自动控制原理 第二章.控制系统数学模型

a3
s2 2s 5
(s 2)3
(s
2)3
s 2
5, a2
d ds
s2 2s
(s 2)3
5
(s
2)3
s 2
2
a1
d2 2!ds2
s2 2s
(s 2)3
5
(s
2)3
s 2
1
F (s)
(s
5 2)3
(s
2 2)2
(s
1
2)
f (t) ( 5 t2 2t 1)e2t 2
2-1 时域数学模型
1.线性元件的微分方程 在实际中，大多控制系统在一定条件下，都可用线性微
分方程来描述。
用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：
L[ d 2 f (t)] s2F (s) sf (0) f ' (0) dt 2
L[ f (t)dt] F (s) f 1(0)
s
s
L[ f (t)dt] F (s) f 1(0) f 2 (0)
s2
s2
s
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑶ 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式
数学模型的类型 （分析方法不同，各有所长）
1)时域：微分方程、差分方程、状态方程 其它模型的基础 直观 求解繁琐
2)复频域：传递函数、结构图 微分方程拉氏变换后的结果
3)频域：频率特性
数学模型的几种表示方式
数学模型
时域模型 频域模型
复Baidu Nhomakorabea 域
状态空 间模型
微分方程 差分方程 状态方程
频率 特性
方框图 信号流图 传递函数
L[eat f (t)] F (s a)
L[ f (t )] es F (s)
lim f (t) lim sF (s)
t
s 0
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
初值定理 微分定理 积分定理
lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
L[ df (t) ] sF (s) f (0) dt
进一步求解a1、a2
[a1s a2 ]s p1
[ B(s) (s A(s)
p1)(s
p2 )]s p1
B(s)
[a1s a2 ]s p2
[ (s A(s)
p1)(s
p2 )]s p2
s 1
例2：求 F(s) s3 s2 s 的Laplace逆变换
解： F (s) s 1 a1s a2 a3
s3 s2 s s2 s 1 s
s2 s 1 (s 1 j 3 )(s 1 j 3 ) 22 22
将F(s) 乘
s2 s 1
并令
s1 j 3 22
s 1 s
s1 j 3 (a1s a2 ) 22
s1 j 3 22
1 31
3
j 2
2
2 a1 a2 j(
2
a1 )
1 2
(s
p1)r ]}s p1
b1
(r
1
d r1
{ 1)!
ds
r
1
[
B(s) A(s)
(s
p1 ) r
]}s p1
其余各极点的留数确定方法与上同。
例3：求
F(s)
s2 2s (s 2)3
5
的Laplace逆变换
解：
F(s)
s2 2s 5 (s 2)3
(s
a3 2)3
(s
a2 2)2
a1 (s 2)
状态空间 方程
数学模型建立方法： 1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方
程，合在一起。 2) 实验法：施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方
法，得到数学模型。
建模原则：选择合适的分析方法－确定相应的数学模型－简化
补充 数学工具－拉普拉斯变换与反变换
⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0 ② t>0时，f(t)分段连续
F(s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F (s) a1 a2 an
s p1 s p2
s pn
B(s)
ak
[ (s A(s)
pk )]s pk
2)
(s
2)
s 2
1
s 1 s 2
因此
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 1 ] 2et e2t
s 1 s 2
b. F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F (s) B(s) a1s a2 a3 an
A(s) (s p1)(s p2 ) s p3
s pn
F (s)
br (s p1)r
(s
br 1 p1)r1
b1 (s p1)
ar 1
(s pr1)
an (s pn )
br
[ B(s) A(s)
(s
p1)r ]s p1
br 1
{d ds
[
B(s) A(s)
(s
p1 ) r
]}s
p1
br j
1 d j B(s)
j
{ ! ds
j
[
A(s)
f (t)est dt 0
则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
数学工具－拉普拉斯变换与反变换
（2）拉氏变换基本定理
线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理
L[a1 f1(t) a2 f2 (t)] a1F1(s) a2F2 (s)
第二章 控制系统的数学模型
2-1 控制系统的时域数学模型 2-2 控制系统的复域数学模型 2-3 控制系统的结构图与信号流图
什么是数学模型?
所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控
制系统定量分析的基础。
数学模型的特点
1) 相似性：不同系统，具有相同的数学模型。 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之。 3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析 4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
1 2
a1
a2
3 2
3 2 a1
解得：
aa12
1 0
a3
s 1 [ s(s2 s 1)
s]
1
s0
F (s)
s2
s s
1
1 s
(s 1) 2
(s 1)2
33 32 ( 3)2
1 s
22
f
(t)
L1[F
(s)]
1t
e 2
cos
3t
3
1t
e2
sin
3 t 1
23
2
c. F(s)含有多重极点时，可展开为
f (t) a1e p1t a2e p2t ane pnt
例1求
F (s)
s2
s
3 3s
2
的Laplace逆变换
解：
F(s)
s2
s3 3s
2
(s
s3 1)(s
2)
a1 s 1
a2 s2
其中：
s3
a1
(s
1)(s
2)
(s
1)
s 1
2
F(s)
2
1
a2
(s
s3 1)(s