线性连续系统的能控性
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能控性与能观性
c11 c12 c c22 21 y (t ) c m1 cm 2 c1n e1t x10 c2 n e2t x20 nt cmn e xn 0
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
现代控制理论 工程硕士 第三章 线性系统的能控性与能观性
如果存在着无约束的阶梯输入序列
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
ui ( k ), ui ( k + 1),, ui ( k + m 1) ( i = 1,2,, p )
在有限的m个采样周期之内, 在有限的m个采样周期之内,能使系统的状态向 量从任意给定的初态x(k) x(k), 量从任意给定的初态x(k),转移到任意期望的终 (k+m), 态xf(k+m),则称该离散系统是状态完全能控的 简称系统能控. ,简称系统能控.
定理
n阶线性定常离散系统 x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu( k )
状态完全能控的充要条件为, 状态完全能控的充要条件为,系统的能控性矩阵
Qk = [ B
的秩为n 的秩为n
AB
A 2 B A n 1 B ]
例:设单变量线性定常离散系统的状态方程为 1 2 1 0 x( k + 1) = 0 1 0 x( k ) + 0 u( k ) 1 4 3 1 试判断系统的能控性. 试判断系统的能控性. 解
输出y只能反映状态变量 x2 ,所以
x1不能观测.
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入, y= uc --输出. L (1)当 R1 R4 ≠ R2 R3 + u -
iL
R1
R2
R3
uc
R4
状态能控,能观测 (2)当 R1 R4 = R2 R3 uc ≡ 0 u只能控制 iL , 不能控,不能观测.
λ3 λ3 λ3
0 1 0 B = 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0
能控
4. 线性变换后系统的能控性不变 设
x = Ax + Bu
现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2
4_2能控性定义及其判别准则
第二节 能控性定义及其判别准则
1. 线性定常能控性的定义 设线性பைடு நூலகம்常系统的状态方程为：
x(t) Ax(t) Bu(t)
定义：若存在一个任意的控制向量 u(t), 能在有限的 时间 t0 t t1内，把系统从初始状态 x(t0 ) (t0可为0)转 移到终止状态 x(t1) 0，则称系统状态在t0时刻是能
z z bˆu 式中 z V 1x, bˆ V 1b
用这种相似变换后得到的状态方程中状态 变量是彼此解耦的，即每个状态变量都不受其 它状态变量的影响，而只受控制作用的直接控 制，显然，系统状态能控的条件是控制矩阵每 个元素均不为零, 即
bˆi 0
12
推广到多变量系统，变换后，状态方程为:
z z Bˆu
P64
21
作业
P107 第一题 P108 第二、三、六题 P109 第八题
22
下面给出将状态方程化为对角线型或亚当标 准型的方法，同时根据能控性定义，给出吉伯特 准则。
10
首先考虑单变量系统（线性定常），其状态 方程为：
x Ax bu
设矩阵A的各特征值互不相同，则有一个
n×n维非奇异阵V将A化为对角线矩阵 ,
即
1
0
V 1AV
2
0
n
11
经过变换后的状态方程为：
0
1
1
0
矩阵J为：
0
J
0 1 4 1 0 4
6
0
n
15
在这种情况下，Gilbert提出的系统状态完全 能控的条件为： 1) V-1B中与每个亚当块最后一行相对应的行向量
不为0； 2) V-1B中与不同特征值相对应的各行中元素不全
1. 线性定常能控性的定义 设线性பைடு நூலகம்常系统的状态方程为：
x(t) Ax(t) Bu(t)
定义：若存在一个任意的控制向量 u(t), 能在有限的 时间 t0 t t1内，把系统从初始状态 x(t0 ) (t0可为0)转 移到终止状态 x(t1) 0，则称系统状态在t0时刻是能
z z bˆu 式中 z V 1x, bˆ V 1b
用这种相似变换后得到的状态方程中状态 变量是彼此解耦的，即每个状态变量都不受其 它状态变量的影响，而只受控制作用的直接控 制，显然，系统状态能控的条件是控制矩阵每 个元素均不为零, 即
bˆi 0
12
推广到多变量系统，变换后，状态方程为:
z z Bˆu
P64
21
作业
P107 第一题 P108 第二、三、六题 P109 第八题
22
下面给出将状态方程化为对角线型或亚当标 准型的方法，同时根据能控性定义，给出吉伯特 准则。
10
首先考虑单变量系统（线性定常），其状态 方程为：
x Ax bu
设矩阵A的各特征值互不相同，则有一个
n×n维非奇异阵V将A化为对角线矩阵 ,
即
1
0
V 1AV
2
0
n
11
经过变换后的状态方程为：
0
1
1
0
矩阵J为：
0
J
0 1 4 1 0 4
6
0
n
15
在这种情况下，Gilbert提出的系统状态完全 能控的条件为： 1) V-1B中与每个亚当块最后一行相对应的行向量
不为0； 2) V-1B中与不同特征值相对应的各行中元素不全
现代控制理论第三章
B
AB
0 1 An 1B n 1
如果系统是能控的，对于任意给定的初始状态x(0)都 能解出 i , i 0, , n 1，其有解的充分必要条件为
rank B AB An 1 B n
判断下面系统的能控性
输出能控性定义:如果系统的输入信号能在有限的 时间区间[t0，tf]内，将系统的任意初始输出转移到y(tf)， 那么该系统为输出完全能控的。
输出能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu y Cx Du
状态完全能控的充分必要条件是
rank CB CAB CAn 1 B D m
上式表明，根据在[0，tf]时间的量测值y(t)，能够 将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是
C CA n rank n 1 CA
（1）在能观测性定义中之所以把其规定为对初始 状态的确定，是因为一旦确定了初始状态，便可以 根据给定的输入信号u(t)，利用状态转移方程求出系 统在各个瞬时的状态。 （2）能观测性表示的是y(t)反映状态向量x(t)的能 力，考虑到输入信号u(t)所引起的输出是可计算的， 所以在分析能观测性问题时，常令u(t)=0。
S1的能控性等价于S2的能观性
S1的能观性等价于S2的能控性
四、能控标准型和能观标准型（单变量系统线性系统） 1 、能控标准型 若系统的状态空间表达式为：
x ' Ac x bcu y Cc x
0 Ac 0 an
1 0 an 1
0 1 a1
能控性判据：考虑系统
x ' Ax Bu
状态完全能控的充分必要条件是
rank B AB An 1 B n
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性
1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。
能控性和能观测性
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
线性系统能控性能控性与能观性
时变系统
能达性定义及判据 能观性定义及判据
①Gram 判据 ①Gram 矩阵非奇异
离散时间线性
能控性判据 ①Gram 判据②秩判据
rank H GH G n 1 H n
时不变系统
能达性判据 能观性判据 ①Gram 判据②秩判据 ①Gram 判据②秩判据
三、连续时间线性时不变系统的结构分解
* * 于物理构成，问题的提法；取输出反馈控制律 u Fy v ，对任意给定期望极点组 1 , * 2 , n ，确定
一个反馈矩阵 F ，使导出的输出反馈闭环系统
x A BFC x Bv y Cx
的所有特征值实现期望的配置，即有 i A BFC * i ， i 1,2, , n 。 输出反馈局限性： （1）对完全能控连续时间线性时不变受控系统，输出反馈一般不能任意配置系 统全部极点。 （2）对完全能控 n 维 SISO-LTIC 受控系统，输出反馈只能使闭环极点配置到根轨迹上。 扩大输出反馈配置功能的一个途径是采用动态输出反馈， 即在采用输出反馈同时附加引入补偿器。 可以证明，通过合理选取补偿器机构和特性，可对带补偿器输出反馈系统的全部极点进行任意配置。 4.2 状态反馈镇定问题 4.2.1 所谓的镇定问题就是，对给定的线性时不变受控系统，确定状态反馈控制律 u Kx v ，使 导出的状态反馈闭环系统 x A BK x Bv 为渐进稳定，即闭环系统特征值均具有负实部。 镇定问题实质上属于极点区域配置问题，对于镇定问题，系统闭环极点的综合目标，并不要求配 置于任意指定期望位置，而只要求配置于复平面的左半开平面上。 4.2.2 可镇定条件
4.1.2 极点配置问题的算法 [极点配置定理] 对 n 维连续时间线性时不变系统，系统可通过状态反馈任意配置全部 n 个极点 即特征值的充分必要条件是 A, B完全能控。 [多输入状态反馈阵算法] 给定 n 维多输入连续时间时不变受控系统 A, B 和一组任意的期望闭
4 线性系统的能控性与能观性
4 线性系统的能控性与能观性内容提要能观性与能控性是现代控制理论中的两个重要问题。
比如在设计最优控制系统时，目的在于通过控制变量的作用，使系统的状态按预期的轨迹运行，如果状态变量不受控制，当然无法实现最优控制。
另外，一个系统的状态变量往往难以测取，需要由输出量来估计状态，不能观测的系统就无法实现此目的。
本章主要介绍线性系统的能控能观方面的基本知识，内容包括：1) 能控性与能观性两个基础性概念，它们的判别准则以及对偶关系；2) 分析系统的内在结构，按能控性与能观性进行的标准分解；3) 系统能控性、能观性和传递函数矩阵间的关系，即系统状态空间描述法与输入输出描述法的关系；4) 能控标准形和能观标准形；5) 系统的实现和传递函数矩阵的最小实现问题。
习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x4) u x x x x x x x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110 000000000001432111114321λλλλ 5) u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡031 2025016200340321321解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab 从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C 显然有[]n Ab b U C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
第三章线性系统的能控性和能观性
0 1 3 1 1
x
x1
x2
x3
u
u1 u2
判断能控性
解： Sc [B AB A2B]
2 1 3 2 5 4
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
S rank c =2<3,不能控
对于： 行数＜列数的情况下求秩时：
rankSc =rank [Sc ScT ]nn
.
解：
Sc [b Ab]
Sc b Ab
如果rank Sc =2,
b1 b2
则必须要求
1b1 2b2
b1b2(2 1)
b1 0,b2 0
.
4. 定理3：设 x Ax Bu，
若Ａ为约当型，则状态完全能控的充 要条件是：
一重特征值对应单一约当块时，Ｂ阵 中与每一个约当块的最后一行相应的所 有的行元素不全为零．
2. 定理：设 x(k 1) Ax(k) Bu(k)
则系统完全能控的充要条件： rankSc=n
其中：
SC [B AB An1B]
例1：
1 0
x(k
1)
0
2
判断系统的能控性1．1
0 1
2 x(k) 0 u(k)
0
1
解：
1 1 1
Sc [b Ab A2b] 0 2 2
1 1 3
0
0
b 0
1
且：
例：
. 1 1 1 求x能控1标准0型．x 1u
解：
1 0
rSaCnkS[cb=2Ab]能控1 1
SC
1
1 1
0 1
1 P1 [01]1
0 1
线性系统理论(第四章)线性系统的能控性和能观测性
An1B] T S 0
rankS n 系统状态不能控，与已知矛盾。
同理可证充分性。
例 线性定常连续系统的状态方程如下，判断其能控性。
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0
x
x u0 0 0 1 Nhomakorabea0
1
0 0 5 0 2 0
系统的特征值： 1 2 0 ,3 5 ,4 5
当 1 2 0 时：
② 系统能控：如果状态空间中的所有非零状态都是在 t0 时 刻可控的，则称系统在 t0 时刻是完全可控，简称系统在 时刻 t0 可控。如果系统对任意初始时刻 t0 完全可控， 则称系统一致可控。
③系统不完全能控：如果对给定得初始时刻 t0 Tt ，如果状
态空间中存在一个或一些非零状态在 t0 时刻是不可控的，则 称系统在 t0 时刻是不完全可控的，也称系统是不可控的。
x0TWC (0, t1)x0
t1 0
x0T
eAt
BBT
eAT t
x0
dt
t1 0
BT
eAT t
x0
2
dt
0,
BT eATt x0 0
x(t1) eAt1 x0
t1 eA(t1t) Bu(t) d t 0
0
x0
et1 -At1
0
Bu(t) d t
x0
2
x0T x0
[
et1 -At1
An1B] T S 0
T Ai B 0； i 0，1，2， ，n 1 应用凯-哈定理 An , An1 均可表示为A 的 n-1 阶多项式
T Ai B 0； i 0，1，2，3,
对 t1 0
(1)i T
Ai t i i!
线性系统的能控性和能观性
例3.4 判断下列系统的能控性
(1)、A
2
0
0 1 1, B 0
(2)、A
2
0
0 1 1, B 1
(3)、A
1
0
01B
1 1
3 1 0 0 0
(4)、A
0
3 0, B 2 1
0 0 1 0 3
4 1 0 0
(5)、A
0
4
0 , B 1
0 0 4 2
所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块 对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控， 可算出rank[M]<3.
,t0)
tf t0
(
t
f
, )B()u()d
x(t0 )
tf t0
(
t
0
,
)B()u
()d
意义：系统状态x(t0)能控，即[t0,tf]区间上受 u(t)控制。
（三）能控性判据 [定理3.1]系统∑(A(t),B(t),C(t))在t0时刻或[t0,tf]
完全能控的充要条件是矩阵Φ(t0,t)*B(t)是行 线性无关的（满秩的、非奇异的）
例：x
1
0
-
-
02x 10u, y 1 1x
分析： 1、x1与输入u无关，不能 控，x2能控， x1, x2不完 全能控。 2、y= x1+ x2 , x1或x2 都能对y产生影响，通 过y能确定x1或x2 ，能 观测。
3、能控能观是最优制和 最优估计的设计基础。
3.1 线性连续系统的能控性
)d
x(t f ) (t f )x(0) 0t f (t f )B( )u( )d x(0) 0t f ( )Bu( )d
线性控制系统的能控能观性
输出量ｙ的量测来获得，这完全由被控系统的内部特性所决定。
的可观性。
所以存在系统内部状态能控性与能观性的问题。
能观性是指系统状态和输出量之间的关系，换言之，我们
一、线性连续系统的能控性
能否通过对输出量在有限时间间隔内的量测，来确定或识别任
状态能控性：线性连续系统的状态态。设线性连续系统状态空间表达式为
则系统能控的充分必要条件是对于Ａ的每个特征值的约旦块 的Ｂ分块的最后一行都不全为零。线性定常系统的输出的能
性。
控性判据为能控矩阵［Ｃ ｃＢ…ＣＡ。一。Ｂ］满秩。
在经典控制理论中，由于所讨论的是单输入单输出系统， 它的输入量与输出量之间的关系可唯一地由系统传递函数所确
二、线性连续系统的能观性 为了降低参数灵敏度，抑制干扰构成最优系统，控制系统
五、连续系统能控性能观性与离散系统的能控性能观性之 间的关系
对于连续系统和离散系统，如果把连续系统中的矩阵Ａ，Ｂ 分别替换为离散系统的Ｇ，Ｈ就成为离散系统的相应判据。由 于连续系统的能控性与能观性是一致的，而离散系统只有在Ｇ 为非奇异阵时，其能观测性与能控性才一致。我们已经知道如 果采样周期选择不当，稳定的连续系统经过采样离散化后可能 不稳定，原来完全能控能观的连续系统离散化后系统也可能不 能控不能观。所以如果连续系统不能控（不能观），则对任意采
样周期Ｔ离散化后的系统也是不能控（不能观）。或者，如果离 散化后的系统是能控（能观）的，则离散化前的连续系统一定是 能控（能观）的。
六、线性系统的对偶关系 系统的能控性讨论的是输入与状态之间的关系，而系统的 能观性讨论的是状态与输出之间的关系，二者在概念和判据上 都有相似之处，所以它们之间应存在某种内在联系即对偶性。 若线性系统∑。和∑：互为对偶系统，则ｙ。能控性等价与∑： 能观性；∑，能观性等价于∑：能控性。能控系统与能构系统互 为对偶系统。 七湘关概念 对于—个局部可观测的系统，如果其不可观测的模态是稳 定的，而其可观测的模态是不稳定的，那么该稳定系统是可检测 的。对于一部分可控的系统，如果其不可控的模态是稳定的，而 不稳定的模态是可控的，那么就称这个系统是稳定的。 任何—个控制都有控制目标，针对既定的控制目标，我们 关心是否存在符合约束条件的控制措施，使得系统的状态与控 制目标之间的偏差达到理想水平。若存在这样的控制措施就是 能控，否则为不能控。因此，能控性与某—个具体的控制目标密 切相关，而不是针对任意给定的目标来定义的。同时在实际中 考虑系统是否能控首先应该明确所要研究的系统状态，否则将 失去分析研究的意义。能观测性关心的是系统的外部变量能否 完全反应系统内部状态。对于完全能观测的系统，如果利用输 人输出来确定系统的状态则是另外的问题，同时这也是控制理 论的重要内容。 对任何—个系统进行分析，包括定量分析与定性分析。由 于每个人建立的模型不尽相同，要想完全了解一个系统并达到 理想状态，就要根据运动机理或通过状态观测，抓住事物的本质 特征，建立—个好的模型，从而使分析研究达到理想水平。 现在控制理论发展趋势是智能控制。智能控制是把人的 思维过程模拟化并利用计算机模仿人的智能科学。在基础理论 方面涉及传统人工智能的知识，计算智能（如模糊计算、神经计 算和进化计算等）和机器学习等。在技术方面，有专家控制、模 糊控制、神经控制、仿人控制等的研究。在实际应用方面，从实 验室到工业现场，从家用电器到航天控制以及工业机器人都有 十分广泛的应用。
现代控制理论第3章
第三章线性控制系统的能控性与能观测性分析3.1 线性连续系统的能控性3.2 线性连续系统的能观测性3.3 对偶原理3.4 线性离散系统的能控性和能观测性3.5 线性系统的结构分解3.6 线性连续系统的实现3.7 传递函数与能控性及能观测性之间的关系系统n x x x ,,,21L 状态1u 2u n u 1y 1y ny M M M M为什么要讨论系统的能控性和能观测性？能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地揭示了系统内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念。
在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义。
事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。
在极点配置问题中，状态反馈存在性由系统能控性决定；在观测器设计和最优估计中，涉及系统能观测性条件。
在本章中，我们的讨论将限于线性系统。
将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。
3.1.1 概述3.1 线性连续系统的能控性能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”内部状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。
u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2150042121&&[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2160x x y [例3.1]给定系统的描述为将其表为标量方程组形式，有：u x x+=114&u x x2522+−=&26x y −=分析：x 1、x 2受控于u y 与x 1无关y 与x 2有关[例3.2]：判断下列电路的能控和能观测性左上图：输入u(t)，状态x(t)，输出y(t)。
(t)，x2(t)。
右上图：输入u(t)，状态x1左图：输入u(t)，状态x(t)，x2(t)，1输出y(t) 。
3.1.2 能控性的定义Ut B X t A X )()(+=&线性时变系统的状态空间描述：∑:),,,D C B A （)1.3)()()(（U t D X t C t Y +=Jt ∈00)(X t X =其中：X 为n 维状态向量；U 为m 维输入向量；J 为时间t 的定义区间；A 为n*n 的元为t 的连续函数矩阵；B 为n*m 的元为t 的连续函数矩阵。
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Ch.4 线性系统的能控性和 能观性
本章简介(1/1)
本章简介
本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质---状态能控性和能观性,以及 这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换 中的应用, 并引入能控规范形和能观规范形, 以及实现问题与最小实现的概念。 本章最后介绍基于Matlab的控制系统的结构性分析问题 的程序设计与计算。
能控性的直观讨论(7/12)
O QO
由各水槽中所盛水量的平 衡关系和流量与压力(水面 高度)的关系,有
QO 2 Q2
1 Q1
h1 h2
dh1 A1 dt QO Q1 h1 RQ1 dh 2 A2 QO Q2 h 2 RQ2 dt 其中代表平衡工作点附近的变化量。
0
t
x (t ) (t , t0 ) x (t0 ) (t , ) B( )u( )d
t0
t
因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能 否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方 程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。
对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。
因此,给定输入u,则一定会存在唯一的输出y与之对应。
反之,对期望输出信号y,总可找到相应的输入信号 u(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能 否控制的问题。 此外,输出y一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的 性能指标。 因此,在这里不存在输出y能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般 不涉及到能否控制和能否观测的问题。
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
若图4-1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t) 和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。
能控性的直观讨论(4/12)
由状态空间模型来看(若图4-1所示的电桥 系统是平衡的,即Z1=Z2=Z3=Z4=R,) 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
概述(2/5)
动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特 征的两个重要的基本结构特性。 卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其 后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控 制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研 究,有着极其重要的意义。
系统能控性指的是控制作用u对被控系统的状态x和输 出y进行控制的可能性。
否则,就称系统为不完全能控的。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
下面通过实例来说明能控性的意义 。
能控性的直观讨论(2/12)
例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。
该电桥系统中,电源电压u(t)为 输入变量,并选择两电容器两端 的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
概述(3/5)
能观性反映由能直接测量的输入u、输出y的量测值来 确定反映系统内部动态特性的状态x的可能性。
u(t)
状 态 x(t) 能观测?
y(t)
为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?
概述(4/5)
这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分 析和综合问题,它的输入u输出y间的动态关系可以唯一地由 传递函数 G所确定。
即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数 值。
能控性的直观讨论(12/12)
因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零 或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态 方程解所规定的状态空间中的曲线上。
所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系 统并不能控。 前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性,但对 维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。 下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统 能控性的充要条件。
概述(5/5)
现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态 变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量x的维数n一般比输入向量u的维数r高,这 里存在多维状态 x 能否由少维输入u 控制的问题。 此外,状态变量x是表征系统动态变化的一组内部变量, 有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测 量或观测的输入u、输出y的信息来构造系统状态x的
Q1
0 Q0 1 h 1 h2
Q0 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。
该双水槽系统的状态能控性可分析如下:
对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量Q0的变化量Q0所引起的水槽水位 的变化。
QO 2 Q2
1 t -t t-τ x1 (t ) exp x1 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR 1 t -t t-τ x2 (t ) exp x2 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR
能控性的直观讨论(5/12)
例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通
过阀门0均匀地输入等量液体,即其流量Q0相同。
0 Q0 1 Q1
图4-2并联双水槽系统
Q0 2 Q2
h1
h2
能控性的直观讨论(6/12)
当阀门1和2的开度不变 时,设它们在平衡工作点 邻域阀门阻力相等并可 视为常数,记为R。
4.1.1 能控性的直观讨论
能控性的直观讨论(1/12)
状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起 的运动都能由输入(控制项) u(t)来影响,并能在有限时间 内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。
目录(1/1)
目
录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
状态能控性的定义(2/5)—能控性定义
定义4-1 若线性连续系统 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
x(t0)
x2 x(t0)
对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域) 和初始状态x(t0),
存在另一有限时刻t1(t1>t0,t1T),
可以找到一个控制量u(),
x(t0)
问题。
线性连续系统的能控性(1/2)
4.1 线性连续系统的能控性
本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控 性问题。 重点喔! 关键问题: 1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性 2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法 3. 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义 要理解喔!
能控性的直观讨论(11/12)
补充例2 给定系统的状态空间模型为 2 x1 x2 u x1 x1 2 x2 u x2 由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,
可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。
对该状态方程求解后可得 x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]
4.1.2 状态能控性的定义
由状态方程
x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 及其第3章的状态方程求解公式可知,
状态能控性的定义(1/5)
状态的变化主要取决于系统的初始状态x0和初始时刻 之后的输入 u(t),与输出y(t)无关。
x(t ) (t )x0 (t )Bu( )d
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
x2
1 x2 RC 2
由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2 的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。 因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状 态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。
能控性的直观讨论(10/12)
补充例1 给定系统的状态空间模型与结构图分别为
x1 x1 x1 2 x2 u x2
1/s -1
x1
1/s -2
x2
y
u
本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无 关, 即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限 时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。
0
x1
能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,
则称t0时刻的状态x(t0)能控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统 在t0时刻状态完全能控;
线性连续系统的能控性(2/2)
本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义, 然后再引出状态能控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性 严格定义的确切含义是有益的。 本节讲授顺序为:
能控性的直观讨论
状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性 线性时变连续系统的状态能控性
本章简介(1/1)
本章简介
本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质---状态能控性和能观性,以及 这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换 中的应用, 并引入能控规范形和能观规范形, 以及实现问题与最小实现的概念。 本章最后介绍基于Matlab的控制系统的结构性分析问题 的程序设计与计算。
能控性的直观讨论(7/12)
O QO
由各水槽中所盛水量的平 衡关系和流量与压力(水面 高度)的关系,有
QO 2 Q2
1 Q1
h1 h2
dh1 A1 dt QO Q1 h1 RQ1 dh 2 A2 QO Q2 h 2 RQ2 dt 其中代表平衡工作点附近的变化量。
0
t
x (t ) (t , t0 ) x (t0 ) (t , ) B( )u( )d
t0
t
因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能 否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方 程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。
对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。
因此,给定输入u,则一定会存在唯一的输出y与之对应。
反之,对期望输出信号y,总可找到相应的输入信号 u(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能 否控制的问题。 此外,输出y一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的 性能指标。 因此,在这里不存在输出y能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般 不涉及到能否控制和能否观测的问题。
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
若图4-1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t) 和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。
能控性的直观讨论(4/12)
由状态空间模型来看(若图4-1所示的电桥 系统是平衡的,即Z1=Z2=Z3=Z4=R,) 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
概述(2/5)
动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特 征的两个重要的基本结构特性。 卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其 后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控 制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研 究,有着极其重要的意义。
系统能控性指的是控制作用u对被控系统的状态x和输 出y进行控制的可能性。
否则,就称系统为不完全能控的。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
下面通过实例来说明能控性的意义 。
能控性的直观讨论(2/12)
例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。
该电桥系统中,电源电压u(t)为 输入变量,并选择两电容器两端 的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
概述(3/5)
能观性反映由能直接测量的输入u、输出y的量测值来 确定反映系统内部动态特性的状态x的可能性。
u(t)
状 态 x(t) 能观测?
y(t)
为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?
概述(4/5)
这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分 析和综合问题,它的输入u输出y间的动态关系可以唯一地由 传递函数 G所确定。
即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数 值。
能控性的直观讨论(12/12)
因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零 或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态 方程解所规定的状态空间中的曲线上。
所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系 统并不能控。 前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性,但对 维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。 下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统 能控性的充要条件。
概述(5/5)
现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态 变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量x的维数n一般比输入向量u的维数r高,这 里存在多维状态 x 能否由少维输入u 控制的问题。 此外,状态变量x是表征系统动态变化的一组内部变量, 有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测 量或观测的输入u、输出y的信息来构造系统状态x的
Q1
0 Q0 1 h 1 h2
Q0 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。
该双水槽系统的状态能控性可分析如下:
对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量Q0的变化量Q0所引起的水槽水位 的变化。
QO 2 Q2
1 t -t t-τ x1 (t ) exp x1 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR 1 t -t t-τ x2 (t ) exp x2 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR
能控性的直观讨论(5/12)
例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通
过阀门0均匀地输入等量液体,即其流量Q0相同。
0 Q0 1 Q1
图4-2并联双水槽系统
Q0 2 Q2
h1
h2
能控性的直观讨论(6/12)
当阀门1和2的开度不变 时,设它们在平衡工作点 邻域阀门阻力相等并可 视为常数,记为R。
4.1.1 能控性的直观讨论
能控性的直观讨论(1/12)
状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起 的运动都能由输入(控制项) u(t)来影响,并能在有限时间 内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。
目录(1/1)
目
录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
状态能控性的定义(2/5)—能控性定义
定义4-1 若线性连续系统 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
x(t0)
x2 x(t0)
对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域) 和初始状态x(t0),
存在另一有限时刻t1(t1>t0,t1T),
可以找到一个控制量u(),
x(t0)
问题。
线性连续系统的能控性(1/2)
4.1 线性连续系统的能控性
本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控 性问题。 重点喔! 关键问题: 1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性 2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法 3. 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义 要理解喔!
能控性的直观讨论(11/12)
补充例2 给定系统的状态空间模型为 2 x1 x2 u x1 x1 2 x2 u x2 由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,
可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。
对该状态方程求解后可得 x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]
4.1.2 状态能控性的定义
由状态方程
x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 及其第3章的状态方程求解公式可知,
状态能控性的定义(1/5)
状态的变化主要取决于系统的初始状态x0和初始时刻 之后的输入 u(t),与输出y(t)无关。
x(t ) (t )x0 (t )Bu( )d
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
x2
1 x2 RC 2
由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2 的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。 因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状 态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。
能控性的直观讨论(10/12)
补充例1 给定系统的状态空间模型与结构图分别为
x1 x1 x1 2 x2 u x2
1/s -1
x1
1/s -2
x2
y
u
本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无 关, 即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限 时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。
0
x1
能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,
则称t0时刻的状态x(t0)能控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统 在t0时刻状态完全能控;
线性连续系统的能控性(2/2)
本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义, 然后再引出状态能控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性 严格定义的确切含义是有益的。 本节讲授顺序为:
能控性的直观讨论
状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性 线性时变连续系统的状态能控性