线性连续系统的能控性
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0
t
x (t ) (t , t0 ) x (t0 ) (t , ) B( )u( )d
t0
t
因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能 否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方 程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。
对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。
Leabharlann Baidu
QO 2 Q2
1 t -t t-τ x1 (t ) exp x1 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR 1 t -t t-τ x2 (t ) exp x2 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
若图4-1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t) 和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。
能控性的直观讨论(4/12)
由状态空间模型来看(若图4-1所示的电桥 系统是平衡的,即Z1=Z2=Z3=Z4=R,) 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
O QO 1 Q1 h1 h2
能控性的直观讨论(9/12)
QO 2 Q2
1 t -t t-τ x1 (t ) exp x1 (0) 0 exp Qo ( )d AR A AR 1 t -t t-τ x2 (t ) exp x2 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR
目录(1/1)
目
录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
线性连续系统的能控性(2/2)
本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义, 然后再引出状态能控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性 严格定义的确切含义是有益的。 本节讲授顺序为:
能控性的直观讨论
状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性 线性时变连续系统的状态能控性
试分析电源电压u(t)对两个状 态变量x1(t)和x2(t)的控制能力。
+ x1 ﹣ + C1 R + R 图4-1 电桥系统
x2
R ﹣
u
C2 R
能控性的直观讨论(3/12)
由电路理论知识可知, 若图4-1所示的电桥系统是平衡的(例 Z1=Z2=Z3=Z4=R),电容C2的电压x2(t)是 不能通过输入电压u(t)改变的,即状态 变量x2(t)是不能控的,则系统是不完全 能控的。
问题。
线性连续系统的能控性(1/2)
4.1 线性连续系统的能控性
本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控 性问题。 重点喔! 关键问题: 1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性 2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法 3. 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义 要理解喔!
0
x1
能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,
则称t0时刻的状态x(t0)能控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统 在t0时刻状态完全能控;
能控性的直观讨论(7/12)
O QO
由各水槽中所盛水量的平 衡关系和流量与压力(水面 高度)的关系,有
QO 2 Q2
1 Q1
h1 h2
dh1 A1 dt QO Q1 h1 RQ1 dh 2 A2 QO Q2 h 2 RQ2 dt 其中代表平衡工作点附近的变化量。
因此,给定输入u,则一定会存在唯一的输出y与之对应。
反之,对期望输出信号y,总可找到相应的输入信号 u(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能 否控制的问题。 此外,输出y一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的 性能指标。 因此,在这里不存在输出y能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般 不涉及到能否控制和能否观测的问题。
概述(5/5)
现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态 变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量x的维数n一般比输入向量u的维数r高,这 里存在多维状态 x 能否由少维输入u 控制的问题。 此外,状态变量x是表征系统动态变化的一组内部变量, 有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测 量或观测的输入u、输出y的信息来构造系统状态x的
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数 值。
能控性的直观讨论(12/12)
因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零 或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态 方程解所规定的状态空间中的曲线上。
所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系 统并不能控。 前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性,但对 维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。 下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统 能控性的充要条件。
概述(2/5)
动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特 征的两个重要的基本结构特性。 卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其 后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控 制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研 究,有着极其重要的意义。
系统能控性指的是控制作用u对被控系统的状态x和输 出y进行控制的可能性。
能控性的直观讨论(8/12)
选上述方程中变化量h1和h2为状态变量x1、x2,将状态 变量带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,则有
1 1 x1 AR x1 A Qo 1 1 x2 x2 Qo AR A
解上述状态方程,可得
O QO 1 Q1 h1 h2
能控性的直观讨论(11/12)
补充例2 给定系统的状态空间模型为 2 x1 x2 u x1 x1 2 x2 u x2 由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,
可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。
对该状态方程求解后可得 x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
x2
1 x2 RC 2
由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2 的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。 因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状 态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。
概述(1/5)
概 述
重点问题喔!
本章讨论线性定常系统的定性分析--结构性问题和系统综 合问题,主要内容有: 结构性问题--能控性、能观性、对偶原理 难点喔! 结构分解 能控规范形和能观规范形 系统实现 重点喔!
系统综合问题--状态反馈和状态观测器 Control? Feedback?
Q1
0 Q0 1 h 1 h2
Q0 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。
该双水槽系统的状态能控性可分析如下:
对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量Q0的变化量Q0所引起的水槽水位 的变化。
4.1.1 能控性的直观讨论
能控性的直观讨论(1/12)
状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起 的运动都能由输入(控制项) u(t)来影响,并能在有限时间 内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
概述(3/5)
能观性反映由能直接测量的输入u、输出y的量测值来 确定反映系统内部动态特性的状态x的可能性。
u(t)
状 态 x(t) 能观测?
y(t)
为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?
概述(4/5)
这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分 析和综合问题,它的输入u输出y间的动态关系可以唯一地由 传递函数 G所确定。
能控性的直观讨论(10/12)
补充例1 给定系统的状态空间模型与结构图分别为
x1 x1 x1 2 x2 u x2
1/s -1
x1
1/s -2
x2
y
u
本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无 关, 即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限 时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。
否则,就称系统为不完全能控的。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
下面通过实例来说明能控性的意义 。
能控性的直观讨论(2/12)
例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。
该电桥系统中,电源电压u(t)为 输入变量,并选择两电容器两端 的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。
能控性的直观讨论(5/12)
例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通
过阀门0均匀地输入等量液体,即其流量Q0相同。
0 Q0 1 Q1
图4-2并联双水槽系统
Q0 2 Q2
h1
h2
能控性的直观讨论(6/12)
当阀门1和2的开度不变 时,设它们在平衡工作点 邻域阀门阻力相等并可 视为常数,记为R。
4.1.2 状态能控性的定义
由状态方程
x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 及其第3章的状态方程求解公式可知,
状态能控性的定义(1/5)
状态的变化主要取决于系统的初始状态x0和初始时刻 之后的输入 u(t),与输出y(t)无关。
x(t ) (t )x0 (t )Bu( )d
状态能控性的定义(2/5)—能控性定义
定义4-1 若线性连续系统 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
x(t0)
x2 x(t0)
对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域) 和初始状态x(t0),
存在另一有限时刻t1(t1>t0,t1T),
可以找到一个控制量u(t),
x(t0)
Ch.4 线性系统的能控性和 能观性
本章简介(1/1)
本章简介
本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质---状态能控性和能观性,以及 这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换 中的应用, 并引入能控规范形和能观规范形, 以及实现问题与最小实现的概念。 本章最后介绍基于Matlab的控制系统的结构性分析问题 的程序设计与计算。
t
x (t ) (t , t0 ) x (t0 ) (t , ) B( )u( )d
t0
t
因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能 否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方 程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。
对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。
Leabharlann Baidu
QO 2 Q2
1 t -t t-τ x1 (t ) exp x1 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR 1 t -t t-τ x2 (t ) exp x2 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
若图4-1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t) 和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。
能控性的直观讨论(4/12)
由状态空间模型来看(若图4-1所示的电桥 系统是平衡的,即Z1=Z2=Z3=Z4=R,) 当选择两电容器两端电压为状态变量 x1(t)和x2(t)时,可得如下状态方程: 1 1 x1 x1 u RC1 RC1
O QO 1 Q1 h1 h2
能控性的直观讨论(9/12)
QO 2 Q2
1 t -t t-τ x1 (t ) exp x1 (0) 0 exp Qo ( )d AR A AR 1 t -t t-τ x2 (t ) exp x2 (0) 0 exp Qo ( )d A AR AR
目录(1/1)
目
录
概述 4.1 线性连续系统的能控性 4.2 线性连续系统的能观性 4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性 4.4 对偶性原理 4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消 4.6 能控规范形和能观规范形 4.7 实现问题 4.8 Matlab问题 本章小结
线性连续系统的能控性(2/2)
本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义, 然后再引出状态能控性的定义。 下面将看到,这种从直观到抽象的讨论,对于理解能控性 严格定义的确切含义是有益的。 本节讲授顺序为:
能控性的直观讨论
状态能控性的定义 线性定常连续系统的状态能控性判别 线性定常连续系统的输出能控性 线性时变连续系统的状态能控性
试分析电源电压u(t)对两个状 态变量x1(t)和x2(t)的控制能力。
+ x1 ﹣ + C1 R + R 图4-1 电桥系统
x2
R ﹣
u
C2 R
能控性的直观讨论(3/12)
由电路理论知识可知, 若图4-1所示的电桥系统是平衡的(例 Z1=Z2=Z3=Z4=R),电容C2的电压x2(t)是 不能通过输入电压u(t)改变的,即状态 变量x2(t)是不能控的,则系统是不完全 能控的。
问题。
线性连续系统的能控性(1/2)
4.1 线性连续系统的能控性
本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控 性问题。 重点喔! 关键问题: 1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性 2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法 3. 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义 要理解喔!
0
x1
能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,
则称t0时刻的状态x(t0)能控;
若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控,则称系统 在t0时刻状态完全能控;
能控性的直观讨论(7/12)
O QO
由各水槽中所盛水量的平 衡关系和流量与压力(水面 高度)的关系,有
QO 2 Q2
1 Q1
h1 h2
dh1 A1 dt QO Q1 h1 RQ1 dh 2 A2 QO Q2 h 2 RQ2 dt 其中代表平衡工作点附近的变化量。
因此,给定输入u,则一定会存在唯一的输出y与之对应。
反之,对期望输出信号y,总可找到相应的输入信号 u(即控制量)使系统输出按要求进行控制,不存在能 否控制的问题。 此外,输出y一般是可直接测量,不然,则应能间接测量。 否则,就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的 性能指标。 因此,在这里不存在输出y能否测量(观测)的问题。 所以,无论是从理论还是实践,经典控制理论和技术一般 不涉及到能否控制和能否观测的问题。
概述(5/5)
现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态 变化的状态进行分析、优化和控制。 状态变量向量x的维数n一般比输入向量u的维数r高,这 里存在多维状态 x 能否由少维输入u 控制的问题。 此外,状态变量x是表征系统动态变化的一组内部变量, 有时并不能直接测量或间接测量,故存在能否利用可测 量或观测的输入u、输出y的信息来构造系统状态x的
由上述解可知,当初始状态x1(0)和x2(0)不等时,则x1(t)和 x2(t)的状态轨迹完全不相同,即在有限时间内两条状态 轨线不相交。 因此,对该系统,无论如何控制流入的流量QO(t),都不能 使两水槽的液面高度的变化量h1(t)和h2(t)在有限时 间内同时为零,即液面高度不完全能进行任意控制。 上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义,能控性在系 统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明。
即状态x1(t)和x1(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数 值。
能控性的直观讨论(12/12)
因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零 或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态 方程解所规定的状态空间中的曲线上。
所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系 统并不能控。 前面4个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性,但对 维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。 下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统 能控性的充要条件。
概述(2/5)
动态系统的能控性和能观性是揭示动态系统不变的本质特 征的两个重要的基本结构特性。 卡尔曼在60年代初首先提出状态能控性和能观性。其 后的发展表明,这两个概念对回答被控系统能否进行控 制与综合等基本性问题,对于控制和状态估计问题的研 究,有着极其重要的意义。
系统能控性指的是控制作用u对被控系统的状态x和输 出y进行控制的可能性。
能控性的直观讨论(8/12)
选上述方程中变化量h1和h2为状态变量x1、x2,将状态 变量带入方程中并消去中间变量Q1和Q2消去,则有
1 1 x1 AR x1 A Qo 1 1 x2 x2 Qo AR A
解上述状态方程,可得
O QO 1 Q1 h1 h2
能控性的直观讨论(11/12)
补充例2 给定系统的状态空间模型为 2 x1 x2 u x1 x1 2 x2 u x2 由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制,
可以说,x1(t)和x1(t)都是单独能控的。
对该状态方程求解后可得 x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)]
+ x1 + C1 R + R R -
x2
u
C2 R
x2
1 x2 RC 2
由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2 的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。 因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状 态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。
概述(1/5)
概 述
重点问题喔!
本章讨论线性定常系统的定性分析--结构性问题和系统综 合问题,主要内容有: 结构性问题--能控性、能观性、对偶原理 难点喔! 结构分解 能控规范形和能观规范形 系统实现 重点喔!
系统综合问题--状态反馈和状态观测器 Control? Feedback?
Q1
0 Q0 1 h 1 h2
Q0 2 Q2
图中h1(t)和h2(t)分别为水槽液面高度,Q1(t)和Q2(t)分 别为流量。
该双水槽系统的状态能控性可分析如下:
对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的 水流体已处于平衡。 下面仅考虑流量Q0的变化量Q0所引起的水槽水位 的变化。
4.1.1 能控性的直观讨论
能控性的直观讨论(1/12)
状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起 的运动都能由输入(控制项) u(t)来影响,并能在有限时间 内控制到空间原点,那么称系统是能控的, 或者更确切地说,是状态能控的。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
概述(3/5)
能观性反映由能直接测量的输入u、输出y的量测值来 确定反映系统内部动态特性的状态x的可能性。
u(t)
状 态 x(t) 能观测?
y(t)
为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题?
概述(4/5)
这是因为经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分 析和综合问题,它的输入u输出y间的动态关系可以唯一地由 传递函数 G所确定。
能控性的直观讨论(10/12)
补充例1 给定系统的状态空间模型与结构图分别为
x1 x1 x1 2 x2 u x2
1/s -1
x1
1/s -2
x2
y
u
本例中,状态变量x1的运动只受初始状态x1(0)的影响,与输入无 关, 即输入u(t)不能控制x1(t)的运动,而且x1(t)不能在有限 时间内衰减到零。 因此,状态x1(t)不能控,则整个系统是状态不完全能控的。
否则,就称系统为不完全能控的。
能控? r维u(t) 状 态 n维x(t) 能控? m维y(t)
下面通过实例来说明能控性的意义 。
能控性的直观讨论(2/12)
例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。
该电桥系统中,电源电压u(t)为 输入变量,并选择两电容器两端 的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。
能控性的直观讨论(5/12)
例 某并联双水槽系统如图4-2所示,其截面积均为A,它们通
过阀门0均匀地输入等量液体,即其流量Q0相同。
0 Q0 1 Q1
图4-2并联双水槽系统
Q0 2 Q2
h1
h2
能控性的直观讨论(6/12)
当阀门1和2的开度不变 时,设它们在平衡工作点 邻域阀门阻力相等并可 视为常数,记为R。
4.1.2 状态能控性的定义
由状态方程
x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 及其第3章的状态方程求解公式可知,
状态能控性的定义(1/5)
状态的变化主要取决于系统的初始状态x0和初始时刻 之后的输入 u(t),与输出y(t)无关。
x(t ) (t )x0 (t )Bu( )d
状态能控性的定义(2/5)—能控性定义
定义4-1 若线性连续系统 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)
x(t0)
x2 x(t0)
对初始时刻t0(t0T,T为时间定义域) 和初始状态x(t0),
存在另一有限时刻t1(t1>t0,t1T),
可以找到一个控制量u(t),
x(t0)
Ch.4 线性系统的能控性和 能观性
本章简介(1/1)
本章简介
本章讨论线性系统的结构性分析问题。 主要介绍 动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质---状态能控性和能观性,以及 这两个性质在状态空间模型的结构分解和线性变换 中的应用, 并引入能控规范形和能观规范形, 以及实现问题与最小实现的概念。 本章最后介绍基于Matlab的控制系统的结构性分析问题 的程序设计与计算。