线性代数真题选择题

线性代数真题选择题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

二、选择题

1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设

A 为n 阶方阵,且A 的行列式0A a =≠,而*A 是A 的伴随矩阵,则*

A 等于（ C ） (A)a . (B)

1a

. (C)1n a -. (D)n a . 【考点】伴随矩阵的性质. 解

1

*n A A

-=.

2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设

A 是n 阶方阵,其秩r n <,那么在A 的n 个行向量中（ ）

(A) 必有r 个行向量线性无关. (B) 任意r 个行向量线性无关.

(C) 任意r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一个行向量都可以由其他r 个行向量线性表出. 【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组. 解 ()R A r

n A =<⇒的行秩r n A =<⇒的行向量组的最大无关组含r 个行向量.选(A).

3.(1988—Ⅰ,Ⅱ)n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤线性无关的充分必要条件是（ D ） (A) 存在一组不全为零的数12,,,s k k k ,使11220s s k k k ααα++

≠.

(B)12,,,s ααα中任意两个向量都线性无关.

(C)12,,,s ααα中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出. (D)12,,

,s ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.

【考点】向量组线性相关的性质.

解 “向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是(D). 对(A):“存在”改为“任意”就正确.

对(B):如1

23101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤

===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

中任意两个向量都线性无关,但123,,ααα线性相关.

对(C):1

23100,,012ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤

===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

中1α不能由23,αα线性表示,但123,,ααα线性相关. 4.(1989—Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ,Ⅴ)设

A 是n 阶方阵,且A 的行列式0A =,则A 中（ ）

(A)必有一列元素全为零. (B)必有两列元素对应成比例.

(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合. (D)任一列向量是其余列向量的线性组合. 【考点】向量组线性相关的判别定理.

解

0A =()R A n A ⇔<⇒的列(或行)秩n A <⇒的列(或行)向量组线性相关.选(C).

5.(1989—Ⅳ)设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有（ ）

(A)A B A B +=+. (B)

AB BA =.

(C)

AB BA =. (D)111()A B A B ---+=+.

【考点】矩阵的性质. 解

AB A B BA ==.选(C).

6.(1989—Ⅴ)设n 元齐次线性方程组0Ax =的系数矩阵A 的秩为r ，则0Ax =有非零解的充

分必要条件是（ ）

(A)r

n =. (B)r n <. (C)r n ≥. (D)r n >.

【考点】齐次线性方程组解的理论. 解 齐次线性方程组

110m n n m A x ⨯⨯⨯=有非零解的充分必要条件是()R A n <.选(B).

7.(1990—Ⅰ,Ⅱ)已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解,12,αα是对应齐次线

性方程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则方程组Ax b =的通解（一般解）必是（ ）

(A)12

11212()2k k ββααα-+++

. (B)12

11212()2k k ββααα++-+

. (C)1

2

11212()2

k k ββαββ-+++. (D)1

2

11212()2

k k ββαββ++-+.

【考点】非齐次线性方程组解的结构.

解 11

2,ααα-线性无关且为对应齐次线性方程组的解,故112,ααα-是对应齐次线性方程组

0Ax =的基础解系;又12

122

2A A A

b ββββ++=

=,故1

2

2

ββ+为

Ax b =的一个特解;由非齐次线

性方程组解的结构,知选(B). 对(A):

12

2

ββ-为

0Ax =的解.

对(C):12ββ+为2Ax b =的解,且

12

2

ββ-为

0Ax =的解.

对(D):11

2,αββ-不一定线性无关.

8.(1990—Ⅳ,Ⅴ)向量组12,,,s ααα线性无关的充分条件是（ ）

(A)12,,,s ααα均不为零向量.

(B)12,,,s ααα任意两个向量的分量不成比例.

(C)12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示.

(D)12,,

,s ααα中有一部分向量线性无关.

【考点】向量组线性无关的性质.

解 向量组12,,

,s ααα线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα中任意一个向量均不能由

其余1s -个向量线性表示.选(C).

对(A):如1

23101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤

===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

均不为零向量,但123,,ααα线性相关. 对(B):如1

23101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤

===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦中任意两个向量的分量不成比例,但123,,ααα线性相关.

对(D):如1

23101,,011ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤

===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

中1α线性无关. 9.(1990—Ⅴ)设A 是n 阶可逆矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则（ ）

(A)

1

*n A A

-=. (B)

*A A =. (C)*n

A A

=. (D)

*1

A A -=.

参考1.(1987—Ⅰ,Ⅱ). 选(A). 10.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设n 阶方阵

,,A B C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有

（ ） (A)

ACB E =. (B)CBA E =. (C)BAC E =. (D)BCA E =.

【考点】可逆矩阵的判别定理之推论.

解 由()E

ABC A BC ==知BC 是A 的逆矩阵.选(D).

11.(1991—Ⅳ)设

A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征值,则A 的伴随矩阵*A 的特征值之一

是（ ） (A)1

n

A

λ

-. (B)1

A λ

-. (C)A λ. (D)n

A

λ.

【考点】特征值的性质.

解 选(B).****()()()A

Ax

x A Ax A x A x A x A x x λλλλ

=⇒=⇒=⇒=

.

12.(1991—Ⅴ)设,A B 为n 阶方阵,满足等式AB O =,则必有（ ）

(A)

A O =或

B O =. (B)A B O +=. (C)A O =或B O =. (D)A B O +=.

【考点】矩阵的性质. 解 选(C).00AB O AB A B =⇒=⇒⋅=.

13.(1991—Ⅴ)设

A 是m n ⨯矩阵,0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =所对应的齐次线性方程

组,则下列结论正确的是（ ）