应力应变分析

dy
dx
zy
A o
z
y
x
xz
+
xz
x
dx
x
+
x
x
dx
xy
+
xy
x
dx
首先，以连接六面体前后两面中心的直线 为矩轴，列出 力矩的平衡方程
z
y
z +
C
zx
+ zx
z
yx
dz
dz
yz P
e' dy
z
z
zy
dz
+
zy
z
e
zx
dz
yz yx
+ yz
y
y+
+Byyx
dy
y
y dy
dy
用
表示坐标轴单位矢量
重要公式
(2) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态
x面的应力： x , xy , xz
y面的应力： y , yx , yz
z面的应力： z , zx , zy
用矩阵表示：
z
zx
zy
yxx
xy y
xz yz
zx zy z
—— 面力分布集度（矢量）
z
—— 面力矢量在坐标轴上投影 单位： 1N/m2 =1Pa (帕)
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕)
O
y
(1) F 是坐标的连续分布函数； x
说明： (2) F 的加载方式是任意的;
(3)
的正负号由坐标方向确定。
二、应力矢量
(1) 一点应力的概念
内力 (1) 物体内部分子或原子间的相互作用力; (不考虑) (2) 由于外力作用引起的相互作用力.
设三角形ABC的面积为S，则三角
形BPC、CPA、APB的面积分别为lS 、
mS、 nS。四面体PABC的体积用V
表示。三角形ABC上的应力T (n)在坐标 轴方向的分量
根据四面体的平衡条件
，
除以S，移项后，得
当斜面ABC趋近于P点时，由于V是比S更高一阶的 微量，所以V/ S趋于零。于是得出下式中的第一式。同
样，由平衡条件 Fy 0,Fz 0 可以得出其余两式。
斜面应力(Cauchy)公式
重要公式
设三角形ABC上的正应力为N , 则由投影可得
将Cauchy公式代入，得
重要公式
斜面应力矢量大小 斜面剪应力分量大小
重要公式 重要公式
重要公式
在物体的任意一点，如果已知六个应力分量
就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就 是说，六个应力分量完全决定了一点的应力状 态。
z
zx
zy
z y
yx xz yz x
zy
xy
zx
O
y
z
x
yz yx y
与材力中剪应力τ正负 号规定的区别：
规定使得单元体顺时 转的剪应力τ为正， 反之为负。
在用应力莫尔圆时必 须用此规定求解问题
z
O x
y y
x
剪应力互等定理
xy yx yz zy zx xz
考察物体内任一点o，设oxyz为旧坐标系，其 单位矢量为ex、ey、ez，相应的应力分量为
设ox’y’z’为新坐标，其单位
一点的应力（应变）状态是用6个应力 分量来定义，而应力分量是在一定的坐 标系下确定的，且随坐标系的不同的变 化。
本节重点是讨论坐标变换时应力分量的 变化规律。
坐标变换包括平移、旋转和反射。 对右手坐标系，平移和旋转变换后仍
保持右手系，反射变换则变成左手系。
对平移变换，一点的应力分量保持不变。
本节主要讨论坐标旋转变换时应力分量的变化 规律
运动微分方程
§1-4 力边界条件
如果斜截面ABC是物体的边界面，则Tx、Ty、Tz 成为面
力分量
，于是得出
重要公式
即应力边界条件。 它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关 系。
§1-5 应力分量的坐标变换
在给定载荷作用下，物体内的任意斜 截面上应力的大小和方向是确定的，即一 点的应力状态是确定的。不随所取坐标系 的不同而变化。
§1-3 平衡微分方程
在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行 六面体，棱边的长度分别为PA=dx， PB=dy，PC=dz。
z
y
z +
C
zx
+
zx
z
dz
yx xy
dz
yz P
e' dy
z
z
zy
dz
+ zy
z
x
e
xz
zx
dz
yz
yx
+ yz
y
y+
+B yx
y
dy
y
y dy
其中，只有6个量独立。
பைடு நூலகம்
yxx
xy y
xz yz
zx zy z
重要公式
用张量表示：
11 12 13
21
22
23
31 32 33
§1-2 Cauchy公式（斜面应力公式）
已知物体在任一点P的六个应力分量 求经过P点的任一斜面上的应力。
令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为
应力符号的意义：
z
yx xz
y yz x
zy
yz
xy yx y
zx
O
y z
x
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的法线方向； 第2个下标 y 表示τ的方向.
应力正负号的规定：
正应力—— 拉为正，压为负。 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正；
坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
z
—— 体力分布集度 （矢量）
X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影
单位： N/m3 kN/m3
O
y
(1) F 是坐标的连续分布函数； x 说明：(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等)
(3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。
(2) 面力 —— 作用于物体表面单位面积上的外力
P ΔA
ΔF n
(法线)
lim T(n)
F
A0 A
(1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力
(2) 应力矢量. F 的极限方向
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
应力分量
应力的法向分量 应力的切向分量
—— 正应力 —— 剪应力
单位:
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
应力分量沿坐标轴的分量：
dx zy
A o
z
y
x
整理，并略去微量后，得 同样可以得出
剪应力互等定理
列出x轴方向的力的平衡方程
由其余两个平衡方程
和
可以得出与之相似的两个方
程。化简，除以dxdydz，得
空间问题的平衡微分方程 （纳维叶方程）
重要公式
如物体处于运动状态,根据达朗伯(d’Alembert)原理, 在体力项中引入惯性力:
上篇
应力应变分析
第一章 应力分析
主要内容： 1. 应力分量、应力张量概念 2. 斜截面应力公式 3. 平衡微分方程 4. 应力边界条件 5. 应力分量坐标变换 6. 主应力，最大剪应力，Mohr应力圆 7. 偏应力张量，等效应力，主应力空间
§1-1 应力矢量
一、外力概念
体力、面力 （材力：集中力、分布力。） (1) 体力 —— 物体内单位体积上所受的外力