线性代数真题选择题

线性代数真题选择题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

二、选择题

1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设

A 为n 阶方阵,且A 的行列式0A a =≠,而*A 是A 的伴随矩阵,则*

A 等于（ C ） (A)a . (B)

1a

. (C)1n a -. (D)n a . 【考点】伴随矩阵的性质. 解

1

*n A A

-=.

2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设

A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（ ）

(A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关.

(C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. 【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组. 解 ()R A r

n A =

3.(1988—Ⅰ,Ⅱ)n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是（ D ） (A) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ,使11220s s k k k ααα++

≠.

(B)12,,,s ααα中任意两个向量都线性无关.

(C)12,,,s ααα中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出. (D)12,,

,s ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.

【考点】向量组线性相关的性质.

解 “向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是(D). 对(A):“存在”改为“任意”就正确.

对(B):如1

23101,,011ααα??????

===????????????

中任意两个向量都线性无关,但123,,ααα线性相关.

对(C):1

23100,,012ααα??????

===????????????

中1α不能由23,αα线性表示,但123,,ααα线性相关. 4.(1989—Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ,Ⅴ)设

A 是n 阶方阵,且A 的行列式0A =,则A 中（ ）

(A)必有一列元素全为零. (B)必有两列元素对应成比例.

(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合. (D)任一列向量是其余列向量的线性组合. 【考点】向量组线性相关的判别定理.

解

0A =()R A n A ?

5.(1989—Ⅳ)设A 和B 均为n n ?矩阵,则必有（ ）

(A)A B A B +=+. (B)

AB BA =.

(C)

AB BA =. (D)111()A B A B ---+=+.

【考点】矩阵的性质. 解

AB A B BA ==.选(C).

6.(1989—Ⅴ)设n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵A 的秩为r ，则0Ax =有非零解的充

分必要条件是（ ）

(A)r

n =. (B)r n <. (C)r n ≥. (D)r n >.

【考点】齐次线性方程组解的理论. 解 齐次线性方程组

110m n n m A x ???=有非零解的充分必要条件是()R A n <.选(B).

7.(1990—Ⅰ,Ⅱ)已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12,αα是对应齐次线

性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解（一般解）必是（ ）

(A)12

11212()2k k ββααα-+++

. (B)12

11212()2k k ββααα++-+

. (C)1

2

11212()2

k k ββαββ-+++. (D)1

2

11212()2

k k ββαββ++-+.

【考点】非齐次线性方程组解的结构.

解 11

2,ααα-线性无关且为对应齐次线性方程组的解,故112,ααα-是对应齐次线性方程组

0Ax =的基础解系;又12

122

2A A A

b ββββ++=

=,故1

2

2

ββ+为

Ax b =的一个特解;由非齐次线

性方程组解的结构,知选(B). 对(A):

12

2

ββ-为

0Ax =的解.

对(C):12ββ+为2Ax b =的解,且

12

2

ββ-为

0Ax =的解.

对(D):11

2,αββ-不一定线性无关.

8.(1990—Ⅳ,Ⅴ)向量组12,,,s ααα线性无关的充分条件是（ ）

(A)12,,,s ααα均不为零向量.

(B)12,,,s ααα任意两个向量的分量不成比例.

(C)12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示.

(D)12,,

,s ααα中有一部分向量线性无关.

【考点】向量组线性无关的性质.

解 向量组12,,

,s ααα线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα中任意一个向量均不能由

其余1s -个向量线性表示.选(C).

对(A):如1

23101,,011ααα??????

===????????????

均不为零向量,但123,,ααα线性相关. 对(B):如1

23101,,011ααα??????

===????????????中任意两个向量的分量不成比例,但123,,ααα线性相关.

对(D):如1

23101,,011ααα??????

===????????????

中1α线性无关. 9.(1990—Ⅴ)设A 是n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则（ ）

(A)

1

*n A A

-=. (B)

*A A =. (C)*n

A A

=. (D)

*1

A A -=.

参考1.(1987—Ⅰ,Ⅱ). 选(A). 10.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设n 阶方阵

,,A B C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有

（ ） (A)

ACB E =. (B)CBA E =. (C)BAC E =. (D)BCA E =.

【考点】可逆矩阵的判别定理之推论.

解 由()E

ABC A BC ==知BC 是A 的逆矩阵.选(D).

11.(1991—Ⅳ)设

A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征值,则A 的伴随矩阵*A 的特征值之一

是（ ） (A)1

n

A

λ

-. (B)1

A λ

-. (C)A λ. (D)n

A

λ.

【考点】特征值的性质.

解 选(B).****()()()A

Ax

x A Ax A x A x A x A x x λλλλ

=?=?=?=

.

12.(1991—Ⅴ)设,A B 为n 阶方阵,满足等式AB O =,则必有（ ）

(A)

A O =或

B O =. (B)A B O +=. (C)A O =或B O =. (D)A B O +=.

【考点】矩阵的性质. 解 选(C).00AB O AB A B =?=??=.

13.(1991—Ⅴ)设

A 是m n ?矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程

组,则下列结论正确的是（ ）

(A)若

0Ax =仅有零解,则Ax b =有唯一解. (B)若0Ax =有非零解,则Ax b =有无穷多个解. (C)若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =仅有零解. (D)若Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解.

【考点】非齐次线性方程组解的理论.

解 选(D).Ax b =有无穷多个解()()()R A R B n R A n ?=

对(A):如1212120200x x x x x x +=??+=??+=?仅有零解,但121212

0201x x x x x x +=??

+=??+=?无解.

对(B):如12120220x x x x +=??+=?有非零解,但1212

0222x x x x +=??+=?无解.

对(C):

Ax b =有无穷多个解,则0Ax =有非零解.

14.(1992—Ⅰ,Ⅱ)要使12100,121ξξ????

????==????????-????都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为（ ）

(A)[]211-. (B)201011-??????. (C)102011-????-??. (D)011422011-????--??

????

.

【考点】齐次线性方程组解向量的定义. 解 选(A). 【注意】只需验证[]12,A O ξξ=.

15.(1992—Ⅳ)设

A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是（ ）

(A)A 的列向量线性无关. (B)A 的列向量线性相关. (C)A 的行向量线性无关. (D)A 的行向量线性相关.

【考点】齐次线性方程组解的理论,矩阵的秩及向量组的线性相关性. 解

0Ax =仅有零解()R A n ?=A ?的列秩n A =?的列向量线性无关.选(A).

16.(1992—Ⅴ)设1

1,,,A B A B A B --++均为n 阶可逆矩阵,则111()A B ---+等于（ ）

(A)

11A B --+. (B)A B +. (C)1()A A B B -+. (D)1()A B -+.

【考点】逆矩阵的性质. 解 选(C).1

1111111(())()()A A B B B A B A AB E A A B --------+=+=+=+.

或

1111111()[()]()()()()A B A A B B E B A A B B B A B A B B E -------++=++=++=.

17.(1992—Ⅴ)设12,,,m ααα均为n 维向量,那么,下列结论正确的是（ ）

(A)若1122

0m m k k k ααα++

+=，则12,,

,m ααα线性相关.

(B)若对任意一组不全为零的数12,,,m k k k ,都有11220m m k k k ααα++

+≠,则

12,,

,m ααα线性无关.

(C)若12,,

,m ααα线性相关,则对任意一组不全为零的数12,,,m k k k ,都有

11220m m k k k ααα++

+=.

(D)若12

0000m ααα?+?+

+?=,则12,,

,m ααα线性无关.

【考点】向量组线性相(无)关的定义.

解 选(B).由线性相关定义的逆否命题可得.

18.(1993—Ⅰ,Ⅱ)已知12324,369Q t P ????=??????

为3阶非零矩阵,且满足PQ O =,则（ ） (A)6t

=时P 的秩必为1. (B)6t =时P 的秩必为2.

(C)6t ≠时P 的秩必为1. (D)6t ≠时P 的秩必为2.

【考点】矩阵的秩及其性质.

解 ()()31()3()PQ O R P R Q R P R Q =?+≤?≤≤-.

当6t =时,()11()2()R Q R P R P =?≤≤?=1或2,则(A)和(B)都错; 当6t

≠时,()21()1()1R Q R P R P =?≤≤?=.选(C).

【注】(1)()()m s s n A B O R A R B s ??=?+≤.

(2)m s s n

A B O ??=,则B 的列向量组为m s s n A x O ??=的解向量.

19.(1993—Ⅳ)n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）

(A)充分必要条件. (B)充分而非必要条件. (C)必要而非充分条件. (D)既非充分也非必要条件. 【考点】矩阵能对角化的判别定理(充分条件). 解 选(B).

20.(1993—Ⅴ)若12312,,,,αααββ都是四维列向量,且4阶行列式1231

,,,m αααβ=,

1223,,,n ααβα=,则4阶行列式32112,,,()αααββ+等于（ ）

(A)m n +. (B)()m n -+. (C)n m -. (D)m n -.

【考点】矩阵的运算及行列式的性质. 解 选(C).3211232113212

,,,(),,,,,,αααββαααβαααβ+=+

12311223,,,,,,n m αααβααβα=-+=-.

21.(1993—Ⅴ)设2λ

=是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵211

()3

A -有一特征值等于

（ ） (A)

43. (B)34. (C)12. (D)14

. 【考点】特征值的性质. 解

213A 有一特征值21433λ=,则211()3A -有一特征值3

4

.选(B). 22.(1994—Ⅰ,Ⅱ)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组（ ） (A)12233441,,,αααααααα++++线性无关. (B)12233441,,,αααααααα----线性无关. (C)12233441,,,αααααααα+++-线性无关.

(D)122

33441,,,αααααααα++--线性无关.

【考点】判别向量组线性相(无)关的方法. 解 对(A):

12342341()()()()αααααααα+++=+++,

则12233441,,,αααααααα++++线性相关.

对(B):

12233441()()()()αααααααα-+-=----, 则12233441,,,αααααααα----线性相关.

对(D):

12233441()()()()αααααααα+-+=----, 则12233441,,,αααααααα++--线性相关.

故选(C). 或

对(A):

12233441123410011

100[,,,][,,,]01100011αααααααααααα?????

?++++=??

??

??

,

10011

00

11100010101100

0110

0110

000????

????-???

?→????

???

?

????, 所以122

33441(,,,)34R αααααααα++++=<,则12233441

,,,αααααααα++++线性相关.

同理可讨论(B),(C),(D).

【注意】判别向量组线性相(无)关的常见方法如下. (1)用定义:一般对抽象的向量组.理论根据:

n 维向量组12,,

,m ααα线性相(无)关?齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++=有非

零解(只有零解).

(2)用向量组的秩:对具体的向量组直接求秩;对抽象的向量组用矩阵的秩的性质推导出来.理论根据: 向量组12,,

,m ααα线性相(无)关?()(())R A m R A m <=.

(3)用相关理论推导. (4)特殊情形: 若向量组12,,,m βββ可由12,,,m ααα线性表示,且12,,,m ααα线性无关时,设

[][]1212,,,,,,m m K βββααα=,

则向量组12,,,m βββ线性相(无)关?()(())R K m R K m <=.

23.(1994—Ⅳ)设A 是m n ?矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,

则( ) (A)1r

r >. (B)1r r <. (C)1r r =. (D)r 与1r 的关系依C 而定.

【考点】矩阵秩的性质. 解 1

()()()r R B R AC R A r ====.选(C).

【注】设,P Q 为可逆矩阵,则()()()()R A R PA R AQ R PAQ ===.

24.(1994—Ⅴ)设,A B 都是n 阶非零矩阵,且AB O =,则A 和B 的秩( )

(A)必有一个等于零. (B)都小于n . (C)一个小于n ,一个等于n . (D)都等于n .

【考点】矩阵秩的性质.

解 ()()AB O R A R B n =?+≤;又()1,()1(,)R A R B A O B O ≥≥≠≠,则

(),()R A n R B n <<.

选(B).

25.(1994—Ⅴ)设有向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),ααα=-==

45(1,2,2,0),(2,1,5,10)αα=-=,则该向量组的最大线性无关组是( )

(A)123,,ααα. (B)124,,ααα. (C)125,,ααα. (D)1245,,,αααα.

【考点】具体向量组的最大线性无关组的求法.

解 123451031

21

031

21

302101101[,,,,]217250

001042140100

0000T T T T T

A ααααα????

????--?

??

?==→????

-???

?

????

, 则向量组的最大线性无关组是124,,ααα.选(B). 【注意】

(1)初等行变换保持矩阵的行向量组等价,保持矩阵的列向量组的线性相关性不变; (2)初等列变换保持矩阵的列向量组等价,保持矩阵的行向量组的线性相关性不变.

26.(1995—Ⅰ,Ⅱ)设

11121321

2223

21

222311

1213131

32

333111

3212

3313010,,1

00,001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ??????

?

? ?=== ? ? ? ? ? ?+++??????

2100010101P ??

?= ? ???

则必有（ ） (A)

12APP B =. (B)21AP P B =. (C)12PP A B =. (D)21P P A B =.

【考点】初等变换与初等矩阵的关系. 解 B 可将

A 的第一行加到第三行,再将A 的第一行与第二行交换得到.故选(C).

【注】在矩阵的左(右)边乘以一个初等矩阵,相当于对矩阵作相应的初等行(列)变换.

27.(1995—Ⅳ,Ⅴ)设矩阵m n A ?的秩为()

,m R A m n I =<为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的

是( ) (A)A 的任意m 个列向量必线性无关. (B)A 的任意一个m 阶子式不等于零. (C)若矩阵B 满足0BA =,则0B =.

(D)

A 通过初等行变换,必可以化为()m I O 的形式.

【考点】向量组线性无关的判别,矩阵秩的定义及矩阵的行阶梯形和标准形.

解 选(C).0T T BA A B O =?

=.由()T R A m =,则齐次线性方程组T A x O =只有零解,即

T B 的列向量全为零,故T B O B O =?=.

28.(1995—Ⅴ)设n 维行向量11

(,0,,0,)2

2

α

=,矩阵,2T T A I B I αααα=-=+,其中

I 为n 阶单位矩阵,则AB 等于( )

(A)0. (B)I -. (C)I . (D)T I αα

+.

【考点】矩阵的运算.

解 选(C).

29.(1996—Ⅰ,Ⅱ)四阶行列式

1

122334

4

0000000

a b a b b a b a 的值等于（ ）

(A)12341234a a a a b b b b -. (B)12341234a a a a b b b b +.

(C)12

123434()()a a b b a a b b --. (D)23231414()()a a b b a a b b --.

【考点】行列式的计算.

解 选(D).将行列式按第一行展开. 30.(1996—Ⅳ,Ⅴ)设n 阶矩阵A 非奇异,*A 是A 的伴随矩阵,则( )

(A)1

**

()n A A

A -=. (B)1

**()n A A A +=. (C)2**

()n A

A

A -=. (D)2

**()n A A

A +=.

【考点】矩阵运算的性质.

解 选(C)..

*1****1111()()()A A A A A A A A A A -----=?==

2

11n

n A A A A A A

-=?

??=.

31.(1996—Ⅳ,Ⅴ)设有任意两个n 维向量组1,

,m αα和1,

,m ββ,若存在两组不全为的数

1,

,m λλ和1,

,m k k ,使

111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ++

+++-+

+-=,

则( )

(A)1,,m αα和1,,m ββ都线性相关.

(B)1,,m αα和1,,m ββ都线性无关.

(C)1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性无关. (D)1111,

,,,

,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.

【考点】向量组线性相(无)关的定义. 解 由111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=,得

111111()()()()m m m m m m k k O λαβλαβαβαβ+++++-++-=,

所以1111,,,,

,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关.选(D).

32.(1997—Ⅰ)设111122232333,,a b c a b c a b c ααα????????????===??????????????????

,则三条直线 0(1,2,3)i i i a x b y c i ++==（其中220,1,2,3i i a b i +≠=）

交于一点的充分必要条件（ ） (A)123,,ααα线性相关. (B)123,,ααα线性无关. (C)秩123(,,)

R ααα=秩12(,)R αα. (D)123,,ααα线性相关，12,αα线性无关.

【考点】齐次线性方程组解的理论.

解 三条直线交于一点的充分必要条件是线性方程组

1112223

330

00

a x

b y

c a x b y c a x b y c ++=??

++=??++=? 有惟一解12123(,)(,,)2R R ααααα?

=-=

1212123123123(,)2,(,,)2(,,)2,,R R R ααααααααααααα=????-=?=??

线性无关；

线性相关.

33.(1997—Ⅲ,Ⅳ)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组中,线性无关的是( )

(A)122331,,αααααα++-

(B)122

3123,,2ααααααα++++

(C)1223312,23,3αααααα+++

(D)12

3123123,2322,355ααααααααα++-++-

解 参考22.(1994—Ⅰ,Ⅱ).选(C).

34.(1997—Ⅲ)设,A B 为同阶可逆矩阵,则( )

(A)

AB BA = (B)存在可逆阵P ,使1P AP B -=

(C)存在可逆阵C ,使T

C AC B = (D)存在可逆阵P 和Q ,使PAQ B =

【考点】矩阵等价,合同,相似的判别. 解

,A B 为同阶可逆矩阵,则,A B 都与同阶的单位矩阵等价,从而,A B 等价.故选(D).

【注意】两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等.如果不是同型矩阵,则必要性不成立. 35.(1997—Ⅳ)非齐次线性方程组Ax b =中未知量个数为n ,方程个数为m ,系数矩阵A 的秩为

r ,则( )

(A)r

m =时,方程组Ax b =有解. (B)r n =时,方程组Ax b =有惟一解. (C)m n =时,方程组Ax b =有惟一解. (D)r n <时,方程组Ax b =有无穷多解.

【考点】线性方程组解的理论.

解 选(A).()()()()m R A R B m R A R B m =

≤≤?==.

36.(1998—Ⅰ)设矩阵1112223

3

3a b c a b c a b c ??

????????

是满秩的，则直线333

121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线

111

232323

x a y b z c a a b b c c ---==---（ ）

(A)相交于一点. (B)重合. (C)平行但不重合. (D)异面. 【考点】空间两条直线位置的判别.

解 设111333(,,),(,,),P

a b c Q a b c ==

11212122232323(,,),(,,)s a a b b c c s a a b b c c =---=---.

由121212

1223232312313131

[,,]0,,a a b b c c s s QP a a b b c c s s QP a a b b c c ---=

---=?---共面,则两直线共面.又

111121212222232323333333a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ---????????→---????????????

, 则12,s s 不平行,即两直线不平行.选(A).

37.(1998—Ⅱ)设

A 是任一(3)n n ≥阶方阵,*A 是其伴随矩阵,又k 为常数,且0,1k ≠±,则必有

*()kA =（ ）

(A)*

kA . (B)1

*n k

A -. (C)*n k A . (D)1*k A -.

【考点】伴随矩阵的定义. 解 *

1*()n kA k A -=(由伴随矩阵的定义得到).选(B).或由

**1*()()()()n n n kA kA kA E k A E k AA kA k A -====

看出.

38.(1998—Ⅲ)齐次线性方程组212312312

3000

x x x x x x x x x λλλλ?++=?

++=??++=?的系数矩阵记为A .若存在三阶矩阵

0B ≠使得0AB =,则( )

(A)2λ=-且0B =. (B)2λ=-且0B ≠. (C)1λ

=且0B =. (D)1λ=且0B ≠.

【考点】矩阵的性质,齐次线性方程组解的理论.

解

0,00AB B Ax =≠?=有非零解01A λ?=?=.若0B ≠,由0AB =得

0A =,矛盾.故选(C).

39.(1998—Ⅲ)设(3)n n ≥阶矩阵1111a a a a a

a A a

a a a

a a

?????

?

??=????????

,如果矩阵A 的秩为1n -,则a 必为( ) (A)1. (B)

11n -. (C)1-. (D)1

1

n -. 【考点】含参数的矩阵的秩的讨论. 解 ()01R A n A a

=?=或

1

1n

-.当1a =时,显然()1R A =.故选(B). 40.(1998—Ⅳ)若向量组,,αβγ线性无关;,,αβδ线性相关,则( ) (A)α必可由,,βγδ线性表示. (B)β必不可由,,αγδ线性表示 (C)δ必可由,,αβγ线性表示. (D)δ必不可由,,αβγ线性表示.

【考点】向量组线性相(无)关的性质.

解 ,,αβγ线性无关,有,αβ线性无关;又,,αβδ线性相关,得δ必可由,αβ线性表示,也必

可由,,αβγ线性表示.选(C). 41.(1999—Ⅰ)设A 是m n ?矩阵,B 是n m ?矩阵,则（ ）

(A)当m n >时,必有行列式0AB ≠. (B)当m n >时,必有行列式0AB =.

(C)当n

m >时,必有行列式0AB ≠. (D)当n m >时,必有行列式0AB =.

【考点】矩阵秩的性质.

解 ()min{(),()}min{,}R AB R A R B m n ≤≤.选(B).

42.(1999—Ⅱ)记行列式

2

123

2221222333324535

4435743

x x x x x x x x x x x x x

x x x ---------------

为()f x ,则方程()0f x =的根的个数为（ ）

(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.

【考点】行列式的计算.

解

121()

1111

22212223()5(1)33324535

4435743

r r r x x x x x f x x

x x x x x x x

x x x -÷-----=-=--------.选(B).

43.(1999—Ⅲ,Ⅳ)设向量β可由向量组12,,,m ααα线性表示,但不能由向量组(Ⅰ):121,,,m ααα-线性表示,记向量组(Ⅱ):121,,

,,m αααβ

-,则( )

(A)m α不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示. (B)m α不能由(Ⅰ)线性表示,但可由(Ⅱ)线性表示. (C)m α可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示. (D)m α可由(Ⅰ)线性表示,但不可由(Ⅱ)线性表示. 【考点】向量组的线性表示的定义及其判别.

解 方法一: 若m α可由(Ⅰ)线性表示,则

121121121121(,,,)(,,,,)

(,,

,,,)(,,

,,)

m m m m m m R R R R αααααααααααβαααβ----===

与β不能由121,,,m ααα-线性表示,矛盾,则m α不能由(Ⅰ)线性表示.故(C),(D)错.且

121121(,,

,,)(,,

,)1m m m R R ααααααα--=+,

由β不能由121,,,m ααα-线性表示,则

121121(,,

,,)(,,

,)1m m R R αααβααα--=+.

所以 121121(,,,,)(,,,,)m m m R R αααβαααα--=

121121(,,,,,)(,,

,,,)m m m m R R ααααβαααβα--==,

则m α可由121,,,,m αααβ

-线性表示.故选(B).

方法二:β可由向量组12,,,m ααα线性表示.若m α可由121,,,m ααα-线性表示,则β

可

由向量组121,,,m ααα-线性表示,矛盾.故(C),(D)错.

β可由向量组12,,

,m ααα线性表示,则存在一组数11,,,m m k k k -,使得

1111m m m m k k k βααα--=+

++,

其中0m

k ≠.若0m k =,则β可由向量组121,,

,m ααα-线性表示,矛盾.m α可由121,,

,,m αααβ

-线性表示.故(A)错.选(B). 44.(1999—Ⅲ)设,A B 为n 阶矩阵,且A 与B 相似,E 为n 阶单位矩阵,则( )

(A)E A E B λλ-=-.

(B)

A 与

B 有相同的特征值和特征向量. (C)A 与B 都相似于一个对角矩阵.

(D)对任意常数t ,tE A -与tE B -相似.

【考点】矩阵相似的性质. 解 选(D).A 与B 相似,存在可逆矩阵P ,使得1P AP B -=,则

1111()()tE B tE P AP P tE P P AP P tE A P -----=-=-=-,

即tE A -与tE B -相似. 对(A):E A E B A B λλ-=-?=.

对(B):

A 与

B 相似,则A 与B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 对(C):A 与B 不一定能对角化.

45.(2000—Ⅰ)n 维列向量组1,

,()m m n αα<线性无关,则n 维列向量组1,,m ββ线性无关

的充分必要条件为（ ）

(A)向量组1,,m αα可由向量组1,,m ββ线性表示. (B)向量组1,,m ββ可由向量组1,,m αα线性表示. (C)向量组1,,m αα与向量组1,

,m ββ等价.

(D)矩阵

1(,,)m A αα=与矩阵1(,

,)m B ββ=等价.

【考点】向量组线性相(无)关的判别. 解 选(D). (A)是充分非必要条件.

(1) (A)是充分条件:

111(,,)(,,)(,,)m m m m R R m R m ααββββ=≤≤?=.

(2) (A)是非必要条件:如12100,100αα????????==????????????线性无关,12100,001ββ????????==????????????

线性无关,但12,αα不能由12,ββ线性表示.

(B)是既非必要也非充分条件.

(1) (B)是非必要条件:如12100,100αα????????==????????????线性无关,12100,001ββ????????==????????????

线性无关,但12,ββ不能由12,αα线性表示.

(2) (B)是非充分条件:如12100,100αα????????==????????????线性无关,12100,000ββ????????==????????????

.12,ββ可由12,αα线性表示,但12,ββ线性相关.

(C)是充分非必要条件.

(1) (C)是充分条件:11(,

,)(,,)m m R R m ββαα==.

(2) (C)是非必要条件:如12100,100αα????????==????????????线性无关,12100,001ββ????????==????????????

线性无关,但12,αα不能由12,ββ线性表示,则12,αα与12,ββ不等价.

(D)是充分必要条件.

向量组1,,m ββ线性无关

111(,

,)(,

,)(,

,)m m m R m R R m ββααββ?=?==

()()R A R B A B ?=?→.

46.(2000—Ⅲ,Ⅳ)设123,,ααα是四元非齐次线性方程组

Ax b =的三个解向量,且秩

(

A )=3,123(1,2,3,4),(0,1,2,3),T T C ααα=+=表示任意常数,则线性方程组Ax b =的通解

x =( )

(A)11213141C ????????????+????????????. (B)10213243C ????????????+????????????. (C)12233445C ????????????+????????????. (D)13243546C ????????????+????????????

.

【考点】线性方程组解的性质及非齐次线性方程组解的结构. 解 选(C).()30R A Ax =?=的基础解系含4()1R A -=个解向量ξ.可取

1232()(2,3,4,5)T ξααα=-+=.

47.(2000—Ⅲ)设

A 为n 阶实矩阵,T A 是A 的转置矩阵,则对于线性方程组(Ⅰ):0Ax =和

(Ⅱ):0T A Ax =,必有( )

(A)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解, (Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解. (B)(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解,但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解. (C)(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解, (Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解. (D)(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解, 但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解. 【考点】

0Ax =与0T A Ax =解的关系.

解 选(A). 【注意】0Ax =与0T A Ax =同解.事实上

(1)

0()()0T T Ax A A x A Ax =?==,即0Ax =的解是0T A Ax =的解;

(2)00()000T

T T T A

Ax x A Ax Ax Ax Ax Ax =?=?=?=?=,即0

T A Ax =的解是

0Ax =的解.

48.(2001—Ⅰ)设11114

0001

1110000,111100001

1110

000A B ????

?????

???==????

????

????

,则A 与B （ ）

(A)合同且相似. (B)合同但不相似. (C)不合同但相似. (D)不合同且不相似. 【考点】实对称矩阵的对角化. 解 选(A).

A 为实对称矩阵且A 的特征值为4,0,0,0.

【注意】实对称矩阵既正交合同也正交相似于对角矩阵.

49.(2001—Ⅲ,Ⅳ)设1112131421222324313233344142

43

44a a a a a a a a A a a a a a a a a ??????=

???

???,14

13

1211242322213433323144

43

42

41a a a a a a a a B a a a a a a a a ??????=??????

,

10001010000101

000P ??????=??????,21

000001001000001P ??

????=??

?

?

??

, 其中A 可逆,则1B -=( )

(A)

112A P P -. (B)112P A P -. (C)112P P A -. (D)1

21P A P -.

【考点】初等矩阵与初等变换的关系及乘积矩阵的求逆.

解 选(C).B 由

A 的第二列与第三列交换,再将第一列与第四列交换得到,则

11

2112

B AP P B PP A --=?=. 50.(2001—Ⅲ)设A 是n 阶矩阵,α

是n 维列向量.若秩0T

A αα

??

????

=秩(A ),则线性方程组( ) (A)

Ax α=必有无穷多解. (B)

Ax α=必有惟一解.

(C)00T

A x y αα

????

=?

???????

仅有零解. (D)00T

A x y αα

????

=?

???????

必有非零解. 【考点】线性方程组解的理论.

解 秩0T

A

αα

??

?

???

=秩(

A )1n n ≤<+,则00T

A

x y αα

????

=????????

必有非零解.选(D).

51.(2002—Ⅰ)设有三张不同平面的方程123,1,2,3i i i i a x a y a z

b i ++==，它们所组成的线性

方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为（ ）

【考点】线性方程组解的理论.