奔驰定理、三角形四心及其向量关系

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三角形“四心”的向量表示及运用2

三角形“四心”的向量表示及运用示例平面向量有一非常优美的结论:已知O 为△ABC 内一点,则=0BOC AOC AOB S OA S OB S OC ∆∆∆⋅+⋅+⋅,称为平面向量的“奔驰定理”.本文给出平面向量“奔驰定理”的一种证明,并给出O 在△ABC 外的结论,在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例.一、两个定理定理1:设O 是△ABC 内一点,且S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0证:如图,设→OA ＝－→OA '.过A '作OC 的平行线交OB 于B ',过A '作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA '＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △A 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以－→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □定理2:设O 是△ABC 外一点,不妨设点A 和点O 位于直线BC 的两侧,若S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝k 1:k 2:k 3,则－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→证: 过A 作OC 的平行线交OB 于B ',过A 作OB 的平行线交OC 于C ',则→OA ＝→OB '＋→OC ' OB 'OB ＝ S △B 'OC S △BOC ＝ S △AOC S △BOC ＝ k 2k 1 所以→OB '＝k 2k 1→OB ,同理→OC '＝k 3k 1→OC所以→OA ＝k 2k 1→OB ＋k 3k 1→OC即－k 1→OA ＋k 2→OB ＋k 3→OC ＝→0 □ 特别:当点O 在△ABC 的某一边上,不妨设O 在BC 边上(不与B ,C 重合).则相当于k 1＝0,上面定理仍然成立.二、三角形的“四心”及其向量表示 1.三角形的重心(1)定义:三条边上的中线的交点 (2)设O 是△ABC 的重心,则①设D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则AO :OD ＝BO :OE ＝CO :OF ＝2:1②→OA ＋→OB ＋→OC ＝→0 证:重心必在三角内.1:1:1::31=⇒===AOB AOC BOC ABC AOB AOC BOC S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆结合定理1可得结论. □注:还有其他证明方法,此处不表.③点O 的坐标为(x A ＋x B ＋x C 3,y A ＋y B ＋y C3)④推论1: D ,E ,F 分别是边BC ,AC ,AB 的中点,则→AD ＋→BE ＋→CF ＝→0 推论2:P 是△ABC 所在平面内任意一点,则O 是△ABC 的重心⇔→PO ＝13(→P A ＋→PB ＋→PC )2.三角形的外心(1)定义:三角形外接圆的圆心,即三边中垂线的交点(2)O 是△ABC 的外心⇔|→OA |＝|→OB |＝|→OC |(或222OC OB OA ==)(3)O 是△ABC 的外心,则sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 证:S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB当O 在△ABC 内时, 有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理1有sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 当O 在△ABC 外(不妨设点A 和点O 位于直线BC 两侧)时,有sin ∠BOC :sin ∠AOC :sin ∠AOB ＝－sin 2A :sin 2B ;sin 2C ; 由定理2有－(－sin 2A )·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0, 即sin 2A ·→OA ＋sin 2B ·→OB ＋sin 2C ·→OC ＝→0 □3.三角形的内心(1)定义:三角形内切圆的圆心,即三个角的角平分线的交点 (2)设△ABC 的角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c . 若O 是△ABC 的内心.则a →OA ＋b →OB ＋c →OC ＝→证:内心O 一定在△ABC 内部.设内切圆半径为r 则S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝12ar :12br :12cr ＝a :b :c由定理1可得结论 □4.三角形的垂心(1)定义:三角形三条高线的交点(2)若O 是△ABC (非直角三角形)的垂心,则tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→0 证:当△ABC 为锐角三角形,即O 在△ABC 内部时先证S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC因为∠BOD ＝∠AOE ,∠AOE ＋∠OAE ＝90° 所以∠BOD ＋∠OAE ＝90°, 同理∠COD ＋∠OAF ＝90°, 所以∠BOC ＋∠A ＝180° 所以sin ∠BOC ＝sinA同理sin ∠AOC ＝sinB ,sin ∠AOB ＝sinC .所以S △BOC S △AOC ＝12OB ·OCsin ∠BOC 12OA ·OCsin ∠AOC ＝OBsinA OAsinB ＝OBcosA ·tanAOA cosB ·tanB＝OBcos ∠BOF ·tanA OAcos ∠AOF ·tanB ＝OF ·tanA OF ·tanB ＝tanAtanB同理S △BOC S △AOB ＝tanAtanC所以S △BOC : S △AOC :S △AOB ＝tanA :tanB :tanC ,由定理1有tanA ·→OA ＋tanB ·→OB ＋tanC ·→OC ＝→当△ABC 为钝角三角形,即O 在△ABC 外部时.结合定理2可得结论. □三、例题1.O 是平面上的一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足 →OP ＝→OA ＋λ(→AB |→AB |＋→AC |→AC |),λ∈[0,＋∞),则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心已知O 是△ABC 所在平面上的一点, 若cb a PCc PB b PA a PO ++++= (其中P 是△ABC 所在平面内任意一点),则O 点是△ABC 的( )A . 外心B . 内心C . 重心D . 垂心2.O 是△ABC 所在平面内的一点,且OA ·(→AB |→AB |－→AC |→AC |)＝OB ·(→BA |→BA |－→BC |→BC |)＝OC ·(→CA |→CA |－→CB |→CB |)＝→0 则O 是△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心3.若动点P 满足)|||(|AC AB AB AC AP ⋅+⋅=λ,R λ∈,则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（）A . 重心B . 内心C . 垂心D . 外心4.O 是△ABC 所在平面内的一点,且→OA ·→OB ＝→OB ·→OC ＝→OC ·→OA ,则O 是△ABC 的( ) A . 重心 B . 垂心 C . 外心 D . 内心5.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[sin ||sin ||(+∞∈+=λλCAC AC BAB AB OA OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心6.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足),0[cos ||cos ||(2+∞∈+++=λλCAC ACB AB AB OC OB OP ,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心7.已知O 是平面上的一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足()||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++,[0,)λ∈+∞, 则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A . 重心B . 垂心C . 外心D . 内心8.设G 为△ABC 的重心,0||32||2||3=++GC AB GB CA GA BC ,则ACBC BCAB ⋅的值为9.H 是斜三角形ABC 的垂心,A =45°,BACC AB AH tan tan +=λ,λ=________10.若△ABC 外接圆的圆心为O ,半径为4,022=++AC AB OA ,则CA 在CB 方向上的投影为( )22.7.15.4.D C B A11.在△ABC 中,D 为三角形所在平面内的一点,且AC AB AD 2131+=;则 =ACDBCD S S △△（）32.21.31.61.D C B A12.P 是△ABC 所在平面上一点,满足AB PC PB PA 2=++.若S △ABC =6,则 △P AB 的面积等于（）A .4B .3C .2D .113.△ABC 内一点O 满足032=++OC OB OA ,直线AO 交BC 于点D ,则（） 05.05.023.032.=+=-=+=+OD OA D OD OA C DC DB B DC DB A14.△ABC 内接于以O 为圆心,半径为1的圆,且0543=++OC OB OA ,则 △ABC 的面积为（）23.56.65.1.D C B A15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2acosB =2c ﹣b ,若O 是 △ABC 外接圆的圆心,且AO m AC BCAB C B =⋅+⋅sin cos sin cos ,则m =。

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用定理：已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A证明：如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则；BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆；OD =DC BC OB +BCBDOC =C B BS S S +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++===∴ CB A S S S OD +-=OA ； ∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论 O 是ABC ∆内的一点，且0OA OB OC x y z •••++=，则::::BOC COA AOB S S S x y z ∆∆∆=有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0OA OB OC ++= O 是ABC ∆的内心 [三角形的内心在向量AB AC ABAC+所在的直线上. ]⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0OA OB OC a b c •••++= O 是ABC ∆的外心OA OB OC ⇔==⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆⇔sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC •••++= O 是ABC ∆的垂心[OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅⇔O 为△ABC 的垂心.]⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC •••++=证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :； ∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆例1 P 是ABC ∆内一点，2155AP AB AC =+，则ABP ABC S S ∆∆= .例2 若ABC ∆接于以O 为圆心， 1 为半径的圆，且3450OA OB OC ++= ，则该ABC ∆ 的面积为（）例3 P 为ABC ∆内部一点，且满足22PB PA ==，56APB π∠=，且2340PA PB PC ++=，则ABC ∆的面积为（）A ．98B ．43C ．1D ．65奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

高考数学知识点复习：奔驰定理与向量四心

专题5奔驰定理与向量四心秒杀秘籍：第一讲奔驰定理与三角形四心重心定理：三角形三条中线的交点.已知△ABC 的顶点),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，则△ABC 的重心坐标为),(y x G .注意：（1）在△ABC 中，若O 为重心，则0OA OB OC++=．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．定理：重心的向量表示：1133AG AB AC=+．定理：0B A C S OA S OB S OC（奔驰定理），则AOB 、AOC 、△BOC 的面积之比等于123:: 垂心定理：三角形三边上的高相交于一点．点O 是ABC 的垂心，则OA OB OB OC OC OA．角平分线定理：若OA a ，OB b ，则AOB 平分线上的向量OM 为(||||ab a b ，由OM 决定外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；（1）212AO AB AB ，212AO AC AC ；212BO BC BC ；（2）221144AO AF AB AC ，221144BO BE AB BC ，221144CO CD BC AC ；（3）221122AO BC AC AB ，221122BO AC BC BA ，2211.22CO AB BC AC 重心定理证明：2211133233AG AD AB AC AB AC奔驰定理证明：如图，令112131,,OA OA OB OB OC OC ，即满足1110OA OB OC11121AOB A OB S S ，11131AOC A OC S S ，11231BOC B OC S S ，故321::::AOB AOC BOC S S S l l l =.垂心定理证明：()00OA OB OC OB OB OA OC OB CA ，即OB CA^，以此类推．角平分线定理证明：||a a 和||b b 分别为OA 和OB 方向上的单位向量，||||a b a b 是以||a a 和||bb 为一组邻边的平行四边形过O 点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故||||ab a b 在AOB 平分线上，但AOB 平分线上的向量OM 终点的位置由OM决定.当1 时，四边形OAMB 构成以 120AOB 的菱形．外心定理证明：如图，ABC △中，D 、E 、F 分别为AD 、AC 、BC 边中点，O 为ABC △外心，则AB OD ，AC OE ，BC OF ，AO AD DO AE EO ，221122AO AB AD DO AB AB DO AB AB ，同理可证：212AO AC AC ×= ，212BO BC BC ；22111111222244AO AF AO AB AC AO AB AO AC AB AC骣琪×=×+=×+×=+琪桫；同理221144BO BE AB BC ×=+；同理221144CO CD AC BC ×=+.【例1】在四边形ABCD 中，AB DC = =(1,0)，BA BC BDBA BC BD+=，则四边形ABCD 的面积是（）A ．32B ．3C ．34D ．32【解析】,||||1||||||BA BC BDBD ABC BD BA BA BC BD为的角平分线且，又因为 1,0AB DC ，故ABCD 是一个菱形，且120ABC Ð=°，故面积为131322S =创=，选A.【例2】已知点O 为ABC 内一点，且230OA OB OC，则AOB 、AOC 、BOC 的面积之比等于（）A ．9∶4∶1B ．1∶4∶9C ．3∶2∶1D ．1∶2∶3【解析】如图，令1123OB OB OC OC，即满足1110OA OB OC112AOB AOB S S ，113AOC AOC S S ，11123BOC B OC S S ，故111::::3:2:1.236AOB AOC BOC S S S 例2图例3图例4图【例3】已知G 为ABC 的重心，令AB a = ，AC b = ，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且AP ma =，AQ nb = ，则11m n+=．【解析】1133AG a b =+，AP AP ma a m，AQ AQ nb b n ；11;3333AP AQ AG a b m n =+=+令PG PQ l =，即()1AG AP AQ l l =-+，()1AG AP AQ l l =-+，故11111333m n m nl l -=Þ=Þ+=．【例4】在OAB 中，OA a = ，OB b = ，若2a b a b×=-=．（1）求22a b + 的值；（2）若()0a b a b a b 骣琪+×-=琪琪桫，3AB AM = ，2BA BN = ，求OM ON ×的值．【解析】（1）由于22222224428a b a b a ab b a b ab -=Þ-=-+=Þ+=+= ；（2）||||a b a b +表示AOB 的角平分线OD 的共线向量，a b -表示BA ，()0.||||a b a b a b骣琪+-=琪桫可知OAB 为等腰三角形，即a b ，2282a b a b a b OAB为等边三角形．1122ON a b ，1233OM b a ，22112111142432233326326ON OM a b a b a ab b．【例5】已知O 为ABC 的外心，AB =4，AC =2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO×的值（）A ．23B ．12C ．6D ．5【解析】22111152244AO AM AO AB AC AB AC骣琪×=×+=+=琪桫．【例6】设P 为锐角ABC 的外心（三角形外接圆圆心），AP k AB AC =+ （k ∈R ）．若cos ∠BAC =25，则k （）A ．514B ．214C ．57D ．37【解析】()()22221212252512122525AP AB AB k AB k AC AB k AB k AB AC k AB k AC AP AC AC k AB k AC AC k AC k AB AC k AC k AB 骣琪×==+×=+Þ-=琪桫骣琪×==+×=+Þ-=琪桫 üïïïýïïïþ；AB AC \= 故1252314k k k 骣琪-=Þ=琪桫，选A ．达标训练1．已知两个非零向量a ，b 满足||||b a b a ，则下面结论正确的是（）A ．b a ∥B ．b a C ．||||b a D ．ba b a 2．已知ABC △和点M 满足0MA MA MC ++= ．若存在实数m 使得AB AC mAM += 成立，则m =（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．OD AOB ．ODAO 2 C ．OD AO 3 D ．ODAO 24．已知非零向量AB 与AC 满足()0||||AB AC BC AB AC，且12||||AB AC AB AC +=，则ABC △为（）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形5．点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OD OC OA，则点O 是ABC △的（）A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点6．点P 是ABC △所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA，则P 是ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心7．点O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB ACOP OA AB AC l =++，),0[ ，则P 的轨迹一定通过ABC △的（）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心8．设点O 在ABC △的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC △的面积与AOC △的面积的比为（）A ．2B ．32C ．3D ．539．已知P 为ABC 内部任一点（不包括边界），且满足0)()2)(( CA CB AB PC P A PB P A PB ，则ABC 一定为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．如图，在圆C 中，弦AB 的长为4，则AB AC （）A ．8B ．8C ．4D ．4第10题第15题11．已知点G 是ABC △内一点，满足0GA GB GC ++= ，若3BAC ，1AB AC ，则||AG 的最小值是（）A 3B 2C 6D 612．边长为8的等边ABC △所在平面内一点O ，满足230OA OB OC --=，若19|| OP ，则||PA 的最大值为（）A ．63B ．219C ．319D ．41913．已知O 是ABC △的外心，4|| AB ，2|| AC ，则)(AC AB AO =（）A ．10B ．9C ．8D ．614．已知ABC △中， 45A ， 60B ，点H 是ABC △的垂心，存在实数s ，t ，使得AH s AB t AC =+，则s ，t 的值分别为（）A ．32 s ，33 t B ．32 s ，3 t C ．32 s ，33t D ．32 s ，32 t 15．如图，AB 是圆O 的直径，P 是圆弧 AB 上的点，M 、N 是直径AB 上关于O 对称的两点，且AB =6，MN =4，则PM PN=（）A ．13B ．7C ．5D ．316．在ABC △中，AB =AC =5，BC =6，I 是ABC △的内心，若BI mBA nBC =+)(R n m ，（m ，n ∈R ），则nm=（）A ．43B ．65C ．2D ．1217．已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（）A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC=-- C ．1233OA AB BC =--D ．2133OA AB BC=+ 18．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则16h +25k 的最小值（）A ．27B ．81C ．66D ．4119．已知ABC △为等边三角形，动点P 在以BC 为直径的圆上，若AC AB AP ，则 2 的最大值为（）A ．12B ．331C ．52D ．23220．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若54OC OB OC =- ，则||||AB BC等于（）A ．1B ．2C ．3D ．421．ABC △所在平面上一点P 满足PA PB PC AB ++=，则P AB △的面积与ABC △的面积比为（）A ．3:2B ．3:1C ．4:1D ．6:122．在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ ，则k h 11 =（）A ．3B ．4C ．5D ．623．已知平面向量OA 、OB 、OC 满足：||||||1OA OB OC ===，12OA OB ．若OB y OC x OC ，)(R y x ，，则y x 的最大值是（）A ．1B ．33C ．2D ．23324．在ABC △中，点G 满足0GA GB GC ++= ．若存在点O ，使得16OG BC =，且OA mOB nOC =+ ，则n m =（）A ．2B ．2C ．1D ．125．已知O 为ABC △内一点，且有230OA OB OC ++=，记ABC △，BCO △，ACO △的面积分别为1S ，2S ，3S ，则321S S S ：：等于（）A ．1:2:3B ．2:1:3C ．2:1:6D ．1:2:626．已知G 是ABC △的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且AM xAB =，AC y AN ，)0( y x ，，则y x 3的最小值是（）A ．83B ．72C ．52D ．4233327．已知P 为ABC △所在平面内一点，0AB PB PC ++= ，2|||||| AB PC PC ，则PBC △的面积等于（）A ．33B ．23C 3D ．4328．A ，B ，C ，D 在一个平面内，满足2DA DB DB DC DC DA ×=×=×=-.||||||DC DB DA ，动点P ，M满足PM MC = ，|PA|1=，则||MB 的最大值是（）A ．72B ．4C ．92D ．529．在ABC △中，O 为中线AM 上的一个动点，若4 AM ，则)(OC OB OA 的最小值是（）A ．4B ．8C ．10D ．1230．在ABC △中，1 AB ， 60ABC ，1AC AB ，若O 是ABC △的重心，则BO AC的值为（）A ．1B ．52C ．83D ．531．已知点P 在圆122x y 上，点A 的坐标为)0,2( ，O 为原点，则AO AP ×的最大值为．32．过点3,1(P 作圆122 x y 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PB P A =．33．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为．34．在ABC △中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ×=．35．在四边形ABCD 中，AB DC = =（1，1），3||||||BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是．36．在ABC △中，M 是BC 的中点，120A ，12AB AC ，则线段AM 长的最小值为．。

6.4.1平面几何中的向量方法(奔驰定理、三角形四心)(教学课件)--高中数学人教A版

AC 2 + DB2 = 2(AB 2 + AD2 ).

任务一：平面几何中的向量方法
【例3】正方形ABCD的边长为6, E是AB的中点，F是BC边上靠近
点B的三等分点，AF与DE交于点M,求∠EMF的余弦值．
解：建系如图
则D 0,6 ，E 3,0 ，F 6,2 ，DE = 3, −6 ，AF = 6,2
【例8】在△ ABC中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中点，H是△ ABC的垂心，
则DH ⋅ BC = ？
任务三：三角形的四心的向量表示
【选做】O是△ ABC所在平面上的一点，动点P满足OP = OA + λ(
AC
|AC|cos∠C
)，则点P 形成的图形一定通过△ ABC 的垂心。
AB
|AB|cos∠B
2
1
AC
2
1
.
2
C
任务一：平面几何中的向量方法
【思考1-2】利用向量法解决平面几何问题的基本思路是什么？
转化
• 用向量表示问题中涉及的几何元素，把几何问题转化为向量问题
运算
• 通过向量运算研究几何元素之间的关系
翻译
• 把运算结果“翻译”成几何关系
任务一：平面几何中的向量方法
【例2】如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC
6.4.1平面几何中的向量方法-奔驰
定理，三角形四心
任务一：平面几何中的向量方法
【思考1-1】平面几何中的位置关系如何用向量表示
几何
向量
坐标
՜ ՜ ՜
՜
՜
՜
平行 // ( ≠ 0 ) ⇔ = ； //
Ԧ
⇔ 1 2 − 2 1 = 0.

平面向量终极套路秒杀秘籍之一-奔驰定理

秒杀技巧一奔驰定理奔驰定理：若O 为ABC △内任意一点，有=++OC z OB y OA x 0，则z y x S S S OAB OAC OBC ::=△△△：：.奔驰定理与三角形“四心”的结合：(1)O 是ABC △的重心：=++⇔=S S S OAB OAC OBC 1:1:1△△△：：0(2)O 是ABC △的内心：=++⇔=OC c OB b OA a c b a S S S OAB OAC OBC ::△△△：：0(3)O 是ABC △的外心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC 2sin 2sin 2sin 2sin :2sin :2sin △△△：：0(4)O 是ABC △的垂心：=⋅+⋅+⋅⇔=C B A C B A S S S OAB OAC OBC tan tan tan tan :tan :tan △△△：：0例1.已知点O 是ABC △内部一点，且满足=++OC OB OA 4320，则AOC BOC AOB ，△，△△的面积之比为.例2.已知点P 是ABC △所在平面内一点，=++P A PC PB 20，现将一粒黄豆随机撒在ABC △内，则黄豆落在PBC △内的概率是.例3.在ABC △所在的平面内有一点P ，若PB AB PC P A +=+2，则PBC △的面积与ABC △的面积之比是.1.（宜昌一中2020届高三周考8）已知G 在ABC △内，且满足=++GC GB GA 4320，现在ABC △内随机取一点，此点取自GBC GAB GAC 、△、△△的概率分别记为321P P P 、、，则（）321.P P P A ==123.P P P B >>321.P P P C >>312.P P P D >>2.若点O 在ABC ∆的内部，且=++OC m OB OA 20，74=∆∆ABC AOB S S ，则实数m =_________.3.设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足)0(,43>=+m AB m PC P A ，若ABP ∆的面积为8，则ABC ∆的面积是.4.已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且=++OC OB OA 5430，则ABC ∆的面积为_________.5.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且AC AB AD 2131+=，则=ABDBCD S S △△_________.6.已知点O 是ABC △的垂心，且=++OC OB OA 320，则=A _________.。

三角形“四心”的向量表示及“奔驰定理”_

→
t
anCOC＝０．
用向量法研究三角形的性质,一方面完善有关三
角形性质的知识,另一方面加深对向量法基本思想的
理解．
在此过程中,充分运用了平面向量基本定理、向
量的线性运算以及数量积运算,体现了等价转化与化
归的思想方法,让学生深刻感受到向量集数与形于一
驰定理”,最后由一般到特殊,运用奔驰定理推导出三角形垂心的向量表示．
关键词:三角形;向量表示;数学探究;奔驰定理
“用向量法研究三角形的性质”是人教 A 版新教
材的“数学探究活动”专题,要求学生用向量方法研究
三角形的性质．
用向量法研究三角形的性质,首先用向
身的无限力量,发展和提高了数学抽象、数学运算、逻
辑推理等核心素养．
Z
９０
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争鸣探究
２０２３年５月上半月
三角形 “ 四心 ” 的向量表示及 “ 奔驰定理 ”
◉ 湖北大学附属中学杨彩云
摘要:数学探究活动往往强调的是发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路与方法．
本文中从学生熟悉的三角形重心的向量表示入手,推导出三角形内心、外心的向量表示,然后由特殊到一般,猜想并证明“奔
→
→
一点,则 S△BOCO→
A ＋S△AOCOB ＋S△AOBOC＝０．
４．
２奔驰定理

三角形内心-奔驰定理1

三角形“四心”的向呈表示及运用奔驰定理平面向量有一个非常优美的结论：已知点O为ABC内一点，则S BOC OA S AOC OB S AOB OC 0，网络称为平面向量的“奔驰定理”．本文将给出平面向量“奔驰定理”的一种证明，并给出点O在ABC外的结论．在此基础上探讨三角形“四心”的向量表示及其运用示例．一、两个定理定理1：设点O是ABC内一点且S BOC : S AOC : S AOB k1: k2: k3，则k1OA k2OB k3OC=0 ．证明：如图，设OA=-0A ，过A 作OC的平行线交OB于B ，过A 作OB的平行线交OC于C，则OA OB OC 。

OB S B OC S A OC S AOC k2OB S BOC S BOC S BOC k1同理OC k OCk 2k 3 所以 -OAk 2OB k 3OC11即 k 1OA k 2OB k 3OC 0定理 2：设O 是 ABC 外一点 ,不妨设点 A 和点 O 位于直线 BC的两侧，若S BOC : S AOC : S AOB k 1 : k 2 : k 3 ，则 -kOA 1 k 2 BO k 3OC 0证：过A 作OC 的平行线交 OB 于B ，过作 OB 的平行线交 OC 于C ，则 OA OB OC ．kk所以OA k k 2OB k k 3OC11OB OB所以S B OC S BOCOBk2OB 。

k 1 。

同理OCk2OC 。

k 1。

S AOC k 2 S BOCk 1 。

即-k 1OA k2OB k3OC 0特别：当点O在ABC的某一边上，不妨设O在BC 边上(不与B 、C 重合)则相当于k1 0 ，上面定理仍然成立。

二、三角形的四心”及其向量表示1．三角形的重心(1)定义：三条边上的中线的交点。

(2)设O是ABC的重心，则① 设D、 E、 F 分别是边BC、 AC、 AB 的中点，则AO: OD BO: OE CO: OF 2 : 1。

【高考数学】奔驰定理与向量四心

，则△ABC 的重心坐标为(G 为重心，则0OA OB OC ++=．1，且分的三个三角形面积相等定理：重心的向量表示：1133AG AB AC =+． 0B C OA S OB S OC ⋅⋅⋅++=（奔驰定理）AOB 、AOC ∆、△BOC 123::λλλ垂心定理：三角形三边上的高相交于一点ABC ∆的垂心，则OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅．角平分线定理：若OA a =，OB b =，则∠平分线上的向量OM 为 ()||||a b a b λ+，λ由OM 决定外心定理：垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；（1）212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=；212BO BC BC ⋅=；）221144AO AF AB AC ⋅=+，221144BO BE AB BC ⋅=+，221144CO CD BC AC ⋅=+；）221122AO BC AC AB ⋅=-，221122BO AC BC BA ⋅=-，2211.22CO AB BC AC ⋅=-重心定理证明：()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⋅+=+ 12131,,OA OA OB OB OC OC λλ===，即满足1110OA OB OC ++=131λλ=，11231BOC B OC S S λλ=，故321:::AOB AOC BOC S S l l l =. 垂心定理证明：()00OA OB OC OB OB OA OC OB CA ⋅=⋅⇒⋅-=⇒⋅=，即OB CA ^，以此类推角平分线定理证明：||a a 和||b b 分别为OA 和OB 方向上的单位向量，||||a b a b +是以||a a 和||b b 为一组邻边的点的的一条对角线，而此平行四边形为菱形，故||||a b a b +在AOB ∠平分线上，但∠分线上的向量OM 终点的位置由OM 决定.OAMB 构成以∠如图，ABC △、E 、F 分别为AD 、AC 、BC 边中点，O 为△AC ，OF ⊥，AO AD DO AE EO =+=+，()221122AO AB AD DO AB AB DO AB AB ⋅=+⋅=+⋅=，同理可证：212AO AC AC ?，212BO BC BC ⋅=； 22111111222244AO AF AO AB AC AO AB AO AC AB AC 骣琪??=??+琪桫；同理221144BO BE AB BC ?+；同理221144CO CD AC BC ?+. 中，AB DC ==(1,0)，BA BC BD BA BC BD +=，则四边形ABCD 的面积是（B ．3 C ．34 且230OA OB OC ++=，则A ∆．1∶4∶9 C的重心，令AB a =，AC b =，过点G 的直线分别交AP ma =，AQ nb =，则11m n+OAB 中，OA a =，OB b =，若2a ba b ?-=．）求22a b +的值；()0a b a b a b ⎛⎫ ⎪+⋅-= ⎪⎝⎭，3AB AM =，2BA BN =，求OM ON ×的值．4=AB ，2=AC ，BAC ∠为钝角，的中点，则AM AO ×的值D ．5，()AP k AB AC =+（k ∈2）C ．5 B ．⊥b a |b D ．满足0MA MA MC ++=．若存在实数使得AB AC mAM +=成立，则B ．3 ．4 所在平面内一点，D 为20OA OB OC ++=，那么（OD AO 3=)0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且12||||AB AC AB AC +=，则．等腰非等边三角形 B ．等边三角形．三边均不相等的三角形 D ．直角三角形所在平面内的一点，满足OA OB OB OD OC OA ⋅=⋅=⋅，则点 B ．三条边的垂直平分线的交点 D ．三条高的交点所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P ．内心 C ．重心 D ．垂心是平面上不共线的三个点，动点P 满足()||||AB AC OP OA AB AC l =++，）B ．内心D ．垂心的内部，且有230OA OB OC ++=，则B ．32 （不包括边界），且满足(PB ．等腰直角三角形，则AB AC ⋅=（．4第10题第15题内一点，满足0GA GB GC ++=，若π=∠BAC ，1AB AC ⋅=，则是（）．2 3，满足230OA OB OC --=，若）D ．6 ，使得AH sAB t AC =+，3 上的点，M 、N 是直径，则PM PN ⋅=（ C ．5 ABC 的内心，若BI mBA nBC =+(n m ，、C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是（．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =-- ．1233OA AB BC =-- ．2133OA AB BC =+ 为ABC △的重心，过G 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AC k AQ =，则）．41，若54OC OB OC =-，则||||AB BC 等于（B ．2 C ．3 满足PA PB PC AB ++=，则PAB △的面积与ABC △的面积比为（．6:1 两点，且AP hAB =，3 B ．4 C ．5 D ．6已知平面向量OA 、OB 、OC 满足：||||||1OA OB OC ===，12OA OB ⋅=．若则y x +的最大值是（）B ．33C ．23满足0GA GB GC ++=．若存在点使得16OG BC =，且O A m O B n O C =+，则m B ．2- C ．1 D ．1-内一点，且有230OA OB OC ++=，记ACO △的面积分别为S 3S ，则321S S S ：：B ．2:1:3 D ．:2:6，且AM xAB =，AN 2D ．4233+所在平面内一点，0AB PB PC ++=，|．23 C ．3 在一个平面内，满足2DA DB DB DC DC DA ???-.满足PM MC =，|PA|1=，则||MB 的最大值是（B ．4 C ．9 8-D ．12-，1AC AB ⋅=-，则BO AC ⋅的值为52 D ．5的坐标为0,2(-为原点，则AO AP ×的最大值为，则PB PA ⋅上的三点，若1()2AO AB AC =+，则ABC 中，M 是BC 的中点，AM =3，BC =10，则AB AC ×= 中，AB DC ==（1，3||||||B A B C BD BA BC BD+=，则四边形ABCD BC 的中点，120∠︒，12AB AC ⋅=-，则线段。

三角形的“四心”与向量教师版

、知识点总结Benz 定理（奔驰定理） 1）O 是ABC 的重心若O 是ABC 的重心，则 uuur uur uuu PG 3(PA PB2）O 是 ABC 的垂心则 S BOC 3） O 是三角形的“四心”与向量的完美结合:已知P 为三角形 OA OB OC 0； S BOC S AOC uuurPC) G 为 OA OB OB ABC （非直角三角形）的垂心, ABC 的外心 ABC 的外心,则 SBOC : S AOC : S AOB故 si n2AOA sin2B S AOB ABC 内任意一点，则 ^S ABC ，故OAO B3 ABC 的重心. OC OC OA ； tan A: tan B : tan C,故 tan A OA tan B OB OA OB --- ——2 OC (或 OA ——2 OB ——2OC ) sin BOC : sin AOC : sin OB sin2C OC 0 4）O 是内心 ABC 的充要条件是 OA (= AB AB AC AC ) OB ( BA BC ) - ) BC BA 引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记 -h ■ ■ 上 ---- ■要条件可以写成OA （e,是）OB （e, AOB S PBC PA S PAC PB S PAB PC 0OC 0,tan C OC 0 sin 2A : sin 2B ： sin 2CO CeCA CA CB CB ) AB,BC,CA 的单位向量为e,,e 2,e 3，则刚才O 是ABC 内心的充e 2) OC (e 2 e3) O 是ABC 内心的充要条件也可以是 aOA bOB cOC 0 若O 是ABC 的内心, 则 S BOC : S AOC : S AOB a : b : C BOC ■ 2 AOC - 故 aOA bOB cOC 0或 sin AOA sin BOB sin COC0;uLur uuiu uur uuu | AB| PC | BC | PA uuu uiur向量 (理|AB| |A C |uur uur r |CA|PB 0 P ABC 的内心; 0）所在直线过 ABC 的内心（是 BAC 的角平分线所在直线）；、典型例题【例1 ] : O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足0P 0A(AB AC ABAC0, 则P 点的轨迹一定通过 ABC 的( )(A )外心 (B )内心(C )重心(D )垂心AP ,则原式可化为 e i 和 e 2 , AP (q e 2)，由菱形的基本性质知 AP 平分 BAC ，那么在 ABC OP OA AP 平分 BAC ，则知选B. 变式 uuu OP 1 :已知O 是平面上的一定点, uur AC uuu ----- uuu OA A.重心解：由已知得 uuu ‘ AB ( —— | AB | cosB | AC |cosC B.垂心uuu ABuuuAP(-uur | AB |cosB 中,), A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 [0,),则动点 C.外心 uuu AC |AC|cosC )，满足P 的轨迹一定通过^ ABC 的( D.内心uuu uuu 二 AP BCUJUBC uuu (AB (-uuu- | AB | cosB uuu AC uur| AC |cosCuuu uuu OP uuu uur_ |AB | |BC | cos( B) =(uuu --------|AB|cosB即AP 丄BC uuur uur |ACuur BC | cose(| AC | cosCuuu |BC|uuiu|BC|)= 0,所以动点P 的轨迹通过△ ABC 的垂心，选B.2: 已知O 是平面上的-」定点， uuu uuu uuu uuu OB OC AB ACuuuBC ,变式 2 A.重心 B . uuu ••• AP-uuu ------ | AB | cos B 垂心A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点满足uur ------ ), | AC | cosCC. 外心[0,),则动点P 的轨迹一定通过^ ABC 的(D. 内心解：设BC的中点为UUU UULTD,则2UUTOD ,ULIT则由已知得DPUUU ( AB(-UUU ------| AB | eos BUUUTAC 、-UUT ------ ),| AC | eosCUUU DP UUUBCUJU UUU’ AB BC( ---------| AB | eosBUUTACuuur| AC | cosC uuuUUU(|BC| |BC|)= 0 .变式 3 : 已知O :UUU OP UUUOAULLU(AB| AB|sinA.重心B.解：由已UUU 知得APUUU AP UUUUULT ----- (AB••• DP丄BC,| AB|sin B BUUUUL^)UUU UULT(|AB||UUC|COS(|AB|eosBUULT UUUB) | ACU U jBC|eosC)| AC | eosCP点在BC的垂直平分线上，故动点是平面上的一定点UULTAC 、-UUU ------ ）,|AC|si nC P的轨迹通过△ ABC的外心.选C .B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足垂心 C.UUU(AB ( ----| AB |sin BUULTAC),[0,）,则动点P的轨迹一定通过^ ABC的（D. 内心外心UULUAC 、-LUT ------ ),由正弦定理知| AC |sinCUUU| AB|sin BUULT| AC |sinC ,•设BC的中点为D,则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上, ABC的重心，故选所以动点P的轨迹一定通过^［例2】.若OA.内心UUTABC 内一点，OAB.外心UUUOBUULTOC 0，贝y OC .垂心是ABC的（D .重心C由OB 【解答】:T UUU0得OBLULTOCUUUOA，如图以OB OC为相邻两边构作平行四边形，则UUU UULT OB OC UULTOD ,UUU由平行四边形性质知OE1UULT-OD ,2OA 2OE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心, Do【例3】已知O是^ ABC所在平面上的一点,UUUaOAUUUbOBuuur reOC =0 ，贝U O点是△ ABC的（）A. 外心B.UUUOB内心ULLL LULLOA ABC. 重心UULT UUUOC OAD.UUTAC垂心(a bUUUe)OAUUU UULTbAB eACUUL T AO UUU a b e(f U B|beLUUTUUU为-U LF与|AB|UULT4C-|AC|uuu为ABuLur 和AC 方向上的单位向量，设uuu Luuuun AB AC uuu uuuAP -uu^ -uu —，则 AP 平分/ BAC.又 AO 、 |AB| |AC|平分/ ACB 所以O 点是△ ABC 的内心. uuuAP 共线，知 AO 平分/ BAC.同理可证BO 平分/ ABC CO(选)【例4】：已知点O 是^ ABC 内一点, uuu uuu LULT OA 2OB 3OC = 0,贝U ： (1) △ AOB 与^AOC 的面积之比为 ________ ⑵△ ABC 与^ AOC 的面积之比为 _________ ⑶ △ ABC 与四边形ABOC 的面积之比为 uuu 解： ⑴ 将OB 延长至E,使OE = 2OB 将OC 延长至F,使OF = 3OC 则OA uuu uuuOE OF = 0,所以O 是△AEF 的重心. …S AOC 3 SAOF 1(2) - S BOC — SEOF6 9s AEF ， S AOB 1 77 S AEF ，18(选) (1)…S ABC S A OB S AOC…S ABC : S AOC 3:1 AOE 6sAEF ，•- S AOB ： S AOC 3： 2 - SBOC =( 1 6 18)S AEF =3 S AEF ，又 SAOCI S9AEF 1_ 1 1(3) SABOC S AOB SAOC = (匚7)S AEF6 9 --S ABC - S ABO C 【例5】求证:求证: 若AH 解：连接 AH //CD OH OA 6:5 . OH，SABC 3S A EFABC 中，O,G,H 分别是 ABC 的外心、OA OB OC ；O,G,H 三点共线; OA ，求 BAC 的大小. 重心、垂心。

高考数学培优---奔驰定理与三角形的四心

高考数学培优---奔驰定理与三角形的四心【方法点拨】奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，,,BOC AOC AOB ∆∆∆的面积分别记作,,,A B C S S S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.说明：1. 本定理图形酷似奔驰的车标而得名.2. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式：（1）O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1B A C S S S =⇔0OA OB OC ++=.（2）O 是ABC ∆的内心⇔::::B A C S S S a b c =⇔0OA OB OC a b c •••++=. （3）O 是ABC ∆的外心⇔::sin2:sin2:sin2B A C S S S A B C =⇔sin2sin2sin20A OA B OB C OC •••++=（4）O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan B A C S S S A B C =⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC •••++=.3.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.4.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用．O AB CAS C S BS【典型例题】例1 O 为三角形内部一点，a ､b ､c 均为大于1的正实数，且满足aOA bOB cOC CB ++=，若OABS ∆､OAC S ∆､OBC S ∆分别表示OAB ∆､OAC ∆､OBC ∆的面积，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆为（） A ．(1):(1):c b a +- B ．::c b aC ．111::11a b c -+ D ．222::c b a【答案】A【解析一】由aOA bOB cOC CB ++=，aOA bOB cOC OB OC ∴++=-，()()11aOA b OB c OC ∴=--+，()()110aOA b OB c OC ∴+-++=，如图设()()111,1,1OA aOA OB b OB OC c OC ==-=+1110OA OB OC ∴++=，即O 是111A B C ∆的重心，111111OB C OA B OAC S S S ∆∆∆∴== ()111111111sin 1211sin 2OABOA B OA OB AOBS OA OB S OA OB a b OA OB AOB ∆∆⋅∠⋅∴===⋅-⋅∠ ()1111OAB OA B S S a b ∆∆∴=-同理可得()1111OAC OA C S S a c ∆∆=+，()()11111OBC OB C S S b c ∆∆=-+，()()()()111::1111::OAB OAC OBC a b a c b c S S S ∆∆∆∴=-+-+所以::(1):(1):OAB OAC OBC S S S c b a ∆∆∆=+-．故选：A ．【解析二】由aOA bOB cOC CB ++=，aOA bOB cOC OB OC ∴++=-，()()11aOA b OB c OC ∴=--+，()()110aOA b OB c OC ∴+-++=，由奔驰定理得：::(1):(1):OAB OAC OBC S S S c b a ∆∆∆=+-．故选：A ．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，a =b =4，c =6，I 是△ABC 中内切圆的圆心，若AI xAB yAC =+，则_____,_____x y ==．【答案】23,77x y == 【解析一】（向量的线性表示、数量积、三角形内切圆半径求法）易求得7r =，而()AB AC AI t AB AC=+，所以,64t t x y ==另一方面，对上式两边同时作数量积得：()AB AC AI AI t AIABAC⋅=+⋅，易知2227237AI =+=，3AB AI AB ⋅=，3AC AI AC⋅= 所以127t =，所以23,77x y ==.【解析二】（奔驰定理）联想到奔驰定理，将转化为()()IA x IB IA y IC IA -=-+- 整理为：()10x y IA xIB yIC --++= 由奔驰定理得()1::4:4:6x y x y --=解之得23,77x y ==. 点评：解法一中的很多知识点并不为学生所熟悉，解决起来有较大难度，而解法二直接使用奔驰定理十分简洁.例3 已知G 是ABC ∆的重心，且满足••56sin 40sin A B GA GB +•35sin 0C GC +=，则B= . 【答案】3π 【分析】要牢记,,OAOB OC 前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】∵G 是ABC ∆的重心，∴0GAGB GC ++=∴56sin :40sin :35sin 1:1:1A B C =AI xAB yAC =+∴sin :sin :sin 5:7:8A B C =由正弦定理，::sin :sin :sin 5:7:8a b c A B C ==由余弦定理，2222225871cos 22582a cb B ac +-+-===⋅⋅ ∵(0,)B π∈，∴ 3B π=.例4 设H 是△ABC 的垂心，若3450HA HB HC ++=，则cos BHC ∠的值为（）A ．B ．C ．-D ．【答案】D【解析】因为3450HA HB HC ++=，由三角形垂心的向量定理得tan :tan :tan 3:4:5A B C = 设tan 3A x =，tan 4B x =，tan 5C x =由tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++代入得36012x x =，解之得x =所以tanA =又因为BHC A π∠=-，所以cos cos BHC A ∠=-=.例5 已知点O 为ABC 所在平面内一点，且230AO OB OC ++=，则下列选项正确的是（） A. 1324AO AB AC =+ B. 直线AO 必过BC 边中点 C. :3:2AOB AOC S S =△△ D. 若1OB OC ==，且OB OC ⊥，则13OA =【答案】ACD【解析】对于A ，插入点A ，()()230AO OA AB OA AC ++++=，所以1324AO AB AC =+；对于B ，若直线AO 过BC 边的中点，则1122AO AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由上知1324AO AB AC =+，不成立；对于C ，由奔驰定理知:3:2AOB AOC S S =△△；对于D ，由230AO OB OC ++=得23OB OC AO +=-，两边平方得23AO OB OC =+)22223491213OB OCOB OC OB OC =+=++⋅=例6 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 22cos b a c B =-，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，且满足cos cos 2sin sin B ACB CA mCO A B+=，则m 的值为 .【解析】∵22cos b a c B =-∴2(cos cos )2cos b c B b C c B =+-，即2cos b b C =∵0b ≠，∴1cos 2C =，∵0C π<<，∴3C π=，对cos cos 2sin sin B ACB CA mCO A B+=两边同时点乘CO 得： 2cos cos 2sin sin B ACB CO CA CO mCO A B⋅+⋅= ∵()2112=22CB CO CB CO a ⎡⎤⋅=⋅⎣⎦，()211222CA CO CA CO b ⎡⎤⋅=⋅=⎣⎦∴2221cos 1cos 22sin 2sin B A a b mCO A B+=，即2222211sin cos cos sin 22sin 2sin a b A B A B mCO A B += 由正弦定理知222224sin sin a b CO A B==∴()sin cos cos sin sin m A B A B A B =+=+=.【巩固练习】1.已知P 是△ABC 所在平面内一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心2.已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OB →＋OC →2＋λAP →，λ∈R ，则P 点的轨迹一定经过△ABC 的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心3．点P 在△ABC 内部，满足P A →＋2PB →＋3PC →＝0，则S △ABC ∶S △APC 为( )A ．2∶1B ．3∶2C ．3∶1D ．5∶34．点O 为△ABC 内一点，若S △AOB ∶S △BOC ∶S △AOC ＝4∶3∶2，设AO →＝λAB →＋μAC →，则实数λ和μ的值分别为( )A.29，49B.49，29C.19，29D.29，195.设O 是△ABC 的内心，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，若22AO AB AC λλ=+则（）A ．12b c λλ= B ．2122b c λλ= C ．2122c b λλ= D ．2122c bλλ= 6.已知O 为正ABC 内的一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OBC 的面积的比值为3，则λ的值为（） A ．12B ．52C ．2D ．37.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，a =5，b =12，c =13，I 是△ABC 内切圆的圆心，若()AB AC AI t ABAC=+，则t =________．8.在△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5， I 是△ABC 内切圆的圆心，若12AI AB BC λλ=+，则12λλ+=________． 9.已知是锐角的外接圆圆心，，则实数的值为__________．10.已知D 是ABC ∆所在平面内一点，且满足1132AD AB AC =+，则BCD ACDS S ∆∆= . O ΔABC cos cos 60,2,sin sin B CA AB AC mAO C B︒∠=+=m。

高中数学秘笈系列之平面向量奔驰定理

A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心解：作出如图的图形 AD⊥BC，由于 sinB=
sinC=AD，
∴
=
由加法法则知，P 在三角形的中线上故动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心故选：B．
与“垂心”有关的向量问题
3 P 是 △ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是 △ABC 的( ) A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心
sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0
O 是 ABC 的垂心
SBOC : SCOA S: AOB tan A : tan B : tan C
tan A OA tan B OB tan C OC 0
C
O
A
D
B
证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD
AC
．∵
AB
与
AC
分别为 AB 和 AC 方向上的单位向量，∴
a
b
c
AB
AC
AB AC
AI 与∠BAC 平分线共线，即 AI 平分 BAC ．
同理可证： BI 平分 ABC ， CI 平分 ACB ．从而 I 是 △ABC 的内心，如图⑸.
7 已知 O 是平面上一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
，则 O 是
△ABC 的外心，如图⑺。
9 已知 O 是平面上的一定点， A， B， C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
OP
OB
OC
AB
AC
， (0， ) ，则动点 P 的轨迹一定通过

奔驰定理和四心问题知识点

奔驰定理和四心问题知识点嘿，朋友！咱今天来聊聊奔驰定理和四心问题，这可是数学里挺有意思的一块儿呢！先来说说奔驰定理。

你就把它想象成一辆奔驰车在数学的道路上飞奔。

它是说，如果在三角形 ABC 中有一点 P ，那么三角形 PBC 、三角形 PAC 、三角形 PAB 的面积分别与向量 PA 、向量 PB 、向量 PC的模长成比例。

这是不是有点像不同重量的货物在奔驰车上的分布？再看四心问题，这四心就像三角形的四个小伙伴，各有各的特点。

重心，那可是三角形的“重量中心”，就好比挑担子的时候，平衡点就在重心那儿。

内心呢，是三角形的“内心世界”，它到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心。

外心呢，就像是三角形的“外交大使”，它到三角形三个顶点的距离相等，是外接圆的圆心。

还有垂心，它是三角形三条高的交点，就像一个高高的瞭望塔，观察着三角形的每一个角落。

咱们来具体讲讲。

比如说重心，它把每条中线都分成了2:1 的两段，这是不是很神奇？你想想看，这就好像是在分糖果，按照这个比例来分，多公平呀！内心呢，通过角平分线来确定，角平分线可重要啦，它能把角分成相等的两部分，就像把一块蛋糕平均切开一样。

外心，要找它也不难。

可以通过作三角形两条边的垂直平分线来找到，这两条垂直平分线的交点就是外心啦。

垂心呢，就得靠高来确定，三条高相交的那个点就是垂心。

你说这四心是不是各有各的妙处？就像咱们生活中的不同角色，都有着自己独特的价值。

学习奔驰定理和四心问题，就像是在探索一个神秘的宝藏，每一个知识点都是一颗璀璨的宝石。

只有我们用心去挖掘，才能发现其中的美妙和神奇。

朋友，加油吧！只要我们认真去琢磨，这些知识就会像我们熟悉的朋友一样，陪伴着我们在数学的世界里畅游。

总之，奔驰定理和四心问题是数学中的精彩内容，掌握了它们，就如同拥有了打开数学奇妙之门的钥匙，能让我们看到更多更美的数学风景！。

高中数学平面向量奔驰定理详解精讲

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++•••OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1 =ODBCDCOB +BCBDOC =C B BS SS +OB +CB C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SS OA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD+-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++•••OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++•••OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++•••OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++•••OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++•••OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版

平面向量奔驰定理与三角形四心的应用完美打印版本文介绍了平面向量奔驰定理与三角形四心的应用。

定理表明，已知O是三角形ABC内的一点，且三个小三角形的面积分别为SA、SB、SC，则SA•OA+SB•OB+SC•OC=0.证明过程中，延长OA与BC相交于点D，利用三角形面积的性质得到DC=SC。

进而推导出O是三角形ABC内的一点，且x•OA+y•OB+z•OC=0，则SΔ根据正常的排版格式，应该将每个公式单独一行，同时需要加上适当的标点符号和文字说明。

同时，需要删除明显有问题的段落，将每段话进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一。

根据奔驰定理，对于三角形ABC，设P是其内部一点，那么有以下公式：$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}= \tan A:\tan B$，$S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan B:\tan C$，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan C$，因此，$S_{\triangle BOC}:S_{\triangle COA}:S_{\triangle AOB}=\tan A:\tan B:\tan C$。

例1：设P是三角形ABC内一点，且AP=$\frac{1}{3}$AB，BP=$\frac{1}{4}$BC，CP=$\frac{1}{5}$CA，求$\triangle ABP$的面积。

根据奔驰定理，我们可以得到$S_{\triangle ABP}:S_{\triangleABC}=\frac{BP}{BC}=\frac{1}{4}$，因此，$S_{\triangle ABP}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$。

例2：若三角形ABC接于以O为圆心，1为半径的圆，且$3OA+4OB+5OC=AB+AC$，则该三角形的面积为多少？根据欧拉定理，我们可以得到$OA^2+OB^2+OC^2=R^2+OG^2$，其中R为三角形外接圆半径，OG为三角形重心到圆心的距离。

第7讲平面向量的奔驰定理与四心问题(解析版)

第7讲平面向量的奔驰定理与四心问题【考点分析】考点一：三角形四心的概念：①重心：各边中线的交点，重心将中线长度分成2：1．①内心：各角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． ①外心：各边中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． ④垂心：各边上高线的交点，高线与对应边垂直．考点二：三角形四心的向量表示： ①内心：三角形的内心在向量AB AC ABAC+所在的直线上.0AB PC BC PC CA PB ⋅+⋅+⋅=⇔P 为ABC △的内心. ①外心：PA PB PC ==⇔P 为ABC △的外心.①垂心：PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅⇔P 为ABC △的垂心. ④重心：0PA PB PC ++=⇔P 为ABC △的重心. 考点三：重心坐标公式已知ABC △的顶点11()A x y ，，22()B x y ，，33()C x y ，，则①ABC 的重心坐标为123123()33x x x y y y G ++++，. 考点四：奔驰定理奔驰定理：0321=++OC OB OA λλλ，则AOB △、AOC △、BOC △的面积之比等于321::λλλ 证明：如图，令112131OA OA OB OB OC OC λλλ===，，，即满足1110OA OB OC ++=11121AOB A OB S S λλ=△△，11131AOC A OC S S λλ=△△，11231BOC B OC S S λλ=△△，故321::::AOB AOC BOC S S S λλλ=△△△.考点五：三角形四心与奔驰定理的关系①O 是ABC △的重心：::1:1:10BOC COA A0B S S S OAOB OC =⇔++=△△△．①O 是ABC △的内心：::::0B0C COA AOB S S S a b c OA OB OC =⇔++=△△△．①O 是ABC △的外心：0::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△． ④O 是ABC △的垂心：0::tan :tan :tan tan tan tan 0B C COA AOB S S S A B C AOA BOB COC =⇔++=△△△．【题型目录】题型一：四心的向量表示题型二：奔驰定理的应用【典型例题】题型一：四心的向量表示【例1】已知O ，N ，P 在所在ABC ∆的平面内，且||||||,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PA PC ==，则O ，N ，P 分别是ABC ∆的( )A ．重心外心垂心B ．重心外心内心C ．外心重心垂心D ．外心重心内心【解析】解：因为且||||||OA OB OC ==，所以0到顶点A ，B ，C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心．由PA PB PB PC PA PC ==得()0PA PC PB -=，即AC PB ，所以AC PB ⊥．同理可证AB PC ⊥，所以P 为ABC ∆的垂心．若0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +==，所以2||||NE CN =，所以N 是ABC ∆的重心．故选：C ．【例2】已知M 点在ABC 所在的平面内，满足()(|si |||n sin AB ACOM OA AB B AC Cλλ=++∈R)，则动点M 的轨迹一定通过ABC 的（） A ．内心 B ．垂心 C ．外心 D ．重心||sin ||sin AB B AC C =，由,AB AC 表示出AM 即可判断作答令ABC 边BC 上的高为h ，则有||sin ||sin AB B AC C h ==，令边BC 的中点为则2AB AC AD +=，因此，2()()AB AC AB AC AD h h h AM OM OA hλλλ+=-=+==，即//AM AD ，所以动点M 的轨迹一定通过ABC 的重心. D【例3】设O 为ABC ∆的外心，若OA OB OC OM ++=，则M 是ABC ∆的（） A ．重心（三条中线交点） B ．内心（三条角平分线交点） C ．垂心（三条高线交点） D ．外心（三边中垂线交点）【答案】C【解析】设AB 的中点为D ，根据题意可得OD AB ⊥，由题中向量的等式化简得CM AB ⊥，即CM 在AB 边的高线上．同理可证出AM 在BC 边的高线上，故可得M 是三角形ABC 的垂心．【详解】在ABC ∆中，O 为外心，可得OA OB OC ==， ①OA OB OC OM ++=， ①OA OB OM OC +=-，设AB 的中点为D ，则OD AB ⊥，2CM OD =， ①CM AB ⊥，可得CM 在AB 边的高线上．同理可证，AM 在BC 边的高线上，故M 是三角形ABC 两高线的交点，可得M 是三角形ABC 的垂心，故选：C【点睛】本题给出三角形中的向量等式，判断点M 是三角形的哪一个心．着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题．【例4】已知点O 是ABC ∆所在平面内的一定点，P 是平面ABC 内一动点，若1,(0,)2OP OA AB BC λλ⎛⎫=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心由12AB BC AD +=，12OP OA AB BC λλ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，知OP OA AD λ=+，，故点P 的轨迹一定经过①ABC 的重心．的中点， ①12AB BC AD +=，12OP OA AB BC λλ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，①OP OA AD λ=+，即AP AD λ=①点P 的轨迹是射线AD ， ①AD 是①ABC 中BC 边上的中线，点P 的轨迹一定经过故选：A ．【点睛】本题考查三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．【例5】点O 为ABC 所在的平面内，给出下列关系式： ①0OA OB OC ++=；①0AB A OA AB C AC ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪⎝-⎭且0BC BA OB BC BA ⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎝⎭； ①()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=.则点O 依次为ABC 的（）A ．内心、重心、垂心B ．重心、内心、垂心C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心 AB AB和AC AC，从而得出点的平分线上，这就涉及三角形的内心；第三条可以推导出OA OB +和AB 垂直，从而和三角形的外心由于()2OA OB OC OD =-+=-，其中的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点（靠近O 为ABC 的重心； AC AC，AB AB，分别表示在边AC 和AB 上取单位向量AC '和AB '，它们的差是向量B C ''，当0AB A OA AB C AC ⎛⎫ ⎪⋅= ⎪⎝-⎭，即OA 的平分线上，同理由0BC BA OB BC BA ⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎝⎭，在ABC ∠的平分线上，故O 为ABC 的内心；①OA OB +是以OA ，OB 为边的平行四边形的一条对角线的长，而AB 是该平行四边形的另一条对角线的长，()0OA OB AB +⋅=表示这个平行四边形是菱形，即OA OB =，同理有OB OC =，故O 为ABC 的外. 故选：C【点睛】本题考查利用向量的方法去研究三角形的内心，外心，重心的性质，属于有一定难度的综合题。

平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算(解析版)

平面向量中的奔驰定理以及三角形四心的相关计算目录奔驰定理和四心的性质及证明奔驰定理以及四心的向量式题型一四心的识别题型二奔驰定理题型三四心的相关计算题型四奔驰定理与四心的综合题技巧一．四心的概念介绍：(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．(2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等．(3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等．(4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点．已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标为G x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33．注意：(1)在△ABC 中，若O 为重心，则OA +OB +OC =0 ．(2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：AG =13AB +13AC ．奔驰定理：S A ⋅OA +S B ⋅OB +S C ⋅OC =0，则△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之比等于λ3:λ2:λ1奔驰定理证明：如图，令λ1OA =OA 1 ，λ2OB =OB 1 ，λ3OC =OC 1 ，即满足OA 1+OB 1+OC 1=0S △AOB S △A 1OB 1=1λ1λ2，S △AOC S △A 1OC 1=1λ1λ3，S △BOC S △B 1OC 1=1λ2λ3，故S △AOB :S △AOC :S △BOC =λ3:λ2:λ1．技巧三．三角形四心与推论：(1)O 是△ABC 的重心：S △BOC :S △COA :S △A 0B =1:1:1⇔OA +OB +OC =0 ．(2)O 是△ABC 的内心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =a :b :c ⇔aOA +bOB +cOC =0 ．(3)O 是△ABC 的外心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2AOA +sin2BOB +sin2COC =0 ．(4)O 是△ABC 的垂心：S △B 0C :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan AOA +tan BOB +tan COC =0．技巧四．常见结论(1)内心：三角形的内心在向量AB AB +ACAC 所在的直线上．AB ⋅PC +BC ⋅PC +CA ⋅PB =0⇔P 为△ABC 的内心．(2)外心：PA =PB =PC ⇔P 为△ABC 的外心．(3)垂心：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ⇔P 为△ABC 的垂心．(4)重心：PA +PB +PC =0⇔P 为△ABC 的重心．奔驰定理和四心的性质及证明(全)【重心】：若O 为△ABC 重心(1)S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =1:1:1；(2)OA +OB +OC =0 ；(3)动点P 满足OP =OA +λ(AB +AC)，λ∈(0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的重心(4)动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心(5)重心坐标为：x A +x B +x C 3，y A +y B +y C3.【垂心】：若O 为△ABC 垂心(1)OA ⋅OB =OB ⋅OC =OC ⋅OA(2)OA 2+BC 2=OB 2+CA 2=OC 2+AB 2(3)动点P 满足OP =OA +λAB AB cos B +ACAC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心(4)S △BOC :S △COA :S △AOB =tan A :tan B :tan C(5)tan A •OA +tan B •OB +tan C •OC =0.【内心】：若O 为△ABC 内心(1)S △BOC :S △COA :S △AOB =a :b :c(2)a •OA +b •OB +c •OC =0 (3)动点P 满足OP =OA+λAB |AB |+AC|AC |，λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的内心(4)OA⋅AC |AC |-AB |AB |=OB ⋅BC |BC |-BA BA=OC ⋅CA |CA |-CB|CB |=0【外心】：若O 为△ABC 外心(1)OA 2 =OB 2=OC 2 ；(2)动点P 满足OP =OB +OC 2+λAB AB cos B +ACAC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心；(3)若OA +OB ⋅AB =OB +OC ⋅BC =OA +OC ⋅AC=0，则O 是△ABC 的外心；(4)S △BOC :S △COA :S △AOB =sin2A :sin2B :sin2C ；(5)sin2A •OA +sin2B •OB +sin2C •OC =0 .奔驰定理以及四心的向量式证明：已知O 是ΔABC 内的一点，ΔBOC ,ΔAOC ,ΔAOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，求证：S A •OA+S B •OB +S C •OC =0【解答】如图，延长OA 与BC 边相交于点D 则BDDC=S ΔABD S ΔACD =S ΔBOD S ΔCOD =S ΔABD −S ΔBOD S ACD −S ΔCOD =S CS B OD =DC BC OB +BD BC OC=S B S B +S C OB +S C S B +S COC∵ODOA =S BOD S BOA =S COD S COA =S BOD +S COD S BOA +S COA =S A S B +S C ∴OD =−S A S B +S C OA∴−S A S B +S C OA =S B S B +S C OB+S C S B +S C OC∴S A •OA +S B •OB +S C •OC =0推论:O 是ΔABC 平面内的一点，且x •OA +y •OB +z •OC =0，则S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =x :y :z ②S △BOC S △ABC=xx +y +z 【奔驰定理与三角形四心向量式】1、O 是ΔABC 的重心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =1:1:1⇔OA +OB +OC =02、O 是ΔABC 的内心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =a :b :c ⇔a •OA +b •OB +c •OC =03、O 是ΔABC 的外心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =sin2A :sin2B :sin2C ⇔sin2A •OA +sin2B •OB +sin2C •OC =04、O 是ΔABC 的垂心⇔S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =tan A :tan B :tan C ⇔tan A •OA +tan B •OB +tan C •OC =0证明：如图O 为三角形的垂心，tan A =CD AD,tan B =CDDB ⇒tan A :tan B =DB :ADS ΔBOC :S ΔCOA =DB :AD ∴S ΔBOC :S ΔCOA =tan A :tan B同理得S ΔCOA :S ΔAOB =tan B :tan C ，S ΔBOC :S ΔAOB =tan A :tan C ∴S ΔBOC :S ΔCOA :S ΔAOB =tan A :tan B :tan C奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一题型一四心的识别1已知点P 是△ABC 所在平面内点，有下列四个等式：甲：PA +PB +PC =0 ；乙：PA ⋅(PA -PB )=PC ⋅(PA -PB )；丙：PA =PB =PC；丁：PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ．如果只有一个等式不成立，则该等式为()A.甲 B.乙C.丙D.丁【答案】B 【解析】甲：P 为△ABC 的重心；乙：PA -PC ⋅(PA -PB )=0⇒CA ⋅BA =0，即△ABC 为Rt △；丙：P 为△ABC 的外心；丁：P 为△ABC 的垂心(投影转换)则△ABC 为等边三角形时，三心重合，故选B .2已知点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA+λAB |AB |+AC |AC |，λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.外心B.内心C.重心D.垂心【答案】B 构造菱形3若O 在△ABC 所在的平面内，a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足以下条件a ⋅OA +b ⋅OB +c ⋅OC=0,则O 是△ABC 的()A.垂心B.重心C.内心D.外心【答案】B 奔驰定理4若O 在△ABC 所在的平面内,且满足以下条件OA ⋅AC |AC |-AB |AB | =OB ⋅BC |BC |-BA BA=OC ⋅CA |CA |-CB|CB |=0,则O 是△ABC 的()A.垂心B.重心C.内心D.外心【答案】B 构造菱形【四心之垂心】5已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA+λAB AB cos B +AC AC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】原式为AP =λAB AB cos B +ACAC cos C等式两边同时乘BC ，得AP ⋅BC =λAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCACcos CAB ⋅BC AB cos B +AC ⋅BCACcos C=BC -BC =0，∴AP ⋅BC =0⇒AP ⊥BC 6P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ⋅PB =PB ⋅PC =PC ⋅PA ，则P 是△ABC 的()A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】PA ⋅PB =PB ⋅PC ⇒PB ⋅PA -PC =0⇒PB ⊥CA，其它同理.7若H 为△ABC 所在平面内一点，且HA 2+BC 2=HB 2+CA 2=HC 2+AB2则点H 是△ABC 的()A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】HA 2+BC 2=HB 2+CA 2⇒HA 2+BH +HC 2=HB 2+CH +HA2得HA ⋅HB =HC ⋅HA ⇒HA ⋅CB =0,即HA ⊥CB ，同理可得HB ⊥AC ,HC ⊥BC【四心之重心】8已知G 是△ABC 所在平面上的一点，若GA +GB +GC=0，则G 是△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】A 重心的性质9已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OA +λ(AB+AC )，λ∈(0，+∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的().A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】OP =OA +λ(AB +AC )⇒AP =λ(AB +AC)10O 是△ABC 所在平面内一点，动点P 满足OP =OA +λAB AB sin B +ACACsin C，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.内心B.重心C.外心D.垂心【解析】AB AB sin B +AC ACsin C=AB h +ACh ，h 为BC 边上的高∴AP =λhAB +AC .【补充】--重心坐标为x A +x B +x C 3，y A +y B +y C3【四心之外心】11已知O 是△ABC 所在平面上一点，若OA 2 =OB 2 =OC 2，则O 是△ABC 的()．A.重心B.外心C.内心D.垂心【解析】外心的性质12已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP =OB +OC2+λAB AB cos B +AC AC cos C ，λ∈(0，+∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()。

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