函数的最大值和最小值教学设计_范永祥
《函数的最大值和最小值》教案教学设计
《函数的最大值和最小值》教学设计函数的最大值和最小值【教学目标】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对求最值问题意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考；四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。
【教学重点难点】1、利用函数单调性求函数最值的方法。
2、求一些实际问题的最大值与最小值。
【教具使用】直尺【课时安排】1课时【教学过程】一、知识回顾，设置情境，引入课题由于前面两节课我们讲了函数单调性和函数单调性的证明口述（老师和学生一起）：我们规定在函数定义域内的某个区间D上，任意x1<x2,我们只需要判断f(x1)与f(x2)大小？板书：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，1、如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数, 区间D称为函数f(x)的单调增区间.2、如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1) >f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数, 区间D称为函数f(x)的单调减区间.3、画出前面例1的函数图像让他们观察y值的最高点与最低点，引出课题—1.3.2（2）函数最大（小）值（给学生3分钟看今天需要讲解的教材）二、新课讲解让学生先自己在草稿本上画y=-x2+9的函数图像，老师在黑板上画出图像并讲解要点，观察图像得出最大值存在的两个条件，给出函数最大值定义一般地，在函数y=f(x)的定义域I内，满足：⨯⨯≈⨯24(-4.9)18-14.7h =294(-4.9)2∈f(x)=(x [2,6])x -1212112121212(x -2)-(x -2)x -x 11f(x )-f(x )=-==x -2x -2(x -2)(x -2)(x -2)(x -2)26≤≤≤12x x ,1221x -x >0,(x -2)(x -2)>0,12f(x )-f(x )>012f(x )>f(x )（1） 对于x ∈I ，有f(x)≤M（2） 存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M此时称M 为f(x)的最大值，并记作：f(x)max让学生画出y=x 2的函数图像并探究出最小值的定义（板书如下）一般地，在函数y=f(x)的定义域I 内，满足：（1） 对于x ∈I ，有f(x)≥N（2） 存在x 0∈I ，使得f(x 0)=N此时称N 为f(x)的最小值，并记作：f(x)min三、例题讲解、训练例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般期望它在最高点时爆炸。
《函数的最大值和最小值与导数》教学设计
《函数的最大值和最小值与导数》教学设计教学设计：函数的最大值和最小值与导数一、教学目标：1.知识与技能目标：了解函数的最大值和最小值的概念，掌握求解函数最大值和最小值的方法，理解导数与函数最大值和最小值的关系。
2.过程与方法目标：培养学生观察、分析和解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和创新思维能力。
3.情感态度价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生的数学自信心，培养学生的合作与交流能力。
二、教学重难点：1.教学重点：函数的最大值和最小值的概念、求解函数最大值和最小值的方法、导数与函数最大值和最小值的关系。
2.教学难点：导数与函数最大值和最小值的关系的理解与运用。
三、教学过程：1.导入新概念（15分钟）2.探索函数的最大值和最小值（20分钟）教师出示一个简单的函数图像，并引导学生观察图像中的极值点。
学生可以自由讨论，提出他们观察到的现象和规律。
3.寻找函数的最大值和最小值的方法（20分钟）教师向学生介绍函数的最值存在定理，并讲解寻找函数最大值和最小值的方法：通过函数图像、函数的性质、函数的导数等途径。
然后，教师通过例题的形式，具体讲解每种方法的步骤和注意事项。
4.导数与函数最大值和最小值的关系（25分钟）教师向学生介绍导数的概念，并讲解导数与函数最大值和最小值的关系。
通过导数的定义和极值的判定条件，教师引导学生理解导数与函数最值的关系，并通过例题进行实际应用。
5.综合运用（15分钟）教师出示一些综合运用的问题，要求学生通过函数的最值和导数的知识进行求解。
学生可以自由讨论，提出解决问题的思路，并互相交流讨论。
6.总结与拓展（15分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并引导学生对本节课所学内容进行思考和拓展。
教师可以提出一些拓展问题，要求学生进行独立思考和解决。
四、教学手段：1.多媒体投影仪、计算器等教学工具。
2.学生课前预习和课堂讨论，学生自主学习与合作学习相结合。
3.教师示范讲解、学生自主探究、小组讨论、问题解决等多种教学方法相结合。
函数的最大值与最小值教案
第六课时函数的最大值与最小值（二）一、教学目标：理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.弄请函数极值与最值的区别与联系.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.二、教学重点：求函数的最值及求实际问题的最值.教学难点：求实际问题的最值.掌握求最值的方法关键是严格套用求最值的步骤，突破难点要把实际问题“数学化”，即建立数学模型.三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习引入1．函数y = x·e–x在x∈[0, 4]的最小值为（ A ）A．0 B．1e C．44eD．22e2．给出下面四个命题.①函数y = x2– 5x + 4 (x∈[–1，3])的最大值为10，最小值为94-；②函数y = 2x2– 4x + 1 (x∈(2, 4))的最大值为17，最小值为1；③函数y = x3– 12x (x∈(–3, 3))的最大值为16，最小值为– 16；④函数y = x3– 12x (x∈(–2, 2))无最大值，也无最小值.其中正确的命题有（ C ）A．1个B．2个C．3个D．4个（二）、利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(xf在[]b a,上连续，在(,)a b内可导，则求)(xf在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(xf在(,)a b内的极值；⑵将)(xf的各极值与)(af、)(bf比较得出函数)(xf在[]b a,上的最值说明：⑴在开区间(,)a b内连续的函数)(xf不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （三）典例探析例1．求函数]2,2[,2sin )(ππ-∈-=x x x x f 的最大值与最小值．解析：121()2cos 1,2cos 10cos 2[,],,2233f x x x x x x x ππππ'=--==∈-∴=-=令得列表：∴()=()33f x f ππ=极大值，()=(-)33f x f ππ=极小值，(),()2222f f ππππ-==-，max min ()(),()()2222f x f f x f ππππ=-===-练习：求函数]2,0[,sin )(π∈-=x x x x f 的最大值与最小值．例2．已知函数3()3f x x x =-，（I ）求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.（II ）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.解析：（I ）'()3(1)(1)f x x x =+-， 当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时，'()0f x >，3[3,1],[1,]2∴--为函数()f x 的单调增区间 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，[1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()28f f f f -=--==-=-，所以当3x =-时，min ()18f x =- 当1x =-时，max ()2f x = （II ）设切点为3(,3)Q x x x -，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=-- 由于切线过点(2,6)P -，326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--， 解得0x =或3x = 所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即30x y +=或24540x y --=练习：已知函数b ax ax x f +-=236)(．若f （x ）在[-1，2]上的最大值为3，最小值为29，求：a 、b 的值例3．已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=（Ⅰ）求导数/()f x ；（Ⅱ）若/(1)0f -=，求)(x f 在[2,2]-上的最大值和最小值；（Ⅲ）若)(x f 在(,2)-∞-和[2，+∞]上都是递增的，求a 的取值范围．解：(Ⅰ)由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f(Ⅱ)由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(==-=--=f f f f所以f(x)在[--2,2]上的最大值为,29最小值为 .2750-(Ⅲ)423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得,0)2(,0)2(≥'≥-'f f 即{084.048≥+≥-a a ∴--2≤a≤2. 所以a 的取值范围为[--2,2]. （四）课堂小结：1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2．函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；3．闭区间[]b a,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值4．利用导数求函数的最值方法．（五）课后作业：练习册P41中2．4．5．7五、教学反思：。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。
2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。
3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。
五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。
2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。
3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。
3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。
七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。
2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。
3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。
八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。
2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。
3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，利用导数求函数最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：利用导数求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际案例掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 采用练习法，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
五、教学准备1. 教学课件。
2. 相关案例题。
3. 粉笔、黑板。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入函数最大值和最小值的概念。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数最大值和最小值的概念。
2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 通过案例分析，让学生理解并掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成相关案例题，巩固所学知识。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调函数最大值和最小值的概念及求解方法。
五、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
六、教学拓展（10分钟）1. 讲解函数在区间上的最大值和最小值的存在性定理。
2. 介绍利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明函数最大值和最小值的存在性。
七、实际应用（10分钟）1. 介绍函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济管理问题等。
2. 让学生举例说明函数最大值和最小值在实际问题中的应用。
八、课堂互动（10分钟）1. 学生分组讨论：如何求解多元函数的最大值和最小值。
2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
九、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数最大值和最小值的求解方法。
《函数的最大值与最小值》公开课教案
闭区间[a,b]上连续函数的最值定理
难 点
闭区间[a,b]上连续函数的最值定理
教学
步骤
教 学 内 容
时间分配
教学方法
一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二
引入新课
问题：求函数极值的步骤有哪些？
讲授新课
问题：函数在什么条件下一定有最大值和最小值？它们与函数的关系如何？教师引导学生观察课本第131页的图。
一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。
练习（见教科书第132页练习）
例2已知x,y为正实数，且满足关系式x2-2x+4y2=0，求xy的最大值。
分析：由于有两个变量，因此应选择一个主要变量，将问题转化为一元函数来处理，并要确定主要变量的取值范围。
解：（略）
归纳小结
（1）运用导数法求函数最大值和最小值的一般步骤。
（2）运用导数法求函数最大值和最小值应注意：①课本介绍的求最值的方法和步骤仅指在[a,b]上连续，在(a,b)内可导的函数。②函数的最大值及最小值的点必在下列各类点中：导数为0的点；导数不存在的点；端点。③函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上存在最大值与最小值的充分不必要条件。
（2）函数f(x)若在闭区间[a,b]上有定义，但有间断点，则函数f(x)也不一定有最大值或最小值。
2’
5’
6’
提问
观察
提示
归纳
小结
《函数的最大值与最小值》公开课教案
拜泉县职教中心
步骤
教 学 内 容
时间
教法
三
四
五
因此，函数f(x)定义在闭区间[a,b]上且连续，则这个函数在[a,b]上一定有最大值和最小值。
有关函数的最大最小值的教学教案
有关函数的最大最小值的教学教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念，掌握函数取得最大值和最小值的判定条件。
2. 培养学生运用函数最值解决实际问题的能力，提高学生的数学建模素养。
3. 引导学生通过合作、探究、交流，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 函数取得最大值和最小值的判定条件。
3. 实际问题中函数最值的运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，函数取得最大值和最小值的判定条件。
2. 教学难点：实际问题中函数最值的运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数最值问题。
2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题学会运用函数最值解决实际问题。
3. 采用合作学习法，培养学生团队合作和沟通能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，引导学生关注函数最值问题。
2. 知识讲解：讲解函数最大值和最小值的概念，阐述函数取得最大值和最小值的判定条件。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生学会运用函数最值解决问题。
4. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论函数最值在实际生活中的应用，例如最优化问题、成本问题等。
2. 分享成果：每组选取一名代表分享讨论成果，其他组进行评价和补充。
3. 案例研究：选取几个典型的实际问题，让学生运用函数最值进行解决，并展示解题过程。
4. 互动提问：鼓励学生提问，解答学生在学习过程中遇到的问题。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度。
2. 练习题：对学生所做的练习题进行批改，评价学生的掌握程度。
3. 小组讨论：评价学生在小组讨论中的表现，包括合作、沟通、解决问题能力等。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。
2. 求函数最大值和最小值的方法。
3. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。
3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。
3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。
4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。
5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。
7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。
在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。
在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。
但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。
2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。
3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。
七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。
函数最大值最小值教案
函数的最大值和最小值（第1课时）【教材分析】本节教材知识间的前后联系，以及地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有重要的理论价值和现实价值．高中阶段对用导数求可导函数在闭区间上的最值的方法不要求作严密的理论推导，这一方法完全可以由学生通过对函数图象的观察、归纳得到，所以本节教材还有一个重要的教育功能，那就是培养学生的探索精神，体验自主学习的成功愉悦.【教学目标】根据本节教材特点，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的三维教学目标：1．知识和技能目标（1）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．（2）理解上述函数的最值存在的可能位置．（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．2．过程和方法目标（1）在学习过程中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识．（2）培养学生的数学能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．3．情感和价值目标（1）通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物注意的教育，在数形结合中体现数学的图形美。
（2）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．（4）探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。
【教学重点、难点】1．教学重点基于以上对本节教材特点和教学目标的分析，将本节课的教学重点确定为：（1）培养学生的探索精神,积累自主学习的经验；（2）会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值．2．教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是(1)发现闭区间上的连续函数f (x)的最值只可能存在于极值点处或区间端点处；(2)理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．3．教学关键本节课突破难点的关键是：通过合作探究的方式，让学生在运动变化的过程中通过观察、比较，发现结论．【教法选择】关于教法与学法：（1）班杜拉的社会学习原理认为：观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；（2）为了克服学生已有知识经验和阅历不足的弱点，采用多媒体辅助教学，设计了一个动画课件，让学生在函数图象的运动变化中观察、比较，发现数学本质；（3）根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．【学法指导】对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．【教学过程】本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．教学环节教学内容设计意图一、创设情境，铺垫导入1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm,体积为Vcm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）（60－2x）x=4（40－x）（30－x）x.2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．以实例引入新课，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，．通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．实际问题中，在设元、列式后将这个实际问题转化为求函数在闭区间上的最值问题．这时学生经思考后会发现，以前学习过的知识不能解决这一问题，从而激发起学生的学习热情．二、合作学习，探索新知1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．2．如图为连续函数f(x)的图象：在闭区间[a，b]上连续函数f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别在何处取得？yxOyxOyxOyxO ba baba ba3．以上分析，说明求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的关键是什么？归纳：设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f (x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f (x)在(a,b)内的极值；（2）将f (x)的各极值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．通过对已有相关知识的回顾和深入分析，自然地提出问题：闭区间上的连续函数最大值和最小值在何处取得？如何能求得最大值和最小值？以问题制造悬念，引领着学生来到新知识的生成场景中．为新知的发现奠定基础后，提出教学目标，让学生带着问题走进课堂，既明确了学习目的，又激发起学生的求知热情．为让学生更好地进行发现，教学中通过改变区间位置，引导学生观察同一函数在不同区间内图象上最大值最小值取得的位置，形成感性认识，进而上升到理性的高度．学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作．在整个新知形成过程中，教师的身份始终是启发者、鼓励者和指导者，以提高学生抽象概括、分析归纳及语言表述等基本的数学思维能力．环节三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最大，可用本节课学习的导数法加以解决．例题2的解决与本课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用数学的意识和能力．四、归纳小结，反思建构课堂小结：1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 [a,b]上必有最大值与最小值;2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定．.作业布置：P134 1．选做题：已知抛物线y =4 x2的顶点为O，点A（5，0），倾斜角为4的直线与线段OA相交，且不过O、A两点，l 交抛物线于M、N两点，求使△AMN面积最大时的直线l 的方程．.通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．课外作业分必做题与选做题，因材施教、及时反馈，让不同的学生在数学上得到不同的发展．同时有利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节．【教学设计说明】本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能动性．3．为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．4．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．。
函数的最大值和最小值---范永祥
答案：y＝f(x)在x＝－1.5处取得最小值，即ymin＝－ 2，在x＝3处取得最大值，即ymax＝3.
跟踪 训练 变式 1 ．函数 f(x) 的图象如下图所示，则最大值、最 小值分别为( )
答案：C
变式2、
• 函数 f ( x) 3x 2, x [1,2] • 最大值为
答：当x=-1时，ymax=f(-1)=5
5、求函数最值流程图
定义域 准确写出x的取值范围
选方法
根据解析式选择方法
作判断
根据图像及单调性判断何处取最
求两值
找到x0,,再代入得M=f(x0)
6、方法源于定义
图像法，观察可得 思路1 思路2 3 4 5 单调性法，变化而得
1．求函数 y
2 ,2 x 0的最小值． 2 x
2
作业
y x 2x 3当自变量x在下列范围内取值时的最值 2．求函数． • ① 1 x 0 ② 0 x 3 ③ x (, )
x 2 2 x 4, x [3,1] 3.求函数 f ( x) 1 , x (0,) x
的最大值
25
y
x
课本例题阅读
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，
那么烟花冲出后什么时候是
它的爆裂的最佳时刻？这时
距地面的高度是多少（精确
到1m）
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度.
函数的最大值与最小值教案
函数的最大值与最小值教案教案：函数的最大值与最小值一、教学目标1.理解函数的最大值与最小值的概念；2.掌握求解函数最大值和最小值的方法；3.能够应用所学知识解决实际问题。
二、教学重难点1.理解函数的最大值与最小值的含义；2.运用导数来确定函数的极值点；三、教学准备1.课件、投影仪；2.板书工具。
四、教学过程Step 1 引入新知1.引出问题：大家知道什么是函数吗？函数在数学中有很多应用，我们今天要了解一个新的概念，函数的最大值与最小值。
2.引导学生思考：你们在实际生活中有遇到过函数的最大值或最小值吗？可以举例说明。
Step 2 基本概念解释1.函数的最大值与最小值：当变量的取值范围为一个区间内时，函数在这个区间内的最大值与最小值分别称为函数的最大值和最小值。
Step 3 寻找函数极值的方法1.导数的作用：导数是函数变化速率的度量。
2.求解函数的极值点：通过求解导数为0或不存在的点来确定函数的极值点。
3.边界值的考虑：将函数定义域的边界值带入函数，与极值点进行比较，确定最大值和最小值。
Step4 理论分析1.什么是极大值和极小值：函数在极值点上取得的最大值和最小值。
2.极值点与导数的关系：导数为0或不存在的点是函数的极值点。
Step5 实例演练1.案例一：已知函数y=x^3-3x+2，求函数在[-2,2]上的最大值和最小值。
Step6 拓展应用1.案例二：一个圆形的围墙，我们要从中间开一个门出去。
怎样选择门的位置，使走出来的路径最短？五、课堂练习1.练习一：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+5，求函数在[-3,3]上的最大值和最小值。
2.练习二：一堆火柴棍，可以任意拼成数字。
请问我们可以拼出哪些差值为0的正整数？3.练习三：已知函数y=x^4-4x^3+4x+1，求函数在[-1,3]上的最大值和最小值。
六、总结与展望1.今天我们学习了函数的最大值与最小值的概念和求解方法；2.函数的最大值和最小值在实际生活中有很多应用；3.下节课我们将进一步学习函数的应用领域，如优化问题等。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案第一章：引言1.1 课程目标让学生理解函数的概念，掌握函数的最大值和最小值的基本性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
1.2 教学内容本章将介绍函数的最大值和最小值的概念，并通过实例来解释它们的含义和应用。
1.3 教学方法采用讲解和案例分析相结合的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第二章：函数的最大值和最小值的概念2.1 课程目标让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并能够判断一个函数是否存在最大值或最小值。
2.2 教学内容本章将通过具体的例子来介绍函数的最大值和最小值的概念，并解释它们的区别和联系。
2.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的概念。
第三章：函数的最大值和最小值的求法3.1 课程目标让学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
3.2 教学内容本章将介绍常用的求函数最大值和最小值的方法，包括导数法、图像法和对称轴法等。
3.3 教学方法通过讲解和案例分析，引导学生掌握函数的最大值和最小值的求法，并能够运用这些方法解决实际问题。
第四章：函数的最大值和最小值的应用4.1 课程目标让学生能够运用函数的最大值和最小值的概念和求法解决实际问题，提高解决问题的能力。
4.2 教学内容本章将通过实例来介绍函数的最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等。
4.3 教学方法采用案例分析的方法，引导学生通过观察和思考来理解函数的最大值和最小值的应用。
第五章：总结与展望5.1 课程目标让学生总结本章所学的内容，理解函数的最大值和最小值的概念、求法和应用，并能够运用这些知识解决更复杂的问题。
本章将对本章所学的内容进行总结和回顾，并通过思考题来激发学生对函数的最大值和最小值更深入的思考。
5.3 教学方法采用总结和思考题的方式，引导学生对所学内容进行回顾和思考，提高解决问题的能力。
函数的最大值与最小值教学设计
函数的最大值和最小值（第1课时）【教材分析】1．本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值”，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题．这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义．2．教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值．3．教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法．4．教学关键本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标：1．知识和技能目标（1）理解函数的最值与极值的区别和联系．（2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．（3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤．2．过程和方法目标（1）了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值．（2）理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处．（3）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值．3．情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系．（2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题．（3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用．本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学．【学法指导】对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．【教学过程】本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈回授”四个环节进行组织．教学环节教学内容设计意图一、创设情境，铺垫导入1．问题情境：在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使成本最低、产量最大、效益最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm ,宽60cm 的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm 且不大于20cm ．设长方体的高为xcm ,体积为V cm 3．问x 为多大时,V 最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm ，可知其底面两边长分别是（80－2x ）cm ，（60－2x ）cm ,(10≤x ≤20).所以体积V 与高x 有以下函数关系V =（80－2x ）（60－2x ）x =4（40－x ）（30－x ）x .2．引出课题：分析函数关系可以看出，以前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活，培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围，在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．实际问题中，函数和自变量x 范围的设置，都紧扣本节课的核心：确定闭区间上的连续函数的最（大）值．通过运用几何画板演示,增强直观性,帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后,引导学生发现,求所列函数的最大值是以前学习过的方法不能解决的,由此引出新课,使学生深感继续学习新知识的必要性,为进一步的研究作好铺垫.2．如图为连续函数f(x)的图象：二、合作学习，探索新知求[a，b]上的连续函数f(x)的最大值和最小值的步骤：（1）求函数f(x)在开区间（a，b）内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．例1求函数y=x4－2x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．解：y′=4x3－4x，令y′=0，有4x3－4x=0，解得：x=－1,0,1当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x－2(-2,-1)－1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y′—0＋0－0＋↘↗↘↗y1345413从上表可知，最大值是13，最小值是4．思考：求函数f(x)在[a,b]上最值过程中，判断极值往往比较麻烦，我们有没有办法简化解题步骤？设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤可以改为：（1）求f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．解法2：y′=4x3－4x令y′=0，有4x3－4x=0，解得：x=－1,0,1．x=－1时，y=4,x=0时，y=5,x=1时，y=4．又x=－2时，y=13，x=2时，y=13．∴所求最大值是13，最小值是4．课堂练习：求下列函数在所给区间上的最大值与最小值：（1）y=x－x3,x∈[0,2]（2）y=x3＋x2－x，x∈[－2,1]探索出最大值和最小值存在的可能位置后，求法边呼之欲出，这时可以让学生给出求解步骤，既锻炼了他们的表达能力，更培养了他们的数学思维能力．解决例1的方法并不唯一，还可以通过换元转化为学生熟知的二次函数问题；而这里利用新学的导数法求解，这种方法更具一般性，是本节课学习的重点．“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂．思考题的目的是优化导数法求最大、最小值的解题过程，使得问题的解决更简单明快，更易于操作．这一环节旨在培养学生的探究意识及创新精神，提高学生分析和解决问题的能力．对例题1用简化后的方法求解，便于学生将它与第一种解法形成对照，更容易被学生所接受．课堂练习的目的在于及时巩固重点内容，使学生在课堂上就能掌握．同时强调规范的书写和准确的运算，培养学生严谨认真的数学学习习惯．对学生完成联系情况进行评价，使所有学生都体验到成功或得到鼓励，并据此调控教学．三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时，V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．例题2的解决与本课的引例前后呼应，继续巩固用导数法求闭区间上连续函数的最值，同时也让学生体会到现实生活中蕴含着大量的数学信息，培养他们用数学的意识和能力．四、归纳小结，反馈回授课堂小结：1．在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;3．利用导数求函数最值的关键是对可导函数使导数为零的点的判定.作业布置：P1391、2、3通过课堂小结，深化对知识理解，完善认识结构，领悟思想方法，强化情感体验，提高认识能力．课外作业有利于教师发现教学中的不足，及时反馈调节．【教学设计说明】本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的一个具体体现，整堂课对闭区间上的连续函数的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及相关问题，层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．3．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．。
函数的最大值和最小值及导数教学设计
函数的最大值和最小值及导数教学设计函数的最大值和最小值及导数教学设计一、定义函数的最大值和最小值是指函数f(x)在定义域上的最大值和最小值。
其中，f(x)的最大值表示函数f(x)在定义域上存在一个独立的点，使得函数值达到最大；f(x)的最小值表示函数f(x)在定义域上存在一个独立的点，使得函数值达到最小。
导数指的是函数在某一点处的斜率，也可以理解为函数在某一点处的一阶微分系数。
函数的导数是一个重要的概念，因为它能够用来推导函数的最大值和最小值。
二、内容1、导数的概念在教学前，首先要向学生介绍导数的概念，让学生明白导数是什么，以及它的性质和定义。
此外，还要让学生熟悉一阶微分的概念，以及如何计算函数的一阶微分系数。
2、函数的最大值和最小值然后，应该探讨函数的最大值和最小值，让学生了解函数的最大值和最小值是什么，以及它们之间的区别。
此外，还要让学生熟悉求函数的最大值和最小值的方法，如牛顿迭代法、拉格朗日乘子法等。
3、函数的导数接下来，应该让学生掌握函数的导数，并让学生明白如何利用函数的导数来解决问题。
具体而言，可以讨论函数的导数在函数的最大值和最小值的推导中的作用，以及如何通过解决导数等于零的方程来求函数的最大值和最小值。
4、实例最后，可以引入一些实例来帮助学生更好地理解函数的最大值和最小值及导数。
这些实例可以涉及函数的不同形式，如一元函数、二元函数、指数函数等。
三、教学方法1、讲授课程在讲授课程的过程中，要介绍函数的最大值和最小值及导数的概念，并结合实例进行讲解。
在讲授过程中，可以采用比较法、对比法、分析法等多种方法，让学生更好地理解课程内容。
2、提出问题在教学过程中，可以向学生提出一些相关的问题，以激发学生的思考和研究。
比如，可以提出“函数的最大值和最小值有什么关系？”，“如何利用导数来求函数的最大值和最小值？”等问题。
3、实践活动在课堂上，要让学生实践掌握函数的最大值和最小值及导数，可以设计一些相关的实践活动，如求函数的最大值和最小值，求函数的导数等。
函数的最大值和最小值(教案与课后反思
函数的最大值和最小值教学内容：本节课主要讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值。
教学目标：1. 理解函数的最大值和最小值的概念。
2. 学会使用图像法求解函数的最大值和最小值。
3. 学会使用导数法求解函数的最大值和最小值。
教学准备：1. 教学课件。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的最大值和最小值的概念。
2. 举例说明函数的最大值和最小值的意义。
二、函数的最大值和最小值的概念（10分钟）1. 讲解函数的最大值和最小值的定义。
2. 给出函数的最大值和最小值的判定条件。
三、图像法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解图像法求解函数的最大值和最小值的方法。
2. 举例说明图像法求解函数的最大值和最小值的步骤。
四、导数法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解导数法求解函数的最大值和最小值的方法。
2. 举例说明导数法求解函数的最大值和最小值的步骤。
五、练习题讲解（10分钟）1. 讲解练习题的解题思路。
2. 逐个解答学生提出的疑问。
教学反思：本节课通过讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值，使学生掌握了这一重要知识点。
在教学过程中，采用图像法和导数法两种方法进行讲解，使得学生能够更好地理解和运用。
通过练习题的讲解，巩固了学生所学的知识，并解答了学生提出的疑问。
总体来说，本节课的教学效果较好，学生对函数的最大值和最小值的概念和求解方法有了较为深入的理解。
但在教学过程中，仍需注意引导学生主动思考和探索，提高学生的学习兴趣和参与度。
六、案例分析：实际问题中的最大值和最小值（10分钟）1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等。
2. 展示如何将实际问题转化为函数的最大值和最小值问题。
3. 引导学生运用所学的图像法和导数法解决实际问题。
七、练习与讨论：小组合作求解复杂函数的最大值和最小值（15分钟）1. 分配练习题，要求学生以小组合作的形式进行求解。
函数的最大值和最小值教学设计
《函数的最大值和最小值》教学设计（一）【教学目标】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握利用导数求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对导数意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考； 四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。
【教学重点难点】一、利用导数求函数最值的方法。
二、求一些实际问题的最大值与最小值。
【教具使用】CAI 课件、多媒体辅助教学【课时安排】1课时【教学过程】一、设置情境，引入课题：观察下面一个定义在区间[a ，b]上的函数f(x)的图像。
（如图1）我们知道，图中f(x 1)与f(x 2)是极小值，f(0)是极大值。
在解决实际问题时，往往关心的是函数在指定区间上，哪个值最大？哪个值最小？从图中可以看出，函数在[a ，b]上的最大值是f(b )，最小值是f(x 2)。
二、新课探究1． 函数最值的概念。
定义：可导函数．．．．f(x)．．．．在闭区间．．．．[a ．．，．b]．．上所有点处的函数值中的最大（或最．．．．．．．．．．．．．．．．小）值，叫做函数．．．．．．．．f(x)．．．．的最大（或最小）值．．．．．．．．．。
一般地，在闭区间上连续的函数f(x) 在[a ，b]上必有最大值与最小会值。
注：在开区间（a ，b ）内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值。
例如f(x)=1/ x 在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值。
2． 求可导函数f(x)在[a ，b]上最大值、最小值的方法。
结合上图的例子不难看出，只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（最小）值了。
例1 （教材P137 例1）求函数42()25f x x x =-+在区间[－2，2]上的最大值与最小值。
解：'y =4x 3-4x 。
令'y =0，有4x 3-4x=0，解得：x=－1,0,1 当x 变化时，'y ，y 的变化情况如下表：【解题回顾】设函数f(x)在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，求f(x)在[a ，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1） 求．f(x)．．．．在（．．a ．，．b ．）内的极值；．．．．．． （2） 将．f(x)．．．．的各极值与．．．．．f(．．a ．)．，．f(．．b ．)．比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．最小值．．．。
函数的最大值最小值教案
1.3.1函数的最大（小）值教案教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．教学过程：一、引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：○1说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；○2指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）3=x(+x-[-)∈f]2,1x(+)2-2f（2）3x=x（3）1+=x(2+x2f]2,2x)(2+)2f（4）1+xx=xx∈[-二、新课教学（一）函数最大（小）值定义1．最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x0) = M那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）注意：○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2利用图象求函数的最大（小）值○3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解：（略）说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．巩固练习：如图，把截面半径为2525cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例2．（新题讲解）旅 馆 定 价一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为)160(x -元时，住房率为)%102055(⋅+x ，于是得 y =150·)160(x -·)%102055(⋅+x ． 由于)%102055(⋅+x ≤1，可知0≤x ≤90． 因此问题转化为：当0≤x ≤90时，求y 的最大值的问题．将y 的两边同除以一个常数0.75，得y 1=－x 2＋50x ＋17600． 由于二次函数y 1在x =25时取得最大值，可知y 也在x =25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）例3．求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 解：（略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式． 巩固练习：（教材P 38练习4）三、 归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论。
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函数的最大（小）值韶关市田家炳中学范永祥一、教材分析本课是人教版教材《数学1》第一章1.3节内容。
本课时主要学习函数的最大（小）值的概念，探索函数最大（小）值求解方法。
本节课是在学生学习了函数概念、单调性的基础上所研究的函数的一个重要性质。
函数最大（小）值的概念是研究具体函数值域的依据，对于学生进一步研究函数图像性质，以及将来研究不等式问题有重要作用。
函数最大（小）值的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。
掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。
本课题分两课时，本节是第一课时。
二、学情分析本节课的教学以函数的最大（小）值的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程。
按现行教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、正、反比例函数，学生的现有认知结构中知道“函数最大（小）值就是函数值中最大（小）的一个”的常识，并未接触“最大（小）值”一概念，对最大（小）值的理解缺乏数学严谨性，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势。
三、教学目标：1．知识与技能：理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．2．过程与方法：通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．3．情态与价值学习过程中，培养学生积极情绪，树立学习信心，形成科学严谨治学态度，同时培养学生坚强意志以及创新精神，利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的好奇心积极性．四、教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义。
五、教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．六、教学用具：多媒体.七、教学方法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．八、教学过程：（一）创设情景，揭示课题．问题一：什么是函数的最大（小）值？考察：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①R x x x f ∈+-=,3)(②]2,1[,3)(-∈+-=x x x f ③R x x x x f ∈++-=,32)(2④]2,1[,32)(2-∈++-=x x x x f存在问题：① 不会用描点法作图，二次函数的图像性质陌生；②画图忽视定义域，忽视端点的实与虚；求最值环节出错（求导、判号、导函数的值正负与原函数单调关系、计算）③说不出图像最高点的特征。
针对上述问题、教师组织学习小组学习研讨、小组长小结后老师进行点评，揭示问题本质属性，进行抽象概括，形成定义。
【设计意图】以实践引发反思，激发学生探究热情，提高学习兴趣，提高学生对学习的研究能力，感受到数学在现实问题中应用的重要性，培养学生用数学解决问题的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围 。
（二）研探新知，抽象概括1．函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，称M 是函数()y f x =的最大值．类比：将上述条件()f x M ≤改为M x f ≥)(，其它不变，M 就是函数()y f x =的最小值注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ，使得 ；即源于x （ ）②函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 ，都有 ．定义的核心条件是“范围内”“有大小”“能取等”转而言之“最值源于x （ ），大于或等于” 可以概括为 或 ③函数的最值性质是相对定义域而言，是整体性质，（不能只考虑区间端点的函数值例如： 的最小值为 ）0x I ∈0()f x M =I x ∈x I ∈”）（或“≥≤M x f )(I x ∈I x x x f x f ∈≤00,),()(Ix x x f x f ∈≥00,),()()(x f ]2,1[,2-∈=x x y•与单调性有区别，后者为局部性质【设计意图】增强反思意识与习惯，培养问题意识。
“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教学的灵魂。
同时培养学生思维的严谨性，系统性。
（三）质疑答辩，排难解惑．问题二：怎样求函数的最大（小）值方法一：图像法例1．如图为函数]7,4x=xy的图像指出它的最大值和最小值并指出它们对应f∈[),(-的x值.【设计意图】培养学生形成性思维，数形结合的思想，直观认识函数的最值，培养问题意识。
从图像的方法直接探索函数最值是非常重要的方法。
变式1、函数f(x)的图象如下图所示，则最大值、最小值分别为( )变式2、函数]2,1=x-x+f最大值为x,2[3)(-∈变式3、求函数,22(2-)f在下列给定x值的区间上的最大值和最小值x+x=x①]0,2-③)2,1[[-②]1,3[-图像法的小结：【设计意图】形成图像法解函数的最值，培养学生画图习惯，运用图像观察、分析问题的习惯。
同时培养学生举一反三的创新思维，发散思维。
例题2.（阅读）p30例题3例2．求函数)410(1)(≤<+=x x x x f 的最大值和最小值小组讨论：图像怎样画？当画图出现困难时怎样从另一条路径寻求解决问题的方法？【设计意图】培养学生运用函数最值定义解决最值问题的迁移能力、深入理解函数最值的定义，并能灵活运用的能力。
为函数最值的另一种方法——单调性方法做好铺垫工作。
方法二：利用函数的单调性。
变式：求函数13)(+=x x f 在区间[0，2] 上的最大值和最小值．【设计意图】形成单调性方法求最值的基本步骤，让学生来亲身体验，获得成功感：小结单调性方法求最值的基本步骤1、探索函数的单调性2、根据函数的单调性来判断函数值的大小变化，从而决定函数的最值对应点3、求出函数最值对应点，并代入函数解析式，求得函数的最值4、根据定义下结论。
（四）巩固深化，反馈矫正．• 1、函数 最小值为 • 2、函数 最大值为 【设计意图】巩固单调性方法求最值的基本步骤，鼓励学生大胆使用函数的单调性解决函数的最值，引导学生利用函数的图像，函数单调性法则判断函数的单调性，过后函数的单调性的判断关和证明关。
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,10,1)(2≤≤++=x x x x g )1,2[,1-∈-=x x x y 课本例题阅读例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m 与时间t s 之间的关系为:h(t)= -4.9t 2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）我们有:于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最 佳时刻,这时距地面的高度为29 m. 【设计意图】扩大学生数学学习的视野、提高自学能力，应用数学知识解决实际问题的能力。
（五）归纳小结，升华认识1、函数最值定义两个条件缺一不可；“最值源于x （I x ∈），大于或等于)(x f ”；2、记住函数最值的几何意义——最值为函数图像最高（低）点的纵坐标。
3、求函数最值的常用方法有：（1）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值．（2）单调性方法：通过函数的单调性判断函数的最值．5、求函数最值流程图29)9.4(47.1418)9.4(4 5.1)9.4(27.142≈-⨯-⨯-⨯==-⨯-=h t 时，函数有最大值当（六）设置问题，留下悬念．作业：1．求函数02,22≤≤--=x xy 的最小值．2．求函数322++-=x x y 当自变量x 在下列范围内取值时的最值．①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞【设计意图】巩固本节课所学内容，提高理解能力，加强规范性训练，提高动手能力与反思水平【教学设计说明】求函数的最大值和最小值是函数的单调性作为重要数学工具的具体体现，本节课旨在加强学生运用函数的最值的定义的基本思想（方程，不等式）去分析和解决问题的意识和能力，掌握求函数最大值和最小值的方法。
课堂以函数的最值“是否存在？存在于哪里？怎么求？”为线索展开。
1．本节课教学以学生的初中一次函数、二次函数图像为情景，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念。
2．关于教学过程。
力争让学生在课堂上理解和掌握本节课的重点：求闭、开区间上连续的函数的最值的方法和一般步骤。
为了突破教学难点：求最值对应x 值的优化方法及相关问题，理解确定函数最值对应x 值的方法，课堂采取合作探究，层层递进的方法，引导学生观察、分析，尝试解决问题，反思优化方法，让学生自己亲身经历知识建构过程，充分调动学生的主观能力性。
3．在教学手段上，制作多媒体课件辅助教学，使得数学抽象知识具体化，让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，增大课堂容量，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想，引导学生主动参与到课堂教学全过程中．【课后教学反思】1、充分备课是上好一节课的前提。
备课时应站在章节知识整体甚至是高中数学整体的高度上来考虑，同时也应该充分研究学生、课标、考纲，进行科学合理的安排，谋篇布局。
备课时，我仔细阅读了教材、教学参考书、课标、考试要求、还阅读了其他相关的资料，如《高中数学教学设计案例》《高考备考指南》。
查看了大部分学生的单元测试试卷，思考他们为何做错，典型错误在哪里，采用什么方法进行教学才能收到最大效益，等等。
备课后征求优秀教师的意见，反复修改，几易其稿。
2、导入新课有新意，等于课堂成功了一半。
导入新课时以他们初中所学的一次函数、二次函数图像为情景，并从不同角度提出学习新问题，引发学生学习兴趣，激发学生好奇心，共鸣感。
3、教会学生进行解题分析是课堂教学的关键。
善于分析，化难为易。
数学问题与数学知识方法是紧密联系的，只有教会学生分析方法，才能去伪存真，去粗取精，由此及彼，由表及里，循序渐进，层层深入，从而深入问题本质，找到解决问题的有效方法，并且用这些方法解决问题，使课堂收到效果。