双曲线第一定义
2020年人教版高考数学(理)一轮复习 第53讲双曲线
听课正文第53讲双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.(1)当时,P点的轨迹是双曲线;(2)当时,P点的轨迹是两条射线;(3)当时,P点不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0);(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0).3.双曲线的性质标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)图形(续表)标准方程x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)性质范围,y∈R ,x∈R对称性对称轴:坐标轴.对称中心:原点顶点A1,A2A1,A2渐近线y= y=离心率e=ca,e∈a ,b ,c的关系c 2= (c>a>0,c>b>0)实、虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴,它的长|A 1A 2|= ;线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴,它的长|B 1B 2|= ;a 叫作双曲线的实半轴长,b 叫作双曲线的虚半轴长常用结论双曲线的几个常用结论: (1)与双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线系的方程为x 2a2-y 2b2=λ(λ≠0).(2)双曲线上的点P (x 0,y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作r 1=|PF 1|,r 2=|PF 2|,则①x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),若点P 在右支上,则r 1=ex 0+a ,r 2=ex 0-a ;若点P 在左支上,则r 1=-ex 0-a ,r 2=-ex 0+a.②y 2a2-x 2b2=1(a>0,b>0),若点P 在上支上,则r 1=ey 0+a ,r 2=ey 0-a ;若点P 在下支上,则r 1=-ey 0-a ,r 2=-ey 0+a.题组一 常识题1.[教材改编] 若双曲线E :x 29-y 225=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|=5,则|PF 2|= .2.[教材改编] 已知双曲线经过点P (4,-2√2)和点Q (-4√2,2√3),则该双曲线的标准方程为 .3.[教材改编] 双曲线C :4x 2-10y 2=100的离心率是 ,渐近线方程是 .题组二 常错题◆索引:忽视双曲线定义中的条件“2a<|F 1F 2|”;忽视定义中的条件“差的绝对值”;忽视双曲线焦点的位置;忽视双曲线上的点的位置.4.平面内到点F 1(5,0),F 2(-5,0)距离之差的绝对值等于10的点P 的轨迹是 .5.已知A (-5,0),B (5,0),动点P 满足|PA |-|PB |=6,则点P 的轨迹是 .6.已知双曲线的实轴长为8,离心率为2,则双曲线的标准方程为 .7.P 是双曲线x 216-y 281=1上任意一点,F 1,F 2分别是它的左、右焦点,且|PF 1|=9,则|PF 2|= .探究点一 双曲线的定义及标准方程例1 (1)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为 ( )A .x 24-y 212=1B .x 212-y 24=1 C .x 23-y 2=1D .x 2-y 23=1(2)[2018·辽宁朝阳一模] 设中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的焦距为12,圆(x-6)2+y 2=20与该双曲线的渐近线相切,点P 在双曲线上,若点P 到焦点F 1的距离是9,则点P 到F 2的距离是 ( ) A .17或1 B .13或5 C .13 D .17[总结反思] (1)应用双曲线的定义,可判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而求出曲线方程;可在“焦点三角形”中,利用正弦定理、余弦定理,并结合||PF 1|-|PF 2||=2a ,运用配方法,建立与|PF 1|·|PF 2|的联系.应用双曲线的定义时,若去掉绝对值,则点的轨迹是双曲线的一支.(2)待定系数法求双曲线方程时,一要注意焦点位置的判断,二要注意c 2=a 2+b 2,a ,b ,c 的关系不要弄错.变式题 (1)[2018·合肥三模] 已知双曲线C :y 2a 2-x 2b 2=1(a>0,b>0)的上焦点为F ,M 是双曲线虚轴的一个端点,过F ,M 的直线交双曲线的下支于A 点.若M 为AF 的中点,且|AF|=6,则双曲线C 的方程为 ( ) A .y 22-x 28=1 B .y 28-x 22=1 C .y 2-x 24=1D .y 24-x 2=1(2)双曲线C的渐近线方程为y=±2√33x,一个焦点为F(0,-√7),点A(√2,0),点P为双曲线在第一象限内的点,则当点P的位置变化时,△PAF周长的最小值为()A.8B.10C.4+3√7D.3+3√7(3)已知双曲线的虚轴长为12,离心率为54,则其方程为.探究点二双曲线的几何性质有关问题微点1已知离心率求渐近线方程例2[2018·辽宁凌源二中月考]已知圆E:(x-3)2+(y+m-4)2=1(m∈R),当m变化时,圆E上的点与原点O的最短距离与双曲线C:x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率相等,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±12xC.y=±√3xD.y=±√33x[总结反思]已知离心率求渐近线方程,即e=ca ⇒c2=e2·a2=a2+b2⇒e2=1+b2a2,即得渐近线方程为y=±√e2-1x.微点2已知渐近线方程求离心率例3[2018·赣州模拟]若双曲线y2a2-x2b2=1(a,b>0)的一条渐近线方程为y=34x,则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.169D.259[总结反思]已知渐近线方程y=±kx,若焦点位置不明确要分k=ba 和k=ab两种情况讨论.已知渐近线方程为y=±ba ·x,可由c2=a2+b2⇒c2a2=1+b2a2,从而求得离心率e=√1+(ba)2.微点3由离心率研究渐近线夹角问题例4定义平面上两条相交直线的夹角为:两条相交直线交成的不超过90°的正角.已知双曲线E:x2 a2-y2b2=1(a>0,b>0),当其离心率e∈[√2,2]时,对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为()A.[0,π6]B.[π6,π3]C.[π4,π3]D.[π3,π2][总结反思]已知离心率可得出双曲线的渐近线方程,即得出渐近线的斜率,从而可解决与渐近线夹角有关的问题.微点4利用渐近线与已知直线的位置关系求离心率范围例5已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐进线分别交于M,N两点,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的离心率为.[总结反思]一般可以先求解已知直线与渐近线的交点,再结合相关条件得到关于a与b的方程(或不等式),利用c2=a2+b2,转化为关于a与c的方程(或不等式),从而得离心率的值(或范围).应用演练1.【微点1】[2018·永州模拟]双曲线x2-y2b2=1(b>0)的离心率e=√5,则双曲线的渐近线方程为 ( ) A .y=±12x B .y=±15xC .y=±2xD .y=±5x2.【微点2】[2018·合肥一模] 若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=-2x ,则该双曲线的离心率是 ( )A .√52B .√3C .√5D .2√33.【微点3】已知双曲线x 2a2-y 2b2=1的离心率为2√33,则双曲线的两条渐近线的夹角为 ( )A .π6B .π4C .π3D .π24.【微点4】[2018·珠海三模] 双曲线x 2a2-y 2b2=1的一条渐近线与直线x+2y-1=0垂直,则双曲线的离心率为( ) A .√52B .√5C .√3+12 D .√3+15.【微点2】已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线经过圆E :x 2+y 2-2x+4y=0的圆心,则双曲线C 的离心率为 ( )A .√5B .√52C .2D .√26.【微点4】过双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F 作渐近线的垂线,垂足为P ,且该直线与y 轴的交点为Q ,若|FP|<|OQ|(O 为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围为 .探究点三 直线与双曲线的位置关系 例6 [2018·安阳一模] 如图8-53-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,直线l 1:y=x 与直线l 2:y=-x 之间的阴影部分记为W ,区域W 中动点P (x ,y )到l 1,l 2的距离之积为1.(1)求点P 的轨迹C 的方程;(2)动直线l 穿过区域W ,分别交直线l 1,l 2于A ,B 两点,若直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点,求证:△OAB的面积恒为定值.图8-53-1[总结反思]解决直线与双曲线的位置关系问题的常用方法:(1)将直线方程代入双曲线方程得到关于x(或y)的方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想解题,设直线与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k,则|AB|=√1+k2·|x1-x2|;(2)比较直线的倾斜角(或斜率)与渐近线的倾斜角(或斜率)的大小,得到直线与双曲线的交点情况;(3)与中点有关的问题常用点差法.变式题已知双曲线C以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,且过点P(7,12).(1)求双曲线C与其渐近线的方程;(2)若斜率为1的直线l与双曲线C相交于A,B两点,且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ (O为坐标原点),求直线l的方程.。
第04讲 双曲线-2023年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(原卷版)
第04讲 双曲线知识点1 双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注：1、集合语言表达式双曲线就是下列点的集合:1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<.常数要小于两个定点的距离． 2、对双曲线定义中限制条件的理解(1)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＞|F 1F 2|时，M 的轨迹不存在．(2)当||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝|F 1F 2|时，M 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线． (3)当||MF 1|－|MF 2||＝0，即|MF 1|＝|MF 2|时，M 的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线．(4)若将定义中的绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支．具体是哪一支,取决于1||MF 与2||MF 的大小.①若12||||MF MF >,则12||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点2F 的那一支; ①若12||||MF MF <,则21||||0MF MF ->,点M 的轨迹是靠近定点1F 的那一支.【考点目录】【知识梳理】知识点2 双曲线的标准方程及简单几何性质F(－c,0)，F(c,0)F(0，－c)，F(0，c)注：（1）在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负：若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”．（2）已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程.（3）与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．（4）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．（5）双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A＞0，B＞0，A≠B时为椭圆，当A·B＜0时为双曲线.知识点3 双曲线的焦点三角形双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义和正弦定理、余弦定理．以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则(1)双曲线的定义：a PF PF 2||||||21=-(2)余弦定理：221||F F ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ. (3)面积公式：S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ，重要结论：S △PF 1F 2=2tan2θb推导过程：由余弦定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ得2224||-|||-2||||(1cos 121c PF PF PF PF θ=+（|））2212442||||(1cos )c a PF PF θ=+- 2122||||1cos b PF PF θ=- 由三角形的面积公式可得 S △PF 1F 2=121|PF ||PF |sin 2θ=222222sin cos12sin 22sin 21cos 1cos 2sin tan22b b b b θθθθθθθθ⋅⋅===--知识点4 等轴双曲线和共轭双曲线1．等轴双曲线(1)实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为x 2a 2－y 2a 2＝1或y 2a 2－x 2a 2＝1(a ＞0)．(2)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，渐近线方程为y ＝±x ，离心率e ＝ 2. (3)等轴双曲线的方程λ=-22y x ，0λ≠； 2．共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．其性质如下： (1)有相同的渐近线； (2)有相同的焦距；(3)离心率不同，但离心率倒数的平方和等于常数1.知识点5 直线与双曲线的位置关系1、把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点． (2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点． (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点． 注：直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支． 2、弦长公式直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与双曲线交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则()()()()()()2222221212121212122211=1+k 1+k 41+1+4k k AB x x x x x x y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-=+-=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k 为直线斜率）3、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点，则弦长ab AB 22||=.考点一 求双曲线的标准方程1．（2022春·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知双曲线2213x y m m -=的一个焦点是()0,2，则实数m 的值是（ ） A ．1B ．-1C ．105-D ．1052．（2022春·北京丰台·高二北京丰台二中校考阶段练习）双曲线2222:1y x C a b -=过点()2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．221x y -= B ．2213y x -=C ．221y x -=D ．22124y x -=【考点剖析】3．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）和椭圆22195x y +=有相同焦点的等轴双曲线方程为（ ）A ．22122x y -=B 221= C ．22144x y -=D ．2211616x y -=4．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线的对称轴为坐标轴，两个顶点间的距离为2，焦点在y）A ．2212y x -=B ．2212x y -=C ．2212x y -=D ．2212y x -=5．（2022春·江苏南通·高二统考期中）已知双曲线C 的焦点为()1F ，)2F ，点P 在双曲线C 上，满足112PF F F ⊥，14PF =，则双曲线C 的标准方程为（ ）A ．2214x y -=B ．2214y x -=C ．22132x y -=D ．22123x y -=6．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线C ：()2222102x y a a a-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且l 交双曲线的右支于A ，B 两点，若1AF B △的周长为72，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22136x y -=B ．221510x y -=C ．22148x y -=D ．2212y x -=考点二 双曲线的焦点三角形7．（2022春·江西上饶·高二校联考阶段练习）设P 为双曲线221169x y -=上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左，右焦点，若110PF =，则2PF 等于（ ） A ．2B ．2或18C ．4D ．188．（2022春·安徽安庆·高二安庆一中校考阶段练习）已知双曲线2212x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，12PF PF +=O 为坐标原点，M 是1PF 中点，则OM =（ ）A B ．C ．D ．9．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知12,F F 分别是双曲线22144x yC :-=的左、右焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，且210PF PF ⋅=，则12PF F △的面积为（ ）A．2B ．4C ．D ．10．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线的右支相交于A ，B 两点，12224BF BF AF ==，1ABF 的周长为10，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3BC D考点三 双曲线定义的应用11．（2022春·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）若方程222141x y m m -=-+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()2-∞-，B ．()21--，C ．()22-，D ．()11-，12．（2022春·广东佛山·高二统考阶段练习）对于常数a ，b ，“0ab <”是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．（2022·四川南充·统考三模）设()0,2πθ∈，则“方程22134sin x y θ+=表示双曲线”的必要不充分条件为（ ） A ．()0,πθ∈ B ．2,23πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C ．3ππ,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．π3π,22θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭14．（2022春·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）已知()0,4A ，双曲线22145x y -=的左､右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线右支上一点，则1PA PF +的最小值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．1115．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线22:145y x C -=的下焦点为F ，()3,7A ，P 是双曲线C 上支上的动点，则PF PA -的最小值是（ ） A ．2- B ．2C ．1D ．1-考点四 双曲线的轨迹方程16．（2022·四川·高二统考）已知y 轴上两点()10,5F -，()20,5F ，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169y x -=C ．221916x y +=D ．221169x y +=17．（2022春·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知P 是圆()221:316F x y ++=上的一动点，点()23,0F ，线段2PF 的垂直平分线交直线1PF 于点Q ，则Q 点的轨迹方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22149x y -=C ．22145x y -=D ．()221045x y x -=>18．（2022春·陕西渭南·高二期末）一动圆P 过定点()4,0M -，且与已知圆N ：()22416x y -+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（ ） A ．221412x y +=B ．221412y x +=C ．221412x y -=D ．221412y x -=19．（2022·全国·高二专题练习）已知两圆()()22221249,49C x y C x y ++=-+=：：，动圆C 与圆1C 外切，且和圆2C 内切，则动圆C 的圆心C 的轨迹方程为（ ）A ．()221379y x x -=≥B ．22197y x -=C ．22179x y -=D ．()221397x x y -=≥考点五 双曲线的离心率（一）求双曲线的离心率20．（2022春·河北唐山·高二校联考阶段练习）双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的一条渐近线方程为0x =，则C 的离心率为（ ）AB C ．2 D 21．（2022春·云南昆明·高二昆明市第三中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，过点(3,6)P 的直线l 与C 相交于,A B 两点，且AB 的中点为(12,15)N ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．32C D22．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A B ､分别在双曲线的左､右两支上，0,2AF FB FC BF ⋅==，且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A B CD 23．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线()222:109x y C b b -=>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在C 的左支上，过点M 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为N ，若2MF MN +的最小值为9，则该双曲线的离心率为（ ）AB C ．32 D ．5324．（2022春·海南·高二校考阶段练习）设1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左､右焦点，A为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且135MAN ∠=︒，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D 25．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过F l 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ）A ．2 BC D（二）求双曲线离心率的取值范围26．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知双曲线C ：2221x y a -=()0a >的右焦点为F ，点()0,A a -，若双曲线的左支上存在一点P ，使得7PA PF +=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎦B ．(C ．⎫+∞⎪⎣⎭D ．)+∞27．（2022春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，直线l 过点F与双曲线交于,A B 两点，且AB 最小值为22b a，则双曲线离心率取值范围为（ ）A ．()1,2B ．(C ．(]1,2D ．(28．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的上、下焦点分别是1F ，2F 若双曲线C 上存在点P 使得2124PF PF a ⋅=-，22221243PF PF a b +<+，则其离心率的取值范围是（ ）A ．(B ．()1,3C ．)+∞D ．()3,+∞（三）由双曲线的离心率求参数的取值范围29．（2018·陕西安康·统考三模）已知圆锥曲线221mx y +=-的离心率为2，则实数m 的值为（ ） A ．3-B ．13-C ．13D ．330．（2022春·河南焦作·高二统考期中）已知双曲线22:113x y C m m -=+-m 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞D ．()0,131．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）设k 为实数，已知双曲线2214x y k -=的离心率()1,2e ∈，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,12) B ．(4,6)C ．(1,4)D ．(1,2)考点六 双曲线的渐近线32．（2022春·陕西渭南·高二期末）中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．43y x =C ．43y x =-D ．34yx33．（2022春·江苏徐州·高二期末）若双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>C 的两条渐近线所成的角等于__________.34．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(5,0)F ，两条渐近线互相垂直，则=a ______.35．（2022春·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校联考阶段练习）与双曲线22148x y -=有共同渐近线，且经过点()2,4的双曲线的虚轴的长为（ ） A．B ．C ．2D ．436．（2022·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，12F F ，分别是双曲线2222:1(00)x yC a b a b-=>>，的左､右焦点，过2F 作渐近线的垂线，垂足为H ，与双曲线的右支交于点P ，且22F P PH =，12120F PF ∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．32y x =±D ．23y x =±37．（2022·新疆·统考三模）已知P 是双曲线22:1169x y C -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线C 的左，右焦点，P 点又在以2F 为圆心，94为半径的圆上，则下列结论中正确的是（ ） A ．12PF F △的面积为452B ．双曲线C 的渐近线方程为43y x =±C ．点P 到双曲线C 左焦点的距离是234D ．双曲线C 的右焦点到渐近线的距离为3考点七 直线与双曲线的位置关系（一）直线与双曲线的位置关系判断及应用38．（2022春·四川宜宾·高二校考阶段练习）若直线:20l x my m +--=与曲线2214x y -=有且只有一个交点，则满足条件的直线l 有（ ） A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条39．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知直线12:20,:20l x y l x y -=-=，若双曲线C 与12,l l 均无公共点，则C 可以是（ ）A ．22132x y -=B ．22143x y -=C ．22182-=y xD ．22132y x -=40．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）“直线与双曲线有且仅有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件41．（2022·全国·高二专题练习）若直线2y kx =+与曲线x =k 的取值范围是A ．（）B ．（C ．（）D ．（1-） 42．（2022春·河南洛阳·高二宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为221x y -=.若直线l 与双曲线C 的右支相交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(B ．⎡⎣C ．⎡⎣D ．(43．（2022春·河南·高二校联考阶段练习）若直线l ：12y x m =-+与曲线C ：21164x x y +=有两个公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()()0,22-B ．(0,C ．()()2,00,2-⋃D ．()0,2（二）弦长问题44．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆市青木关中学校校考阶段练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点(F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长||AB =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1045．（2022·高二课时练习）已知双曲线22:2C x y -=，过右焦点的直线交双曲线于,A B 两点，若,A B 中点的横坐标为4，则弦AB 长为（ ）A．B ．C ．6D ．46．（2022·高二课时练习）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B 两点，若AB = ） A ．2225y x -=B ．2216y x -=C ．229y x -=D ．226y x -=47．（2022春·福建福州·高二校考期中）设1F ，2F 是双曲线C ：22163y x-=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 的渐近线上，且OP =12PF F △的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．（三）中点弦问题48．（2023·全国·高二专题练习）直线l 交双曲线22142x y -=于A ，B 两点，且()4,1P 为AB 的中点，则l 的斜率为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．149．（2022秋·河南濮阳·高二统考期末）已知直线l 被双曲线C ：24x ﹣y 2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l 的方程（ ） A ．x +4y ﹣9=0 B ．x ﹣4y +7=0 C ．x ﹣8y +15=0D ．x +8y ﹣17=050．（2022春·河北石家庄·高二统考期末）已知倾斜角为π4的直线与双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，相交于A ，B 两点，(1,3)M 是弦AB 的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（ ）A ．B ．C ．D ．51．（2022秋·云南大理·高二校考阶段练习）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M -，则E 的方程为（ ）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=52．（2022·高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>被斜率为4的直线截得的弦AB 的中点为()2,1,则双曲线E 的离心率为（ ）AB C ．2D考点八 双曲线中参数范围及最值问题53．（2022春·湖南株洲·高二校联考阶段练习）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，过左焦点且与实轴垂直的弦长为1，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +的取值范围是（ ）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．)+∞54．（2022春·福建宁德·高二统考期末）已知F 是双曲线2213x y -=的右焦点，若直线)(0y kx k =>与双曲线相交于A ，B 两点，且120AFB ∠≥︒，则k 的范围是（ ）A ．⎢⎭⎣B ．⎛ ⎦⎝C ．⎢⎭⎣D ．⎛ ⎦⎝55．（2022春·河南郑州·高二郑州市回民高级中学校考期中）已知12,F F 分别是双曲线22:139x yC -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，△12AF F 和△12BF F 的内心分别为M ，N ，则||MN 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．56．（2022·高二课时练习）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是A ．(B ．(C ．(33-D ．(考点九 双曲线的定点、定值问题57．（2022秋·江苏泰州·高二泰州中学校考开学考试）双曲线22:12y C x -=，过定点()1,0A -的两条垂线分别交双曲线于P 、Q 两点，直线PQ 恒过定点______．58．（2022春·福建龙岩·高二上杭县第二中学校考阶段练习）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，则直线P A 、PB 的斜率之积等于___．59．（2022春·山东潍坊·高二潍坊一中期末）已知圆M ：22289(9x y ++=的圆心为M ，圆N ：221(9x y -+=的圆心为N ，一动圆与圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线.C(1)求曲线C 的方程；(2)已知点(6,3)P ，直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．60．（2022·全国·高二假期作业）已知等轴双曲线2222:1x y C a a -=经过点(，过原点且斜率为k 的直线与双曲线C 交于A 、B 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)设P 为双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，且AP 、BP 的斜率AP k 、BP k 均存在，证明AP BP k k ⋅为定值； (3)已知点(0,1)D ，求ADB ∠最小时k 的值.61．（2022春·湖南长沙·高二校联考阶段练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，且点(在双曲线C 上. (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，PQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得QT 为定值.考点十 双曲线中的向量问题62．（2022春·湖南·高二校联考期中）已知1F ，2F 分别是双曲线C ：22144x y -=的左、右焦点，P 是C 上一点，且位于第一象限，120PF PF ⋅=，则P 的纵坐标为（ ） A．1B ．2CD 63．（2022春·江苏连云港·高二校考期中）双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，已知()()000,Q x y x a ≠±是双曲线E 上一点，,A B 分别是双曲线E 的左右顶点，直线QA ，QB 的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线E 的焦距为l 过点(2,0)P 且与双曲线E 交于M 、N 两点，若3MP PN =，求直线l 的方程.64．（2022春·四川泸州·高二校考期中）已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）中，离心率e =，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线l ：3y x =-与双曲线交于A ，B 两点，且在双曲线存在点P ，使得OA OB OP m +=，求m 的值.65．（2022春·辽宁·高二沈阳市第三十一中学校联考期中）已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =； (1)求双曲线的方程；(2)过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．考点十一 双曲线中的综合问题66．【多选】（2022春·江苏·高二江苏省新海高级中学校联考阶段练习）已知双曲线C ：2212y x -=，两个焦点记为12,F F ，下列说法正确的是（ ）A ．12F F =B ．渐近线方程为：0x =CD ．点M 在双曲线上且线段1F M 的中点为N ，若ON =1MF =67．【多选】（2022春·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）如图，过双曲线222:1(0)y C x b b-=>右支上一点P 作双曲线的切线l 分别交两渐近线于A 、B 两点，交x 轴于点D ，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A ．min ||AB =B ．OAP OBP S S =△△C ．AOB S b =△D ．若存在点P ，使121cos 4F PF ∠=，且122F D DF =，则双曲线C 的离心率2e = 68．（2022春·四川成都·高二树德中学校考期中）设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，且l 与双曲线右支相交于点P ，若12F H HP =，且25PF =，则下列说法正确的是（ ）A ．2F 到直线l 的距离为a B．双曲线的离心率为132C ．12PF F △的外接圆半径为5132D ．12PF F △的面积为969．【多选】（2022春·吉林长春·高二校考期中）已知双曲线C 过点(3,2)且渐近线方程为33y x =±，则下列结论正确的是（ ）A ．双曲线C 的方程为2213x y -=B ．直线310x y ++=与双曲线C 有两个交点C ．曲线2e 1x y -=-经过双曲线C 的一个焦点D ．焦点到渐近线的距离为170．【多选】（2022·全国·高二假期作业）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为()()125,0,5,0F F -，且2F 到直线by x a=的距离为4，则以下说法正确的是（ ） A ．双曲线的离心率为53e =B ．若Q 在双曲线上，且17QF =，则213QF =或1C ．若过2F 的直线交双曲线右支于,A B ，则AB 的最小值为323D ．若M 在双曲线上，且12MF MF ⊥，则12MF F △的面积为9一、单选题1．（2022春·江苏连云港·高二期末）经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（ ）A ．22188x y -=B ．22188y x -=C ．2211010y x -=D ．2211010x y -=2．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）已知方程22:(1)(3)(1)(3)E m x m y m m -+-=--，则E 表示的曲线【过关检测】形状是（ ）A ．若13m <<，则E 表示椭圆B ．若E 表示双曲线，则1m <或3m >C ．若E 表示双曲线，则焦距是定值D ．若E 53m =3．（2022春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的左、右焦点，点M 是过坐标原点O 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线C 的一个交点，且1212MF MF MF MF +=- 则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．2+C 1D4．（2022春·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考期末）已知点P 是双曲线2214y x -=上的动点，过原点O 的直线l 与双曲线分别相交于M 、N 两点，则PM PN +的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．（2022春·山东·高二沂水县第一中学期末）已知双曲线C ：221mx y +=的渐近线方程为y =，则m =（ ）A ．2B ．－2C ．D 6．（2022春·安徽合肥·高二校考期末）直线(2)l y k x =-：与双曲线222C x y -=：的左、右两支各有一个交点，则k 的取值范围为（ ） A ．1k ≤-或1k ≥ B ．11k -≤≤ C．k D ．11k -<<二、多选题7．（2022春·江苏无锡·高二统考期末）已知点P 在双曲线221169x y -=上，12,F F 分别是左､右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF +=C ．12PF F △为钝角三角形D ．123F PF π∠=8．（2022春·江苏连云港·高二校考期末）已知双曲线22:184x y C -=的左､右顶点分别为,A B ，点P 是C 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若直线y kx =与双曲线C 无交点，则k >B ．焦点到渐近线的距离为2C ．点P 到两条渐近线的距离之积为83D ．当P 与,A B 不重合时，直线,PA PB 的斜率之积为2三、填空题9．（2022秋·上海虹口·高二校考期末）直线1y x =+与曲线2||14x x y -=的交点个数是______. 10．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆外国语学校校考期末）已知直线y x =与双曲线 22221(0,0)x y a b ab-=>>无公共点，则双曲线离心率的取值范围是____．四、解答题11．（2022春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学期末）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3π4，l 与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积.12．（2022秋·上海闵行·高二校考期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为y x =，左焦点为(2,0)F -经过点F 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l 在y 轴上截距为2，求||AB ；(3)若,A B 的中点横坐标为1，求直线l 的方程．13．（2022秋·四川资阳·高二统考期末）已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为2y x =±，焦点坐标为(0,. (1)求C 的方程；(2)经过点()1,4M 的直线l 交C 于A ，B 两点，且M 为线段AB 的中点，求l 的方程.14．（2022春·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E ， (1)求轨迹E 的方程；(2)若直线l 过点2F 且法向量为(),1n a =，直线与轨迹E 交于P 、Q 两点．△过P 、Q 作y 轴的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记PQ AB λ=，试确定λ的取值范围； △在x 轴上是否存在定点M ，无论直线l 绕点2F 怎样转动，使0MP MQ ⋅=恒成立？如果存在，求出定点M ；如果不存在，请说明理由．。
圆锥曲线-基本定义-第一定义
学术正刊 圆锥曲线 基本定义高中 1 LeO 著 第一定义定义1.0（椭圆第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (2a >|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为椭圆。
即：|PF 1|+|PF 2|=2a 。
定义1.1（椭圆焦点）：两定点F 1、F 2称作椭圆的左右焦点。
定义1.2（椭圆焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作椭圆的焦距。
解：如图1，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 1(−c,0)、F 2(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有：√(x +c )2+y 2+√(x −c )2+y 2=2a ⋯〈1〉〈1〉式移项后再平方：(x +c )2+y 2=4a 2−4a√(x −c )2+y 2+(x −c )2+y 2继续化简：(a 2−c 2)x 2+a 2y 2=a 2(a 2−c 2) ⋯〈2〉〈2〉式中令b 2=a 2−c 2，化简得：x 2a 2+y 2b 2=1 证毕。
图1 图2定义2.0（双曲线第一定义）：平面内到两定点F 1、F 2的距离的差等于常数2a (2a <|F 1F 2|)的动点P 的轨迹称之为双曲线。
即：||PF 1|−|PF 2||=2a 。
定义2.1（双曲线焦点）：两定点F 2、F 1称作双曲线的左右焦点。
定义2.2（双曲线焦距）：两焦点距离|F 1F 2|=2c 称作双曲线的焦距。
解：如图2，建立直角坐标系，设两焦点坐标F 2(−c,0)、F 1(c,0)，动点坐标P (x,y )，依题意有：√(x +c )2+y 2−√(x −c )2+y 2=±2a ⋯〈1〉〈1〉式移项后再平方：(x +c )2+y 2=4a 2±4a√(x −c )2+y 2+(x −c )2+y 2继续化简：(c 2−a 2)x 2−a 2y 2=a 2(c 2−a 2) ⋯〈2〉〈2〉式中令b 2=c 2−a 2，化简得：x 2a 2−y 2b 2=1 证毕。
2020届高考理科数学一轮复习讲义：第十章§10.2 双曲线及其性质
解得 ａ，ｂ 的值，即可求得方程．
（ ２０１８
天津，７，５
分）
已知双曲线
ｘ２ ａ２
－ ｙ２ ｂ２
＝ １（ ａ＞０，ｂ＞０）
的离心率为 ２，过右焦点且垂直于 ｘ 轴的直线与双曲线交于 Ａ，Ｂ
两点．设 Ａ，Ｂ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 ｄ１ 和 ｄ２ ，
且 ｄ１ ＋ｄ２ ＝ ６，则双曲线的方程为
点，∴
４ｋ＋５ｋ ＝ １２－３，解得
ｋ ＝ １，故双曲线
Ｃ
的方程为 ｘ２ ４
－
ｙ２ ５
＝ １．
故选 Ｂ．
一题多解
∵
椭圆 ｘ２ ＋ １２
ｙ２ ３
＝１
的焦点为（ ±３，０） ，双曲线与
椭圆 ｘ２ ＋ １２
ｙ２ ３
＝１
有公共焦点，∴
ａ２ ＋ｂ２
＝ （ ±３）２
＝
９①，∵
双曲线的
一条渐近线为 ｙ ＝
５ ２ ｘ，∴
解析 解法一：椭圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 的焦点坐标是（０，±３），设双 ２７ ３６
曲线方
程
为
ｙ２ ａ２
－ ｘ２ ｂ２
＝ １（ ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０），根据双曲线的定义知
２ａ ＝
｜ （ １５ －０） ２ ＋（４－３） ２ － （ １５ －０） ２ ＋（４＋３） ２ ｜ ＝ ４， 故 ａ ＝ ２． 又
ｂ＝ ａ
５ ２
②，联立①②可解得
ａ２
＝
４，ｂ２
＝
５．∴
双曲线
Ｃ
的方程为 ｘ２ ４
－ ｙ２ ５
＝ １．故选
Ｂ．
１－２
设双曲线与椭圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 有共同的焦点，且与椭圆 ２７ ３６
双曲线【知识要点】双曲线的定义第...
双曲线【知识要点】1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF ||=e(e>1). F 为直线l 外一定点，动点到定直线的距离为d ，e 为大于1的常数. 2.双曲线的标准方程与几何性质M(x 0,y 0)为22a x -22b y =1右支上的点，则|MF 1|=ex 0+a ，|MF 2|=ex 0-a.(1)当M(x,y)为22a x -22b y =1左支上的点时,|MF 1|=-(a+ex),|MF 2|=ex-a.(2)当M(x,y)为22a y -22bx =1上支上的点时，|MF 1|=ey 0+a ，|MF 2|=ey 0-a.【基础训练】1.（2004年春季北京）双曲线42x －92y =1的渐近线方程是 ( )A.y =±23xB.y =±32xC.y =±49xD.y =±94x2.过点（2，－2）且与双曲线22x －y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.22y －42x =1B.42x －22y =1C.42y －22x =1D.22x －42y =13.如果双曲线642x －362y ＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么P 到它的右准线距离是（ ）A.10B.7732 C.27 D.5324.已知圆C 过双曲线92x －162y =1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是____________. 5.求与圆A ：（x +5）2+y 2=49和圆B ：（x －5）2+y 2=1都外切的圆的圆心P 的轨迹方程为________________.【典型例题】题型一:求双曲线的标准方程例1、 根据下列条件，求双曲线的标准方程：（1）与双曲线92x －162y =1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；（2）与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.（3）实轴长为16，离心率为45e（4）经过两点P )7,26()72,3(---Q题型二:双曲线的定义及应用例2、（2002年全国，19）设点P 到点M （－1，0）、N （1，0）距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.例3、如下图，在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A （x 1，y 1），B （x 2，6），C （x 3，y 3），它们与点F （0，5）的距离成等差数列. （1）求y 1+y 3的值；（2）证明：线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.变式：、已知(2,1),A F ，P 是曲线221(0)x y x -=>上一点，当||||2PA PF +取最小值时，P 的坐标是，|||PA PF 最小值是 ．题型三:双曲线的性质及应用例4、 已知双曲线22a x －22by =1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?变式：过双曲线22a x －22by =1.的右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，交双曲线的左右两支于A 、B 两点，求双曲线离心率的取值范围。
高中数学 第三章第3节双曲线知识精讲 理 北师大版选修21
高中数学 第三章第3节双曲线知识精讲 理 北师大版选修21【本讲教育信息】一. 教学内容：双曲线的标准方程及简单的几何性质。
（3.1双曲线及标准方程+3.2双曲线的简单的几何性质）二. 教学目标：（1）熟练地掌握双曲线的定义及标准方程的形式。
会求双曲线标准方程。
（2）掌握双曲线的简单的几何性质及其应用。
理解渐近线的意义。
（3）体会用方程的数学思想、等价转化的数学思想及待定系数法等数学思想方法解决双曲线的问题。
三. 知识要点分析： 1. 双曲线定义：第一定义：平面内到两定点21,F F 距离之差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的集合叫做双曲线。
定点21,F F 叫双曲线的焦点，两焦点间距离是焦距。
M=|}F F |a 2,a 2||PF ||PF |||P {2121<=-第二定义：平面内到定点F 的距离与到定直线L 的距离之比是大于1的常数的点的集合叫双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线。
M=}1,|||{>=e e dPF P 注意：（1）在第一定义中：若2a=||21F F ，则点的集合是以21,F F 为端点的射线，若2a>||21F F ，点的集合是空集。
（2）在第一定义中：当a PF PF 2||||21=-，则点的集合是双曲线的右支（如图1），当a PF PF 2||||12=-，点的集合是双曲线的左支（如图2）。
（3）在定义二中定点F 不在定直线L 上。
2. 双曲线的标准方程（1）)0,0(,12222>>=-b a b y a x ，焦点在x 轴上（实轴在x 轴上），222c b a =+（2）)0,0(,12222>>=-b a bx a y ，焦点在y 轴上（实轴在y 轴上），222c b a =+3. 双曲线几何性质图 形对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 范围a x -≤或a x ≥a y -≤或a y ≥顶点 A 1（－a ，0）A 2（a ，0）实轴：2a ，虚轴：2bA 1（0，－a ） A 2（0，a ） 实轴： 2a 虚轴：2b离心率 1>=ace （e ：确定双曲线的开口程度） 渐近线x a b y ±= x ba y ±=焦点半径 （1）P （),00y x 点在右支上，则01||ex a PF +=，02||ex a PF +-=（2）P ),(00y x 点在左支上，则a ex PF a ex PF +-=--=0201||,||（1）),(00y x P 点在上支上 0201||,||ey a PF ey a PF +-=+=（2）P ),(00y x 点在下支上a ey PF a ey PF +-=--=0201||||，4．求双曲线标准方程常见的类型及方法： （1）定义法（已知条件满足双曲线定义）（2）待定系数法（定位：确定双曲线的焦点位置，设方程：根据焦点位置设方程，定值：确定系数）（3）已知渐进线方程0=±ay bx ，可设双曲线方程是λ=-2222y a x b ，确定λ值即可。
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)
C． 3
D． 2
【4】设双曲线 C
x2
：
a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左焦点为 F
，直线 4x 3y 20
0 过点 F
且与 C 在第二象限的交点为 P ，O 为原点， OP OF ,则双曲线 C 的离心率为（ ）
【例
9】如图，已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ，|
F1F2
|
4，
P 是双曲线右支上的一点， F2P 与 y 轴交于点 A ， APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q ，
若 | PQ | 1 ，则双曲线的离心率是（ ）
4
A． 3
B． 2
C． 3
D． 2
则（1）|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
；（2）双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 ．
tan
2
3．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）．
x a
2 2
y2 b2
1a 0,b 0上关于原点对称的任意两点， B 是双曲
线上其它任意一点，直线
A1B, A2B 的斜率存在，则 k A1B
k A2B
b2 a2
．
2．双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
高考数学一轮复习第8章解析几何第6讲双曲线
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”
(1平面内到点F1(0,4,F2(0,－4距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2方程 － ＝1(mn＞0表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3双曲线方程 － ＝λ(m＞0,n＞0,λ≠0的渐近线方程是 － ＝0,即 ± ＝0．( √ )
(4等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 ．( √ )
(5若双曲线 － ＝1(a＞0,b＞0与 － ＝1(a＞0,b＞0的离心率分别是e1,e2,则 ＋ ＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线．( √ )
题组二 走进教材
2．(必修2P61T1若双曲线 － ＝1(a＞0,b＞0的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( A )
∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2＜|F1F2|,
∴由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线．
(2设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,可知|PF|＝4＋|PF1|,所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图形可知,当点A,P,F1共线时,满足|PF1|＋|PA|最小,|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值．又|AF1|＝5,故所求的最小值为9．
(4过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|．
(5双曲线的离心率公式可表示为e＝ ．
(6双曲线的形状与e的关系：|k|＝ ＝ ＝ ,e越大,即渐近线斜率的绝对值就越大,双曲线开口就越开阔．
(7 － ＝1(a＞0,b＞0与 － ＝1(a＞0,b＞0互为共轭双曲线,其离心率倒数的平方和为1．
双曲线的基本知识点
双曲线的基本知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如工作报告、工作计划、活动方案、规章制度、演讲致辞、合同协议、条据文书、教学资料、作文大全、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as work reports, work plans, activity plans, rules and regulations, speeches, contract agreements, documentary evidence, teaching materials, complete essays, and other sample essays. If you would like to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!双曲线的基本知识点双曲线的基本知识点大全一般的，双曲线(希腊语“Υπερβολία”，字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
2022上海高二数学考试满分攻略(沪教版2020第一册)第9讲 双曲线(核心考点讲与练)练习
第9讲 双曲线(核心考点讲与练)1、定义：平面上到两个定点12,F F 距离差的绝对值为一个常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线，其中12,F F 称为椭圆的焦点，12F F 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支．2、标准方程：① 焦点在x 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()12,0,,0F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221x y a b-=，其中()2220,0,a b bc a >>=-．② 焦点在y 轴：设双曲线上一点(),P x y ，()()120,,0,F c F c -，设距离差的绝对值122PF PF a -=，则双曲线标准方程为：22221y x a b-=，其中()2220,0,a b bc a >>=-．3、双曲线的性质：以焦点在x 轴的双曲线为例：()222210,0x y a b a b-=>>（1）a ：与实轴的顶点有关：()()12,0,,0A a A a -，122A A a =称为实轴长；b ：与虚轴的顶点有关：()()120,,0,B b B b -，122B B b =称为虚轴长；c ：与焦点有关：()()12,0,,0F c F c -，122F F c =称为焦距． （2）对称性：双曲线关于x 轴，y 轴对称，且关于原点中心对称．（3）双曲线上点坐标的范围：设()00,P x y ，则有0x a ≤-或0x a ≥，0y R ∈．（4）渐近线：当x →+∞或x →-∞时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线．①双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条轴上，只需让右侧的1变为0，再解出y 关 于x 的直线即可．例如在()222210,0x y a b a b-=>>中，求渐近线即解：22220x y a b -=，变形为 b y x a =±，所以by x a=±即为双曲线的渐近线． ② 渐近线的几何特点：直线,,,x a x a y b y b ==-==-所围成的矩形，其对角线即为双曲线的渐近线．③ 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现,,a b c的关系．（5）通径：① 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段②通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦PQ x ⊥轴，22b PQ a=（6）焦点三角形面积：设双曲线上一点()00,P x y ，则122cot 2PF F S b θ=（其中12PF F θ=∠）考点一：双曲线及其标准方程例1．（2021·上海浦东新·一模）若方程2244x ky k +=表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ）A ．B ．CD 例2．（2022·上海·高三专题练习）设(),P x y 是双曲线22154x y -=的右支上的点，则代数）A B ．CD 3例3．（2022·上海市延安中学高二期末）若方程)()(221251k x k y -+-=表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为___________.例4．（2021·上海长宁·一模）已知双曲线22:16y M x -=的左，右焦点为12F F 、，过1F 的直线l 与双曲线M 的左、右支分别交于点AB 、.若2ABF 为等边三角形，则2ABF 的边长为____________例5．（2021·上海市新场中学高二期中）已知两点()(),3,03,0A B -，若4PA PB -=±，那么P 点的轨迹方程是______.例6．（2021·上海闵行·一模）如图，在平面直角坐标系中，12,F F 分别为双曲线Г：222x y -=的左､右焦点，点D 为线段1F O 的中点，直线MN 过点2F 且与双曲线右支交于()()1122,,,M x y N x y 两点，延长MD ､ND ，分别与双曲线Г交于P ､Q 两点.（1）已知点M ，求点D 到直线MN 的距离； （2）求证：()1221212x y x y y y -=-；（3）若直线MN ､PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1､k 2.试判断21k k 是否为定值，如果是，请求出21k k 的值；如果不是，请说明理由.例7．（2021·上海青浦·高二期末）如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km，其中道路起点M 到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.（1）求道路M-N-P的曲线方程；（2）现要在M-N_P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？例8．（2021·上海·位育中学高二期中）已知点1F 、2F ，为双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴的上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ∠=．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点（0，1）且与双曲线C 交于A 、B 两点，若A 、B 中点的横坐标为1，求直线l 的方程；（3）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为1P 、2P ，求证：12PP PP ⋅为定值．考点二：双曲线的简单几何性质例1．（2021·上海静安·一模）已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为A ，两条渐近线与以A 为圆心1为半径的圆都相切，则该双曲线的标准方程是___________．例2．（2022·上海市延安中学高二期末）若双曲线的离心率为2，则此双曲线两条渐近线的夹角的大小为___________.例3．（2021·上海奉贤·一模）已知曲线22116x y a +=的焦距是10，曲线上的点P 到一个焦点的距离是2，则点P 到另一个焦点的距离为__________.例4．（2022·上海·复旦附中高二期末）过点(1,1)M 作斜率为12的直线与双曲线2222Γ:1-=x y a b相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为___________.例5．（2022·上海市延安中学高二期末）已知两点13,2A ⎛⎫-⎪ ⎭⎝､15,2B ⎛⎫⎪ ⎭⎝，给出下列4个曲线方程：①4210x y +-=；②229x y +=；③22114436y x +=；④22114436y x -=.则曲线上存在点P 满足AP BP =的曲线方程是___________（写出所有满足条件的曲线的序号） 例6．（2021·上海松江·一模）2222Γ:1(0,0).2x y a b y x a b -=>>=±已知双曲线的焦距为渐近线方程为（1）求双曲线Γ的方程；（2）若对任意的m R ∈，直线y kx m =+与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围； （3）若过点()1,0的直线l 与双曲线Γ交于M N ､两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PM PN ⋅为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.例7．（2022·上海交大附中高二期末）已知函数()10y x x=≠的图像为曲线C ，点1F 、(2F .（1）设点()00,P x y 为曲线C 上在第一象限内的任意一点，求线段1PF 的长（用0x 表示）； （2）设点Q 为曲线C 上任意一点，求证：12QF QF -为常数；（3）由（2）可知，曲线C 为双曲线，请研究双曲线C 的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.例8．（2022·上海市延安中学高二期末）已知双曲线C经过点(P，它的两条渐近线分别为0x-=.x=和0（1）求双曲线C的标准方程；（2）设双曲线C的左､右焦点分别为1F､2F，过左焦点1F作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求△ABF2周长的取值范围.D例9．（2021·上海市嘉定区第二中学高三阶段练习）已知双曲线C的中心在原点，(1,0)是它的一个顶点.(1,2)d =是它的一条渐近线的一个方向向量. （1）求双曲线C 的方程；（2）设(0,1)P ，M 为双曲线右支上动点，当|PM |取得最小时，求四边形ODMP 的面积； （3）若过点(3,0)-任意作一条直线与双曲线C 交于A ，B 两点（A ，B 都不同于点D ），求证:DA DB ⋅为定值.一、单选题1．（2021·上海市长征中学高二期中）双曲线221x y -=右支上一点P (a ，b )到直线y x =，则a +b 的值是（ ） A ．12-B ．12C ．12-或12D ．2或122．（2021·上海市长征中学高二期中）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上，则该双曲线的焦距与实轴比值的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．3．（2021·上海徐汇·一模）已知曲线||||:143x x y y C +=-，对于命题：①垂直于x 轴的直线与曲线C 有且只有一个交点；②若 ()()111222,,,P x y P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x -<-，下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题4．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二阶段练习）已知F 1、F 2分别是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左、右焦点，点00(,)A x y 是双曲线所在平面内的一个定点，点P 是该双曲线上的动点，关于1||||PF PA +的最小值， 有下列命题∶ ①使得1||||PF PA +取最小值的点P 有且仅有一个∶②当x 0> 0时，1||||PF PA + 的最小值为1||AF ∶ . ③当x 0<0时，1||||PF PA +的最小值为2||2AF a -∶④当22002201x y a b<-<且00x >时，1||||PF PA +的最小值为2||2AF a +；⑤当2200221x y a b->且x 0<0时，1||||PF PA +的最小值为2||2AF a -.其中真命题的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2021·上海·高三专题练习）若直线:2l y kx =+与曲线22:6(0)C x y x -=>交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛⎫⎪⎝⎭D ．1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6．（2021·上海普陀·一模）设点12F F ､是双曲线22:14x C y -=的左､右两焦点，点M 是C 的右支上的任意一点，若2210F M F F ⋅>，则12MF MF +的值可能是（ ）A ．4B ．C ．5D ．二、填空题7．（2020·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知方程2212x y a a+=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则a 的取值范围是__________.8．（2022·上海·高三专题练习）若双曲线2221(0)x y a a-=>的右焦点与圆2240x y x +-=的圆心重合，则=a ___________.9．（2022·上海·高三专题练习）若双曲线221x y m-=的一个焦点为(2,0)F ，则实数m =__________．10．（2021·上海市建平中学高三期中）双曲线221x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为___________11．（2021·上海杨浦·一模）若双曲线221y x m-=的渐近线方程为2y x =±，则实数m =___________.12．（2021·上海市长征中学高二期中）已知双曲线 22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m =______________13．（2022·上海·高三专题练习）已知双曲线的渐近线方程为320x y ±=，且c =则双曲线的方程为___________.14．（2021·上海·曹杨二中高三期中）若双曲线2221(0)y x b b-=>的渐近线与圆()2223x y -+=相切，则b =___________.15．（2021·上海·格致中学高三阶段练习）双曲线22154x y -=的焦点到渐近线的距离等于___________.16．（2021·上海金山·一模）设P 为直线2y x =上的一点，且位于第一象限，若点P 到双曲线2214x y -=的两条渐近线的距离之积为27，则点P 的坐标为___________17．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）若将方程6=化简为22221x y a b-=的形式，则22a b -=___________.18．（2021·上海·复旦附中青浦分校高二阶段练习）已知点()0,0O ，()2,0A -，()2,0B .设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为函数y =OP =_____.19．（2021·上海市松江二中高二阶段练习）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为____________.20．（2021·上海浦东新·一模）已知实数,x y 满足14x xy y +=，则24x y +-的取值范围是___________. 三、解答题21．（2021·上海市建平中学高二期中）已知双曲线2222:1x y a bΓ-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是1F 、2F ，左、右两顶点分别是1A 、2A ，弦AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点P （如图）．（1）若(1,2)d =是双曲线 的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的方程； （2）若||1PA =，||5PB =，||2PC =，||6PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（1）的条件下，且12||4A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：是否存在定点T ，使得TM TN ⊥恒成立？若是，请求出定点的坐标，若不是，试说明理由．22．（2021·上海市长征中学高二期中）点()()000,P x y x a ≠±是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15．（1）求ba的值；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上的一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值．23．（2021·上海奉贤·一模）第一象限内的点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，双曲线的左､右焦点分别记为12F F ､，已知1212,2,PF PF PF PF O ⊥=为坐标原点. （1）求证：2b a =；（2）若2OF P △的面积为2，求点P 的坐标.24．（2021·上海市向明中学高三期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:21C x y -=.（1）写出过双曲线C 的左顶点且与双曲线两条渐近线平行的直线方程；（2）设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点.若||MF =M 点的坐标；（3）设斜率为(||k k <的直线2l 交C 于P 、Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥.。
双曲线的第一二三定义公式
双曲线是一类常见的数学曲线，它有三种常见的定义形式，分别为第一定义、第二定义和第三定义。
第一定义：以焦点F1 和F2 为中心，以 c 为焦距的双曲线是平面上满足以下性质的点P 的轨迹：
|PF1| - |PF2| = 2a
其中，|PF1| 表示点P 到焦点F1 的距离，|PF2| 表示点P 到焦点F2 的距离，a 是常数，并且2a 大于焦距c。
第二定义：以原点O 为中心，以 a 和 b 为半轴的双曲线是平面上满足以下性质的点P 的轨迹：
x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1
其中，a 和b 是正实数。
第三定义：以顶点V 和焦距 c 为参数的双曲线是平面上满足以下性质的点P 的轨迹：
|PV| = e * |PH|
其中，|PV| 表示点P 到顶点V 的距离，|PH| 表示点P 到准线的距离，e 是离心率，满足0 < e < 1。
这些定义给出了双曲线的不同特性和形式。
它们在几何学、物理学和数学分析等领域中具有广泛的应用。
直线与双曲线
第57课 直线与双曲线●考试目标 主词填空1.双曲线的定义与方程①双曲线的第一定义：已知F 1、F 2是平面内两个定点，P 是动点，当且仅当它们满足条件|PF 1|－|PF 2|=±2a ，正常数2a <|F 1F 2|时，P 的轨迹是双曲线.②双曲线的第二定义：设F 为定点，l 是定直线，P 是动点，P 、F 及l 共面，当且仅当它们满足条件距离到是是常数e P d e e e dPF ,)1(||>=时，P 的轨迹是双曲线. ③中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程是12222=-b y a x ；中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线标准方程是12222=-bx a y .2.双曲线的几何性质设双曲线方程为：b 2x 2－a 2y 2=a 2·b 2(a >0，b >0，c 2=a 2+b 2)，其范围是x |≥a ，y ∈R ，对称轴是坐标轴，对称中心是原点，顶点坐标是 (±a ，0)，焦点坐标是 (±c ，0)，离心率是ac，准线方程为c a x 2±=，渐近线方程是x aby ±=.3.点与双曲线的位置关系设双曲线方程为：2222by a x -=1，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则：P 在双曲线上的充要条件是122022=-b y a x ，P 在双曲线右支所包含的区域(不包括边界线)内的充要条件是220y b ba x +>. 4.直线与双曲线的位置关系设直线为l ：Ax +By +C =0，双曲线方程为C ：b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2，联立l 与c 消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，那么：l 与c 相离的充要条件是Δ<0； l 与c 相切的充要条件是Δ=0；l 与c 相交于不同两点的充要条件是Δ>0. 5.双曲线方程的确定求双曲线方程，若中心和对称轴已知，则在a 、b 、c 中只须确定两个字母(因c 2=a 2+b 2)，常用的方法是列方程组，解关于a 、b 、c 的方程组，从而确定系数a 、b 、c .6.弦长计算计算双曲线被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，从而|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+-=f (k )(k 为直线P 1P 2的斜率，若k 不存在，则更易计算).●题型示例 点津归纳【例1】 根据下列条件求双曲线的标准方程. (1)两准线间的距离是2，焦距为6；(2)与椭圆x 2+2y 2=2共准线，且离心率为2； (3)已知P 点在以坐标轴为对称轴的双曲线上，点P 到两焦点的距离分别为4和2，过P 作实轴的垂线恰好过双曲线的一个焦点.【解前点津】 (1)因焦点的位置有两种情形，故标准方程有两种结果，由2c =6及2·c a 2=2即可确定a 、b 、c ，(2)由条件可选择方程形式为2222by a x -=1，(3)有两种形式.【规范解答】 (1)由2c =6及2·ca 2=2得：a 2=3，b 2=c 2－a 2=9－3=6，故双曲线方程为1631632222=-=-x y y x 或(2)由条件知双曲线的准线方程是x =±2，故得方程组：2,22==c a a c ，解之：a =4，c =8从而b =43，故双曲线方程为：481622y x -=1； (3)当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为：2222by a x -=1，焦点为F (c ，0)由条件可设P (c ，m )22)2(m c +⇒=4 ①m =2及14222=-ba c ②解方程组得a 2=1，b 2=2，故此时双曲线方程为x 2－22y =1，同理可得，当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 2－22x=1.【解后归纳】 求双曲线的标准方程，一是要选择恰当的形式，二是利用其几何性质，列出关于a 、b 、c 的方程，解方程组即可确定.【例2】 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积.【解前点津】 因e =2，所以c 2=2a 2=a 2+b 2⇒a 2=b 2，故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点位置没有确定，故可设双曲线方程为x 2－y 2=λ(λ≠0).【规范解答】 (1)∵e =2，∴c 2=2a 2=a 2+b 2 ⇒ a 2=b 2，∴双曲线方程可设为：x 2－y 2=λ，∵点(4，－10)在双曲线上，∴16－10=λ，即λ=6，故双曲线方程为：x 2－y 2=6.(2)由(1)知：F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴3129,323,323222121m m k k m k m k MF MF MF MF -=-=•-=+=， ∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2=6，m 2=3，故21MF MF k k •=－1，∴MF 1⊥MF 2. (3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|=43，F 1F 2的高h =|m |=3，∴S 21MF F ∆=6.【解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为m ·x 2+n ·y 2=1(mn <0).【例3】 已知双曲线2222by a x -=1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找一点P ，使得|PF 1|是P 到l 的距离d 与|PF 2|的等比中项?【解前点津】 从假设存在这样的P 点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果. 【规范解答】 设在左支上存在P 点，使|PF 1|2=|PF 2|·d ，由双曲线第二定义得：,||||||121e PF PF d PF ==即|PF 2|=e ·|PF 1| ① 又由双曲线的第一定义得：|PF 2|－|PF 1|=2a ② 从①②中解得：|PF 1|=12-e a ，|PF 2|=12-e ae，因△PF 1F 2中有|PF 1|+|PF 2|≥2c ， ∴1212-+-e aee a ≥2c ③ 而e =ac，故由③得：e 2－2e －1≤0解之：1－2≤e ≤1+2，∵e >1，∴1<e ≤1+2这与e >1+2相矛盾，∴符合条件的P 不存在.【解后归纳】 对于一般的探索命题，常从假设存在入手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假设的命题成立.【例4】 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由.(1)渐近线方程为x ±2y =0；(2)点A (5，0)到双曲线上动点P 的距离的最小值为6.【解前点津】 讨论焦点所在位置，从而确定双曲线方程形式，对条件(2)，转化为求函数最值问题.【规范解答】 假设存在同时满足题中两条件的双曲线.(1)若双曲线焦点在x 轴上，可设双曲线方程为12222=-b y a x ，因渐近线为y =±x a b x ±=21，∴a b=21，双曲线方程可化为：22224by b x -=1.设动点P 的坐标为(x ，y )，则 |AP |=22225)4(45)5(b x y x -+-=+-(x ≥2b 或x ≤－2b ). 由条件②，若2b ≤4即b ≤2，则当x =4时，|AP |m i n =16522-=⇒=-b b ，这是不可能的.若2b >4即b >2时，则当x =2b 时，|AP |m i n =|2b －5|=6，解之 b =265+(其中265-<2应舍去). 此时存在双曲线方程为： 1265)65(2222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+y x(2)若双曲线焦点在y 轴上，可设双曲线方程为22224bx b y -=1(x ∈R )，∴|AP |=5)4(4522++-b x ，∵x ∈R ，∴当x =4时，|AP |m i n =652=+b ， ∴b 2=1，此时存在双曲线方程为 y 2－42x =1.【解后归纳】 给出双曲线的渐近线，并不能确定焦点的方位，故要讨论双曲线的两种形式.●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.若双曲线的两条渐近线是y =±23x ，焦点是F 1(－26，0)，F 2(26，0)，那么它的两条准线间的距离是 ( ) A.26138 B.26134 C.262318 D.261392.曲线2x 2－y 2+6=0上的一点P 到一个焦点的距离为4，则P 点到较远的准线的距离为( )A.4634+ B.4364364+或 C.62 D.46262+或3.与椭圆244922y x +=1有相同焦点且以y =±34x 为渐近线的双曲线方程是 ( ) A.91622y x -=1 B.116922=-y x C.191622=-x y D.116922=-x y 4.设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 ( ) A.34 B.38 C.316 D.232 5.双曲线5922y x -=1与椭圆112522y x +=1，一定有 ( ) A.两离心率之积为1 B.相同的两条准线 C.相同的两个焦点 D.实轴长=长轴长6.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等份，则它的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.26D.32 7.准线方程为x +y =1，相应的焦点为(1，1)的等轴双曲线方程是 ( )A.x 2－xy －y 2=21B.x 2+xy －y 2=21C.xy =－21D.xy =218.平面内动点P 到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值是常数2a ，则动点P 的轨迹是 ( ) A.双曲线 B.双曲线或两条射线 C.两条射线 D.椭圆9.设θ是第三象限角，方程x 2+y 2si n θ=c os θ表示 ( ) A.焦点在x 轴上的椭圆 B.焦点在y 轴上的椭圆 C.焦点在x 轴上的双曲线 D.焦点在y 轴上的双曲线10.设双曲线2222by a x -=1(0<a <b )的半焦距为c ，设直线l 过(a ，0)和(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.2 D.322二、思维激活11.对于双曲线2222by a x -=1(a >0，b >0，c =22b a +)而言，它的准线与渐近线的交点到中心的距离等于 ，它的虚轴的端点到顶点的距离等于 .12.双曲线91622y x -=1上有点P ，F 1、F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2=3π，则△F 1PF 2的面积是.13.过双曲线2222b y a x -=1的焦点F (c ，0)作渐近线y =a bx 的垂线，则垂足的坐标是 .14.已知双曲线2222by a x -=1(a >0，b >0)的左右两个顶点分别为A 、B ，过双曲线右焦点F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于两点P 、Q ，若∠APB =a r c t an 23，b =1，则a = . 三、能力提高15如图，已知梯形ABCD 中，|AB |=2|CD |， 点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、 F 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332≤λ≤时， 求双曲线离心率的取值范围.16.A 、B 两点分别在双曲线2222by a x -=1的两条渐近线上，O 为原点，且|OA |·|OB |=a 2+b 2=c 2，求线段AB 中点M 的轨迹方程.17.在△ABC 中，BC 固定，顶点A 移动，设|BC |=a ，当三角形三内角满足：|si nC －si nB |=21·si nA 时，求点A 的轨迹方程.18.设－2<m <0，在直角坐标系中，通过点M (m ，0)的直线l 与双曲线x 2－y 2=4有惟一的交点P ，而与双曲线的渐近线交于A 、B 两点. (1)求直线l 的方程；(2)当m 变化时，求△ABO 的重心轨迹方程.第2课 直线与双曲线习题解答1.A 由条件知c =26且269)26(826983222232222a b b c c a a b -==⎪⎭⎫ ⎝⎛•=•⇒=，故269)26(826222a a -=•解之a 2=8⇒2·13268268222=⨯=a . 2.A 化双曲线为6322y x +-=1即3622x y -=1故a =6，b =3准线方程为 y =±2，e =2663=由双曲线第二定义知：4=⇒=126d 最远距离为 d 1+2·463422682+=⨯+=c a . 3.B c =2449-=5又34=a b ① 且c 2=a 2+b 2=25 ② 联立①②解之：a 2=9，b 2=16.4.C 由条件知，圆心不在双曲线的另一个顶点上，设圆心坐标为P (x ，y )，左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为A 1，A 2，由A 2(3，0)，F 2(5，0)知圆心横坐标为x =21(3+5)=4，故y 2=16×3169716169722=⨯+=+⇒y x . 5.C 在双曲线中：a =3，b =5，c =14，149,3142==c a a c ，在椭圆中：a =5，b =11，c =14，1425,5142==c a a c ，比较即得.6.B 由2·312=c a ·2c 得3=ac.7.D 因双曲线是等轴双曲线，所以离心率e =2，设P (x ，y )是此双曲线上有流动坐标，由双曲线的第二定义得：2|1|2)1()1(22-+•=-+-y x y x 平方之：x 2+1－2x +y 2+1－2y =(x 2+y 2+1+2xy －2x －2y )化简得xy =21. 8.B 当2a =|F 1F 2|是两条射线.9.D ∵sin θ<0，cos θ<0，∴θθ•+θcos sin cos 22y x =1是双曲线.10.A l ：222222316431111bc a c c b a b y a x +=⇒•+=⇒=+ 222222221316e e e a c c a c +-+=-+=解之：e 2=4或34即e =2或32 又∵0<a <b ，∴a 2<b 2，∴c 2=a 2+b 2>2a 2，∴22>⎪⎭⎫⎝⎛a c ，∴e >2，舍去32. 11.取一条准线x =c a 2，取一条渐近线y =⇒x a b交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c ab c a ,2它到中心的距离为 22222b ac a c ab c a +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a 虚轴端点取为(0，b )顶点取(a ，0)⇒距离为c b a =+22.12.不妨设P 在左右支上，F 1为左焦点，则由定义得：|PF 1|－|PF 2|=8，又|F 1F 2|=10在△PF 1F 2中由余弦定理得：|PF 1|2+|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°=100.由方程组⎩⎨⎧=-•+=+8||||||||100||||21212221PF PF PF PF PF PF得2|PF 1|·|PF 2|=36+|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|=36，故△F 1PF 2面积为S =21|PF 1|·|PF 2|·sin60°=93. 13.渐近线的垂线方程为：y =(－ba)(x －c )解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==))((c x b a y x a b y 得垂足坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c ab c a ,2. 14.如图所示，因b =1，故双曲线方程为：222y ax -=1，故F (12+a ，0)，A (－a ，0)，P (aa 1,12+)，B (a ，0)， 因为：k P A =a1(12+a －a )，k PB =)1(12a a a ++故由两直线的夹角公式得：22211)1(1)1(123aa a a a a a +-+-++=，解之：a =3.15.设双曲线方程为2222by a x -=1，∵双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称. 依题意，记A (－c ，0)，C (2c ，h )，E (x 0，y 0)，其中c =21|AB |，h 是梯形的高，由定比分点坐标公式得： x 0=h h y c +λ=λ+•-λ1,)1(2)2(0，∵点C 、E 在双曲线上，将点C 、E 的坐标和e =ac代入双曲线方程得：2224b h e -=1 ① e 2·22222)1(4)2(b h λ-+λ-λ·(λ+1)2=1 ②由①得4222e bh =－1代入②得： λ=43322122≤λ≤+-又e e 得：43213222≤+-≤e e 解之：107≤≤e ， ∴双曲线离心率的取值范围是[]10,7.16.设线段AB 中点M (x ，y )，点A 在直线y =a b x 上，点B 在直线y =－x a b 上，则A (x 1，abx 1)，B (x 2，－abx 2)，由中点坐标公式知： ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+•=+=2121212122)(21)(21x x b ay x x x x x a b y x x x|OA |=a c x ab x 212221+|x 1|；|OB |=a c x ab x =+222222|x 2|，∴|OA |·|OB |=22a c |x 1·x 2|=c 2，∴x 1x 2=±a 2，又①2－②2得：4x －2224b y a =4x 1x 2，∴x 2－222b y a =±a 2，∴2222by a x -=±1为线段AB 中点M 的轨迹方程.17.由正弦定理得：|c －b |=21a ，故动点A 到两定点B 、C 距 离之差的绝对值是常数21a ，由双曲线定义得：A 在双曲线上移动，以BC 中点为坐标原点，① ②BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系， 因半焦距为2a ，实半轴长为4a，故虚轴长为 2234222=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a ，故双曲线方程为)0(1434222≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛y a y a x . 18 (1)∵l 过M (m ，0)，∴不妨设l 为：x =ky +m 代入x 2－y 2=4消去x 得：(ky +m )2－y 2=4，依y 聚项整理得：(k 2－1)y 2+2mky +(m 2－4)=0因k 2－1≠0，∴Δ=0即(2mk )2－4(k 2－1)·(m 2－4)=0，解之：k =±412m -.故l 为：y =±242m-(x －m ).(2)分别从方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=⎪⎩⎪⎨⎧--==)(42)(422m x m y xy m x m y x y 及 中求得：A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+m m m m B m m m m 442,424424,4242222及. 设△ABO 的重心为G (x ，y )，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==m m y m x 244383中消去m 得：3y ·2384438⎪⎭⎫⎝⎛-•=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，化简得：x 2－y 2=916(x <0，且y ≠0).。
最新人教版高中数学选修2-1第二章《双曲线及其标准方程》教材梳理
疱丁巧解牛知识·巧学双曲线1 .第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola). 两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示.常数用2a 表示.双曲线第二定义：平面内到一定点F 与定直线l ，(F 不在l 上)的距离之比为e ，当e ＞1时动点轨迹叫双曲线.①若|MF 1|-|MF 2|=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线;②若|MF 1|-|MF 2|=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线;③若2a=2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线; ④若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.深化升华 当题目中出现双曲线上的点到焦点的距离，常用椭圆的第二定义转化为点到准线的距离来研究.①定义的“双向运用”，即：一方面，符合定义的条件的动点轨迹为双曲线；另一方面，双曲线上点有定义中条件的性质.②两个定义的综合运用是解决有些双曲线问题的捷径.2．双曲线的方程（1）双曲线的标准方程（a>b>0）①焦点在x 轴上：2222by a x -=1（a>0,b>0）; ②焦点在y 轴上：2222bx a y -=1（a>0,b>0）. 由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，其步骤是：定型，定量 .涉及几个独立的参变量，那么需要列出与参数变量个数相同的独立等式转化为解方程组来解决.当焦点位置不确定时，方程可以有两种形式，应防止遗漏.（2）中心在（x 0,y 0）的双曲线方程①焦点在直线y=y 0上：220220)()(b y y a x x ---=1; ②焦点在直线x=x 0上：220220)()(bx x a y y ---=1. （3）双曲线的参数方程x=⎩⎨⎧==ααtan ,sec b y a x (α为参数). 方法点拨 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数为正的那条轴上.注意区分和椭圆相似相近的地方，两种曲线有许多共同点，但是也有许多不同点要注意比较两种曲线的定义.问题·探究问题1 学习双曲线的许多问题都要化做标准方程，在学习标准方程时要注意些什么？探究:（1）把双曲线的标准位置（位置特征）与标准方程（方程特征）统一起来.如果双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么这个位置是标准位置.若使方程的右边为1，则左边两项中含x 2的项为正且分母为a 2，含y 2的项为负且分母为b 2，所以方程为2222b y a x -=1. （2）“定量”和“定位”.要求出双曲线的标准方程，就要求出a 2，b 2两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出关于a 2，b 2的方程组，解得a 2，b 2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程.因此“定量”是指a,b,c 等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了a 2,b 2在方程中的位置.问题 2 有些天体运动的轨迹是圆，有些天体运动的轨迹是椭圆，天体运动的轨迹有没有可能是双曲线？运动的轨迹是有什么决定的？探究:物理学中，每一个公式都有其各自的物理涵义.这就是数学和物理的区别.至于列F=ma 解出一个椭圆，不难.但要有微积分的知识，尤其是微分方程.可以简单讲讲过程，其实都是数学的问题：1.建坐标系，分别在三个方向(就是x,y,z)列出万有引力公式（要知道速度是位移的导数，加速度是速度的导数，这就得到三个微分方程）2.化简，得到轨道是一个平面.再变换几下，分别得到能量守恒与动量守恒.3.转换成极坐标系，再解方程，得到ρ=ep （1-ecosθ）（就是解析几何中那个圆锥曲线的统一表达式）,天体运行的轨道可以是椭圆、抛物线或双曲线（取决于初始能量和初始动量）. 有些知识对我们来说还是很陌生的，但是在以后的更深层次的学习中会逐步学习到. 典题·热题例1 讨论ky k x -+-92522=1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 思路分析：由于k≠9，k≠25，则k 的取值范围为k<9，9<k<25，k<25，分别进行讨论． 解：（1）当k<9时，25-k>0,9-k>0，所给方程表示椭圆，此时a 2=25-k,b 2=9-k,c 2=a 2-b 2=16,这些椭圆有共同的焦点（-4，0），（4，0）．（2）当9<k<25时，25-k>0,9-k<0，所给方程表示双曲线，此时，a 2=25-k ，b 2=k-9,c 2=a 2+b 2=16，这些双曲线也有共同的焦点（-4，0），（4，0）．（3）k<25,k=9,k=25时，所给方程没有轨迹．深化升华 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些k 值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感．例2 在周长为48的直角三角形MPN 中，∠MPN=90°，tanPMN=43，求以M 、N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．思路分析：首先应建立适当的坐标系．由于M,N 为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知|PM|-|PN|=2a ，|MN|=2c,所以利用条件确定△MPN 的边长是关键．解：∵△MPN 的周长为48，且tanPMN=43, ∴设|PN|=3k ，|PM|=4k ，则|MN|=5k ．由3k+4k+5k=48，得k=4．∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20．以MN 所在直线为x 轴，以MN 的中点为原点建立直角坐标系.设所求双曲线方程为2222by a x +=1（a>0,b>0）． 由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a 2=4．由|MN|=20，得2c=20,c=10．由b 2=c 2-a 2=96，得所求双曲线方程为96422y x -=1． 方法归纳 坐标系的选取不同，则曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．例3 若一个动点P(x,y)到两个定点A(-1,0)、A 1（1,0）的距离之差的绝对值为定值a(a≥0)，讨论点P 的轨迹．思路分析：本题的关键在于讨论a ．因|AA 1|=2，讨论的依据是以0和2为分界点，应讨论以下四种情况：a=0,a ∈（0,2）,a=2,a>2．解：|AA 1|=2．(1)当a=0时，轨迹是线段AA 1的垂直平分线，即y 轴，方程为x=0．(2)当0<a<2时，轨迹是以A 、A 1为焦点的双曲线，其方程为4142222a y a x --=1. (3)当a=2时，轨迹是两条射线y=0（x≥1）或y=0（x≤-1）．(4)当a>2时无轨迹．误区警示 (1)本题容易出现的失误是对参变量a 的取值范围划分不准确，而造成讨论不全面．(2)轨迹和轨迹方程是不同的，轨迹是图形，因此应指出所求轨迹是何种曲线．例4 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东6千米处，C 在B 正北偏西30°，相距4千米，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．思路分析：点P 到B 、C 距离相等，因此点P 在线段BC 的垂直平分线上．又|PB|-|PA|=4，因此P 在以B 、A 为焦点的双曲线的右支上．由交轨法可求点P 的坐标，进而求炮击的方位角．解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则B （-3,0）、A （3,0）、C （-5,32）.因为|PB|=|PC|，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上．因为k BC =3-,BC 中点D （-4，3），所以直线PD ：313=-y （x+4） ①又|PB|-|PA|=4,故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上．设P （x,y ），则双曲线方程为5422y x -=1（x≥0） ② 联立①②式，得x=8,y=35,所以P （8,35）．因此k PA =33835=-． 故炮击的方位角为北偏东30°.方法归纳 空间物体的定位，一般先利用声音传播的时间差建立双曲线方程，然后借助曲线的交轨来确定．这是解析几何的一个重要应用．。
双曲线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
定义
2.若动点P(x,y)到点A(-3,0),B(3,0)的距离之差为4,则点P的轨迹是(
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.一条直线
D.一条射线
解析:由题意知,|PA|-|PB|=4<|AB|,故点P的轨迹是双曲线的一支.
答案:B
)
二、双曲线的标准方程
1.双曲线的标准方程
焦点的位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
k=4,故所求双曲线方程为12
2
− 8 =1.
反思感悟 1.求双曲线标准方程的步骤
(1)确定双曲线的类型,并设出标准方程.
(2)求出a2,b2的值.
2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时,需分焦点在x轴上和y轴上两种
情况讨论.特别地,当已知双曲线经过两个点时,可设双曲线方程为
Ax2+By2=1(AB<0)来求解.
因此所求动圆圆心 M 的轨迹方程为
2
x2- 8 =1(x≤1).
人教A版 数学 选择性必修
第一册
自主预习 新知导学
一、双曲线的定义
1.双曲线的定义
焦点
一般地,我们把平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等
于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线
两个定点叫做双曲线的焦点
焦距
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
集合
语言
P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|}
双曲线的标准方程.注意对平方关系c2=a2+b2的运用.
2
解:(1)由已知可设所求双曲线方程为 2
则
32 9
- = 1,
(新课标)高考数学大一轮复习-第九章 解析几何 9.7 双曲线(一)课件 文
线，有相同的渐近线、相等的焦距．
(6)双曲线形状与 e 的关系：k＝ba＝
c2－a2 a
＝
ca22－1 ＝
e2－1，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线
的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开
口就越开阔．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线． (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线． (3)双曲线方程mx22－yn22＝λ(m>0，n>0，λ ≠0)的渐近线方程是 mx22－yn22＝0，即mx ±yn＝0.
归纳拓展 (1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设 双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1(AB<0)． (2)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线的“六点”(两个 焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条 渐近线)，“两三角形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形， 双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互关系．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对 值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．
思考题 1 (1)(2015·福建理)若双曲线 E：x92－1y62 ＝1 的左、
右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|＝3，则|PF2|
等于( )
A．11
B．9Leabharlann C．5例 1 (1)已知两圆 C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，
动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是( )
双曲线的定义及标准方程第二课时
焦点三角形的面积公式：
设P为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 上异于焦点所在坐标轴端点的任一点，
b2
F1、F2为其焦点，记 F1PF2 ,
则
S PF1F2
.
tan
2
焦点在y轴时，公式同上.
跟踪训练
解：由已知a＝3，b＝4，c＝5. 由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64，
1 且满足 F1PF2 90 ,那么 △F1PF2 的面积是_______.
2.已知点 A(0, 7) , B(0, 7) , C(12, 2) ,以点 C 为焦点作过 A、
B 两点的椭圆,求满足条件的椭圆的另一焦点 F 的轨迹方程.
y2 x2 1( y ≤ 1) 48
课堂练习(巩固及提高):
是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上，并且点O与
线段AB的中点重合
设爆炸点P的坐标为(x,y)，
则 PA PB 340 2 680
y
P
即 2a=680，a=340 AB 800
2c 800, c 400, b2 c2 a2 44400
则 A(－1020,0），B(1020,0），C(0,1020）.
设 P（x,y）为巨响点， 由 A、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|, 故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y =－x，
因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×4=1360,
高考数学一轮复习第七章第六讲双曲线课件
项目
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
(续表)
项目
范围 性 对称性 质 顶点
渐近线
ax22－by22＝1(a>0，b>0) x≥a或x≤－a，y∈R
对称轴：坐标轴 A1(－a，0)，A2(a，0)
y＝±bax
ay22－bx22＝1(a>0，b>0) x∈R，y≤－a或y≥a 对称中心：原点 A1(0，－a)，A2(0，a)
(5)双曲线的离心率公式可表示为 e＝ 1＋ba22.
考点一 双曲线的定义
1. x2＋(y－3)2－ x2＋(y＋3)2＝4 表示的曲线方程为( )
A.x42－y52＝1(x≤－2)
B.x42－y52＝1(x≥2)
C.y42－x52＝1(y≤－2)
D.y42－x52＝1(y≥2)
解析： x2＋(y－3)2的几何意义为点 M(x，y)到点 F1(0，3)的 距离， x2＋(y＋3)2的几何意义为点 M(x，y)到点 F2(0，－3)的距 离，则 x2＋(y－3)2－ x2＋(y＋3)2＝4 表示点 M(x，y)到点 F1(0， 3)的距离与到点 F2(0，－3)的距离的差为 4，且 4<|F1F2|，所以点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半 轴长 a＝2，半焦距 c＝3，所以 b2＝c2－a2＝5，则 x2＋(y－3)2－
解析：因为|PF2|为 F2(c，0)到直线 y＝bax 的距离， 则|PF2|＝ b|b2＋c| a2＝b，所以 b＝2.
联立，得y＝bax， y＝－ab(x－c)，
可得 x＝ac2，y＝acb，即 Pac2，acb.