九年级数学竞赛题：一元二次方程

九年级数学竞赛题：一元二次方程

配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．因式分解法体现了“降次求解”的基本思想，公式法具有一般性．善于根据方程的特征，灵活选用恰当的解法，是解一元二次方程的关键，选择方法的一般顺序是：先特殊后一般．即先考虑因式分解法、配方后直接开平方，再考虑公式法．

有些与一元二次方程相关的问题。常常不是去解这个方程，而是通过变形降次、整体代入等技巧方法，促使问题的解决．

例1 阅读下面的例题： 解方程：.02||2

=--x x

解：（1）当0≥x 时，原方程化为220x x --=， 解得122,1x x ==-（不合题意，舍去）， （2）当0

∴原方程的根是122,2x x ==-

请参照2

330x x ---=，则方程的根是_____________．

例2 根据关于x 的一元二次方程20x px q ++=，可列表如下：

则方程20x px q ++=的正数解满足（ ）．

A ．解的整数部分是0，十分位是5

B ．解的整数部分是0，十分位是8

C ．解的整数部分是1，十分位是1

D ．解的整数部分是1，十分位是2

例3设x 1、x 2是方程240x x +-=的两个实数根，求代数式3212510x x -+的值． 例4 先请阅读材料：

为解方程()()2

2215140x x ---+=，我们可以将21x -视为一个整体，然后设21x y -=，则

()2

221x y -=，原方程化为2540y y -+=，解得11y =，24y =．

当1y =时，211x -=，得x =4y =时，214x -=，得x =

故原方程的解为1x =2x =3x =4x =

在解方程的过程中，我们将21x -用y 替换，先解出关于y 的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫做“换元法”，体现了转化的数学思想． 请你根据以上的阅读，解下列方程： （1）0624=--x x ；

（2）01)12

1()12

1(2

=----x x ．

例5 已知a >2，b >2，试判断关于x 的方程0)(2

=++-ab x b a x 与

0)(2=++-b a abx x 有没有公共根，请说明理由．

1． 在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a ※b =a 2-b 2根据这个规则，方程（x+2）

※5=0的解为___________．

2．请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数___________． 3．用换元法解方程：x

x x x +=

++2

2

21，如果设x x y +=2

，那么原方程化为关于y 的一元二次方程的一般形式为___________．

4．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）

则若,4.2=x A 2=x

的解为方程12)12(.-=-x x x B 1=x

013)2(.||=-+-mx x m C m 若方程是关于x 的一元二次方程，则m =-2．

D ．若分式1

2

32-+-x x x 的值为零，则x =1，2．

5．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程0862=+-x x 的一个根，则这个三角形的周长为（ ）．

A ．9

B ．11

C ．13

D ．11或13

6．严老师出示了小黑板上的题目（如下面方框中所示），小敏回答：“方程有一根为“1”，小聪回答：“方程有一根为2”，则你认为（ ）．

A ．只有小敏回答正确

B ．只有小聪回答正确

C ．小敏、小聪回答都不正确

D ．小敏、小聪回答都正确 7．解下列方程：

;01||)1(2=--x x

;02)2()2)(2(222=--+-x x x x

.32

22)3(22=-+-x x x x

8．已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31

1

=-+x x 的解相同． （1）求k 的值；

（2）求方程022=-+kx x 的另一个解．

9．若0是关于x 的方程0823)2(22=-++--m m x x m 的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．

10．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，那么βα34+的值为__________ 11．已知a 、b 都是负实数，且

0111=--+b

a b a ,那么b a 的值是__________

12．已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，则m =______________

13．方程1)1(32=-+-x x x 的所有整数解的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

14．设x 1、x 2是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942

23

1+-x x 的值等于（ ）

A ．-4

B ．8

C ．6

D ．0

15．如果x 和y 是非零实数，使得3||=+y x 和0||3=+x y x ，那么x +y 等于（ ）

A ．3

B

C

D ．416．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由． 17．已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a

d d c c b b a =+=+=+=+1

111，试求x 的值．