数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答

一、复变函数部分习题解答

第一章习题解答

1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。

1u

x

∂=∂，0v y ∂=∂，

u v x y ∂∂≠∂∂。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2

f z z

=

仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。()2

2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。v v

x y

∂∂ ==0 ∂∂。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而

,,u u v v

x y x y

∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()00

00

00x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫

'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2

*

00

0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z

∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

2

2

***0*

00lim

lim lim()0z z z z z z z

zz z z z z z z

z z

=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。 【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z

z z

∆∆==∆∆】

3、设333322

()z 0

()z=0

0x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪

=+⎨⎪⎩

，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则

()332222

22

,=0

0x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪

=+⎨+⎪⎩， 332222

22

(,)=0

0x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪

=+⎨+⎪⎩

。 3

300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y

y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y

y →→-===。 ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。

但33332200()(0)()

lim lim ()()z z f z f x y i x y z

x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则

依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。

4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上必为常数。

（1）()z f 在区域D 上为实函数；

（2）()*z f 在区域D 上解析； （3）()Re z f 在区域D 上是常数。 证明：（1）令()(,)(,)f z u x y iv x y =+。

由于()z f 在区域D 上为实函数，所以在区域D 上(,)0v x y =。 ()f z 在区域D 上解析。由C －R 条件得

0u v x y

∂∂==∂∂，0u v

y x ∂∂=-=∂∂。 ∴在区域D 上(,)u x y 为常数。从而()z f 在区域D 上为常数。

（2）令()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则*()(,)(,)f z u x y iv x y =-。 ()f z 在区域D 上解析。由C －R 条件得

,u v u v

x y y x

∂∂∂∂= =-∂∂∂∂。 （1） 又*()f z 在区域D 上解析，由C －R 条件得

,u v u v x y y x

∂∂∂∂=- =∂∂∂∂。 （2） 联立（1）和（2），得

0u u v v x y x y

∂∂∂∂====∂∂∂∂。 ,u v ∴在区域D 上均为常数，从而()f z 在区域D 上为常数。

（3）令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()Re (),f z u x y =。 由题设知(),u x y 在区域D 上为常数，0u u

x y

∂∂∴==∂∂。 又由C －R 条件得，在区域D 上

0,0v u v u x y y x

∂∂∂∂=-= ==∂∂∂∂，于是v 在区域D 上为常数。

,u v ∴在区域D 上均为常数，从而在区域D 上()f z 为常数。 5、证明2xy 不能成为z 的一个解析函数的实部。

证明：令2

u xy =，2222022u u

x x x y

∂∂+=+=∂∂。

u ∴ 不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为z 的一个解析函数的实

部。

6、若z x iy =+，试证：

（1）sin sin cosh cos sinh z x y i x y =+； （2）cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-； （3）2

22sin sin sinh z x y +＝； （4）222cos cos sinh z x y =+。

证明：（1）sin sin()sin cos()cos sin()z x iy x iy x iy =+=+

cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =， sin sin cosh cos sinh z x y i x y ∴=+。

（2）cos cos()cos cos()sin sin()z x iy x iy x iy =+=-

cos()cos ,sin()sinh iy hy iy i y = =，

cos cos cosh sin sinh z x y i x y =-。

（3）2

22sin (sin cosh )(cos sinh )z x y x y =+2222sin cosh cos sinh x y x y =+ 222222sin (sin cos )sinh sin sinh x x x y x y =++=+。

（4）2222222cos (cos cosh )(sin sinh )cos cosh sin sinh z x y x y x y x y =+=+ 222222cos (cos sin )sinh cos sinh x x x y x y =++=+。 7、试证若函数()f z 和()z ϕ在0z 解析。()()()0000,0f z z z ϕϕ'==≠，