弹塑性力学复习思考题
工程弹塑性力学题库及答案(修订)
，再求应力偏张量
，
，
，
，
，
。
由此求得：
然后求得：
，
，解出
然后按大小次序排列得到
，
，
1.9 已知应力分量中
，求三个主应力
，以及每个
主应力所对应的方向余弦
。
解：特征方程为
记， ， 应满足下列关系
由（a）,(b)式，·11得
（a） （b） （c）
， ，由此求得
，代入（c）式，得
解：的定义、物理意义：
；
1) 表征 Sij 的形式；2) 相等，应力莫尔圆相似，Sij 形式相同；3) 由可确定 S1：S2：S3。
1.4设某点应力张量 的分量值已知，求作用在过此点平面
力矢量
，并求该应力矢量的法向分量 。
解：该平面的法线方向的方向余弦为
上的应
而应力矢量的三个分量满足关系
曲线基本上和简单拉伸时的
曲线一样。
7.4 比较两种塑性本构理论的特点： 解：增量理论和全量理论。增量理论将整个加载历史看成是一系列的微小增量加 载过程所组成，研究每个微小增量加载过程中应变增量与应力增量之间的关系， 再沿加载路径依次积分应变增量得最终的应变。全量理论不去考虑应力路径的影 响，直接建立应变全量与应力全量直接的关系。
z
且 利用平衡方程
当
时， 为（e）式。
（3）塑性阶段 平衡方程和几何方程同上。
本构方程 与（2）弹塑性阶段同样步骤：可得
（e） （f） （g）
5.9 如图所示等截面直杆，截面积为 ，且 。在 处作用一个逐渐增加 的力 。该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。按加载过程分析
结构所处不同状态，并求力 作用截面的位移 与 的关系。 解：基本方程为
弹性力学复习思考题
其中： 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M， Q分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力。 分别为梁截面上弯矩与剪力 应力函数： 结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2 σθ = 2 r
= f (r)
= f (r) sin θ
= f (r) cosθ
力偶、 （9）半无限平面体在边界上作用力偶、集中力、分布力下，应力函数 ）半无限平面体在边界上作用力偶 集中力、分布力下 、应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ 应力分量、位移分量的确定？ （10）圆孔附近应力集中问题应力函数 、应力分量、位移分量的确定？ ） （11）叠加法的应用。 ）叠加法的应用。
X = l(1+ )αT,
Y = m(1+ )αT
（5）温度应力问题求解的基本思路与方法： ）温度应力问题求解的基本思路与方法： （a）求出满足位移平衡方程（6-18）的一组特解（此时，无需满足 ）求出满足位移平衡方程（ ）的一组特解（此时， 边界条件；用位移势函数求解）。 边界条件；用位移势函数求解）。 （b）不计变温，求出满足平衡方程（6-18）的一组补充解（常由应 ）不计变温，求出满足平衡方程（ ）的一组补充解（ 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 力函数求解，其边界条件为特解给出的面力）。 的概念； 与位移分量的关系； （6）位移势函数 ψ 的概念；位移势函数 ψ 与位移分量的关系；温 ） 度应力问题中， 满足的方程； 度应力问题中，位移势函数 ψ 满足的方程；应力分量的位移势 的表示。 函数 ψ 的表示。
王俊民 编 徐秉业 编
《弹性力学学习方法及解题指导》 弹性力学学习方法及解题指导》
同济大学出版社 机械工业出版社
弹塑性力学试卷及弹性力学教材习题及解答
二、填空题：（每空2分，共8分）1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。
（参照oxyz直角坐标系）。
2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。
三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。
每小题4分，共16分。
）1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。
裂纹展布的方向是：_________。
A、沿圆柱纵向（轴向）B、沿圆柱横向（环向）C、与纵向呈45°角D、与纵向呈30°角2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。
该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。
A、2B、3C、4D、53、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。
）则在该点处的应变_________。
A、一定不为零B、一定为零C、可能为零D、不能确定4、以下________表示一个二阶张量。
A、B、C、D、四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分）1、；（i ，j = 1，2，3 ）；2、；五、计算题（共计64分。
）1、试说明下列应变状态是否可能存在：；（）上式中c为已知常数，且。
2、已知一受力物体中某点的应力状态为：式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。
为平均应力。
并说明这样分解的物理意义。
3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。
若选取＝ay2做应力函数。
试求该物体的应力解、应变解和位移解。
（提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。
）题五、3图4、已知一半径为R＝50mm，厚度为t＝3mm的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。
弹塑性力学思考与练习ppt正式完整版
某种材料制成匀分布的表面力作用，假定圆环材料为理想弹塑
的边界条件代替加以求解； 性，屈服时符合Tresca准则，试确定该圆筒所能承受的弹性极限载荷(以及极限载荷）。
关于圣维南原理在求解弹性力学问题中的意义：
在数学上弹性力学问题被称为边值问题，其待求的未 知量（应力、应变、位移）完全满足基本方程并不困难， 但是，要求在全部边界上都逐点满足边界条件往往存在很 大难度。圣维南原理的存在，可以使问题得到简化： （1）.在符合圣维南原理的那部分边界上，可以放弃严格 的逐点边界条件，而改为满足另一组静力等效的合力形式 表示的整体边界条件； （2）.当物体一小部分边界上仅仅知道物体所受外力的合 力而不知其分布方式时，可以在这部分边界上直接写合力 条件进行求解；
可以近似判断应力分布、应力集中情况。 为保证物体的连续性，物体内部的应变分量一定要满足（变形协调方程、本构方程）。
材料进入塑性状态后，应力与应变之间（是、不是）一一对应的，某一应力对应的应变与（温度、加载历史）有关。 某种材料制成的圆环如图所示，其内半径为a，外半径为b，在内边界承受集度为q的均匀分布的表面力作用，假定圆环材料为理想弹塑 性，屈服时符合Tresca准则，试确定该圆筒所能承受的弹性极限载荷(以及极限载荷）。 利用圣维南原理有时在工程结构受力分析中可以近似判断应力分布、应力集中情况。 无论使用什么解法，只要解答满足全部方程、边界条件以及多连体的位移单值条件，就是正确、唯一的答案。 在符合圣维南原理的那部分边界上，可以放弃严格的逐点边界条件，而改为满足另一组静力等效的合力形式表示的整体边界条件； 平衡微分方程是通过在物体内任一点取个微元体，建立所有（ 力、应力）之间的平衡条件导出的。 材料进入塑性状态后，应力与应变之间（是、不是）一一对应的，某一应力对应的应变与（温度、加载历史）有关。
弹塑性力学习题及问题详解
本教材习题和参考答案与局部习题解答第二章2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。
答案 (1)pi iq qj jkpk δδδδδ=;答案 (2)pqi ijk jk pq qp e e A A A =-;解：(3)()ijp klp ki ljik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。
2.2证明：假如ijji a a =，如此0ijk jk e a =。
〔需证明〕a 、b 和c 是三个矢量，试证明：2[,,]⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a a a b a cb a b b bc a b c c a c b c c证：因为123111123222123333i i i i i i i i i i i i i ii ii i a a a b a c b a b b b c c a c b c c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以123111123222123333123111123222123333det det()i ii i i i i ii i i i i ii ii i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c a a a a b c b b b a b c c c c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即得 1231112123222123333[,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。
(完整版)弹塑性力学习题题库加答案
第二章 应力理论和应变理论2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。
己求得应力解为：σx =ax+by ，σy =cx+dy-γy ， τxy =-dx-ay ；试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a 、b 、c 、d 。
解：首先列出OA 、OB 两边的应力边界条件：OA 边：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x = γ1y ； T y =0 则σx =-γ1y ； τxy =0代入：σx =ax+by ；τxy =-dx-ay 并注意此时：x =0 得：b=-γ1；a =0；OB 边：l 1=cos β；l 2=-sin β，T x =T y =0则：cos sin 0cos sin 0x xy yxy σβτβτβσβ+=⎧⎨+=⎩………………………………（a ）将己知条件：σx= -γ1y ；τxy =-dx ； σy =cx+dy-γy 代入（a ）式得：()()()1cos sin 0cos sin 0y dx b dx cx dy y c γβββγβ-+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩化简（b ）式得：d =γ1ctg 2β；化简（c ）式得：c =γctg β-2γ1 ctg 3β2—17.己知一点处的应力张量为31260610010000Pa ⎡⎤⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx =12×103 σy =10×103 τxy =6×103，且该点的主应力可由下式求得：(()()31.233331210102217.0831******* 6.082810 4.9172410x yPa σσσ⎡++⎢=±=⨯⎢⎣⨯=⨯=±⨯=⨯则显然：3312317.08310 4.917100Pa Pa σσσ=⨯=⨯=σ1 与x 轴正向的夹角为：（按材力公式计算）()22612sin 22612102cos 2xyx ytg τθθσσθ--⨯-++====+=--+显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg （+6）=+80.5376°题图1-3则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）2—19.己知应力分量为：σx =σy =σz =τxy =0，τzy =a ，τzx =b ，试计算出主应力σ1、σ2、σ3并求出σ2的主方向。
弹塑性力学习题题库加答案(1)
第二章 应力理论和应变理论2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及30106.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()22x y xy MPa MPa σστατα--=----+=⋅+=⋅-=-⨯-⨯=--代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +23030()cos 2sin 2221041041cos 602sin 6073222226.768 6.77()104sin 2cos 2sin 602cos 6022132 3.598 3.60()2x yx yxy x y xy MPa MPa σσσσσατασστατα+-=++---+=++=--⨯+⨯=----+=-⋅+=-⋅+=+⨯=由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。
2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所示）。
材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。
试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。
解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得：题图1-3c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A Aγσγ⋅⋅===⋅； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为：zz zEEσγε==；则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为：()22zzzzz z z z y zz l d l d d zd EEEγγγε=⎰⋅∆=⎰⋅=⎰=⎰=；显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）：()2222ll A l lW ll d l EEAEAγγ⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∆=== ；（W=γAl ）2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦应力单位为kg ／cm 2 。
弹塑性力学部分习题及答案
厚壁筒应力问题
要点一
总结词
厚壁筒应力问题主要考察了弹塑性力学中厚壁筒结构的应 力分析和变形计算。
要点二
详细描述
厚壁筒应力问题涉及到厚壁筒结构在受到内压、外压或其 他复杂载荷作用时的应力分布和变形情况。在解题过程中 ，需要运用弹塑性力学的相关理论，如应力分析、应变分 析等，来求解结构的应力分布和变形情况。同时，还需要 考虑厚壁筒结构的特殊性，如不同材料的组合、多层结构 等，对结构应力和变形的影响。
02
弹塑性力学基础知识
应力和应变
基本概念
详细描述：应力和应变是弹塑性力学中的基本概念。应力表示物体内部相邻部分之间的相互作用力，而应变则表示物体在应 力作用下的变形程度。
屈服条件与应力-应变关系
屈服准则与流动法则
详细描述：屈服条件决定了材料在应力作用下的屈服点，是判断材料是否进入塑性状态的重要依据。 应力-应变关系则描述了材料在受力过程中应力与应变的变化规律。
弹塑性力学特点
弹塑性力学具有广泛的应用背景，涉及到众多工程领域，如结构工程、机械工 程、航空航天等。它既适用于脆性材料，也适用于塑性材料，并考虑了材料的 非线性特性。
弹塑性力学的基本假设
连续性假设
小变形假设
假设固体内部是连续的，没有空隙或 裂纹。
假设物体在外力作用下发生的变形是 微小的，不会影响物体内部应力分布。
弹塑性力学部分习题及答 案
• 弹塑性力学概述 • 弹塑性力学基础知识 • 弹塑性力学典型习题解析 • 弹塑性力学部分习题的定义与特点
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究固体在受到外力作用时，其内部应力、应变和位移之间 关系的学科。它主要关注材料在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。
弹塑性力学思考与练习(共15张PPT)
第1页，共15页。
4.为保证物体的连续性，物体内部的应变分量一 定要满足（变形协调方程、本构方程）。 5.平衡微分方程是通过在物体内任一点取个微元 体，建立所有（ 力、应力）之间的平衡条件导 出的。 6.对于特定的物体，所受外力一旦给定，它内部的 应力状态就是完全（确定、不确定）了，与研究问 题时坐标系的选取方式（有关、无关）。
第4页，共15页。
思考题
1.圣维南原理的内容是什么？它在求解弹性力学问题中 有什么意义？ 2.弹性平面问题的类型及各自的特点有哪些？
3.弹塑性力学中简化后的应力——应变关系模型有哪些？绘 出它们各自的应力——应变关系曲线。
4.什么是屈服准则？ 以Tresca屈服准则为例说明如何确定 屈服常数。
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第3页，共15页。
10.材料进入塑性状态后，应力与应变之间（是、不是） 一一对应的，某一应力对应的应变与（温度、加载历史） 有关。 11.在进行结构设计时，采用弹性设计方法要比用弹塑性 设计方法（节约、浪费）材料。 12.材料的弹性性质（受、不受）塑性变形的影响是弹 塑性理论的假设之一。
13.材料的屈服极限在数值上与（比例极限、弹性极限）非 常接近，工程上可以认为近似相等。
5.试说明两类平面问题应力、应变以及基本方程有何异同， 由平面应力问题的到平面应变问题的解在材料常数上应作怎 样的代换？
6.受力物体是单连通的，若按应力求解，应力分量要 满足什么条件才是问题的正确解答？常体力时，应力 函数要满足什么条件才是所给问题的正确解？
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关于圣维南原理在求解弹性力学问题中的意义：
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7.经典弹性力学问题是（线性，非线性）问题，问题的解
(完整word版)弹塑性力学思考题答案
弹塑性理论思考题⒈ 一点的应力状态？答：通过一点P 的各个面上应力状况的集合 ⒉ 一点应变状态？ 答：[受力物体内某点处所取无限多方向上的线应变与剪应变(任意两相互垂直方向所夹直角的改变量)的总和，就表示了该点的应变状态。
]代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变⒊ 应力张量？应力张量的不变量？应力球张量？体积应力？平均应力？应力偏张量？偏应力第二不变量J2的物理意义？单向应力状态、纯剪应力状态的应力张量？给出应力分分量，计算第一，第二不变量。
答：应力张量：代表一点应力状态的应力分量，当坐标变化时按一定的规律变化，其变换关系符合张量之定义，因此，表示点的应力状态的9个分量构成一个二阶张量，称为应力张量。
一点的应力状态可以借用矩阵以张量σij 表示：。
其中：xz τ=zxτ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。
应力张量的不变量：对于一个确定的应力状态,只有一组(三个)主应力数值,即J 1,J 2,J 3是不变量,不随着坐标轴的变换而发生变化。
所以J 1,J 2,J 3分别被称为应力张量的第一、第二、第三不变量。
应力张量可分解为两个分量0-00+00m x m xy xz ij m yxy m yz m zx zy z m σσσττσστσστσττσσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，等式右端第一个张量称为应力球张量，第二个张量称为应力偏张量。
应力球张量：应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），只产生体积变形，不产生形状变形，任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向。
应力偏张量：应力偏张量，引起形状变形，不产生体积变形，切应力分量、主切应力、最大正应力及主轴同原σij ，二阶对称张量，同样存在三个不变量J 1' ,J 2' ,J 3' 体积应力：P46平均应力：12311()()33m x y z σσσσσσσ=++=++，m δ为不变量,与坐标无关。
弹 塑 性 力 学 课 程《 各章学习的基本要求和复习思考题 》
★ 复习题
何谓应力? 何谓一点的应力状态? (1) 何谓应力? 何谓一点的应力状态? 进一步深入理解一点的应力状态的概念 一点的应力状态的概念, (2) 进一步深入理解一点的应力状态的概念,并掌握采用单 元体去表征和研究一点的应力状态的方法。 元体去表征和研究一点的应力状态的方法。 去表征和研究一点的应力状态 为什么一点的应力状态可用二阶张量的形式来表示? (3) 为什么一点的应力状态可用二阶张量的形式来表示? 应力张量是一个二阶对称张量吗 ? (4) 弹塑性力学中应力分量的符号规则是什么? 同材料力 弹塑性力学中应力分量的符号规则是什么? 学应力符号规则有何不同? 学应力符号规则有何不同? 一点的应力状态通常参照笛卡尔直角坐标系oxyz oxyz可表 (5) 一点的应力状态通常参照笛卡尔直角坐标系oxyz可表 若再参照另一坐标 示为 σ ij (i,j = x,y,z) 。若再参照另一坐标 系 ox′y′z′ , 则该点应力状态还可表示为 σ i′j ′ , (i‘,j ,y’,z (i ,j’ = x‘,y ,z ) 。于是有： σ ij = σ i′j ′ ,j ,y ,z‘) 于是有： 正确吗? 正确吗? 这样表示
★ 复习题
试写出柯西(Augustir1 Cauchy)几何方程的缩 (1) 试写出柯西(Augustir1 · Louis Cauchy)几何方程的缩 写式 ? 何谓线应变和剪应变? (2) 何谓线应变和剪应变? 试从受力物体内某点处沿相互垂 直的xy方向, xy方向 直的xy方向, 取两条微线段 ∆x 和 ∆y , 然后根据线应变 和剪应变的定义推导出该点的线应变 ε x 和剪应变 γ xy . 何谓主应变、主应变方向? (3) 何谓主应变、主应变方向? 主应变方向与主应力方向是 否一定相吻合? 否一定相吻合? 为什么一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示? (4) 为什么一点的应变状态可用二阶张量的形式来表示? 表 示同一点应变状态的二阶应变张量 ε ij (i,j=x,y,j) 和 ε i′j′ (i ,j =x ,y ,j )应如何转换? 应变张量 ε ij 如 (i‘,j =x‘,y ,j‘)应如何转换? ,j’=x ,y’,j 何分解成球张量和偏张量 ? 应变谐调方程(又称为变形协调方程或圣文南(Saint (Saint(5) 应变谐调方程(又称为变形协调方程或圣文南(SaintVenant)方程 的物理意义是什么? 方程) Venant)方程)的物理意义是什么?
弹塑性力学复习提纲和考试习题
弹塑性⼒学复习提纲和考试习题《弹塑性⼒学》复习提纲1. 弹性⼒学和材料⼒学在求解的问题以及求解⽅法⽅⾯的主要区别是什么？研究对象的不同：材料⼒学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远⼤于⾼度和宽度的构件。
⾮杆状结构则在弹性⼒学⾥研究研究⽅法的不同：材料⼒学⼤都引⽤⼀些关于构件的形变状态或应⼒分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性⼒学研究杆状结构⼀般不必引⽤那些假定，得到的结果⽐较精确。
并可⽤来校核材料⼒学得出的近似解。
2. 弹性⼒学有哪些基本假设？（1）连续性，（2）完全弹性，（3）均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微⼩的3. 弹性⼒学有哪⼏组基本⽅程？试写出这些⽅程。
(1)平⾯问题的平衡微分⽅程:平⾯问题的⼏何⽅程：平⾯应⼒问题的物理⽅程：(在平⾯应⼒问题中的物理⽅程中将E换为，换为就得到平⾯应变问题的物理⽅程)(2)空间问题的平衡微分⽅程;空间问题的⼏何⽅程;空间问题的物理⽅程：4. 按照应⼒求解和按照位移求解，其求解过程有哪些差别？(1)位移法是以位移分量为基本未知函数，从⽅程和边界条件中消去应⼒分量和形变分量，导出只含位移分量的⽅程和相应的边界条件，解出位移分量，然后再求形变分量和应⼒分量。
要使得位移分量在区域⾥满⾜微分⽅程，并在边界上满⾜位移边界条件或应⼒边界条件。
(2)应⼒法是以应⼒分量为基本未知函数，从⽅程和边界条件中消去位移分量和形变分量，导出只含应⼒分量的⽅程和边界条件，解出应⼒分量，然后再求出形变分量和位移分量。
满⾜区域⾥的平衡微分⽅程，区域⾥的相容⽅程，在边界上的应⼒边界条件，其中假设只求解全部为应⼒边界条件的问题。
5. 掌握以下概念：应⼒边界条件和位移边界条件；圣⽂南原理；平⾯应⼒与平⾯应变；逆解法与半逆解法。
位移边界条件：若在部分边界上给定了约束位移分量和,则对于此边界上的每⼀点，位移函数u和v和应满⾜条件=，=（在上）应⼒边界条件：若在部分边界上给定了⾯⼒分量(s)和(s),则可以由边界上任⼀点微分体的平衡条件，导出应⼒与⾯⼒之间的关系式。
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第二章 应力理论和应变理论2— 15.如 所示三角形截面水 材料的比重 γ，水的比重 γ 1。
己求得 力解 ：σ x = ax+by ， σy =cx+dy- γy ， τxy =-dx-ay ；根据直 及斜 上的 界条件，确定常数 a 、b 、c 、 d 。
解：首先列出OA 、 OB 两 的 力 界条件：OA ：l 1=-1 ；l 2=0 ；T x= γ1 y ； T y =0σx =-γ1y ； τxy =0代入： σx =ax+by ； τxy =-dx-ay 并 注 意 此 ： x =0得 ： b=- γ1； a=0；OB ： l 1=cos β ； l 2=-sin β， T x =T y =0：x cosxy sin0 yx cosy sin⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ a ）将己知条件： σ x=1xy=-dxyγ y-γ y ； τ； σ =cx+dy-代入（ a ）式得：1 y cos dx sin0L L L L L L L L L bdx coscxdyy sin L L L L L L L L L化 （ b ）式得： d = γ12β；ctgT4n2τ 30° δ 30°30°化 （ c ）式得： c =γctg β -2γ 13y10x10Ox12 6τxy103 Pa2— 17.己知一点 的 力 量6 10 00 0δ y求 点的最大主 力及其主方向。
x题1-3 图解：由 意知 点 于平面 力状 ，且知：σx =12×O103σ y =10× 103 τ xy =6× 103，且 点的主 力可由下式求得：β212 101221.2xyxy21023n 22xy22610βγ 1y113710311 6.0828 10317.083 10 3 Paγ34.91724 10BA然：y117.083 10 3Pa2 4.917 10 3Pa30σ 1 与 x 正向的 角 ： （按材力公式 算）c2 xy2 6 12 sin 2tg 2121026xycos2然 2θ 第Ⅰ象限角： 2θ=arctg （ +6） =+80.5376 °则：θ=+40.2688 B 40° 16＇或（-139° 44＇）2— 19.己知应力分量为：σx=σy=σz=τxy=0，τzy=a，τzx=b，试计算出主应力σ1、σ2、σ3 并求出σ2 的主方向。
弹塑性力学部分习题及答案
解
根据梁的弯曲变形公式，y = Fx/L(L - x)，其中y为挠度，F 为力，L为梁的长度。代入题目给定的数据，得y = (frac{300 times (4 - x)}{8})。当x = 2时，y = (frac{300 times (4 - 2)}{8}) = 75mm。
习题三答案及解析
解析
和变形情况。
04
弹塑性力学弹塑性力学的基本假设。
答案
弹塑性力学的基本假设包括连续性假设、均匀性假设、各向同性假设和非线性假设。连 续性假设认为物质是连续的，没有空隙；均匀性假设认为物质的性质在各个位置都是相 同的；各向同性假设认为物质的性质在不同方向上都是相同的；非线性假设认为弹塑性
习题二答案及解析
01 02 03 04
解析
选择题主要考察基本概念的理解，如能量守恒定律、牛顿第二定律等 。
填空题涉及简单的力学计算，如力的合成与分解、牛顿第二定律的应 用等。
计算题要求应用能量守恒定律和牛顿第二定律进行计算，需要掌握基 本的力学原理和公式。
习题三答案及解析
01
答案
02
选择题
03
1. A
2. 解
根据牛顿第二定律，F = ma，其中F为力，m为质量，a 为加速度。代入题目给定的数据，得a = (frac{400}{5}) = 80m/s(}^{2})。再根据运动学公式s = ut + (frac{1}{2})at(}^{2})，得s = 10 × 2 + (frac{1}{2} times 80 times (2)^2) = 108m。
04
计算题要求应用胡克定律和动量守恒定律进行计算，需要掌握基本的 力学原理和公式。
习题二答案及解析
弹塑性力学课后习题答案
M r n （Ⅰ—1）
◆ 现令n为这些物理量的阶次，并统一称这些物
理量为张量。
当n=0时，零阶张量，M=1，标量； 当n=1时，一阶张量，M=3，矢量；
、 、 、 当取n时，n阶张量，M=3n。
◆ 二阶以上的张量已不可能在三维空间有明显直
观的几何意义，但它做为物理恒量，其分量间 可由坐标变换关系式来解决定义。
或
zx zy z
ij yxx
xy y
xz yz
（2—3）
zx zy z
据剪应力互等定理 ij ji (,i应力j)张量应是
一个对称的二阶张量。
1、任意斜截面上的应力
已知 ： x、 y、 z
xy、 yz、 zx
斜求截：面P 外法P线x 、为Pny 、， Pz
即变程为3。
3.求和约定
关于哑标号应理解为取其变程N内所有数值， 然后再求和，这就叫做求和约定。 例如：
3
aibi aibi a1b1 a2b2 a3b3 i 1
（I-2）
3
aij b j aij b j ai1b1 ai2b2 ai3b3 j 1
33
aijbic j
aij bi c j
在研究对象上，材料力学的研究对象是固 体，且基本上是各种杆件，即所谓一维构件。
弹塑性力学研究对象也是固体，是不受 几何尺寸与形态限制的能适应各种工程技术 问题需求的物体。
造成两者间这种差异的根本原因是什么呢？
1、弹塑性力学分析问题的基本思路
弹塑性力学与材料力学同属固体力学的 分支学科，它们在分析问题解决问题的基本 思路上都是一致的，但在研究问题的基本方 法上各不相同。其基本思路如下：
弹塑性力学复习思考题.docx
研究生弹塑性力学复习思考题1. 简答题：（1） 什么是主平而、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？ （2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量丿2的物理意义是什么？（5） 什么是屈服面、屈服函数？ Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的儿何 与物理意义是什么？（6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一 Illi 线假定？（9） 什么是平而应力问题？什么是平而应变问题？在弹性范用内这两类问题之间有 和联系和区别？（10） 论述薄板小挠度弯曲理论的基木假定？二、计算题1、已知P 点的应力张量为「3 1 r叭=10 21 2 0求该点的主应力、主方向及最人剪应力2、利用应变协调条件检杳其应变状态是否存在存在?° 红 i f + YP ________ OiLti -------- 二.=0dx idx j dXjdXtt, dx i dx h(1) e x =Axy 2, £y =Bx 2y, y xy =0, A^ B 为常数=k(x 2+ y 2\= ky 2,/vv = 2kxy k 为常数y xz z z2z 25x 2⑵ % = y 23、写出如下问题的边界条件(a)用直角坐标,(b)用极坐标°ly4、正方形薄板三边固定，另一边承受法向压力p = -p. sin —,如图所示，设位移函数为 b利用Ritz 法求位移近似解（泊松比v=0）o5、 悬臂梁在自 由端受亲中力P 作用，如图所示。
试用极小势能原理求最大挠度dP丿 -Z ----------------------------------------- 1z/ X< -------------------- -------------------------- >、'y第5题图提示设梁的挠1111线为2 3vv = a 2x +a 3x6、 对给定的应力函数： （1） （p } = = Cxy 3,试确定它们哪个能作为平面问题的应力函数，并分析它们能解什么问题？3F xv 3 P（2） 证明0= —[xy - ^-] + — b 可以作为应力函数，并求在区域xAO,—cYyYc 区4c " 3c~ 4c'域内的应力分量，并分析该应力函数可以解决那类平|何问题。
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研究生弹塑性力学复习思考题
1. 简答题：
（1） 什么是主平面、主应力、应力主方向？简述求一点主应力的步骤？
（2） 什么是八面体及八面体上的剪应力和正应力有何其特点 （3） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （4） 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么？
（5） 什么是屈服面、屈服函数？Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件的几何
与物理意义是什么？
（6） 什么是Drucker 公设？该公设有何作用？（能得出什么推论？） （7） 什么是增量理论？什么是全量理论？ （8） 什么是单一曲线假定？
（9） 什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？在弹性范围内这两类问题之间有
和联系和区别？
(10) 论述薄板小挠度弯曲理论的基本假定？
二、计算题
1、已知P 点的应力张量为
3111021
2
0ij σ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
求该点的主应力、主方向及最大剪应力
2、 利用应变协调条件检查其应变状态是否存在存在？
，
（1）εx =Axy 2，εy =Bx 2y ，γxy =0，A 、B 为常数
222(),,2x y xy k x y ky kxy εεγ=+== k 为常数
（2）2
22
22
5ij x y xz y
z z xz z ε⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
3、写出如下问题的边界条件
(a)用直角坐标，（b）用极坐标
P
l θ
r
θ
r
θ
r
4、 正方形薄板三边固定，另一边承受法向压力b
x
p p π-=sin
0，如图所示，设位移函数为 0=u b
y b x
a v 2sin sin
2ππ= 利用Ritz 法求位移近似解（泊松比ν=0）。
y
x
a
b
A B
C
O
（第4题图） （第6题图） 5、悬臂梁在自由端受集中力P 作用，如图所示。
试用极小势能原理求最大挠度
第5题图 提示设梁的挠曲线为
6、对给定的应力函数：
（1）32223123,,Ax y Bx y Cxy ϕϕϕ===，试确定它们哪个能作为平面问题的应力函数，并分析它们能解什么问题？
（2）证明32
23[]434F xy P xy y c c c
ϕ=-+可以作为应力函数，并求在区域0,x c y c - 区域内的应力分量，并分析该应力函数可以解决那类平面问题。
7．如图所示矩形截面柱承受偏心载荷作用，且不计其重量，若应力函数3
2
Ax Bx ϕ=+，试 求：
（1）应力分量；（2
）应变分量；（3）假设D 点不移动，且该点处截面内线单元不能转动
x
23
23w a x a x =+
（0,0
0x y u y ==⎛⎫
∂=
⎪
∂⎝⎭），求位移分量
8、图示三角形截面梁只受重力作用，梁的质量密度为ρ，宽度为1，试用纯三次应力函数求解各应力分梁。
9.如图所示的楔形体两侧面上受有均布切向载荷q ，试求其应力分量。
y
10.已知一圆形薄管，平均半径为a,厚度为t,在薄管的两端受有拉力p 和扭矩T 作用，写出管内一点处的Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件表达式。
11．如图所示的矩形薄板OABC ，OA 边与BC 边为简支边，OC 边与AB 边为自由边。
板不受横向荷载，但在两个简支边上受大小相等而方向相反的均布弯矩M 。
试证，为了将薄板弯成柱面，即w =f (x )，必须在自由边上施加以均布弯矩νM 。
并求挠度和反力。
12．如图所示的矩形板，使用板的挠度表示相应的边界条件。
13、试证明用位移表示的平衡方程为
,,()0i jj i i Gu G X λ++Θ+= 其中 ii u v w x y z
ε∂∂∂Θ=
++=∂∂∂为体积应变 （提示广义胡克定律的另外一种表达形式为
2ij ij kk ij G σελεδ=+）
14、试以矩形薄板（第12题）为例说明自由边等效剪力的含义。
x
y。