微分方程的幂级数解法
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§13.8 微分方程的幂级数解法 一、问题的提出
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y ′ − xy − x = 1； 2、 xy ′′ − ( x + m ) y ′ + my = 0 .( m 为自然数 ) 二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解: 1 2 3 ′ 1、 y = y + x , y x = 0 = ； 2 d2x dx = 0. 2、 2 + x cos t = 0 , x t = 0 = a , dt t = 0 dt
可进行相加和相乘的运算．
d 2 x dy t + − x = e dt 2 dt 例2 解微分方程组 2 d y + dx + y = 0. dt 2 dt d 解 用记号 D 表示 ,则方程组可记作 dt 2 t (１ ) ( D − 1) x + Dy = e 2 (２ ) Dx ( D + + 1) y = 0
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x
(1) − ( 2) × D : ( 2) − ( 3) × D :
− x − D3 y = et , ( − D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３ ) (４ ) (５ )
即
( − D + D + 1) y = e
非齐线性方程
其特征方程为 − r 4 + r 2 + 1 = 0 解得特征根为 r1, 2 1+ 5 = ±α = ± , r3, 4 = ± iβ = ± 2 5 −1 , 2
将 y , y′ 的幂级数展开式带入原 方程
a1 + 2a2 x + 3a3 x + 4a4 x + L
2 3
= x + (a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + L)2
2 2 2 = x + a1 x + 2a1a2 x 3 + ( a2 + 2a1a3 ) x 4 + L
(1) ( 2)
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = , 两边求导得， 2 + dx 2 dx dx
把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
( 4)
d 2z dz −2 +z=0 2 dx dx
x 解之得通解 z = (C1 + C 2 x )e ,
练习题答案
1 3 一、1、 y = Ce + [−1 + x + x + 1⋅ 3 x 2 n −1 L+ + L]； 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ ( 2n − 1) k m x 2、 y = C1e x + C 2 ∑ . k =0 k! 1 1 1 2 1 3 9 4 二、1、 y = + x + x + x + x + L； 2 4 8 16 32 1 2 2 4 9 55 8 2、 x = a (1 − t + t − + t − L. 2! 4! 6! 8!
L L
a0 a2 k = , k k! 2
a 2 k +1 a1 = , ( 2k + 1)!!
k = 1,2,3,L
原方程的通解
∞ 2n ∞ 2 n+1
x x y = a 0 ∑ n + a1 ∑ n = 0 2 n! n = 0 ( 2 n + 1)!!
(a 0 , a1是任意常数 )
四、小结
∞
n= 0
y ′′ = ∑ n( n − 1)a n x
n =1
∞
n− 2
= ∑ ( n + 2)(n + 1)a n+ 2 x ,
n n= 0
∞
将 y , y ′, y ′′ 带入 y ′′ − xy ′ − y = 0,
n= 0
∞
n ( n + 2 )( n + 1 ) a x − x na x ∑ ∑ n − ∑ a n x = 0, n+ 2
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
1 1 a1 = 0, a2 = , a3 = 0, a4 = 0, a5 = , L, 2 20
1 2 1 5 所求解为 y = x + x + L . 2 20
小结: 无初始条件求解
可设 y = C + ∑ an x n
n =1 ∞
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
( 5)
1 x 再把(5)代入(3)式, 得 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e . (6) 2 原方程组的通解为 1 x y = ( 2 C + C + 2 C x ) e 1 2 2 2 , x z = C + C x e ( ) 1 2
d 用 D 表示对自变量 x 求导的运算 , dx
一阶方程
作 降 变 阶 换
微分方程解题思路
作变换
分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法
积分因子
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
幂级数解法 待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练 习 题
易求一个特解 y ∗ = e t , 于是通解为
y = C1e
− αt
+ C 2e + C 3 cos β t + C 4 sin β t + e .
t
αt
(６ )
将(６)代入(３)得
x = α 3C1e −αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t + β 3C 4 sin β t − 2e t .
x2 2
§12.9 常系数线性微分方程组的解法
步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
dy dx = 3 y − 2 z , 例1 解微分方程组 dz = 2 y − z . dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
dy = x + y 2 满足 y | x = 0 = 0的特解 . 例1 求 dx 解 Q x0 = 0， y 0 = 0,
设 y = a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + L + a n x n + L ,
y′ = a1 + 2a2 x 1 + 3a3 x 2 + L + nan x n−1 + L,
= y0 的特解 .
其中 f ( x , y ) = a00 + a10 ( x − x0 ) + a 01 ( y − y0 ) + L + a lm ( x − x0 ) l ( y − y0 ) m .
y = y0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) 2 + L
其中 a1 , a 2 ,L , a n ,L为待定的系数 .
n= 0
∞
将 P ( x ), Q( x ), f ( x ) 展开为 x − x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y. 例2 求方程 y ′′ − xy ′ − y = 0的解. 解 设方程的解为 y = ∑ a n x n ,
n −1 ′ 则 y = ∑ na n x , n= 0 ∞
定理 如果方程 y′′ + P ( x ) y′ + Q( x ) y = 0 中的系数
P ( x ) 与Q( x ) 可在 − R < x < R 内展为 x 的幂级数,
那么在 − R < x < R 内原方程必有形如 y = ∑ an x n
n= 0 ∞
的解.
作法
设解为 y = ∑ a n x n ,
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y ′ − xy − x = 1； 2、 xy ′′ − ( x + m ) y ′ + my = 0 .( m 为自然数 ) 二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解: 1 2 3 ′ 1、 y = y + x , y x = 0 = ； 2 d2x dx = 0. 2、 2 + x cos t = 0 , x t = 0 = a , dt t = 0 dt
可进行相加和相乘的运算．
d 2 x dy t + − x = e dt 2 dt 例2 解微分方程组 2 d y + dx + y = 0. dt 2 dt d 解 用记号 D 表示 ,则方程组可记作 dt 2 t (１ ) ( D − 1) x + Dy = e 2 (２ ) Dx ( D + + 1) y = 0
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 x
(1) − ( 2) × D : ( 2) − ( 3) × D :
− x − D3 y = et , ( − D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３ ) (４ ) (５ )
即
( − D + D + 1) y = e
非齐线性方程
其特征方程为 − r 4 + r 2 + 1 = 0 解得特征根为 r1, 2 1+ 5 = ±α = ± , r3, 4 = ± iβ = ± 2 5 −1 , 2
将 y , y′ 的幂级数展开式带入原 方程
a1 + 2a2 x + 3a3 x + 4a4 x + L
2 3
= x + (a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + L)2
2 2 2 = x + a1 x + 2a1a2 x 3 + ( a2 + 2a1a3 ) x 4 + L
(1) ( 2)
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = , 两边求导得， 2 + dx 2 dx dx
把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
( 4)
d 2z dz −2 +z=0 2 dx dx
x 解之得通解 z = (C1 + C 2 x )e ,
练习题答案
1 3 一、1、 y = Ce + [−1 + x + x + 1⋅ 3 x 2 n −1 L+ + L]； 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ L ⋅ ( 2n − 1) k m x 2、 y = C1e x + C 2 ∑ . k =0 k! 1 1 1 2 1 3 9 4 二、1、 y = + x + x + x + x + L； 2 4 8 16 32 1 2 2 4 9 55 8 2、 x = a (1 − t + t − + t − L. 2! 4! 6! 8!
L L
a0 a2 k = , k k! 2
a 2 k +1 a1 = , ( 2k + 1)!!
k = 1,2,3,L
原方程的通解
∞ 2n ∞ 2 n+1
x x y = a 0 ∑ n + a1 ∑ n = 0 2 n! n = 0 ( 2 n + 1)!!
(a 0 , a1是任意常数 )
四、小结
∞
n= 0
y ′′ = ∑ n( n − 1)a n x
n =1
∞
n− 2
= ∑ ( n + 2)(n + 1)a n+ 2 x ,
n n= 0
∞
将 y , y ′, y ′′ 带入 y ′′ − xy ′ − y = 0,
n= 0
∞
n ( n + 2 )( n + 1 ) a x − x na x ∑ ∑ n − ∑ a n x = 0, n+ 2
注意：在求得一个未知函数的通解以后，再求另 一个未知函数的通解时，一般不再积分．
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
1 1 a1 = 0, a2 = , a3 = 0, a4 = 0, a5 = , L, 2 20
1 2 1 5 所求解为 y = x + x + L . 2 20
小结: 无初始条件求解
可设 y = C + ∑ an x n
n =1 ∞
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
( 5)
1 x 再把(5)代入(3)式, 得 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e . (6) 2 原方程组的通解为 1 x y = ( 2 C + C + 2 C x ) e 1 2 2 2 , x z = C + C x e ( ) 1 2
d 用 D 表示对自变量 x 求导的运算 , dx
一阶方程
作 降 变 阶 换
微分方程解题思路
作变换
分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法
积分因子
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
幂级数解法 待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练 习 题
易求一个特解 y ∗ = e t , 于是通解为
y = C1e
− αt
+ C 2e + C 3 cos β t + C 4 sin β t + e .
t
αt
(６ )
将(６)代入(３)得
x = α 3C1e −αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t + β 3C 4 sin β t − 2e t .
x2 2
§12.9 常系数线性微分方程组的解法
步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
dy dx = 3 y − 2 z , 例1 解微分方程组 dz = 2 y − z . dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
dy = x + y 2 满足 y | x = 0 = 0的特解 . 例1 求 dx 解 Q x0 = 0， y 0 = 0,
设 y = a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + L + a n x n + L ,
y′ = a1 + 2a2 x 1 + 3a3 x 2 + L + nan x n−1 + L,
= y0 的特解 .
其中 f ( x , y ) = a00 + a10 ( x − x0 ) + a 01 ( y − y0 ) + L + a lm ( x − x0 ) l ( y − y0 ) m .
y = y0 + a1 ( x − x0 ) + a 2 ( x − x0 ) 2 + L
其中 a1 , a 2 ,L , a n ,L为待定的系数 .
n= 0
∞
将 P ( x ), Q( x ), f ( x ) 展开为 x − x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y. 例2 求方程 y ′′ − xy ′ − y = 0的解. 解 设方程的解为 y = ∑ a n x n ,
n −1 ′ 则 y = ∑ na n x , n= 0 ∞
定理 如果方程 y′′ + P ( x ) y′ + Q( x ) y = 0 中的系数
P ( x ) 与Q( x ) 可在 − R < x < R 内展为 x 的幂级数,
那么在 − R < x < R 内原方程必有形如 y = ∑ an x n
n= 0 ∞
的解.
作法
设解为 y = ∑ a n x n ,