函数的最大值和最小值教学设计_范永祥

函数的最大（小）值

韶关市田家炳中学范永祥

一、教材分析

本课是人教版教材《数学1》第一章1.3节内容。本课时主要学习函数的最大（小）值的概念，探索函数最大（小）值求解方法。本节课是在学生学习了函数概念、单调性的基础上所研究的函数的一个重要性质。函数最大（小）值的概念是研究具体函数值域的依据，对于学生进一步研究函数图像性质，以及将来研究不等式问题有重要作用。函数最大（小）值的研究方法也具有典型意义，对加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般的研究方法有很大帮助。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。本课题分两课时，本节是第一课时。

二、学情分析

本节课的教学以函数的最大（小）值的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程。按现行教材结构体系，学生只学过一次函数、二次函数、正、反比例函数，学生的现有认知结构中知道“函数最大（小）值就是函数值中最大（小）的一个”的常识，并未接触“最大（小）值”一概念，对最大（小）值的理解缺乏数学严谨性，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势。三、教学目标：

1．知识与技能：

理解函数的最大（小）值及其几何意义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质．

2．过程与方法：

通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识．

3．情态与价值

学习过程中，培养学生积极情绪，树立学习信心，形成科学严谨治学态度，同时培养学生坚强意志以及创新精神，利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的好奇心积极性．

四、教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义。

五、教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

六、教学用具：多媒体.

七、教学方法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤．

八、教学过程：

（一）创设情景，揭示课题．

问题一：什么是函数的最大（小）值？

考察：画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

①R x x x f ∈+-=,3)(②]2,1[,3)(-∈+-=x x x f ③R x x x x f ∈++-=,32)(2

④]2,1[,32)(2-∈++-=x x x x f

存在问题：

① 不会用描点法作图，二次函数的图像性质陌生；

②画图忽视定义域，忽视端点的实与虚；求最值环节出错（求导、判号、导函数的值正负与原函数单调关系、计算）

③说不出图像最高点的特征。

针对上述问题、教师组织学习小组学习研讨、小组长小结后老师进行点评，揭示问题本质属性，进行抽象概括，形成定义。

【设计意图】以实践引发反思，激发学生探究热情，提高学习兴趣，提高学生对学习的研究能力，感受到数学在现实问题中应用的重要性，培养学生用数学解决问题的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围 。

（二）研探新知，抽象概括

1．函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．

那么，称M 是函数()y f x =的最大值．

类比：将上述条件()f x M ≤改为M x f ≥)(，其它不变，M 就是函数()y f x =的最小值

注意：

①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 ，使得 ；即源于x （ ）

②函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，

即对于任意的 ，都有 ．

定义的核心条件是“范围内”“有大小”“能取等”

转而言之“最值源于x （ ），大于或等于

” 可以概括为 或 ③函数的最值性质是相对定义域而言，是整体性质，

（不能只考虑区间端点的函数值例如： 的最小值为 ）

0x I ∈0()f x M =I x ∈x I ∈”）（或“≥≤M x f )(I x ∈I x x x f x f ∈≤00,),()(I

x x x f x f ∈≥00,),()()(x f ]2

,1[,2-∈=x x y

•与单调性有区别，后者为局部性质

【设计意图】增强反思意识与习惯，培养问题意识。

“问起于疑，疑源于思”，数学最积极的成分是问题，

提出问题并解决问题是数学教学的灵魂。同时培养学生思维的严谨性，系统性。（三）质疑答辩，排难解惑．

问题二：怎样求函数的最大（小）值

方法一：图像法

例1．如图为函数]7,4

x

=x

y的图像指出它的最大值和最小值并指出它们对应

f

∈

[

),

(-

的x值.

【设计意图】培养学生形成性思维，数形结合的思想，直观认识函数的最值，培养问题意识。

从图像的方法直接探索函数最值是非常重要的方法。

变式1、函数f(x)的图象如下图所示，则最大值、最小值分别为( )

变式2、函数]2,1

=x

-

x

+

f最大值为

x

,2

[

3

)

(-

∈

变式3、求函数,2

2

(2-

)

f在下列给定x值的区间上的最大值和最小值

x

+

x

=x

①]0,2

-③)2,1[

[-②]1,3

[-

图像法的小结：