2021高考数学总复习第八章第六节 双曲线

(二)迁移考——焦点三角形问题
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C
上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于
()
A．2
B．4
C．6
D．8
解析：由双曲线的方程得a＝1，c＝ 2，
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即(2 2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2| ＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2| ＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4. 答案：B
答案：2
5．设P是双曲线
x2 16
－
y2 20
＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右
两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左
支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17.
答案：17
式||PF1|－|PF2||＝2a，建立|PF1|·|PF2|的联系．
3．结论要记
焦点三角形的特征，如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)△PF1F2的面积S＝12|PF1|·|PF2|·sin θ＝b2·1－sincoθs θ＝tabn2θ2. (2)若焦点三角形PF1F2的内切圆与F1F2切于点Q，则点Q为 双曲线的顶点．
3．设F1，F2分别为双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦
点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝
9 4
ab，则该双曲线的离心率为________． 解析：由题设条件得|PF1|＋|PF2|＝3b，由双曲线的定义得 ||PF1|－|PF2||＝2a，两个式子平方相减得|PF1|·|PF2|＝ 9b2－4 4a2，则9b2－4 4a2＝94ab，整理得(3b－4a)·(3b＋a)＝0，
[冲关演练]
1．已知双曲线x2－
y2 24
＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支
上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为
()
A．48
B．24
C．12 解析：由双曲线的定义可得
D．6
|PF1|－|PF2|＝13|PF2|＝2a＝2， 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10， 由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形， 因此S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝24. 答案：B
5．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线
y2 4
－x2＝1有相同渐
近线的双曲线的标准方程是________________．
解析：设所求双曲线的标准方程为
y2 4
－x2＝－λ(λ>0)，即
x2 λ
－
y2 4λ
＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的
标准方程为x52－2y02 ＝1.
答案：x52－2y02 ＝1
c2＝ a2＋b2
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 实虚轴 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
过基础小题
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的
离心率分别是e1，e2，则e121＋e122＝1(此结论中两条双曲线称为共
轭双曲线)．
()
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．双曲线x32－y22＝1的焦距为
()
A．5
B. 5
C．2 5
D．1
解析：由双曲线
x2 3
－
y2 2
＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝
5， 所以双曲线x32－y22＝1的焦距为2 5. 答案：C
程为x42－1y22 ＝1. 答案：A
4．经过点P(3,2 7)，Q(－6 2，7)的双曲线的标准方程为_______． 解析：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 因为所求双曲线经过点P(3,2 7)，Q(－6 2，7)，
所以97m2m＋＋284n9n＝＝1，1， 解得mn＝＝2－15.715， 故所求双曲线方程为2y52 －7x52＝1. 答案：2y52 －7x52＝1
考点一 双曲线的标准方程
[考什么·怎么考]
高考对双曲线标准方程的考查主要有两个方面： 一是根据题设条件求双曲线的标准方程；二是通过双 曲线的标准方程求解双曲线的基本量，在选择题、填 空题和解答题中均有体现，难度中等偏上.
1．与椭圆x42＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(
)
A.x42－y2＝1
[怎样快解·准解]
求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条
件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线xa22－
y2 b2
＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝
λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的
A.x42－y2＝1
B．x2－y42＝1
C.32x02－35y2＝1
D.35x2－32y02＝1
解析：由焦距为2 5 ，得c＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直
线2x＋y＝0垂直，所以
b a
＝
1 2
.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，
所以双曲线的方程为x42－y2＝1. 答案：A
3．过双曲线C：ax22－by22＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近
2．设双曲线x42－y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直
线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为
________．
解析：由双曲线的标准方程为
x2 4
－
y2 2
＝1，得a＝2，由双曲线
的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－
即ba＝43，所以e＝
1＋ba2＝53. 答案：53
1．迁移要准
[解题师说]
看到与焦点三角形有关的问题 想到双曲线的定义及余
弦定理的应用． 2．方法要熟 (1)根据动点与两定点的距离的差的绝对值判断动点的轨
迹是否为双曲线，进而根据条件求出双曲线的方程． (2)在焦点三角形中常利用余弦定理，结合双曲线的定义
3．(教材习题改编)以椭圆x42＋y32＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的
双曲线方程为
()
A．x2－y32＝1
B.x32－y2＝1
C．x2－y22＝1
D.x42－y32＝1
解析：设要求的双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)，
由椭圆
x2 4
＋
y2 3
＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为
B.x22－y2＝1
C.x32－y32＝1
D．x2－y22＝1
解析：法一：椭圆x42＋y2＝1的焦点坐标是(± 3，0)．
设双曲线方程为xa22－by22＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2,1)，所以a42－b12＝1，又a2＋b2＝3， 解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是x22－y2＝1.
值，由定点位置确定c的值．
[注意] 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注
意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求
解．(如第4题)
考点二 双曲线定义的应用
双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是利 用定义求双曲线的标准方程；二是利用双曲线上点P与 两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a其中0＜ 2a＜|F1F2|与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角 形问题.高考对本考点的考查常以选择题、填空题的形 式出现，难度中等.
法二：设所求双曲线方程为4－x2 λ＋1－y2 λ＝1(1<λ<4)， 将点P(2,1)的坐标代入可得4－4 λ＋1－1 λ＝1， 解得λ＝2(λ＝－2舍去)， 所以所求双曲线方程为x22－y2＝1. 答案：B
2．已知双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2 5，且双曲线的
一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为 ( )
6．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线
x2 a2
－
y2 9
＝1(a＞0)的一条渐近线方程为
y＝35x，则a＝________. 解析：∵双曲线的标准方程为xa22－y92＝1(a＞0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±3ax.
又双曲线的一条渐近线方程为y＝35x，∴a＝5.
答案：5
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
范围 x≤－a 或 x≥a，y∈R y≤－a 或 y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心： 原点
顶点
性 渐近线 质 离心率
a，b，c 的关系
顶点坐标：
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
y＝±bax
y＝±abx
e＝ac，e∈ (1，＋∞)
第六 节
双曲线
过基 础知 识
1．双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于非零常 数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲 线的 焦点 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 焦距 ． 集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为 常数且 a>0，c>0.
(一)直接考——利用双曲线的定义求轨迹方程
1．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为
4，则点P的轨迹方程为
()
A.x42－y52＝1(y>0)
B.x42－y52＝1(x>0)
C.y42－x52＝1(y>0)
D.y42－x52＝1(x>0)
解析：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右
线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，
O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为
()
A.x42－1y22 ＝1
B.x72－y92＝1
C.x82－y82＝1
D.1x22 －y42＝1
解析：因为渐近线y＝
b a
x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且
4－a2＋b2 ＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方
(1)当 2a<|F1F2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当 2a＝|F1F2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当 2a>|F1F2|时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
ay22－xb22＝1(a＞0，b＞0)
图形
标准方程 xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)
支，设其方程为
x2 a2
－
y2 b2
＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，
a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为x42－y52＝1(x>0)． 答案：B
[注意] 本题中“P到F1，F2的距离之差为4”而不是“P到F1， F2的距离之差的绝对值为4”，故P点的轨迹是双曲线的一支， 而并非双曲线．
(±2,0)．
所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．
所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线标准方程为x2－y32＝1. 答案：A
4．(2017·北京高考)若双曲线x2－
y2 m
＝1的离心率为
3 ，则实数m
＝________.
解析：由已知可得a＝1，c＝ 1＋m， 所以e＝ac＝ 1＋m＝ 3，解得m＝2.
点的轨迹是双曲线．
()
(2)方程xm2－yn2＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线． (
)
(3)双曲线方程
x2 m2
－
y2 n2
＝λ(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是
Baidu Nhomakorabea
mx22－ny22＝0，即mx ±ny＝0.
()
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2. ( )
(5)若双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)与bx22－ay22＝1(a＞0，b＞0)的
|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当AB是双曲
线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝ 2ab2＋8＝10. 答案：10
考点三 双曲线几何性质的应用 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率和渐近 线是双曲线的两个重要性质，解决此类问题的关键在于构造 含有a，b，c的等式或不等式，一般以选择题或填空题形式 考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏上.,常 见的命题角度有： 1求双曲线的离心率或范围； 2求双曲线的渐近线方程； 3求双曲线的方程.