函数的傅里叶级数展开

和函数图象为
u
u
Em
Em
o
t
o
t
Em
Em
例 3 在[0,2 ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
解：
1 2
2
bn
0
x sin nxdx n
1
a0
2
xdx 2 ,
0
1 2
an 0 x cos xdx 0
f ( x) ~ 2[sin x 1 sin 2x 1 sin kx ]
(2)按公式算出a n ,bn ,写出Fourier级数
a0
2
(an
n 1
cos nx
bn
sin nx)
(3)根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况
例 1 在[ , ]上展开函数f ( x) x为 傅立叶级数.
例 2 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t ) EEmm, ,
0 t t 0
2 sin
2
0
u
2 sin
u2
du =
1 n ( + cos ku)du
2 0 k =1
=1
2
1
sn(f(x)) - s=
sin 2n+1 u
(f (x u)+f ( x - u)-2s)
0
2 u
du
2sin
2
记(u)=f (x+u)+f (x-u)-2s
则f(x)的傅里叶级数在x点收敛的问题归结为
dx
[
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)]dx
a0 2, 2
a0
1
f ( x)dx
(2) 求an .
f
( x)cos nxdx
a0 2
cos nxdx
[ak
cos kx cos nxdx
bk
sin
kx cos nxdx]
n1
an cos2 nxdx an,
an
1
f
( x)cos nxdx
第十二章 傅里叶级数和傅里叶变换
•第一节函数的傅里叶级数展开
一、傅里叶级数的引进
前面所研究的幂级数是18世纪初英国数学家泰勒 建立的，在分析学中，函数的泰勒展开起着很重 要的作用，但是它对函数的要求很高，而且只能 作局部逼近。19世纪法国数学家傅里叶研究热传 导方程时建立了把函数展为三角级数的方法，其 要求为函数黎曼可积或在反常积分意义下绝对可 积，并且它可以整体逼近函数。
其傅里叶级数为
f (x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin nx)
其部分和为
s n
(f(x
))=
a0 2
n
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx)
2n+1
= 1
sin
f (t)
2
(t -x ) dt
-
2sin t-x
2
2n+1
= 1
x +
sin
f (t)
2
(t -x ) dt
x-
将其展开为傅立叶级数.
an
1
u(t)cos ntdt
0
(n 0,1,2,)
1
bn u(t )sin ntdt
4Em (2k 1)
,
n 2k 1, k 1,2,
0,
n 2k, k 1,2,
所求函数的傅氏展开式为
u(t
)
n1
4 (2n
Em 1)
sin(
2n
1)t
( t ; t 0, , 2,)
在声学、光学、热力学中有非常重要的作用
在偏微分方程的研究中有着非常重要的应用
物理学中最简单的波__谐波 A sin(t ) A __ 振幅, __ 角频率, __ 初相位.
在电子信号处理技术中常见的方波,锯齿波,三角 波等,它们的合成和分解都大量用到三角级数.
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)
1,
数，甚至只是两个广义单侧导数：
lim f ( x x) f ( x 0) , lim f ( x x) f ( x 0)都存在
二、三角级数 三角函数系的正交性
1.三角级数
f (t) A0 An sin(nt n )
n1
A0 ( An sin n cos nt An cosn sin nt)
n1
令
a0 2
A0 ,
an An sin n , bn An cos n ,Leabharlann t x,a0 2(an
n1
cos nx
3、以T为周期的函数傅里叶级数
设f(x) 周期为T,在(-T/2,T/2)可积和绝对可积,
令x T ， 则( ) f ( T ) f ( x)为周期2的周期函数，
2
2
设f
(x)
~
a0 2
(an
n1
cos n x
bn
sin n x)
其中
2 an T
T/2
f ( x)cos n xdx,
(2)可积和绝对可积函数的傅里叶系数趋于零,
lim
n
an
=
lim
n
-
f (x)cos ntdt=0,
lim
n
bn
=
lim
n
-
f (x)sin ntdt=0,
(3)lim 1
(u)(
1
- 1 )sin 2n+1 udu=0
n 0
2sin u u
2
2
3.迪尼(Dini)判别法及其推论：
迪尼定理：若能取到适当的s,使得
(1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
(2) 当x 是 f ( x)的间断点时, 收敛于 f ( x 0) f ( x 0) ; 2
注: 函数展开成傅里叶级数的条件比展开成 幂级数的条件低的多.
1.把周期函数展为Fourier级数步骤:
(1)找出f(x)的间断点,求出收敛于?
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t )
1,
当 t 0 当0 t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
sin t, 1 sin 3t, 1 sin 5t, 1 sin 7t,
4
43
45
47
u 4 sin t
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
2sin t-x
2
2n+1
= 1
sin
f (x+u)
2
u du
-
2sin u
2
2n+1
= 1 (
0
+
-
sin
)f (x+u)
0
2 u
2 sin
u du
2
= 1
sin 2n+1 u
(f (x u)+f ( x - u))
0
2 u
du
2sin
2
以上表达式都称为狄利克雷积分
注意到
2n+1
1
bn
sin nx)
三角级数
2.三角函数系的正交性
三角函数系
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,cos nx,sin nx,
正交:
任意两个不同函数在长度为2（通常取为[ , ] 或[0,2 ])上的积分等于零.
cos
nxdx
0,
sin
nxdx
0,
sin
mx
sin
nxdx
2
k
x,
,
0 x 2 x 0, 2
x 1
sin kx
2
k1 k
该函数傅里叶级数图形？ 0 x 2
作业：P126 2; 3; 5; 6;
正弦级数和余弦级数
例 4 将函数 f ( x) x 1 (0 x )分别展开成
正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数. 对f ( x)进行奇延拓,
0( x
1)cos nxdx
0 4 n2
当n 2,4,6, 当n 1,3,5,
x
1
2
1
4
(cos
x
1 32
cos
3x
1 52
cos 5x
]
(0 x )
例5 应当如何把区间(0, )内的可积函数
2 延拓后，使它展开成的傅里叶级数的形如
f ( x) an cos(n 1)x ( x ) n1
(n 1,2,3,)
(3) 求bn .
f ( x)sin nxdx a0
sin nxdx
2
[ak
cos kx sin nxdx bk
sin
kx
sin
nxdx]
bn,
n1
bn
1
f
( x)sin nxdx
(n 1,2,3,)
傅里叶系数
an
1
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
或
an
1
2 0
f ( x)cos nxdx,
bn
1
2 0
f ( x)sin nxdx,
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
傅里叶级数
a0 2
(an
n1
cos
nx
bn
sin
nx )
问题:
f
(x)
条件?
a0 2
(an cos nx
T/2
f ( x)sinnxdx,
T / 2
(n 0,1,2,) (n 1,2,)
将欧拉公式代入得
f (x)
1
2
n
cneint
,
就是f(x)的傅里叶级数复数形式.
其中 cn an ibn , cn an ibn
互 为共轭复数.
傅里叶级数复数形式的系数
cn
2 T
T
2 T
f (t)eintdt,
则
cos
x
e ix
eix 2
sin
x
e ix
eix 2i
也称为欧拉公式.
欧拉公式揭示了三角函数和复变量指数函数之 间的一种关系.
由函数的傅立叶级数
f (x)
a0 2
n1
(an
cos
nx
bn
sin
nx)
其中傅里叶系数公式
an
2 T
T /2
f ( x)cosnxdx,
T / 2
bn
2 T
成立，则f (x)的傅里叶级数在x点收敛于f ( x).
更一般地，若对充分小的u,成立
|f (x u)-f (x 0)|<Lu (0<u h)(L,为常数， 1)
则f (x)的傅里叶级数在x点收敛于 f ( x+0)+f (x-0) . 2
一个重要推论
设 f (x)在 x 点有有限导数或有两个单侧的有限导
n1
bn
sin nx)
四.傅里叶级数的收敛判别法
设 f ( x)在[ , ]上可积和绝对可积，若 f(x)在 x 点的
左右极限都存在，并且两个广义单侧导数：
lim f ( x x) f ( x 0) , lim f ( x x) f ( x 0)都存在
x 0
x
x 0
x
则f(x)的傅里叶级数在x点收敛,并且
2
(n 0, 1, 2,
)
也称为傅里叶级数的复振幅.
n阶谐波的振幅在实数形式中为：An an2 bn2 = | cn |
复振幅cn的模恰为n阶谐波的振幅
作业：P127 4; 7; 8; 9; 11
六、收敛判别法的证明
1、狄利克雷积分
设f (x)在[- , ]可积或（在反常积分意义下）绝对可积
bn
2
0
f
( x)sin
nxdx
2
2
n
2
当n 1,3,5, 当n 2,4,6,
n
x 1 2 [( 2)sin x sin 2x 1 ( 2)sin 3x ]
2
3
(0 x )
(2)求余弦级数. 对f ( x)进行偶延拓,
a0
2
( x 1)dx
0
2,
an
2
T /2
2
bn T
T/2
f ( x)sin n xdx.
T /2
2
T
角频率，an
cos nx
bn sinnx
n阶谐波
例 6 设 f ( x)在[2,2)上的表达式为
f
(
x)
0 k
2 x0
,
0 x2
将其展成傅氏级数.
并求其傅氏级数的和函数.
五、傅里叶级数的复数形式
欧拉 (Euler) 公式
eix cos x i sin x , eix cos x i sin x , 称为欧拉公式.
3
5
(7 t , t 0)
一般地，
若有 f ( x) A0 An sin(n x n ) n1 A0 (an cos n x bn sin n x) n1
称右端级数为f ( x)所确定的傅里叶(Fourier)级数
问题：
(1)什么条件下可以把一个周期函数展开为傅里叶级数？
(2)如何展开？
取到适当的s,使得
2n+1
lim 1
sin
(u)
2
u du=0
n 0
2sin u
2
2、黎曼引理
设函数 (u)在[a,b]上可积和绝对可积，
则以下极限式成立：
b
lim (u)sin pudu=0,
p a
b
lim (u)cos pudu=0
p a
利用黎曼引理可得傅里叶级数的一些性质
(1)局部性定理：函数f(x)的傅里叶级数在x点的 收敛性，只与该点的充分小邻域的值有关。
0, ,
mn ,
mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
sin mx cosnxdx 0.
(其中m,n 1,2,)
三、傅里叶级数系数
1.傅里叶系数
若有
f
(x)
a0 2
(ak
k 1
cos kx
bk
sin kx),
且右端级数一致收敛于f(x)
(1) 求a0 .
f
( x)dx
a0 2
(u)=f (x+u)+f (x-u)-2s满足：对某正数h, 在[0,h]上， (u) 为可积和绝对可积，则f (x)的