第五章欧洲数学与近代数学的兴起

数学只有在这样一种文化环境中才能结出累累硕果；在这种文化环境中，人们既能自觉自愿地探讨与自然界有关联的问题，与此同时，又允许思想毫无限制地自由发展，而不必考虑是否能够立刻解决人类及其世界所面临的现实问题。

--------M.克莱因（美）第5章欧洲数学与近代数学的兴起§5.1 中世纪的欧洲数学§5.2 文艺复兴时期的欧洲数学§5.3 近代数学的诞生§5.1 中世纪的欧洲数学一、中世纪欧洲历史文化简介公元五世纪到十五世纪的一千多年时间是欧洲历史上的封建社会时期，科学史和哲学史上称为欧洲中世纪。

其中前六百年（5-11世纪）是封建生产方式的形成阶段，称为中世纪前期；后四百年（11-15世纪）是封建生产方式的兴盛时期，称为中世纪后期。

西罗马帝国由于奴隶起义和外族侵入于公元476年灭亡。

欧洲出现四分五裂封建割据状态。

战争造成的混乱局面和到处充满的破坏行动使得生产停滞，经济凋败，科学文化落后。

当时各国统治者与罗马教廷勾结，让基督教占据统统治地位。

基督教敌视科学，阻止、压抑科学的发展，宗教的绝对权威使一切学术思想屈从于宗教教义。

神学成为中心学科，占星学成为带头学科。

整个中世纪，尤其使中世纪前期，整个欧洲没有像样的发明创造，也没有值得一提的科学著作。

这是欧洲历史上科学技术大倒退的时期，是宗教神学统治的黑暗时期。

当时的教育主要是一些修道院办的僧侣学校（经院），主要学习圣经。

经过漫长的黑暗时期，手工业和商业得以逐步恢复和发展。

约在10世纪到11世纪初，开始出现一些新兴的城市。

这标志欧洲进入新时期（中世纪后期）。

与此同时在一些城市中开始设立非教会的学校，并在此基础上发展成为大学。

这时期的十字军八次东征（1095-1270）使欧洲人大规模地接触到东方的文明。

这让他们大开眼界，激起他们学习东方科学文化的热情。

同时欧洲人还掠夺走大量被阿拉伯人翻译和保存的古希腊著作。

这些著作经翻译后全面流入欧洲，为欧洲科学文化的复兴奠定了基础。

二、斐波那契与算盘书中世纪欧洲数学的主要代表是意大利数学家斐波那契（Fibonacci约1170-1250)。

斐波那契于1202年写成名著《算盘书》，被认为是中世纪欧洲人所写的最重要的数学著作,对中世纪欧洲数学面貌的改变起到极为重要的作用。

为此，斐波那契被评价为欧洲中世纪最杰出的数学家。

《算盘书》的最大意义是把印度-阿拉伯数码及印度、阿拉伯数学介绍给欧洲人。

《算盘书》中给出了著名的斐波那契数列。

这是中世纪欧洲数学家在数学理论发展中所做的少数重要贡献之一。

“兔子问题”：某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月可以生一对小兔，而小兔子出生后第二个月就能生育。

问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？数学发明的动力不是理性，而是想象。

--------德.摩根（德）在我看来，一个人如果要在数学上有所进步，他必须向大师们学习，而不应向徒弟们学习。

--------阿贝尔（挪威）§5.2文艺复兴时期的欧洲数学一、文艺复兴与近代自然科学的兴起16世纪前后是欧洲封建生产方式解体和资本主义生产方式形成时期。

这期间欧洲大陆发生了一场称为“文艺复兴”或“宗教改革”的深刻的资产阶级民主革命，促成了思想的大解放和科学的大发展。

近代自然科学就在这一时期中诞生和发展起来。

出现这一情况的原因由三个；1.生产的发展与科学技术的积累，为科学发展提供了基本条件。

2.新兴资产阶级反封建的革命斗争，为科学发展扫清了道路。

3.创立实验——数学方法，为科学发展奠定了方法论基础。

二、文艺复兴时期欧洲数学的主要进展1.代数方程论的发展1515年，意大利波伦尼亚大学教授、波伦尼亚数学学会会长费罗（Ferro 1465—1526）求得形如方程的正根的求根公式，并秘传给学生菲奥（Fior 16世纪前半叶）与内夫（1500—1558）。

后来威尼斯大学数学教授丰塔纳（Frontana 1499—1557，因口吃也称塔塔利亚）独自钻研也求得形如的方程的解法。

于是引起菲奥的挑战。

1535年2月22日，塔塔利亚与菲奥进行了一场著名的数学竞赛。

竞赛以塔塔利亚取胜而告终。

1539年，塔塔利亚将所创方法告知了米兰数学家卡当（Cardano 1501—1576）。

1545年，卡当出版《大法》一书，首次公布了三次方程的解法。

故后人称三次方程求根公式为卡当公式。

《大法》中还载有解四次方程的费拉里（Ferrari 1522—1565）方法。

后来，法国数学家韦达、笛卡尔，荷兰数学家吉拉德等进一步研究了高次方程的各种解法、根的个数以及根与系数关系等，进一步发展了代数方程论。

2. 符号代数的产生代数学进一步发展的首要问题是建立一套有效的符号体系。

公认在数学符号系统化方面做出最大贡献的是法国数学家韦达（Vieta 1540—1603）。

韦达是十六世纪最伟大的数学家。

他的名著《分析引论》（1591）被认为是符号代数最早的一部著作。

他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量。

他还用字母表示方程的一般系数，代数式中的方括号和花括号是他于1593年引进的。

他还用“~”表示等号，而将“=”表示两数之差。

引入字母符号后，韦达将一般代数方程称为“类的算术”，以别于“数的算术”，并以此区分代数与算术，使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问。

韦达在代数的恒等式理论、方程理论、几何、三角等方面有很多贡献。

韦达也被称为“代数学之父”。

3.三角学的确立16世纪以前，欧洲三角始终依附于天文学。

到16世纪，三角学开始从天文学中分离出来成为独立的数学分支。

使三角学取得独立地位的第一部系统著作是奥地利数学家雷琼蒙塔努斯（Regiomontanus 1436—1476）的名著《三角全书》。

该书首次对三角学作出完整、独立的阐述，并在欧洲广泛传播。

4.几何学的新突破16世纪以前，欧洲在几何学方面的进展很小。

文艺复兴时期，艺术家们绘画的指导理念从中世纪的观念体系转向光学体系，这就要求在绘画中正确处理三维空间中的距离、体积、质量与视觉印象间的关系，从而导致了一门新兴学科——透视学的诞生。

意大利人布努雷契（1337—1446）、阿尔贝蒂（1404—1472）、弗朗西斯卡（1410—1492）为透视学的产生发展作出了贡献。

另一刺激几何研究的是地图制作中球面展开的畸变问题。

1569年创造了以梅卡脱（1512—1594）名字命名的投影法解决了地图的保形问题。

透视法、投影法研究的进一步深入，导致了一门新的几何分支——射影几何学的产生，其奠基者是法国数学家笛沙格（1591—1661）。

他从焦点透视的投影与截影原理出发，对平行线引入无穷远点的概念，进而得到无穷远直线的概念，然后讨论了今天所谓的笛沙格定理。

他还讨论了很多射影性质，如投影变换下交比不变性，对合、调和点组关系在投影变换下的不变性等。

对射影几何诞生作出贡献的还有法国数学家帕斯卡（1623—1662）和拉伊尔（1640—1718）等，它的理论体系最终于19世纪由法国数学家庞塞勒、斯陶特、蒙日等人完成。

5.计算技术的重大进步（1）十进小数的发明在欧洲，十进小数的发明归功于荷兰数学家斯蒂文（Stevin 1548—1620）。

1585年他在《十进小数》一文中首次引入小数点记号和十进小数表示方法。

（2）对数的发明对数的发明人是苏格兰的著名数学家纳皮尔（J.Napier 1550—1617）。

1594年前后，为简化天文学中的球面三角计算，他开始研究并发明了对数。

在《论对数的奇妙性》（1614）和遗著《奇妙的对数表的构造》（1619年出版）中，他阐述了关于对数的思想，并造出了第一张正弦对数表。

纳皮尔关于对数是这样定义的：点P沿有限直线AB作变速运动，其速度与剩余距离成正比；点Q沿无限直线CD作匀速运动，其速度为P点在A处的速度。

令P、Q同时分别从A、C出发，记，那么称x是y的对数。

令，P的速度与y成正比，取比例系数为1，则有：纳皮尔的对数实际上是为底的对数。

纳皮尔去世后，牛津大学教授布里格斯（1561—1631）建立了以10为底的常用对数。

第一张自然对数表于1616年出现在英国人芮特的一本书中，第一张常用对数表由布里格斯于1617年发表，英国天文学教授冈特于1620年首先算出三角函数常用对数表，1624年开普勒在德国出版纳皮尔正弦对数表。

对数发明后，不到一个世纪就传遍世界（1648年波兰传教士穆尼阁将对数传入中国）。

天文学家几乎以狂喜的心情接受这一发现。

拉普拉斯曾赞誉道：“如果一个人的生命是拿他一生中的工作多少来衡量的话，那么对数的发明等于延长了人类的寿命”。

伽利略则说：“给我空间、时间和对数，我即可创造一个宇宙。

”（3）计算工具的产生1617年苏格兰人内皮制成骨筹乘法器，整个17世纪沿用。

1620年冈特试制成对数计算尺，1632年又试制成圆盘计算尺。

1623年德国数学家制成第一部机械计算器，可进行加减运算和借助活动表格进行乘除计算。

第一部实用的齿轮式计算器于1642年由法国数学家帕斯卡制成，后经莱布尼茨改进，这是现代计算机的前身。

由于数学推理确定无疑、明了清晰，我特别喜爱数学。

……我为它的基础如此稳固坚实而惊奇，在知识结构中，数学应该是最高的。

--------笛卡尔（法）只要代数同几何分道扬镳，他们的进度就缓慢，它们的应用就狭窄，但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完善。

--------拉格朗日(意)§5.3近代数学的诞生一、近代数学诞生及其特点分析从17世纪初到18世纪末，欧洲数学的发展是数学史上继古希腊数学之后的又一次飞跃，它继承了古希腊数学的光辉传统，在印度、阿拉伯和文艺复兴时期数学成就的基础上创立了近代数学，标志着数学发展史上一个崭新的时期开始了。

近代数学的出现，使数学产生了及其深刻的变更，它在17世纪到18世纪两百年间所取得的成就，无论在深度和广度上都远远超过了初等数学在长达两千多年的发展期间内的所取得的成就。

这一时期的数学变更，主要呈现以下特点1.数学研究的对象与内容发生根本的改变2.数学观与数学方法论发生重大变化3.纯粹数学与应用数学的结合研究4.数学研究的社会化进程加快二、近代数学诞生的原因分析为什么近代数学出现在17世纪而不是以前？为什么近代数学诞生在欧洲而不是其它地方？主要原因有两方面：1.从外因看从16世纪起，资本主义生产方式已逐步在欧洲各国形成。

资本主义生产方式推动了生产力的发展，而生产力的发展则推动了科学技术的发展。

正如恩格斯所提出的：“如果说，在中世纪黑夜之后，科学以意想不到的力量一下子重新兴起并且以神奇的速度发展起来，那么我们要再次把这个奇迹归功于生产。

”生产的需要不断对数学提出要求，刺激了数学的变革。