2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第47讲

→ → → 解析：如图所示.AF＝AD＋DF，
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→ → → ∴DF＝xAB＋yAA′， → → 1 → ∴ DC′ ＝xAB＋yAA′， 2 → → → 1 → → ＝xAB＋yBB′， ∴ AB′＝xAB＋yAA′ 2 → → 1→ 1 → ∴ AB＋ BB′＝xAB＋yBB′， 2 2 1 ∴x＝y＝ ，x－y＝0. 2
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4．两个向量的数量积 (1)向量a、b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)向量的数量积的性质： ①a·e＝|a|cos〈a，e〉(e是单位向量)； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③|a|2＝a·a. (3)向量的数量积满足如下运算律 ①(λ·a)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
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解析：A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间 任两向量均共面． B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关． → → C错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有 AB > CD 这种写法． → → → → D对，∵AB＋CD ＝0，∴AB＝－CD ， → → → → ∴AB与CD 共线，故AB∥CD 正确．
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2．共线向量与共面向量 (1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些 向量叫共线向量或平行向量． (2)平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意两个向量总是 共面的． (3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条 件是存在实数λ，使a＝λb.
第22页高考总复习（ 高源自总复习（文、理）[解析]①中b为零向量时，a与c可以不共线，故①为假命
题；②中a，b，c所在的直线不确定，故②是假命题；③中，当a ＝0，而b≠0时，找不到实数λ，使b＝λa，故③是假命题；可以 → 1 证明④中A、B、C、M四点共面．等式两边同时加上 MO ，则 3 → → → → → → → 1 → 1 → (MO ＋OA )＋ (MO ＋OB )＋ (MO ＋OC )＝0，即MA ＋MB ＋MC ＝ 3 3 → → → → → → 0，MA＝－MB－MC ，则MA与MB，MC 共面．又M是三条有向线 段的公共点，故A、B、C、M四点共面，因此M是△ABC的重 心，故点M在平面ABC上且在△ABC内部，故④是真命题．
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【典例1】
给出命题：
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a，b，c共 面，则它们所在直线也共面；③若a与b共线，则存在唯一的实数 λ，使b＝λa；④若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点， → 1→ 1→ 1→ OM ＝ OA ＋ OB ＋ OC ，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC 3 3 3 内部． 上述命题中的真命题是________．
第九章(B) 第九章
直线、平面、 直线、平面、简单几何体
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2012高考调研 考纲要求 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘． 1．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空 间向量的坐标运算． 2．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算 空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式． 3．理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等 概念． 注：其他同第九章(A)．
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5．共面向量定理的推论：空间一点P位于平面ABC内的充要 → → → 条件是：存在有序实数对x，y，使 CP ＝x CA ＋yCB ，或对空间任 → → → → 一定点O(O∉平面ABC)，有OP ＝OC ＋xCA ＋yCB ，该式称为平面 CAB的向量表示式． 6．空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么 对于空间任意一个向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使p ＝xa＋yb＋zc.其中不共面的三个向量a，b，c叫做空间的一个基 底．
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3．空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在一 个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫 做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P， → → 都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使OP＝xOA＋ → → yOB＋zOC.
[答案]
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④
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探究1：设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点， 而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点．求证：M、N 、P、Q四点共面．
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→ 1→ → 1 → → → → → 证明： 依题意， 有NM＝2BA， ＝2A1B1， NP A ∴BA＝2NM， 1B1＝2NP. → 1 → → 又∵PQ＝2(BC＋B1C1)，(*)A、B、C 及 A1、B1、C1 分别共线， → → → → → → ∴BC＝λBA＝2λNM，B1C1＝wA1B1＝2wNP. → 1 → → → → 代入(*)式得PQ＝2(2λNM＋2wNP)＝λNM＋wNP， → → → ∴PQ、NM、NP共面，∴M、N、P、Q 四点共面．
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第四十七讲 (第四十八讲(文))空间向量及其运算 第四十八讲( ))空间向量及其运算
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回归课本 1.空间向量及其加减与数乘运算 (1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量．同向且等长的有向线 段表示同一向量或相等的向量． (2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的 推广． (3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律． 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
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5．在正方体ABCD—A 1B 1C1D 1中，下面给出四个命题： → → → 2 → 2 ①(A1A ＋A1D1＋A1B1) ＝3A1B1 → → → ②A1C·(A1B1－A1A )＝0 → → ③AD1与A1B 的夹角为60° → → → ④此正方体体积为：|AB·AA ·AD| ④此正方体体积为：|AB·AA1·AD| 则错误命题的序号是________(填出所有错误命题的序号)． → → 解析：③AD1 与 A1B 两异面直线夹角为 60°，但AD1与A1B 的夹
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3．共线向量定理的推论：①对于空间任一点O(O不在直线AB → → 上)，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，使OP＝(1－t)OA ＋ → t OB ；②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那 么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足关系 → → 式OP＝OA＋ta，该方程称为直线方程的向量表示式． 4．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向 量a，b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
答案：D
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2．已知A、B、C三点不共线，点O是平面ABC外一点，则在 下列各条件中，能得到点M与A、B、C一定共面的条件为( → 1→ 1→ 1→ A.OM＝ OA＋ OB＋ OC 2 2 2 → 1→ 1→ → B.OM＝ OA－ OB＋OC 3 3 → → → → C.OM＝OA＋OB＋OC → → → → D.OM＝2OA－OB＋OC
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考情分析 空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，在高考中占有重 要位置．在建立了空间直角坐标系后，用坐标表示向量，进行向量的有 关运算．运用向量工具解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问 题，是立体几何考查的新方向，因此必将在高考中重点体现和重点考查 ． 从近几年高考试卷来看，涉及空间角(空间向量)和存在性(开放性) 问题的试题，难度多为中档或高档． 立体几何试题一般有大、小3道题，分值约22分，占试卷总分的 15%左右．
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类型二
利用空间向量证明平行与垂直
解题准备：利用空间向量证明空间中的平行关系时： (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向 量． (2)证明线面平行的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不 共线向量是共面向量．
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考点陪练 1.下列命题是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线， 则这两个向量不是共面向量 B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反 → → → → → → → C．若向量 AB ， CD 满足| AB |>| CD |，且 AB 与 CD 同向，则 AB → >CD → → → → → → D．若两个非零向量AB与CD 满足AB＋CD ＝0，则AB∥CD
→ → 角为 120°，A1B ＝D1C，注意方向． → → → → → ④∵AB·AA1＝0.正确的应是|A B |·|AA1|·|A D |.
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答案：③④
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类型一
空间向量的基本定理的应用
解题准备：1.对空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数k ，使a＝kb.共线向量定理可以分解为以下两个命题：①a∥b(b≠0)⇒存在 唯一实数λ，使a＝λb.②若存在唯一实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a∥b. 2．空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允 许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合．
答案：A
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→ → → → → → 4．已知空间四边形 ABCD，则AB ·CD ＋BC ·AD ＋CA ·BD ＝ __________.
→ → → → → → → → 解析：原式＝(AO ＋OB )·(CO ＋OD )＋(BO ＋OC )·(AO ＋OD )＋ → → → → (CO ＋OA)·(BO＋OD) → → → → → → → → → → → → ＝ AO ·CO ＋ AO ·OD ＋ OB ·OD ＋ OB ·CO ＋BO ·AO ＋ BO ·OD ＋ → → → → → → → → → → → → OC·AO＋OC·OD＋CO ·BO＋OA·BO＋OA·OD＋CO ·OD＝0. 答案：0
→ → → 解析：由共面向量定理的推论知OA 、OB 、OC 的系数之和为
)
1 1 1，选项B中 ＋－ ＋1＝1符合． 3 3
答案：B
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3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面 → → → → CDD′C′的中心，若AF＝AD＋xAB＋yAA′，则x－y等于( A．0 C. 1 2 B．1 D．－ 1 2 )
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推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直 线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足 → → 等式OP＝OA＋ta.其向量a叫做直线l的方向向量．
(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向 量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y，使p＝xa＋yb. 推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实 → → → → → 数x，y，使 MP ＝x MA ＋y MB 或对空间任一定点O，有 OP ＝ OM ＋ → → xMA＋yMB.