第五章欧洲数学与近代数学的兴起

数学只有在这样一种文化环境中才能结出累累硕果；在这种文化环境中，人们既能自觉自愿地探讨与自然界有关联的问题，与此同时，又允许思想毫无限制地自由发展，而不必考虑是否能够立刻解决人类及其世界所面临的现实问题。

--------M.克莱因（美）

第5章欧洲数学与近代数学的兴起

§5.1 中世纪的欧洲数学

§5.2 文艺复兴时期的欧洲数学

§5.3 近代数学的诞生

§5.1 中世纪的欧洲数学

一、中世纪欧洲历史文化简介

公元五世纪到十五世纪的一千多年时间是欧洲历史上的封建社会时期，科学史和哲学史上称为欧洲中世纪。其中前六百年（5-11世纪）是封建生产方式的形成阶段，称为中世纪前期；后四百年（11-15世纪）是封建生产方式的兴盛时期，称为中世纪后期。

西罗马帝国由于奴隶起义和外族侵入于公元476年灭亡。欧洲出现四分五裂封建割据状态。战争造成的混乱局

面和到处充满的破坏行动使得生产停滞，经济凋败，科学文化落后。当时各国统治者与罗马教廷勾结，让基督教占据统统治地位。基督教敌视科学，阻止、压抑科学的发展，宗教的绝对权威使一切学术思想屈从于宗教教义。神学成为中心学科，占星学成为带头学科。整个中世纪，尤其使中世纪前期，整个欧洲没有像样的发明创造，也没有值得一提的科学著作。这是欧洲历史上科学技术大倒退的时期，是宗教神学统治的黑暗时期。当时的教育主要是一些修道院办的僧侣学校（经院），主要学习圣经。

经过漫长的黑暗时期，手工业和商业得以逐步恢复和发展。约在10世纪到11世纪初，开始出现一些新兴的城市。这标志欧洲进入新时期（中世纪后期）。与此同时在一些城市中开始设立非教会的学校，并在此基础上发展成为大学。

这时期的十字军八次东征（1095-1270）使欧洲人大规模地接触到东方的文明。这让他们大开眼界，激起他们学习东方科学文化的热情。同时欧洲人还掠夺走大量被阿拉伯人翻译和保存的古希腊著作。这些著作经翻译后全面流入欧洲，为欧洲科学文化的复兴奠定了基础。

二、斐波那契与算盘书

中世纪欧洲数学的主要代表是意大利数学家斐波那契（Fibonacci约1170-1250)。

斐波那契于1202年写成名著《算盘书》，被认为是中世纪欧洲人所写的最重要的数学著作,对中世纪欧洲数学面貌的改变起到极为重要的作用。为此，斐波那契被评价为欧洲中世纪最杰出的数学家。

《算盘书》的最大意义是把印度-阿拉伯数码及印度、阿拉伯数学介绍给欧洲人。

《算盘书》中给出了著名的斐波那契数列。这是中世纪欧洲数学家在数学理论发展中所做的少数重要贡献之一。

“兔子问题”：

某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月可以生一对小兔，而小兔子出生后第二个月就能生育。问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？

数学发明的动力不是理性，而是想象。

--------德.摩根（德）

在我看来，一个人如果要在数学上有所进步，他必须向大师们学习，而不应向徒弟们学习。

--------阿贝尔（挪威）

§5.2文艺复兴时期的欧洲数学

一、文艺复兴与近代自然科学的兴起

16世纪前后是欧洲封建生产方式解体和资本主义生产方式形成时期。这期间欧洲大陆发生了一场称为“文艺复兴”或“宗教改革”的深刻的资产阶级民主革命，促成了思想的大解放和科学的大发展。近代自然科学就在这一时期中诞生和发展起来。出现这一情况的原因由三个；

1.生产的发展与科学技术的积累，为科学发展提供了基本条件。

2.新兴资产阶级反封建的革命斗争，为科学发展扫清了道路。

3.创立实验——数学方法，为科学发展奠定了方法论基础。

二、文艺复兴时期欧洲数学的主要进展

1.代数方程论的发展

1515年，意大利波伦尼亚大学教授、波伦尼亚数学学会会长费罗（Ferro 1465—1526）求得形如方程的正根的求根公式，并秘传给学生菲奥（Fior 16世纪前半叶）与

内夫（1500—1558）。后来威尼斯大学数学教授丰塔纳（Frontana 1499—1557，因口吃也称塔塔利亚）独自钻研也求得形如的方程的解法。于是引起菲奥的挑战。1535年2月22日，塔塔利亚与菲奥进行了一场著名的数学竞赛。竞赛以塔塔利亚取胜而告终。

1539年，塔塔利亚将所创方法告知了米兰数学家卡当（Cardano 1501—1576）。1545年，卡当出版《大法》一书，首次公布了三次方程的解法。故后人称三次方程求根公式为卡当公式。《大法》

中还载有解四次方程的费拉里（Ferrari 1522—1565）方法。

后来，法国数学家韦达、笛卡尔，荷兰数学家吉拉德等进一步研究了高次方程的各种解法、根的个数以及根与系数关系等，进一步发展了代数方程论。

2. 符号代数的产生

代数学进一步发展的首要问题是建立一套有效的符号体系。公认在数学符号系统化方面做出最大贡献的是法国数学家韦达（Vieta 1540—1603）。韦达是十六世纪最伟大的数学家。他的名著《分析引论》（1591）被认为是符号代数最早的一部著作。他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。他还用字母表示方程的一般系数，代数式中的方括号和花括号是他于1593年引进的。他还用“~”表示等号，而将“=”表示两数之差。引入字母符号后，韦达将一般代数方程称为“类的算术”，以别于“数的算术”，并以此区分代数与算术，使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问。韦达在代数的恒等式理论、方程理论、几何、三角等方面有很多贡献。韦达也被称为“代数学之父”。

3.三角学的确立

16世纪以前，欧洲三角始终依附于天文学。到16世纪，三角学开始从天文学中分离出来成为独立的数学分支。使三角学取得独立地位的第一部系统著作是奥地利数学家雷琼蒙塔努斯（Regiomontanus 1436—1476）的名著《三角全书》。该书首次对三角学作出完整、