运算。
例如，事件A和事件B的并集为A∪B，表示A和B中至少有一个发生的样本点的集合。
交集为A∩B，表示A和B同时发生的样本点的集合。
差集为A-B，表示A发生而B不发生的样本点的集合。
3. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率计算中，样本空间会根据已知事件的发生而被限制在一个子集中，从而影响概率的计算。
例如，已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率可以表示为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
概率论 样本空间、随机事件
S4 ={1,2,3,4,5,6}； S5 ={0,1,2…}； S6 ={t | t≥0} t为灯泡寿命； S7 ={(x,y)|T0≤x≤y≤T1},这里x表示最低温度，y 表示最高温度，并设这一地区的温度不会小 于T0，也不会大于T1。 S8 ={(x,y)|x2+y2≤100}, 注意：样本空间的元素是由试验的目的所确 定的。例如，在E2和E3种同是将一枚硬币连 抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空 间也不一样。
反之，当且仅当“接点a未闭合”与“接点 b、c都未闭合”二事件中至少有一事件发 生时，指示灯不亮；所以有
．
这个等式也可以由等式 D= A（B∪C） 利用De Morgan对偶律得到．事实上，我 们有
例7 设A，B，C，D是四个事件，用A，B，C， D的运算关系表示下列事件。 （1）A1：“A，B，C，D中仅有A发生” （2）A2：“A，B，C，D中恰有一个发生” （3）A3：“A，B，C，D中至少有一个发生” （4）A4：“A，B，C，D中至少有两个发生” （5）A5：“A，B，C，D中至多有一个发生” （6）A6：“A，B，C，D中至多有两个发生” （7）A7：“A，B，C，D都不发生” （8）A8：“A，B，C，D不都发生” （9）A9：“A，B，C，D中至多一个发生，但D 不发生” （10）A10：“A，B，C，D中至多一个不发生”
7. 事件的对立
AB , A B
— A 与B 互相对立 A 每次试验 A、 B中 有且只有一个发生 称B 为A的对立事件 (or 逆事件)， 记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
B A
运算律
事件 运算 对应 集合 运算
吸收律
学案1：5.3.1 样本空间与事件
5.3.1样本空间与事件【自主预习】知识点1样本点与样本空间1．样本点的定义：随机试验中每一种可能出现的结果，称为样本点．2．样本空间的定义：把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母表示)．[微体验]1．某射击运动员射击靶一次，观察射中的环数，则试验的样本空间为()A．Ω＝{10}B．Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}C．Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}D．Ω＝{7,8,9}2．某人将一枚硬币连续抛掷了6次，观察正面朝上的次数，则样本空间为() A．{3}B．{1,2,3,4,5,6}C．{0,1,2,3,4,5,6} D．{2,3,4}知识点2随机事件1. 随机事件：如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集，而且：若试验的结果是A中的元素，则称A发生(或出现等)；否则，称A不发生(或不出现等)．任何一个随机事件既有可能发生，也有可能不发生．2．必然事件与不可能事件：任何一次随机试验的结果，一定是样本空间Ω中的元素，因此可以认为每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集∅不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称为不可能事件．3．事件的表示：不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件．通常用来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的韦恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件．[微体验]1．下列事件中，不可能事件为()A．钝角三角形两个小角之和小于90°B．三角形中大边对大角，大角对大边C．锐角三角形中两个内角和小于90°D．三角形中任意两边的和大于第三边2．抛掷一枚骰子，观察朝上的面的点数，则事件A＝“点数不大于4”的集合表示为________.知识点3随机事件发生的概率1．事件发生的可能性大小可以用该事件发生的概率来衡量，概率，代表越有可能发生．事件A发生的概率通常用P(A)表示．2．将不可能事件∅发生的概率规定为，将必然事件Ω发生的概率规定为，即P(∅)＝0，P(Ω)＝1.对任意事件A来说，应该有P(∅)≤P(A)≤P(Ω)，所以P(A)满足不等式.[微体验]思考辨析：(1)不可能事件没有概率．()(2)事件A的概率是1.2.()探究一写出随机试验的样本空间【例1】写出下列各随机试验的样本空间：(1)出生婴儿的性别．(2)过马路交叉口时，观察遇上的交通指挥灯的颜色．(3)从含有5件次品的100件产品中任取3件，记录其中的次品数．(4)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取1个球；(5)从装有大小相同但颜色不同的a，b，c，d这4个球的袋中，任取2个球．[方法总结]1．样本空间只与问题的背景有关，根据问题的背景明确试验的每个可能的基本结果；2．根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有样本点，用集合表示成样本空间．也可以借助树状图、列表等方法帮助我们列出试验的所有可能结果.[跟踪训练1]写出下列各随机试验的样本空间：(1)甲、乙两队进行一场足球比赛，观察比赛结果(可以是平局)；(2)小明练习投篮10次，观察小明投篮命中的次数；(3)某人射击靶两次，观察各次射击中靶或脱靶情况．探究二用集合表示随机事件【例2】在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：A＝“从甲盒子中取出3号球”；B＝“取出的两个球上标号为相邻整数”；C＝“取出的两个球上标号之和能被3整除”．[方法总结]随机试验的每个随机事件A是试验的样本空间Ω的一个子集，即随机事件A中的元素都是样本空间Ω中的元素.[跟踪训练2]袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次．(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示下列事件：①A＝“三次颜色恰有两次同色”；②B＝“三次颜色全相同”；③C＝“三次摸到的红球多于白球”．探究三随机事件概率大小的直观判断【例3】下面做投掷两个正四面体玩具(四个面上分别标有点数1,2,3,4)的试验，观察正四面体玩具朝下的点数：(1)写出试验的样本空间；(2)用集合表示事件A：朝下的点数之和大于3；(3)用集合表示事件B：朝下的点数相等，事件C：朝下的点数之差的绝对值小于2；(4)从直观上判断P(B)和P(C)的大小．[方法总结]概率直观的大小关系可以通过事件中样本点的关系来判断，具体的概率计算将在后面学习．[跟踪训练3]一枚骰子掷一次，记事件A＝{出现的点数大于4}，事件B＝{出现的点数为5}，则()A．P(A)≥ P(B)B．P(A)≤ P(B)C．P(A)＝P(B) D．无法比较【课堂小结】1．样本点、样本空间、随机事件的表示等是概率的基本概念，是后续学习概率的基础知识，特别是后续计算古典概型的概率与样本空间和随机事件包含的样本点个数有关，所以要熟练掌握这些知识．2．对于简单的随机试验问题，样本空间包含的样本点个数不多，通常用列举法表示样本空间；对于比较复杂的随机试验问题，试验的样本点个数比较多，一一列举比较麻烦，可以考虑样本点的排列规律，用描述法表示，或用列表法，坐标系法、树形图法等表示．【参考答案】【自主预习】知识点1样本点与样本空间2．Ω[微体验]1．C[因为射击时靶子有1～10环，还有脱靶的情况，脱靶表示射中0环，所以样本空间Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. ]2．C[正面朝上的次数有可能为0,1,2,3,4,5,6次，故样本空间为{0,1,2,3,4,5,6}．]知识点2随机事件2．∅3．大写英文字母A，B，C，…[微体验]1．C[若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件．]2．{1,2,3,4}[朝上的面的点数不大于4，包含的点数是1,2,3,4 点，所以A＝{1,2,3,4}．]知识点3随机事件发生的概率1．越大2．010≤P(A)≤1[微体验]答案(1)×(2)×探究一写出随机试验的样本空间【例1】解(1)因为出生婴儿的性别只有男和女两个可能结果，所以试验的样本空间为Ω＝{男，女}．(2)因为交通指挥灯的颜色只有红色、绿色和黄色，所以试验的样本空间为Ω＝{红，绿，黄}．(3)因为任取3件，次品数可能有0,1,2,3件，所以试验的样本空间为Ω＝{0,1,2,3}．(4)任取1个球，可能的基本结果为a，b，c，d，所以试验的样本空间为Ω＝{a，b，c，d}．(5)任取2个球，用样本点(a，b)表示一次试验中取出的球是a和b，则样本空间为{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}．[跟踪训练1]解(1)因为比赛一场，结果有3种：甲赢、乙赢、平局，所以试验的样本空间Ω＝{甲赢、乙赢、平局}．(2)因为投篮10次，命中的次数可能出现0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10次，所以试验的样本空间Ω＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．(3)射击靶两次，用(中，脱)表示第一次射击中靶，第二次射击脱靶，那么试验的样本空间Ω＝{(中，中)，(中，脱)，(脱，中)，(脱，脱)}．也可以用1表示射击“中靶”，用0表示射击“脱靶”，那么试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}．探究二用集合表示随机事件【例2】解(1)分别用x1，x2表示从甲、乙两个盒子中取出的球的标号，则x1，x2＝1,2,3,4，那么试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(2)“从甲盒子中取出3号球”等价于x1＝3，所以A＝{(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}．“取出的两个球上标号为相邻整数”等价于x1，x2为相邻整数，所以B＝{(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)}．因为2≤x1＋x2≤8，所以“取出的两个球上标号之和能被3整除”等价于x1＋x2＝3,6，所以C＝{(1,2)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)}．[跟踪训练2]解(1)每个样本点表示为(x，y，z)，其中x，y，z分别取红、白球，则样本空间Ω＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}．(2)①事件A＝{(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)}．②事件B＝{(红，红，红)，(白，白，白)}．③事件C＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)}．探究三随机事件概率大小的直观判断【例3】解(1)用(x，y)表示样本点，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数．则这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(2)A＝{(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(3)B＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}，C＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}．(4)因为B事件发生时，C事件一定发生，所以P(B)≤P(C)．[跟踪训练3]A[∵5＞4，∴事件B发生时，事件A一定发生．∴事件A发生的可能性不会比事件B发生的可能性小，∴P(A)≥ P(B)．]。
样本空间和随机事件.ppt
Ω的子集A，B，...
2020-8-15
x
各种集合间的关系
12
一、子事件 (事件的包含）Contain
事件A发生必然导致事件B发生，则称A蕴含了
B或者B包含了A，记为 A B
={事件A发生必然导致事件B发生}
AB
事件A是事件B的子事件
A B 事件A的样本点都是事件B的样本点
例如： 抛掷一颗骰子，观察出现的点数
20 Tossing a coin
掷一枚均匀的硬币，观察它出现正面或反面的情况
1. 试验的样本点和基本事件：“正面向上”、“反面向上”
2. 样本空间: Ω = {H，T}
H
T
3. 随机试验：
掷一枚硬币三次，观察它出现正面或反面的情况
Ω={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
可以确定试验的所有可能结果 (3) 每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果．
实例 ➢上抛一枚均匀的硬币 ➢上抛一枚均匀的骰子 ➢在一条生产线上，检测产品的合格情况、等级情况 ➢向一目标射击
2020-8-15
x
3
三、随机事件 Random Events
1. 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件．
例如：抛掷一颗骰子，观察出现的点数
A={出现偶数点} B={出现2，4或6点} A B
2020-8-15
x
14
三、和事件(并事件) Union
若事件A发生或事件B发生，则称为事件A与B的
和事件发生，记为 A B
例如： “抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”
2020-8-15
第2节 样本空间,随机事件
同时发生. 同时发生
6.差事件 设随机试验 的样本空间为 而A,B 差事件 设随机试验E的样本空间为 的样本空间为S,而 的子集,事件 为S的子集 事件 －B = { x | x ∈ A但x ∉ B } 表 的子集 事件A－ 发生而B不发生 示 A发生而 不发生 发生而 不发生. 例如,甲乙二人向同一目标各进行一次射击 例如 甲乙二人向同一目标各进行一次射击 A=“甲命中目标 A=“甲命中目标”, 甲命中目标” B=“乙命中目标 B=“乙命中目标”, 乙命中目标” 甲命中目标而乙未命中目标” 甲命中目标而乙未命中目标 A − B = “甲命中目标而乙未命中目标” 再如,在电话呼叫的例子当中 再如 在电话呼叫的例子当中 A=“10 ≤ X≤30” , B=“20 ≤ X≤ 50” 发生而B不发生 发生而 不发生” A − B = “A发生而 不发生”= “10 ≤ X<20”
再如,向如图所示的平面区域 内任意地投掷 再如 向如图所示的平面区域S内任意地投掷 向如图所示的平面区域 质点 S A=“所投质点落入 a之内”, 所投质点落入S 之内” 所投质点落入 B=“所投质点落入 b之内”, 所投质点落入S 所投质点落入 之内”
Sa
Sb
所投质点落入S 之内” 所投质点落入 A U B = “所投质点落入 a或Sb之内”, 所投质点落入S 之内” 所投质点落入 A I B = “所投质点落入 a且Sb之内”. 说明 A U B , A I B 集合论:两集合 与 集合论 两集合A与B 两集合 的并与交. 的并与交 发生或B发生或 注意 A U B : A发生或 发生或 与B同时发生 发生或 发生或A与 同时发生
设随机试验E的样本空间为 而可列个事件 设随机试验 的样本空间为S,而可列个事件 的样本空间为 A1, A2,…, An,…为S的子集 的子集, 为 的子集
样本空间随机事件
件, 称 Ak为可列个事件A1, A2 , 的积事件 .
k 1
和事件与积事件的运算性质 A A A, A S S, A A,
A A A, A S A, A .
4. 事件A B x x A且x B, 称为事件A与
事件B的差事件 . 当且仅当A发生, B不发生时, 事 件A B发生 .
样本空间S包含所有的样本点, 它是S自身的 子集, 在每次实验中它总是发生的, S称为必然事 件.
空集不包含任何点, 它也作为样本空间的 子集, 它在每次实验中都不发生, 称为不可能事件.
必然事件的对立面是不可能事件, 不可能事 件的对立面是必然事件, 它们互称为对立事件.
随机事件举例
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
A (B C) (A B) C . (3)分配律 A (B C ) ( A B) ( A C ) ;
A (B C) (A B) (A C) . (4)德.摩根律 A B A B; A B A B .
经常用到下述定律
吸收律 A
与事件B的积事件 .当且仅当A, B同时发生时事件
A B发生 . A B也记作AB .
A和B重叠部分 B
A S
某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径
是否合格所决定, 因此“产品合格”是“长度合格”
与“直径合格”的交或积事件.
n
类似地, 称 Ak为n个事件A1, A2 , , An的积事
k 1
由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件.
2. 几点说明
(1) 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C, 来表示事件.
例如 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 可设 A = “点数不大于4”, B = “点数为奇数” 等等.
概率论课件——样本空间、随机事件
互
斥
事件间的运算规律 设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A B B A, AB BA. (Exchange law)
( 2) 结合律 ( A B ) C A ( B C ),
( AB )C A( BC ).
(Combination law)
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的积事件.
k 1
和事件与积事件的运算性质
A A A, A A A, A S S, A S A, A A,
A .
5. 事件 A 与 B 互不相容 (互斥) (Incompatible events) 若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B
直径是否合格所决定,因此 “产品不合格”是“长度 不合格”与“直径不合格”的并. 图示事件 A 与 B 的并.
B A B A
S
推广 称 Ak 为 n 个事件 A1 , A2 , , An 的和事件;
k 1
n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 , 的和事件.
k 1
4. 事件 A 与 B 的交 (积事件) (Product of events)
例如 只包含两个样本点的样本空间
S {H , T }
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的模 型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的 模型等.
所以在具体问题的研究
中 , 描述随机现象的第一步
就是建立样本空间.
二、随机事件(Random event ) 的概念
第二节 样本空间、随机事件 (Sampling space, Random event )
概率论与统计1-2 事件的关系和运算
AB = ∅
A发生则 发生则 B必发生 必发生
集合论
A是B的 是 的 子集 A与B相等 与 相等
Venn图 Venn图
A⊂ B 且B ⊂ A
事件A与 不 与 不 事件 与B不 A与B不 能同时发生 相交 A的余集 A的对立事件 ① A U A = Ω ② AA = ∅
A
A
包含关系 出现, 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 则称 事件 B 包含事件 A, 记作 B ⊃ A 或 A ⊂ B . 实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 长度不合格” 格”“产品不合格” “长度不合格”. 所以“ 包含“ 所以 产品不合格” 包含 长度不合格” 图示 B 包含 A. A B
抛掷一枚骰子, 实例 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 . “骰子出现 点” 互斥 骰子出现1点 骰子出现 “骰子出现2点” 骰子出现 点
图示 A与B互斥 与 互斥 A B
Ω
可将A∪ 记为 直和” 记为“ 说明 当A∩B= ∅时,可将 ∪B记为“直和”形式 ∩ 可将 A+B. 任意事件A与不可能事件 为互斥. 与不可能事件∅ 任意事件 与不可能事件∅为互斥
“二事件 A, B至少发生一个”也是一 个事件, 至少发生一个” 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A U B，显然 A U B = {e | e ∈ A或e ∈ B }.
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与 直径是否合格所决定,因此 产品不合格” 直径是否合格所决定 因此 “产品不合格”是“长度 不合格” 不合格”与“直径不合格”的并. 直径不合格”的并 的并. 图示事件 A 与 B 的并 B AU BA
( 3 ) A， B， C中恰有两个发生 .
事件与样本空间如何描述随机事件和样本空间
事件与样本空间如何描述随机事件和样本空间随机事件和样本空间是概率论和统计学中的重要概念，用于描述随机现象和可能的结果。
本文将介绍事件和样本空间的概念，并探讨如何准确描述它们。
一、事件的概念事件是指随机现象中的某一个结果或一组结果的集合。
通常用大写字母A、B、C等来表示事件。
例如，扔一枚硬币的结果可以是正面或反面，我们可以定义事件A为“出现正面”的结果，事件B为“出现反面”的结果。
二、样本空间的概念样本空间是指随机现象的所有可能结果的集合，通常用大写字母Ω表示。
样本空间是事件集合的全集，包含了所有可能的结果。
例如，扔一枚硬币的样本空间可以表示为Ω = {正面, 反面}。
三、事件与样本空间的关系事件是样本空间的子集，即事件中的结果必须属于样本空间。
事件的发生与否取决于实际观察或实验的结果，而样本空间则包含了所有可能的结果。
事件与样本空间之间的关系可以用集合论的概念来描述。
四、描述事件与样本空间的方法1. 列举法通过列举样本空间中的每个结果，以及事件中的部分或全部结果，来描述事件和样本空间。
例如，扔一枚骰子的样本空间可以表示为Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件A表示“出现偶数”的结果，则可以表示为A = {2, 4, 6}。
2. 数学符号使用特定的数学符号来描述事件和样本空间。
事件可以用集合论中的符号表示，样本空间可以用Ω表示。
例如，事件A可以表示为A = {ω ∈ Ω | ω 是偶数}，表示事件A是由样本空间中满足条件“是偶数”的结果组成。
3. 文字描述通过文字来描述事件和样本空间。
使用简洁、准确的语言来表达。
例如，事件A可以描述为“扔一枚骰子结果为偶数”，样本空间可以描述为“扔一枚骰子的可能结果为1、2、3、4、5、6”。
五、小节事件和样本空间是描述随机现象和可能结果的重要概念。
事件是样本空间的子集，用于描述随机现象中某个结果或一组结果的集合。
样本空间是所有可能结果的集合，是事件集合的全集。
事件的关系和运算
(5) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
事件 A 的对立（互逆）事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A. 实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
B A
若 A 与 B 互逆,则有 A B 且 AB .
注. 1º互斥与互逆的关系
练习1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
(6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
AB A B
(2) A BA A BA ( A B)( A A) ( A B) A B
AB AB AB A(B B) AB A BA
A BA A B
例2 下列命题是否正确？
(1) AB AB
AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB
事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素
随机事件与概率定义及公式整理
随机事件与概率定义及公式整理1、随机事件与样本空间及关系和运算1.1、样本空间样本空间\Omega : E 的所有可能结果为元素构成的集合样本点 : \Omega中的元素，即试验的⼀个基本结果其中，试验的特征为：试验可以在相同的条件下重复进⾏试验的结果可能不⽌⼀个，但试验前知道所有可能的全部结果在每次试验前⽆法确定会出现哪个结果具有上述特征的试验称为随机试验，简称试验1.2、随机事件样本空间\Omega的⼦集称为随机事件，简称为事件随机试验的数学描述：试验 E 的全部结果(其中是基本结果的集合) \Leftrightarrow样本空间\Omega (其中是样本点的集合)随机事件\Leftrightarrow\Omega中的⼦集 A事件 A 发⽣\Leftrightarrow A中样本点出现基本事件：由⼀个样本点构成的单点集 { {\omega} }必然事件：\Omega(\Omega \subset \Omega)不可能事件：\empty(空集\empty \subset \Omega)1.3、事件的关系与运算1、A \subset B\Leftrightarrow A 发⽣必导致 B 发⽣. 特别有 A = B \Leftrightarrow A \subset B, \ B \subset A2、A \cup B = \{ \omega \in A \ or \ \omega \in B \}\Leftrightarrow A 发⽣或 B 发⽣，即 A，B ⾄少有⼀个发⽣，称为事件 A，B 的和3、A \cap B = \{ \omega \in A, \ \omega \in B \}\Leftrightarrow A，B 同时发⽣称为事件 A，B 的积类似地可定义 n 个事件的积：\bigcap^{n}_{i = 1} A_i = \{ \omega \ | \ \omega \in A_i, \ i = 1, 2,..., n \}4、A - B = \{ \omega \ | \ \omega \in A, \ \omega \notin B \}\Leftrightarrow A 发⽣ B 不发⽣称为事件 A，B 的差5、若A \cap B = \empty，则称 A，B 互不相容（互斥），即 A，B 不能同时发⽣6、若A \cup B = \Omega且A \cap B = \empty，则称 A，B 互为逆事件或称为对⽴事件，记为A = \Omega -B = \bar{B}, \ B = \Omega - A = \bar{A}1.4、事件的运算定律事件域设\Omega为样本空间，F 是由\Omega的⼦集组成的集合类，若 F 满⾜⼀下三点，则称 F 为事件域1. \Omega \in F;2. 若A \in F，则\bar{A} \in F3. 若A_n \in F, \ n = 1, 2, ... ,则\bigcup^{+ \infty}_{n = 1} \in F2.1、频率(并由此导出概率的统计定义)定义：记f_n(A) = \displaystyle{\frac{n_A}{n}}；其中n_A——A 发⽣的次数(频数)；n——总试验次数。
§1.1 随机事件与样本空间
§1.1 随机事件与样本空间随机事件与样本空间是概率论中的两个最基本的概念。
一、 基本事件与样本空间对于随机试验来说，我们感兴趣的往往是随机试验的所有可能结果。
例如掷一枚硬币，我们关心的是出现正面还是出现反面这两个可能结果。
若我们观察的是掷两枚硬币的试验，则可能出现的结果有（正、正）、（正、反）、（反、正）、（反、反）四种，如果掷三枚硬币，其结果还要复杂，但还是可以将它们描述出来的，总之为了研究随机试验，必须知道随机试验的所有可能结果。
1、 基本事件通常，据我们研究的目的，将随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件。
因为随机事件的所有可能结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，例如：在抛掷硬币的试验中“出现反面”，“出现正面”是两个基本事件，又如在掷骰子试验中“出现一点”，“出现两点”，“出现三点”，……，“出现六点”这些都是基本事件。
2、 样本空间基本事件的全体，称为样本空间。
也就是试验所有可能结果的全体是样本空间，样本空间通常用大写的希腊字母Ω表示，Ω中的点即是基本事件，也称为样本点，常用ω表示，有时也用A,B,C 等表示。
在具体问题中，给定样本空间是研究随机现象的第一步。
例1、 一盒中有十个完全相同的球，分别有号码1、2、3……10，从中任取一球，观察其标号，令=i {取得球的标号为i }，=i 1,2,3,…,10. 则Ω={1,2,3,…,10},=i ω{标号为i },=i 1,2,3,…,10 1ω,2ω,…, 10ω为基本事件（样本点）例2 在研究英文字母使用状况时，通常选用这样的样本空间： Ω={空格，A,B,C,…,X,Y,Z}例 1，例 2讨论的样本空间只有有限个样本点，是比较简单的样本空间。
例3讨论某寻呼台在单位时间内收到的呼叫次数，可能结果一定是非负整数而且很难制定一个数为它的上界，这样，可以把样本空间取为Ω={0,1,2,3,…}这样的样本空间含有无穷个样本点，但这些样本点可以依照某种顺序排列起来，称它为可列样本空间。
随机事件和样本空间
由此可知，事件 A B 的含意与集合论中的意义是一致的。 因为不可能事件 不含有任何 ，所以对任一事件 A，我们约定 A
图中的阴影部分是事件“AB”如在例 1.2 中，若 A={球的标号为偶数} B={球的标号≤3}
则 A B={球的标号为 1，2，3，4， ，6，8，10} 4．事件 A 与 B 同时发生“，这样的事件称作事件 A 与 B 的交（或 积） ，记作 A B（或ＡＢ） ，它对应图１．３种的阴影部分： 如在例１．２中，若Ａ、Ｂ同上，则
， 也就是说 A 与 B 互不
A
B
Байду номын сангаас图 1.5
7 . 若 A 是一个事件,令 A =
A 是 A 的对立事件或逆事 — A，称
件。容易知道在一次试验中，若 A 发生，则 A 必不发生（反之亦然） 即A与 有 A A =
A
二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一。因而
A
A
=
（A B） C=（A C）（ B C） （1.5）
（4）德摩根定理（对偶原则）： ________
n
A =
i
_______ n i 1
Ai A = i 1
i i 1
n
__
（1.6）
A
i 1
n
__ i
（1.7）
证明：（略）.
n
Ai
An ；若“ A1 ，A2 ，…，
同时发生” ，这样的事件称作A1 ， A2 ，…，An 的交，记作
A 1
A2 …
An
或 i 1
n
Ai
1.2样本空间随机事件
k 1
件, 称 Ak为可列个事件A1, A2,的积事件 .
k 1
和事件与积事件的运算性质 A A A, A S S, A A, A A A, A S A, A .
4. 事件A B x x A且x B, 称为事件A与
事件B的差事件 . 当且仅当A发生, B不发生时, 事 件A B发生 .
骰子“出现1点”“,出现2点”,… , “出现6点”, “点数不大于4”, “点数为偶数” 等都为随机事件.
“出现1点”，“出现2点”，… , “出现6点”等都是 基本事件.
“点数不大于6” 就是必然事件. “点数大于6” 就是不可能事件.
三、随机事件间的关系及运算
设实验E的样本空间为S ，而A, B, Ak (k 1,) 是S的子集 .
(3) A1A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1A2 A3 A4 A1A2 A3 A4; (4) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4;
设一个工人生产了四个零件, Ai 表示他生 产的第 i 个零件是正品( i 1,2,3,4), 试用 Ai 表 示下列各事件: (5)恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品.
或ABC ABC ABC ABC
例3 设一个工人生产了四个零件, Ai 表示他生
产的第 i 个零件是正品( i 1,2,3,4), 试用 Ai 表 示下列各事件: (1)没有一个是次品; (2)至少有一个是次品; (3)只有一个是次品; (4)至少有三个不是次品; (5)恰好有三个是次品; (6)至多有一个是次品.
注：试验的样本空间是根据试验的内容确 定的！
例3 观察一个新灯泡的寿命，其样本点也 有无穷多个：t小时，0 t ,样本空间为：
1.1 样本空间与随机事件解析
H→正面，T→反面
S1 { H , T }.
(2)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
可能结果为: “1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或 “6”.
S2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(3)4件产品，2正，2次，从中任取3件，观察正次品出 现情况.
“点数不大于4”, “点数为偶数” 等均为随机事件
例2：将一枚硬币抛两次，事件A表示“第一次出现正 面”，事件B表示“两次出现同一面”，事件C表示“至 少出现一次正面”。试写出该试验的样本空间、随机 事件A,B,C。 练习：同时投掷两枚骰子，试写出该试验的样本空间、 随机事件A,B,C。事件A表示“出现的点数之和大于 10”, 事件B表示“出现的点数均为奇数”，事件C表示“出 现 的点数之差的绝对值小于2”。
习题3：袋中装有6个球，4白(a,b,c,d)，2红 (x,y)，试用列举法写出下列试验的样本空间。
E1( 放回抽样)：取一个，放回后，再取一个。
{(i1 , i2 ) 1 i1 , i2 6} 1 i1 i2 6}
n 6 6 n 65
65 n 15 1 2
练习4：观察某时间段内某交通路口的机动车流量情况。
综合习题：
试用列举法写出下列试验的样本空间、随机事件。 习题1：同时掷两枚硬币，观察正反面出现情况，事 件A表示掷出同一面，事件B表示其中一枚掷出正面。
习题2：将一枚骰子连续掷两次，记录骰子点数出现 情况，事件A表示点数之和等于7，事件B表示两枚 骰子点数之差等于1。
S5 {t t 0}. 其中t表示灯泡的使用寿命
注 1. 试验不同, 对应的样本空间一般不同. eg S={H,T} 可以作为抛掷硬币试验的样本空间
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随机事件
1.定义 (p3定义1.1.2) 试验中可能出现或可能不出现的情 况叫“随机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等
任何事件均可表示为样本空间的某个子集.
称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素
2.两个特殊事件: 必然事件S 、不可能事件.(p3)
例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件: A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}；
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
ABAB, AB AB
可推 广 Ak Ak, Ak Ak.
k
k
k
k
随
机
事件的关系
试
验
包含、和、积、差、 互不相容、互逆
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、 B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：实验的所有可能结果所组成的 集合称为样本空间，记为S={e}； 2、样本点: 试验的每一个结果或样本空间的 元素称为一个样本点,记为e. 3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事 件,也记为e.
EX 给出E1-E7的样本空间
幻灯片 6
随机实验的例
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
大家好
概率论与数理统计
序言
?
概率论是研究什么的？
随机现象：不确定性与统计规律性
概率论——研究和揭示随机现象 的统计规律性的科学
第一章 概率论基础知识
• 随机事件及其概率 • 概率的定义及其运算 • 条件概率 • 事件的独立性
1.1随机事件及其概率
一、随机试验(简称“试验”)
随机试验的特点(p2) 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E
4.差事件(p5) ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发 生
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件(p5) ：AB＝
6. 互逆的事件(p5) AB＝ , 且AB＝
记B作 A ，称 A的为 对;立 易事 A见 B 件 AB
五、事件的运算(p5)
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)，
• 例：设A，B，C为三个事件，用A，B，C 的运算关系表示下列各事件：
1、A发生，B与C不发生 2、A与B都发生，而C不发生 3、A，B，C中至少有一个发生 4、A，B，C都发生 5、A，B，C都不发生 6、A，B，C中不多于一个发生 7、A，B，C中不多于两个发生 8、A，B，C中至少有两个发生
古典概型中的概率(P7):
设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N(S)记 样本空间S中样本点总数，则有
P(A) N(A) N(S)
P(A)具有如下性质(P7)
(1) 0 P(A) 1； (2) P()＝1； P( )=0 (3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解:设A--至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩
N(S)={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT, TTT}
的，这种关系可以用集合之间的关系来描述。
三、事件之间的关系
1.包含关系(p4)“ A发生必导致B发生”记为AB A＝B AB且BA.
2.和事件： (p4)“事件A与B至少有一个发生”，记作AB
n
2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
Ai
i1
3.积事件(p4) :A与B同时发生，记作 AB＝AB 3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
的运算关系表示下列事件：
A1 :“至少有一人命中目标 A2 :“恰有一人命中目标” A3 :“恰有两人命中目标” A4 :“最多有一人命中目标 A5 :“三人均命中目标” A6 :“三人均未命中目标”
”: ABC : ABCABCABC : AC BABC ABC ”: BCACAB
: ABC
A: BC
B=“三次出现同一面”={HHH,TTT} C=“恰好出现一次正面”={HTT，THT，TTH}
再如，试验E6中D＝“灯泡寿命超过1000小时” ＝{x:1000<x<T(小时）}。
可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空 间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概
率 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关 系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B 同时发生了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生 。易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定
随机实验的例
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
1.2 概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是指事件A发 生的可能性
?
P（A）应具有何种性质？
?
抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？
出现单数点的概率为多少？
向目标射击，命中目标的概率有多大？
1.2.1.古典概型与概率
(p6)若某实验E满足 1.有限性：样本空间S＝{e1, e 2 , … , e n }; 2.等可能性：（公认） P(e1)=P(e2)=…=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。