第1章金融时间序列模型分析报告
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（1）单个样本均值的t检验 调用方式：
[h,p,ci,stats]=ttest(X,m,alpha,tail) 输入参数： X：样本 m：理论值 alpha：显著性水平 tail：检验方式，tail=0表示双尾检验，tail=1表示右尾检
验（h0:ux<=m），tail=-1表示左尾检验（h0:ux>=m） ci：1-alpha的置信区间 stats：结构型变量，给出了t统计量，t统计量的自由度，
approach:计算模型参数的方法 ‘fb’:Forward-Backward方法 ’ls’:最小二乘 ’yw’:Yule-Walker方法 ’burg’:Burg’s Lattic-Based方法 ’gl’:Geomatic Lattic方法
window:处理y中缺失值的方法 ‘now’:表示观察值中没有缺失值 ‘yw’:表示Yule-Walker方法处理缺失值
2、将有限阶的ARMA模型转换为无限阶的自回 归AR模型
理论上ARMA模型可以转化为AR模型，ARMA 模型的形式如下:
实际上ARMA模型可以写成如下形式:
上式右边虽然有无穷项，但实际上可以根据需 要选取一个上限。
调用方式:
InfiniteAR=garchar(AR,MA,NumLags)
输入参数:
调用方式: R=corrcoef(x,y) 输入参数: x %观察变量 y %观察变量 输出参数: R %观察变量的相关系数矩阵
例如:
偏相关系数 一般地，在多个变量之间 y, x1, x2,..., xk ，如 果只考虑 y 与 xi(i 1,2,3,...,k) 之间的相关性而消除 其他变量的影响，这种相关叫偏相关。 调用方式: [a,b]=parcorr(Series)
AR
%AR部分的阶数
MA
%MA部分的阶数
NumLags %截取的阶数
输出阶数:
InfiniteAR %与ARMA模型等价的AR模型
例1-5 我们给出模拟的ARMA模型如下:
要求将上述ARMA模型转换为AR( )模型，来自百度文库 求取到20阶近似。 在Command窗口中执行如下命令:
1.2.3 ARX与ARMAX模型的估计
5、评价时间序列模型的FPE准则、AIC准则、 BIC准则
最终预报误差的定阶准则简称为FPE准则(Final Prediction Error)，是1971年由Akaike提出的， 主要用于AR模型的定阶。 FPE准则是以AR模型 的一步误差达到最小的相应的阶作为AR模型的 阶，用其预报效果的优劣来确定AR模型的阶数。
[PartialACF,Lags,Bounds]=parcorr(Series,nLags, R,nSTDs)
输入参数:
输出参数:
自相关系数
1.1.2 金融时间序列的统计分析
1.2.1 平稳性检验
（1）ADF检验 原假设h0：时间序列为单位根过程
[h,pValue,stat,cValue,reg]=adftest(y,'Para_Name',Para_Value,...) 输入参数：
第一步:计算时间序列的自相关系数ACF，确定 MA模型的滞后阶数，代码如下:
>>autocorr(y)
显示的自相关系数如图3.14所示。
结论:可以看出5阶偏相关系数落在置信区间外， 所以考虑用5阶的MA模型。
第二步:给出阶数为5的MA模型的形式。 注意到ARMAX的模型形式如下:
得到MA(5)的形式如下:
y：时间序列变量； Para_Name：参数名字，包括：'alpha','lags','model','test'
model包括AR,ARD,TS，test包括t1,t2,F h=0不能拒绝时间序列为单位根过程的假设，h=1拒绝 pValue：p值，若pValue<alpha,拒绝时间序列为单位根过程
1、ARMAX模型的估计 调用方式: m= armax(data,orders) m= armax(data,’na’,na,’ nb’, nb ,’nc’,nc,’nk’,nk) %m= armax(data,[na nb nc nk]) m=
armax(data,orders,’Property1’,Value1,…, ’PropertyN’,Value N)
样本的标准差；
（2）两个样本均值的t检验 [h,p,ci,stats]=ttest2(X,Y,alpha,tail,vartpye)
输入参数： vartpye：equal表示两个样本的方差相等， unequal表示方差不等。
（3）单个样本卡方检验 [h,p,ci,stats]=vartest(X,V,alpha,tail)
%m= armax(data,[na nb nc nk],Name,Value) 输入参数: data:数据 [na nb nc nk]:滞后阶数
ARMAX模型的格式： 参数na、nb、nc的不同之处在于:
其中，
如果只取na,nc,则模型变为ARMA模型 如果只取na,则模型变为AR模型 如果只取nc,则模型变为MA模型 如果只取na,nb,nk,则模型变为ARX模型 即：
输出参数: m %AR模型的文字形式 ref1 %AR模型的系数
例1-2
给出深发展2005年10月21日至2006年9月29日 的交易日收盘价收益率，收益率保存在变量y中， 用2阶的AR模型进行估计。代码如下:
从上面的结果可以知道，2阶的AR模型可以写 成如下形式:
模型中参数的估计采用了默认的“ForwardBackward”方法，上述模型的损失函数为 0.000576822，FPE准则的值为0.000587809。
(000001)与上证指数收益率，选用的时间段为
2005年10月21日到2006年9月29日的日收盘价
收益率，深发展的收益率保存在变量y中，上
证指数的收益率保存在变量u中，收益率为算
术收益率( t时刻收益率= Pt 1 )。采用ARMAX
模型进行估计，
Pt 1
代码如下:
从上面的结果可以看出，模型的形式如下:
接下来我们估计ARMA模型，在MATLAB中执行 如下命令:
上述模型等价于 整理得到ARMA模型形式如下:
损失函数值为0.000611174，FPE准则的值为 0.00064143。
作业:
利用青岛啤酒和沪深300指数2015年5月2日至 2016年5月21日的日收盘价收益率，分别用MA 模型和ARMAX模型进行估计。
的原假设
cValue：统计量拒绝原假设的临界值 reg：结构型变量，包括有效样本容量，回归系数等
（2）Phillips-Perron检验 调用方式：
[h,pValue,stat,cValue,reg]=pptest(y,'Para_Name', Para_Value,...)
输入参数同上
1.1.3 假设检验
引入滞后算子Q，模型可以表示为：
MATLAB中时间序列的模型如下：
其中：A(Q),B(Q),C(Q),D(Q),F(Q)都是含有延迟 算子的多项式。
4、多变量的时间序列模型
MATLAB中的时间序列模型非常多，在ARMA模 型、AR模型基础之上又扩展了很多新的模型， 如多变量的ARMAX和ARX。 ARMAX模型与AR、 MA、ARMA模型的区别在于引入了自变量，使 得可以处理自变量与因变量之间的关系。 MATLAB中的时间序列模型如下:
输入参数： V：方差的理论值
（4）两个样本的F检验 [h,p,ci,stats]=vartest2(X,Y,alpha,tail)
1.2 时间序列模型的估计
时间序列分析的研究对象是一系列随时间变化 而又相互关联的动态数据。George Box和 Gwilym Jenkins对时间序列的研究有独特贡献， 1970年他们合著的《时间序列分析:预测与控制》 是这方面的权威著作。
第1章 金融时间序列分析
1.1 金融时间序列的统计特征 1.2 时间序列模型 1.3 GARCH模型参数估计
1.1 金融时间序列的统计特征
函数
名称
格式
corrcoef 相关系数 r=corrcoef(x,y)
parcorr 偏相关系数 [a,b]=parcorr(series)
autocorr 自相关系数 [a,b]=autocorr(x)
输入参数: data %观察样本值 orders %确定ARX的滞后多项式的阶数 na % ARX模型中滞后多项式A(Q)的阶数 nb % ARX模型中滞后多项式B(Q)的阶数 nk % ARX模型中自变量的滞后阶数
输出参数: m %ARX模型的特征参数
例1-7 研究深发展收益率(000001)与上证指数收益率 之间的关系，选用的时间段为2005年10月21日 到2006年9月29日的日收盘价收益率，深发展 的收益率保存在变量y中，上证指数的收益率 保存在变量u中，收益率为算术收益率 ( t时刻收益率= Pt 1 )。采用ARX模型进行估计，
AR模型：armax(data,’na’,na) ARX模型：armax(data,’na’,na,’nb’,nb,’nk’,nk) MA模型：armax(data,’nc’,nc) ARMA模型：armax(data,’na’,na,’nc’,nc)
例1-6
估计ARMAX模型，数据是深发展收益率
2、ARX模型的估计 ARX模型具有如下形式:
其中，A(Q)、B(Q)都是滞后算子多项式。 MATLAB中的arx函数可以对ARX模型进行估计。
调用方式: m= arx(data,orders)
m= arx(data,’na’,na,’ nb’, nb ,’nk’,nk)
m= arx(data,orders,’Property1’,Value1,…, ’PropertyN’,V alueN)
对于时间序列模型，AIC与BIC也是判别时间序 列模型优劣的标准，MATLAB中AIC与BIC的计算 方法如下:
其中LLF为极大似然比，NumParams为待估参 数的个数，NumObs为样本数。一般而言， AIC 与BIC的值越小说明模型越好。
1.2.2 时间序列模型估计
1、AR模型的调用 调用方式: m = ar(y,n) [m,ref1]= ar(y,n,approach,window) 输入参数: y %观察值 n %AR模型的阶数
例1-4 估计ARMA模型，我们仍用上一个例子的数据。
ARMAX模型形式如下:
假设ARMA模型的阶数为 p 2,q 2 ，在 Command窗口中执行如下命令:
从上面的结构可以看出，滞后多项式A(Q)、 B(Q)的形式如下:
ARMA的模型如下:
ARMA模型的损失函数值为0.00015252，FPE准 则的值为0.000158501。
如果时间序列是它前期值与随机项的线性函数， 即
引入滞后算子Q，并记为AR(Q)。
模型可以写为：
2、移动平均（MA）模型 如果时间序列是随机项的线性组合，即
引入滞后算子Q，并记MA(Q)为：
模型可以表示为：
3、自回归移动平均模型（ARMA） 如果时间序列是随机项的线性组合和前期的线
性函数，即
1.1.1 相关系数和偏相关系数
相关性:描述两个或两个以上变量之间的非确 定关系。
简单相关:两个变量之间的相关性。 多重相关:三个或三个以上变量之间的相关性。 衡量相关性的指标:相关系数与偏相关系数。
相关系数
相关系数:衡量两个变量之间（假设分别
为 xi , yi）线性关系程度的数量指标。
时间序列模型有3种基本类型: (1)自回归(AR,Auto-Regressive)模型 (2)移动平均(MA,Moving-Average)模型 (3)自回归移动平均(ARMA, Auto-Regressive
Moving-Average)模型
1.2.1 时间序列模型介绍 1、自回归（AR）模型
下面确定AR模型的滞后阶数，我们采用偏相关 系数进行判断，首先我们计算样本的偏相关系 数。代码如下:
>>parcorr(y)
显示的偏相关系数如图3.13所示。
• 结论：偏相关系数都落在置信区间内， AR 模型不适合描述其收益率。
例1-3
给出上证指数2005年10月21日至2006年9月 29日的交易日收盘价收益率(收益率保存在变量y 中)，考虑用MA时间序列模型进行拟合。
[h,p,ci,stats]=ttest(X,m,alpha,tail) 输入参数： X：样本 m：理论值 alpha：显著性水平 tail：检验方式，tail=0表示双尾检验，tail=1表示右尾检
验（h0:ux<=m），tail=-1表示左尾检验（h0:ux>=m） ci：1-alpha的置信区间 stats：结构型变量，给出了t统计量，t统计量的自由度，
approach:计算模型参数的方法 ‘fb’:Forward-Backward方法 ’ls’:最小二乘 ’yw’:Yule-Walker方法 ’burg’:Burg’s Lattic-Based方法 ’gl’:Geomatic Lattic方法
window:处理y中缺失值的方法 ‘now’:表示观察值中没有缺失值 ‘yw’:表示Yule-Walker方法处理缺失值
2、将有限阶的ARMA模型转换为无限阶的自回 归AR模型
理论上ARMA模型可以转化为AR模型，ARMA 模型的形式如下:
实际上ARMA模型可以写成如下形式:
上式右边虽然有无穷项，但实际上可以根据需 要选取一个上限。
调用方式:
InfiniteAR=garchar(AR,MA,NumLags)
输入参数:
调用方式: R=corrcoef(x,y) 输入参数: x %观察变量 y %观察变量 输出参数: R %观察变量的相关系数矩阵
例如:
偏相关系数 一般地，在多个变量之间 y, x1, x2,..., xk ，如 果只考虑 y 与 xi(i 1,2,3,...,k) 之间的相关性而消除 其他变量的影响，这种相关叫偏相关。 调用方式: [a,b]=parcorr(Series)
AR
%AR部分的阶数
MA
%MA部分的阶数
NumLags %截取的阶数
输出阶数:
InfiniteAR %与ARMA模型等价的AR模型
例1-5 我们给出模拟的ARMA模型如下:
要求将上述ARMA模型转换为AR( )模型，来自百度文库 求取到20阶近似。 在Command窗口中执行如下命令:
1.2.3 ARX与ARMAX模型的估计
5、评价时间序列模型的FPE准则、AIC准则、 BIC准则
最终预报误差的定阶准则简称为FPE准则(Final Prediction Error)，是1971年由Akaike提出的， 主要用于AR模型的定阶。 FPE准则是以AR模型 的一步误差达到最小的相应的阶作为AR模型的 阶，用其预报效果的优劣来确定AR模型的阶数。
[PartialACF,Lags,Bounds]=parcorr(Series,nLags, R,nSTDs)
输入参数:
输出参数:
自相关系数
1.1.2 金融时间序列的统计分析
1.2.1 平稳性检验
（1）ADF检验 原假设h0：时间序列为单位根过程
[h,pValue,stat,cValue,reg]=adftest(y,'Para_Name',Para_Value,...) 输入参数：
第一步:计算时间序列的自相关系数ACF，确定 MA模型的滞后阶数，代码如下:
>>autocorr(y)
显示的自相关系数如图3.14所示。
结论:可以看出5阶偏相关系数落在置信区间外， 所以考虑用5阶的MA模型。
第二步:给出阶数为5的MA模型的形式。 注意到ARMAX的模型形式如下:
得到MA(5)的形式如下:
y：时间序列变量； Para_Name：参数名字，包括：'alpha','lags','model','test'
model包括AR,ARD,TS，test包括t1,t2,F h=0不能拒绝时间序列为单位根过程的假设，h=1拒绝 pValue：p值，若pValue<alpha,拒绝时间序列为单位根过程
1、ARMAX模型的估计 调用方式: m= armax(data,orders) m= armax(data,’na’,na,’ nb’, nb ,’nc’,nc,’nk’,nk) %m= armax(data,[na nb nc nk]) m=
armax(data,orders,’Property1’,Value1,…, ’PropertyN’,Value N)
样本的标准差；
（2）两个样本均值的t检验 [h,p,ci,stats]=ttest2(X,Y,alpha,tail,vartpye)
输入参数： vartpye：equal表示两个样本的方差相等， unequal表示方差不等。
（3）单个样本卡方检验 [h,p,ci,stats]=vartest(X,V,alpha,tail)
%m= armax(data,[na nb nc nk],Name,Value) 输入参数: data:数据 [na nb nc nk]:滞后阶数
ARMAX模型的格式： 参数na、nb、nc的不同之处在于:
其中，
如果只取na,nc,则模型变为ARMA模型 如果只取na,则模型变为AR模型 如果只取nc,则模型变为MA模型 如果只取na,nb,nk,则模型变为ARX模型 即：
输出参数: m %AR模型的文字形式 ref1 %AR模型的系数
例1-2
给出深发展2005年10月21日至2006年9月29日 的交易日收盘价收益率，收益率保存在变量y中， 用2阶的AR模型进行估计。代码如下:
从上面的结果可以知道，2阶的AR模型可以写 成如下形式:
模型中参数的估计采用了默认的“ForwardBackward”方法，上述模型的损失函数为 0.000576822，FPE准则的值为0.000587809。
(000001)与上证指数收益率，选用的时间段为
2005年10月21日到2006年9月29日的日收盘价
收益率，深发展的收益率保存在变量y中，上
证指数的收益率保存在变量u中，收益率为算
术收益率( t时刻收益率= Pt 1 )。采用ARMAX
模型进行估计，
Pt 1
代码如下:
从上面的结果可以看出，模型的形式如下:
接下来我们估计ARMA模型，在MATLAB中执行 如下命令:
上述模型等价于 整理得到ARMA模型形式如下:
损失函数值为0.000611174，FPE准则的值为 0.00064143。
作业:
利用青岛啤酒和沪深300指数2015年5月2日至 2016年5月21日的日收盘价收益率，分别用MA 模型和ARMAX模型进行估计。
的原假设
cValue：统计量拒绝原假设的临界值 reg：结构型变量，包括有效样本容量，回归系数等
（2）Phillips-Perron检验 调用方式：
[h,pValue,stat,cValue,reg]=pptest(y,'Para_Name', Para_Value,...)
输入参数同上
1.1.3 假设检验
引入滞后算子Q，模型可以表示为：
MATLAB中时间序列的模型如下：
其中：A(Q),B(Q),C(Q),D(Q),F(Q)都是含有延迟 算子的多项式。
4、多变量的时间序列模型
MATLAB中的时间序列模型非常多，在ARMA模 型、AR模型基础之上又扩展了很多新的模型， 如多变量的ARMAX和ARX。 ARMAX模型与AR、 MA、ARMA模型的区别在于引入了自变量，使 得可以处理自变量与因变量之间的关系。 MATLAB中的时间序列模型如下:
输入参数： V：方差的理论值
（4）两个样本的F检验 [h,p,ci,stats]=vartest2(X,Y,alpha,tail)
1.2 时间序列模型的估计
时间序列分析的研究对象是一系列随时间变化 而又相互关联的动态数据。George Box和 Gwilym Jenkins对时间序列的研究有独特贡献， 1970年他们合著的《时间序列分析:预测与控制》 是这方面的权威著作。
第1章 金融时间序列分析
1.1 金融时间序列的统计特征 1.2 时间序列模型 1.3 GARCH模型参数估计
1.1 金融时间序列的统计特征
函数
名称
格式
corrcoef 相关系数 r=corrcoef(x,y)
parcorr 偏相关系数 [a,b]=parcorr(series)
autocorr 自相关系数 [a,b]=autocorr(x)
输入参数: data %观察样本值 orders %确定ARX的滞后多项式的阶数 na % ARX模型中滞后多项式A(Q)的阶数 nb % ARX模型中滞后多项式B(Q)的阶数 nk % ARX模型中自变量的滞后阶数
输出参数: m %ARX模型的特征参数
例1-7 研究深发展收益率(000001)与上证指数收益率 之间的关系，选用的时间段为2005年10月21日 到2006年9月29日的日收盘价收益率，深发展 的收益率保存在变量y中，上证指数的收益率 保存在变量u中，收益率为算术收益率 ( t时刻收益率= Pt 1 )。采用ARX模型进行估计，
AR模型：armax(data,’na’,na) ARX模型：armax(data,’na’,na,’nb’,nb,’nk’,nk) MA模型：armax(data,’nc’,nc) ARMA模型：armax(data,’na’,na,’nc’,nc)
例1-6
估计ARMAX模型，数据是深发展收益率
2、ARX模型的估计 ARX模型具有如下形式:
其中，A(Q)、B(Q)都是滞后算子多项式。 MATLAB中的arx函数可以对ARX模型进行估计。
调用方式: m= arx(data,orders)
m= arx(data,’na’,na,’ nb’, nb ,’nk’,nk)
m= arx(data,orders,’Property1’,Value1,…, ’PropertyN’,V alueN)
对于时间序列模型，AIC与BIC也是判别时间序 列模型优劣的标准，MATLAB中AIC与BIC的计算 方法如下:
其中LLF为极大似然比，NumParams为待估参 数的个数，NumObs为样本数。一般而言， AIC 与BIC的值越小说明模型越好。
1.2.2 时间序列模型估计
1、AR模型的调用 调用方式: m = ar(y,n) [m,ref1]= ar(y,n,approach,window) 输入参数: y %观察值 n %AR模型的阶数
例1-4 估计ARMA模型，我们仍用上一个例子的数据。
ARMAX模型形式如下:
假设ARMA模型的阶数为 p 2,q 2 ，在 Command窗口中执行如下命令:
从上面的结构可以看出，滞后多项式A(Q)、 B(Q)的形式如下:
ARMA的模型如下:
ARMA模型的损失函数值为0.00015252，FPE准 则的值为0.000158501。
如果时间序列是它前期值与随机项的线性函数， 即
引入滞后算子Q，并记为AR(Q)。
模型可以写为：
2、移动平均（MA）模型 如果时间序列是随机项的线性组合，即
引入滞后算子Q，并记MA(Q)为：
模型可以表示为：
3、自回归移动平均模型（ARMA） 如果时间序列是随机项的线性组合和前期的线
性函数，即
1.1.1 相关系数和偏相关系数
相关性:描述两个或两个以上变量之间的非确 定关系。
简单相关:两个变量之间的相关性。 多重相关:三个或三个以上变量之间的相关性。 衡量相关性的指标:相关系数与偏相关系数。
相关系数
相关系数:衡量两个变量之间（假设分别
为 xi , yi）线性关系程度的数量指标。
时间序列模型有3种基本类型: (1)自回归(AR,Auto-Regressive)模型 (2)移动平均(MA,Moving-Average)模型 (3)自回归移动平均(ARMA, Auto-Regressive
Moving-Average)模型
1.2.1 时间序列模型介绍 1、自回归（AR）模型
下面确定AR模型的滞后阶数，我们采用偏相关 系数进行判断，首先我们计算样本的偏相关系 数。代码如下:
>>parcorr(y)
显示的偏相关系数如图3.13所示。
• 结论：偏相关系数都落在置信区间内， AR 模型不适合描述其收益率。
例1-3
给出上证指数2005年10月21日至2006年9月 29日的交易日收盘价收益率(收益率保存在变量y 中)，考虑用MA时间序列模型进行拟合。