反函数求导

首先，我们应当知道一个定理：如果函数X =F (Y )在定义域内可微且F ’(Y )≠ 0，则其反函数Y =F -1（X ）在F (Y )的值域内也可微，且

dy= 1

f’(y )dx 或 dy dx =1

f’(y )

例题：求y=arcsinx 的导数和微分

解：设x=siny,y ∈【−π2，π2】为直接函数，则y=arcsinx 是它的反函数。函数x=siny 在开区间（−π2，π2）单调可导，且（siny ）’=cosy ＞0.因此，在对应区间（-1,1）有dy=1 siny ’dx =1cosy dx 。

注意到cos 2y=1-sin 2y

则，dy=1 siny ’dx =1cosy dx= 1−(siny )^2。

由于x=siny ，则上式= 1−(x )^2dx ，所以d （arcsinx ）= 1−(x )^2dx 、（arcsinx ）’= 1−(x )^2

解题思路：首先，根据题中所给的函数找出其直接函数（例如立体中的y=arcsinx 的直接函数是siny=x ）此时函数的值域定义域对调。然后判定函数连续性，是否可微。再运用公式dy= 1f’ y dx 运算（此处f’ y 为直接函数）。最后对f’(y )进行适当变形，消去所有的y （全部替换为题中所给的函数）。