一元一次方程相遇追及问题
追及问题
七二班 黎红
• 直道行程问题中的等量关系: • 1、快者行走的路程—慢者行走的路程=追 及路程 • 2、若同时出发，追及时快者用的时间=慢 者用的时间
• 一队学生到校外进行军事野营训练，他们 以5km/h的速度行进，18min后，学校发现 他们忘拿一些物品，一位老师骑自行车将 这些物品给学生送去，这位老师的速度为 14km/h，那么他用多长时间能追上学生队 伍？
• 环形追及问题中的等量关系： • 同向追及问题：第一次相遇快者路程— 第一次相遇慢者路程=环形跑道一圈的长度
• 甲乙两人在一条长为400m的环形跑道上跑 步，甲的速度为360m/min，乙的速度为 240m/min。两人同时同向跑，为第一次相 遇时，两人一共跑了几圈？
பைடு நூலகம்
• 甲乙两人在环形跑道上练习跑步，已知跑 道一圈长400m，甲每秒钟跑6m，乙每秒钟 跑8m，如果甲乙两人在跑道上相距8m，同 时同向出发，那么经过多久两人相遇？
• 做一做 • 小斌和小强每天早上坚持跑步，小 斌每秒跑4m，小强每秒跑6m。如果小强站 在百米跑道的起点处，小斌站在他前面10m 处，两人同时同向跑，几秒后小强能追上 小斌？
• 甲乙两人都从A地到B地，甲步行每小时走 5km,先走了1.5好，乙骑自行车走了50min， 两人同时到达B地，乙每小时骑多少米？
六年级数学上册知识讲义-4.3 一元一次方程的应用：追及问题(附练习及答案)-鲁教版(五四学制)
学习目标一、考点突破追及问题是两物体同向行驶，快的（后出发的）追上慢的（先出发的）。
通过本讲的学习，弄清这类问题的数量关系，能够正确找到相等关系并列方程求解，学会熟练地画线段图解决行程问题。
二、重难点提示重点：弄清追及问题的各种类型及其数量关系。
难点：环形跑道和时钟的问题。
考点精讲1. 追及问题的特点：两物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题，通常归为追及问题。
这类常常会在考试考到，一般分为两种：一种是双人追及、双人相遇，此类问题比较简单；另一种是多人追及、多人相遇，此类则较困难。
2. 追及问题的数量关系：速度差×追及时间＝路程差，路程差÷速度差＝追及时间（同向追及）等。
这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间＝乙的时间，甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程；同地不同时：甲的时间＝乙的时间－时间差，甲的路程＝乙的路程。
3. 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和＝一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差＝一圈的路程。
示例甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步，甲每分钟跑240米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，几分钟后两人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？思路分析：等量关系：两人同时同地同向出发，甲的路程－乙的路程＝400米两人背向跑：甲的路程＋乙的路程＝400米典例精讲例题1甲、乙两人练习赛跑，甲每秒钟跑7米，乙每秒钟跑6.5米，他俩从同一地点起跑，乙先跑5米后，甲出发追赶乙。
设甲出发x秒后追上乙，则下列四个方程中正确的是（）A. 7x＝6.5x＋5B. 7x＝6.5x－5C. 7x＋5＝6.5xD.（7＋6.5）x＝5思路分析：首先理解题意找出题中存在的等量关系：乙跑的路程＝甲跑的路程，根据此等式列方程即可。
答案：设甲出发x秒钟后追上乙，则甲所跑的路程为7x，而此时乙所跑的路程为6.5x ＋5；根据此时“甲追上乙”那么他们的总路程应该相同，即7x＝6.5x＋5，故选A。
一元一次方程(行程问题)
一元一次方程(行程问题）考点1、相遇问题：【基础知识回顾】相遇问题是行程问题的一种典型应用题,也是相向运动的问题.无论是走路,行车还是物体的移动,总是要涉及到三个量--------路程、速度、时间。
相遇问题的核心就是速度和。
路程、速度、时间三者之间的数量关系,不仅可以表示成:路程= 速度×时间,还可以变形成下两个关系式:速度= 路程÷时间, 时间= 路程÷速度.一般的相遇问题: 甲从A地到B地,乙从B地到A地,然后两人在A地到B地之的某处相遇,实质上是甲,乙两人一起走了AB这段路程,如果两人同时出发,那有:(1) 甲走的路程+乙走的路程= 全程(2) 全程= (甲的速度+乙的速度) ×相遇时间= 速度和×相遇时间相遇问题的基本题型1、同时出发（两段）2、不同时出发（三段）相遇问题的等量关系S甲+S乙=S总（全程）S先+S甲+S乙=S总（全程）【典型例题】1、电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行，磁悬浮列车的速度比电气机车的5倍还快20千米/时，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？[变式训练]1、甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？考点2、追及问题【基础知识回顾】两个速度不同的人或车，慢的先行（领先）一段，然后快的去追，经过一段时间快的追上慢的。
这样的问题一般称为追及问题。
有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题，因为这两种情况都满足速度差×时间=追及（或领先的）路程。
追及问题的核心就是速度差。
追及问题追及问题的基本题型1、不同地点同时出发2、同一地点不同时出发追及问题的等量关系1、追及时快者行驶的路程－慢者行驶的路程＝相距的路程2、追及时快者行驶的路程＝慢者行驶的路程或慢者所用时间=快者所用时间+多用时间追击问题的等量关系：1）同时不同地：慢者行的距离+两者之间的距离=快者行的距离2）同地不同时：甲行距离=乙行距离或慢者所用时间=快者所用时间+多用时间【典型例题】1. 跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？[变式训练]1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为________________.2、某人从家里骑自行车到学校。
一元一次方程的应用(行程问题)测试题
4.3一元一次方程的应用（行程问题）1.相遇、追及问题1.A、B两地相距450千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发。
已知甲车的速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值为 .2.甲乙两人绕400米的环形跑道练习跑步，甲每秒跑2m,乙每秒跑2.4m，两人从同一地点出发，x秒相遇。
（1）若反向而行，则可列方程；（2）若同向而行，则可列方程。
3.甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开出，两车相向而行，问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（3）两车同时开出，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？4.张华和李明登一座山，张华每分钟登高10m，并且先出发30min（分），李明每分钟登15m，两人同时登上山顶。
设张华登山用了x min,如何用含x的式子表示李明登山所用的时间？试用方程求x的值，由x的值能求山高吗？如果能，山高是多少？5.王力骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36km，到中午12时，两人又相距36km，求A、B两地间的路程。
6.A、B两地间的距离为360km，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72km；甲车出发25分钟后，乙车从B地开往A地，每小时行驶48km，两车相遇后，各自仍按原速度、原方向继续行驶，求相遇后两车相距100km 时，甲车共行驶了多少小时？7.甲从A地出发前往B地，20分钟后，乙从B地骑车出发前往A地，乙到达A地后停留40分钟，然后沿原路以原来的速度用了1小时就回到B地。
甲也同时到达，已知乙的速度比甲的速度多8千米/时，求A、B 两地之间的距离。
2.顺逆水（风）问题1.一架飞机在两城之间飞行，顺风需要4小时，逆风需要4.5小时；测得风速为45千米/时，求两城之间的距离。
初一一元一次方程：行程问题应用题专题
《一元一次方程：行程问题》解答题【基本知识】路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间（1）相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题： 快行距－慢行距＝原距（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．行程问题：解行程问题的关键是抓住时间关系或路程关系，借助草图分析来解决问题．路程=速度×时间相遇路程=速度和×相遇时间追及路程=速度差×追及时间航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2一、【求距离】1、七年级列队以每小时6千米的速度去甲地，小刚从队尾以每小时10千米的速度赶到队伍的排头后，又以同样的速度返回排尾，一共用了7.5分钟，求队伍的长。
【解】设队伍长度x 千米 ，等量：时间81164=+x x 52=∴x 答：略 2、队伍以每小时4千米的速度去甲地，小刚从队尾以每小时12千米的速度赶到队伍的排头后，又以同样的速度返回排尾，一共用了4.5分钟，求队伍的长。
【解】605.4168=+x x x = 0.4千米 3、队伍以每小时6千米的速度去甲地，小刚从队尾以每小时12千米的速度赶到队伍的排头后，又以同样的速度返回排尾，一共用了5分钟，求队伍的长。
【解】605186=+x x x = 0.375千米 4、一队学生从学校出发去部队军训，以每小时5千米的速度行进4.5千米时，一名通讯员以每小时14千米的速度从学校出发追赶队伍，他在离部队6千米处追上了队伍，设学校到部队的距离是x 千米，求x . 【解】565.4146--=-x x ∴ 13=x 5、已知某铁路桥长500m ，现在一列火车匀速通过该桥，火车从开始上桥到过完桥共用了30s ，整列火车完全在桥上的时间为20s ，则火车的长度为多少m ？【解】设火车的长度为x m ，根据火车的速度不变可得方程：2050030500x x -=+ 2（500+x ）=3（500﹣x ） x =100． 答：火车的长度为100m ．6、王先生计划骑车以每小时10千米的速度由A 地到B 地，这样便可在规定时间到达B 地，但他因事将原计划的出发时间推迟了10分钟，便只好以每小时12千米的速度前进，结果比规定时间早5分钟到达B 地，求A 、B 两地间的路程．【解】设由A 、B 两地的路程是 x 千米，则60560101210++=x x 解得：x=15，答：A 、B 两地间的路程是15千米 7、李明和王华步行同时从A 、B 两地出发，相向而行，在离A 地52米处相遇，到达对方出发点后，两人立即以原来的速度原路返回，又在离A 地44米处相遇，求A 、B 两地距离多少米？解：（行程问题，全是路程比与比例）设AB 相距x 千米李明 王华 路程和52 x －52 x2x -44 3x31344252==-∴x x x 8、某周末小明从家里到西湾公园去游玩，已知他骑自行车去西湾公园，骑自行车匀速的速度为每小时8千米，回家时选择乘坐公交车，公交车匀速行驶的速度为每小时40千米，结果骑自行车比公交车多用1.6小时，问他家到西湾公园相距多少千米？【解答】设小明家到西湾公园距离x 千米， 根据题意得：6.1408=-x x 解得：x =16． 答：小明家到西湾公园距离16千米．9、小张和父亲预定搭乘家门口的公交汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。
一元一次方程追及问题
1、一队学生从学校出发，步行速度是5千米/小时，走了4.5千米后，一学生按原路返回给
学校报信，然后他随即追赶队伍，他的速度是14千米/小时，他在距目的地6千米处追赶上队伍，问：学校到目的地的距离？
2、一队学生从学校出发，他们以4千米/小时的速度前进，在队尾的联络员接到通知后立即
送到队首队长处，关到后立即返回队尾，共用去14.4分钟，已知联络员速度为6千米/小时，求队伍的长度？
3、甲已两人在环形跑道上跑步，已知环形跑道一周长400米，甲每秒跑8米，乙每秒跑6
米，（1）如果甲乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么以过多少秒两人可以首次相遇？（2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么以过多少秒，两人可以首次相遇？。
3.4-实际问题与一元一次方程行程问题之相遇追及问题
互动探究，拓展延伸
3、火车用26秒的时间通过了一个长256米的隧道 （即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车 又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求这列火车 的长度。
1. 谈谈你的收获。
作业： 同步： P139、140
一天悟空调皮去了花果山玩了,剩下唐僧、二师兄、沙师弟
三人以
的速度在去西天取经的路上，而就在此时
的牛魔王得到了消息悟空不在，他大笑道：哈哈有
唐僧肉吃了，他立马以
的速度向师徒方向赶去。
你能帮助悟空计算一下经过多少小时师傅会与牛魔王相遇？
悟空两小时后赶回来能救师傅吗？
5x
3x
24千米
练习1
西安站和武汉站
一元一次方程与实际问题
行程问题行程问题
——相遇、追及问题
引入新课
西游记中的师徒四人一路艰辛取得真经，而在这
取经过程中有与我们数学有关的行程问题，今天
让我们一起和师徒四人踏上行程，取得我们这节
课的
！
基本关系式
速度、路程、时间之间的关系?
路程＝ 速度×时间
速度＝ 路程÷时间 时间＝ 路程÷速度
《西游记》情节一
行程问题的基本类型
相遇问题: 追及问题:
互动探究，拓展延伸
1、小明、小华在
400米长的环形跑道上练 （1）反向
习跑步，小明每秒跑 ， 小华每秒跑 。 （1）若两人同时同地反 向出发，多长时间两人 首次相遇？ （2）若两人同时同地同 向出发，多长时间两人 首次相遇？
小华 小明
互动探究，拓展延伸
1、小明、小华在
小明、小华从一点出发， ，小华
要多久才能追上小华？
而行，小明 ，小明再出发
，小华 ，问小明
一元一次方程 追及问题中的分类讨论
一元一次方程中的追及问题是一个经典的数学问题，它涉及到两个或多个物体在同一直线上移动，其中一个物体追赶另一个物体。
为了解决这类问题，我们需要进行分类讨论，根据不同的情况建立方程并求解。
假设有两个物体A和B在同一直线上移动，A在B的前面。
A的速度为v1，B的速度为v2，两者之间的初始距离为d。
根据题目，我们可以进行以下分类讨论：
当v1 > v2时，A会追上B。
我们可以通过以下方程表示这种情况：
d = (v1 - v2) × t
其中，t是A追上B所需的时间。
当v1 < v2时，B永远追不上A。
当v1 = v2时，两者之间的距离保持不变，即A和B相对静止。
现在我们来解第一个方程，找出t的值。
计算结果为：t = 10
所以，当v1 > v2时，A追上B所需的时间为：10小时。
人教版七年级上册 一元一次方程的应用-追及相遇问题(含答案)
人教版七年级上册一元一次方程的应用-追及相遇问题（含答案）一、单选题1．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米．若甲让乙先跑10米，设甲跑x秒后可以追上乙，则下列四个方程中不正确的是()A．7x＝6.5x＋10B．7x－10＝6.5x C．(7－6.5)x＝10D．7x＝6.5x－102．甲、乙两列火车在平行轨道上相向而行，已知两车自车头相遇到车尾相离共需8 s．若甲、乙两车的速度之比为3∶2，甲车长200 m，乙车长280 m，则甲、乙两车的速度分别为( ) A．30 m/s，20 m/s B．36 m/s，24 m/sC．38 m/s，22 m/s D．60 m/s，40 m/s3．明月从家里骑车去游乐场，若速度为每小时10km，则可早到8分钟，若速度为每小时8km，则就会迟到5分钟，设她家到游乐场的路程为xkm，根据题意可列出方程为()A．851060860x x-=-B．851060860x x-=+C．851060860x x+=-D．85108x x+=+4．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为()A.7：35B.7：34C.7：33D.7：325．甲乙两人练习跑步，甲先让乙跑10米，则甲５秒钟追上乙，若甲让乙先跑２秒，甲跑４秒就追上乙，甲乙两人每秒分别跑（）A.4米、6米B.2米、4米C.6米、4米D.4米、2米6．甲、乙两人从学校到博物馆去，甲每小时走 4km ，乙每小时走 5km ，甲先出发 0.1h ，结果乙还比甲早到 0.1h ．设学校到博物馆的距离为 xkm ，则以下方程正确的是（ ） A.+0.1=0.145x x- B.-0.1=0.145x x+ C.=0.145x x- D.4x ﹣0.1=5x+0.17．甲、已两地相距50千米，小明、小刚分别以6?千米/时、4千米/时从甲乙两地同时出发，小明领一只小狗以10千米/时奔向小刚，碰到小刚后奔向小明，碰到小明后奔向小刚…一直到两人相遇，小狗共跑了多少路程？（ ） A.25千米B.30千米C.35千米D.50千米8．A 、B 两地相距900千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110千米/时，乙车的速度为90千米/时，则当两车相距100千米时，甲车行驶的时间是（ ） A ．4小时 B ．4.5小时 C ．5小时 D ．4小时或5小时 二、填空题9．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2个小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，则船在静水中的速度是_____千米/时．10．一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走15公里早到24分钟，如果每小时走12公里，就要迟到15分钟，原定时间是________分．11．某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A ，C 两地距离为2千米，则A ，B 两地之间的距离是_____．12．甲、乙两人练习赛跑，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒种就能追上乙．若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒种就能追上乙，则甲每秒跑____米，乙每秒跑____米．13．在一段双轨铁道上，两人辆火车迎头驶过，A 列车车速为20米/秒，B 列车车速为25米/秒，若A 列车全长200米，B 列车全长160米，两列车错车的时间为____秒。
初一数学上册：一元一次方程解决应用题【行程问题】
初一数学上册：一元一次方程解决应用题【行程问题】知识点1、行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间2、行程问题基本类型相遇问题：快行距＋慢行距＝原距追及问题：快行距－慢行距＝原距航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系专项练习1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用3.6小时，已知步行速度为每小时8千米，公交车的速度为每小时40千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为_____。
解：等量关系步行时间－乘公交车的时间＝3.6小时列出方程是：X/8-X/40=3.62、某人从家里骑自行车到学校。
若每小时行15千米，可比预定时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系（1）速度15千米行的总路程＝速度9千米行的总路程（2）速度15千米行的时间＋15分钟＝速度9千米行的时间－15分钟方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15（x－0.25）＝9（x＋0.25）方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：X/15+15/60=X/9-15/603、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。
如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。
⑴行人的速度为每秒多少米？⑵这列火车的车长是多少米？等量关系：①两种情形下火车的速度相等②两种情形下火车的车长相等在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。
解：⑴行人的速度是：3.6km/时＝3600米÷3600秒＝1米/秒骑自行车的人的速度是：10.8km/时＝10800米÷3600秒＝3米/秒⑵方法一：设火车的速度是X米/秒，则26×(X－3)＝22×(X－1) 解得X＝4方法二：设火车的车长是x米，则(X+22×1)/22=(X+26×3)/264、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。
一元一次方程相遇问题
相遇问题的分类
01
02
03
直线相遇
两个物体在同一直线上运 动，直到相遇。
曲线相遇
两个物体在平面上沿着不 同的路径运动，直到相遇。
立体相遇
两个或多个物体在三维空 间中运动，直到相遇。
相遇问题的应用场景
交通问题
如两辆车在同一条路上相向而行，直 到相遇。
运动问题
天文学问题
如两个行星在太空中相向而行，直到 相遇。
成本与收益分析
在制定商业策略时，企业经常需要考虑成本和收益的关系。这可以通过一元一次方程的相遇问题来描述，例如找 到使利润最大的成本和收入关系。
生活中的其他相遇问题
时间规划
在日常生活中，我们经常需要规划时间以完成各种任务。例如，我们需要找到一个时间点，使得我们 能够按时完成所有任务。这也可以通过一元一次方程的相遇问题来描述。
详细描述
设前车的速度为v1，后车的速度为v2， 相遇时间为t，则后车的总行程等于两车 初始距离，即(v2 - v1)t = d。
两车环形跑道问题
总结词
两车在同一起点出发，在环形跑道上行驶，直到相遇。
详细描述
设两车的速度分别为v1和v2，相遇时间为t，则两车的总行程等于跑道长度，即(v1 - v2)t = L。
资源分配
当我们需要将有限的资源分配给不同的任务或项目时，我们可以通过一元一次方程的相遇问题来找到 最佳的分配方案。
06 练习题及解析
基础练习题
总结词
考察基础概念和解题方法
题目1
甲、乙两人在长400米的环形跑道上跑步，他们同时从同一地点出发朝相反方向跑，从第 一次相遇到第二次相遇间隔40秒，甲每秒跑6米，乙每秒跑多少米？
题目2
(完整版)一元一次方程应用行程问题
：一元一次方程应用之--------------行程问题专题一、【根本概念】行程类应用题根本关系：路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度相遇问题：甲、乙相向而行,那么：甲走地路程＋乙走地路程＝总路程.追及问题：①甲、乙同向不同地,那么：追者走地路程＝前者走地路程＋两地间地距离.②甲、乙同向同地不同时,那么：追者走地路程＝前者走地路程环形跑道问题：①甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发：快地必须多跑一圈才能追上慢地.②甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发：两人相遇时地总路程为环形跑道一圈地长度.飞行〔航行〕问题、根本等量关系：①顺风〔顺水〕速度＝无风〔静水〕速度＋风速〔水速〕②逆风〔逆水〕速度＝无风〔静水〕速度－风速〔水速〕顺风〔水〕速度－逆风〔水〕速度＝2×风〔水〕速车辆〔车身长度不可忽略〕过桥问题：车辆通过桥梁〔或隧道等〕,那么：车辆行驶地路程=桥梁〔隧道〕长度+车身长度超车〔会车〕问题：超车过程中,车辆行驶路程等于车身长度和,相对速度为两车速度差.会车过程中,车辆行驶路程等于车身长度和,相对速度为两车速度和.在行程问题中,按照题意画出行程图,可以使问题地分析过程更直观,更容易理解.特别是问题中运动状态复杂,涉及地量较多地时候,画行程图就成了理解题意地关键.所以画行程图是我们必须学会地一种分析手段.另外,由于行程问题中地根本量只有“路程〞、“速度〞和“时间〞三项,所以,列表分析也是解决行程问题地一种重要方法.二、【典型例题】〔一〕相遇问题相遇问题：甲、乙相向而行,那么：甲走地路程＋乙走地路程＝总路程.例1、甲、乙两站相距 600km,慢车每小时行40km,快车每小时行60km.⑴经过xh后,慢车行了km,快车行了 km,两车共行了km；⑵慢车从甲站开出,快车从乙站开出,相向而行,两车相遇共行了km, 如果两车同时开出,xh相遇,那么可得方程：；⑶如果两车相向而行,快车先行50km,在慢车开出yh后两车相遇,那么可得方程：；⑷如果两车相向而行,慢车先开50min,在快车开出th后两车相遇,那么可得方程：.例2、甲、乙两站地路程为450千米,一列慢车从甲站开出,每小时行驶65千米,一列快车从乙站开出,每小时行驶85千米.两车同时开出,相向而行,多少小时相遇？分析：1/3慢车的路程快车的路程甲站乙站两站相距450km例3、甲、乙两地相距376km,A车从甲地开往乙地,半小时后B车从乙地开往甲地,A车开出5h后与B车相遇,又知B车地时速是A车时速地倍,求B车地时速？例4、甲骑自行车从A地到B地,乙骑自行车从B地到A地,两人都匀速前进.两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人还相距36千米,到中午12时,两人又相距36千米.求A、B两地间地路程.课堂练习1：电气机车和磁悬浮列车从相距298千米地两地同时出发相对而行,磁悬浮列车地速度比电气机车速度地5倍还快20千米/时,半小时后两车相遇.两车地速度各是多少？2、甲、乙两人从相距35km地两地同时出发,相向而行,甲步行每小时走4km,乙骑车小时后相遇,求乙地速度.3、甲步行,乙骑自行车,同时从相距 27km地两地相向而行,2h 相遇,乙比甲每小时多走5.5km,求甲、乙两人地速度.4、A、B两地相距153km,汽车从A地开往B地,时速为38km；摩托车从B地开往A地,时速为24km.摩托车开出小时后,汽车再出发.问汽车开出几小时后遇到摩托车？5、甲骑自行车从A地出发,以12km/h地速度驶向B地,同时,乙也骑自行车从B地出发,以14km/h 地速度驶向A地.两人相遇时,乙已超过A、B两地中点1.5km,求A、B两地地距离.〔二〕追及问题例1、甲、乙两地相距10km,A、B两人分别从甲、乙两地同时、同向出发,A在前,B在后,A地速度是每小时4km,B地速度是每小时5km,xh后A走了km,B走了km.如果这时刚好B追上A,那么可列方程：.例2、甲、乙两人都从A地出发到B地,甲先走5km后乙再出发,甲速度是4km/h,乙速度是5km/h.如果A、B两地相距xkm,那么甲先走地时间是h,乙走地时间是h, 假设两人同时到达B地,那么可列方程：.例3、甲、乙两人同时以4km/h地速度从A地前往B地,走了后,甲要回去取一份文件.他以6km/h 地速度往回走,在办公室耽误了15min后,仍以6km/h地速度追赶乙,结果两人同时到达B地.求A、B两地间地距离.分析：你能求出第二段甲乙所用时间为h吗？假设设A、B两地间地距离为xkm,可以用表示第四段甲乙所用时间.课堂练习1：跑得快地马每天走240里,跑得慢地马每天走150里.慢马先走12天,快马几天可以追上慢马？课堂练习2：一辆每小时行30km地卡车由甲地驶往乙地,1h后,一辆每小时行40km地摩托车也由甲地驶往乙地,问卡车开出几h后摩托车可追上卡车？家庭练习：1、甲、乙两人相距18km,乙出发后甲再出发,甲在后,乙在前同向而行,甲骑车每小时行8km,乙步行每小时行5km,问甲出发几h后追上乙？2、甲每小时走5km,出发2h后乙骑车追甲.⑴如乙地速度为每小时20km,问乙多少分钟追上甲？⑵如果要求乙出发14km时追上甲,问乙地速度是多少？3、从甲地到乙地走水路比走公路近20km,上午10时,一条轮船甲地从驶往乙地,下午1时一2/3辆汽车也从甲地驶向乙地,结果汽车与轮船同时到达乙地.轮船时速20km,汽车时速60km,求甲地到乙地地水路和公路地长.4、同村地甲、乙两人都去县城,甲比乙早走1h,却迟到半小时,甲每小时走4km,乙每小时走5km.问村庄到县城地距离是多少？〔三〕环形跑道问题例1、某城举行环城自行车赛,骑得最快地人在出发后 35min就遇到骑得最慢地人,骑得最慢地人地车速是骑得最快地人地车速地5,环城一周是6km,求骑得最快地人地车速.7例2、一环形公路周长是24千米,甲乙两人从公路上地同一地点同一时间出发,背向而行,3小时后他们相遇.甲每小时比乙慢千米,求甲、乙两人速度各是多少？家庭练习：1、甲、乙两人在400m环形跑道上练竞走,乙每分钟走80m,甲地速度是乙地速度地11倍,现4甲在乙前面100m,问多少分钟后两人可首次相遇？2、运动场地跑道一圈长 400m.甲练习骑自行车,平均每分骑350m；乙练习跑步,平均每分钟跑250m.两人从同一处同时反向出发 ,经过多少时间首次相遇？又经过多少时间再次相遇？〔四〕航行〔飞行〕问题例1、一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了小时.水流速度是3千米/时,求船在静水中地平均速度.例2、一架飞机在两城之间飞行,风速为24千米/时.顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时,求无风时飞机地航速和两城之间地航程.课堂练习1：一艘船从A港到B港顺流行驶,用了5小时；从B港返回A港逆流而行,用了小时,水流速度是3千米/小时,求船在静水中地速度.课堂练习2：有A、B、C三个码头,BC相距24km,某船从B顺水而下到达A后,立即逆水而上到达C.共用8h,水流速度为5km/h,船在静水中地速度为20km/h,求A、B之间地距离.1、客机和战斗机从相距600km地两个机场起飞,30min相遇,客机顺风飞行,战斗机逆风飞行,如果在静风中战斗机地速度是客机地3倍,风速是每小时24km,问两机地速度各是多少？2、船在静水中地速度是14km/h,水流速度是2km/h,船先顺流由一码头开出,再逆流返回,假设要船在3h30min内返回,那么船最远能开出多远？3、甲船从A地顺流下行,乙船同时从B地逆水上行,12h后相遇,此时甲船已走了全程地一半多9km,甲船在静水中地速度是每小时4km,乙船在静水地速度是每小时5km,求水流地速度.〔五〕错车问题例1.甲乙两人辞别后,沿着铁轨反向而行.此时,一列火车匀速地向甲迎面驶来,列车从甲身旁开过,用了15s；然后从乙身旁开过用了17s.两人地速度都是3.6km/h,这列火车有多长？随堂练习：1．某部队执行任务,以6km/h地速度前进,通信员在队尾接到命令后把命令传给了排头,然后立即返回队尾,通讯员来回地速度是10km/h,共用7.5min,求队伍地长度．2．在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/时地轿车准备超越一辆长12米,速度为100千米/时地卡车,那么轿车从开始超越到超越卡车需要花费地时间约是多少？3．某隧道长500m,现有一列火车从隧道内通过,测得火车通过隧道〔即从车头进入入口到车尾地离开出口〕共用30s,而整列火车完全在隧道内地时间为10s,求火车地速度和火车地长.4.一列火车用26s地时间通过一个长256m地隧道〔即从车头进入隧道到车尾离开隧道〕,这列火车又以同样地速度用16s地时间通过了另一个长96m地隧道,求这列火车地长度3/3。
一元一次方程追及应用题解题技巧
一元一次方程追及应用题解题技巧概述在数学中，一元一次方程追及应用题是常见的应用题型之一。
它通常涉及到两个或多个变量之间的追及问题，需要通过建立数学模型、解方程等方法来求解问题。
本文将介绍一些解题技巧和方法，帮助读者更好地理解和解决一元一次方程追及应用题。
一、问题背景分析在解决一元一次方程追及应用题之前，首先需要明确问题的背景和条件。
通常，这类问题描述了两个物体或人以不同的速度运动，并在某一时刻相遇或离开的情况。
通过给定的条件和问题描述，我们可以建立一元一次方程来表示问题，然后通过解方程求解。
二、建立数学模型在解决一元一次方程追及应用题时，最重要的一步就是建立数学模型。
根据题目给出的条件和问题要求，我们可以得出以下一般性方程：$x=v t+s$其中，$x$表示两个物体或人的距离，$v$表示速度，$t$表示时间，$s$表示初位置。
根据题目具体的情况，我们可以确定方程中的各个参数。
三、解题步骤解决一元一次方程追及应用题的一般步骤如下：1.阅读题目，明确问题的条件和要求。
2.根据题目描述，建立数学模型，确定方程中的参数。
3.将问题转化为一元一次方程的形式。
4.解方程，求解未知数的值。
5.根据问题的要求，对结果进行判断和验证。
四、例题分析$1.$问题描述：小明以每小时$60$公里的速度骑自行车从甲地出发，$4$小时后，小红以每小时$40$公里的速度从已地出发，两人相遇于路程的$\fr ac{5}{6}$处，求甲地与已地的距离。
解题步骤：1.确定物体的初始距离和初位置：甲地与已地的距离为$x$公里，小明从甲地出发，初位置为$x$公里。
2.根据题目描述，建立小明和小红的数学模型：小明的速度$v_1=60$公里/小时，小红的速度$v_2=40$公里/小时。
小红出发后经过$4$小时，因此小红的初位置为$4\ti me s40=160$公里。
3.将问题转化为一元一次方程的形式：根据相遇时路程的$\f ra c{5}{6}$处的条件，可得方程：$\fr ac{5}{6}x=vt+s$4.解方程，求解未知数的值：将已知的数值代入方程，得到：$\f ra c{5}{6}x=60\ti me s4+160$，化简得到：$\f ra c{5}{6}x=400$5.根据问题的要求，对结果进行判断和验证：代入求解得到的结果，可得：$x=\fr ac{400\ti me s6}{5}=480$公里。
3.4-相遇、追及问题(1)
问题探究：你能利用一元一次方程解决下面的问题吗？ 在3时和4时之间的哪个时刻，钟的时针与分针： (1)重合； (2)成直角。 （3）成平角。
精讲
例题
A
分
线段图分析：
析
例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地，A车每
50 x
80千米
30 x
B
甲 第一种情况： A车路程＋B车路程＋相距80千米= 相距路程
乙
小时行50千米，B车每
小时行30千米。 （2）若两车同时相向
而行，请问B车行了多
长时间后两车相距80千 米？
解：设B车行了x小时后两车相距80千米 依题意得 50x+30x+80=240
而行，请问B车行了多
长时间后与A车相遇？
答：B车行了3小时后与A车相遇。
变式
练习
分
线段图分析： A
甲
析
1、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的 甲、乙两地，A车每小 时行50千米，B车每小 时行30千米，A车出发 1.5小时后B车再出发。
B
乙
相等关系：A车所走路程+ B车所走路程
（1）若两车相向而行，
分
析
叔叔 小王
3、小王、叔叔在 400米长的环形跑道上练 （2）同向 习跑步，小王每秒跑5米， 叔叔每秒跑7.5米。
（1）若两人同时同地反 向出发，多长时间两人
首次相遇？
（2）若两人同时同地同 向出发，多长时间两人 首次相遇？
相等关系：
叔叔路程-小王路程=400
练 习
1.小张和小王各自以一定的速度在周长为500米的跑道上 跑步。小王每分跑180米。 ①小张和小王同时从一个地点 出发，反向而行，75秒钟后两人相遇，求小张的速度？ ②小张和小王同时从一个地点出发，沿同一方向跑步，经 过多少分钟两人第一次相遇？ 2.在600米环行跑道上，兄妹两同时从同一起点都按逆时 针跑，每隔12分两人相遇一次； 若两人反向跑，则每隔4 分两人相遇一次。两人跑一圈各要几分钟？ 3.在300米长的环行跑道上，甲乙两人同时同向并排起跑， 甲平均5米/秒，乙4.4米/秒。两人起跑后的第一次相遇在 起跑线前多少米？ 4.甲乙两人环湖跑步，环湖一周长是400米，乙每分跑80 米，甲速是甲速的1.25倍 ①现两人同时向前跑，乙在甲前 方100米处，多少分钟后两人第一次相遇 ？ ②现两人同 时向前跑，甲在乙前方100米处，多少分钟后两人第一次 相遇 ？
一元一次方程追及相遇问题
一元一次方程追及相遇问题追及问题两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。
慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。
有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。
解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
基本公式有：追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间速度差×追及时间=追及（或领先）的路程追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。
如：运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）。
相遇问题两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。
这类问题即为相遇问题。
相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有：两地距离=速度和×相遇时间相遇时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。
则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。
相遇问题的核心是“速度和”问题。
利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。
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2(x+3)=2.5(x-3)
去括号，得
2x+6=2.5x-7.5
移项及合并，得 0.5x=13.5
X=27
答：船在静水中的平均速度为27千米/时。
练习：
1、一架飞机飞行两城之间，顺风时需要5小时30分钟，
逆风时需要6小时，已知风速为每小时24公里，
求两城之间的距离？
解：设两城之间距离为x 里/小时，逆风速为
相等关系：总量程=。各分量之和
精讲 例题
分
析
例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地，甲车每 小时行50千米，乙车每 小时行30千米。 （1）若两车同时相向 而行，请问B车行了多 长时间后与A车相遇？
A车路程＋B车路程=相距路 程
A 50x
30x B
甲
乙
解：设B车行了x小时后与A车相遇， 根据题意列方程得
50x+30x=240 解得 x=3
答：设B车行了3小时后与A车相遇。
精讲 例题
分
析
例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米
线段图分析：
的甲、乙两地，甲车每 小时行50千米，乙车每 小时行30千米。
A 50x
甲
80千米
30x B
乙
（2）若两车同时相向
而行，请问B车行了多 第一种情况：
长时间后两车相距80千 A车路程＋B车路程＋相距80千米=
分
析
1、 A、B两车分别
线段图分析：
停靠在相距115千米的
甲、乙两地，A车每小
分析：本题是行程问题，但涉及水流速度，必须要 掌握：顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速－水速
解：（直接设元） 设甲、乙两地的距离为x 千米 等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5 依题意得： x x 1.5 182 182
x=120 答：甲、乙两地的距离为120千米。
例1 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水 开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度为 18千米/小时，水流速度为2千米/小时， 求甲、乙两地之间的距离？
解2 设汽车行驶时间为x小时，则轮船行驶时间为 （x+3）小时。
等量关系：水路－公路=40
依题意得： 40x －24（x+3）= 40
x=7
7+3=10
40×7=280 24 ×10=240
答：汽车行驶时间为7小时，船行时间为10小时，
公路长为280米，水路长240米。
例题讲解：
例 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水 开往甲地少1.5小时。已知船在静水的速度为18千米/小时， 水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？
导入
相遇问题
想一想回答下面的问题：
1、A、B两车分别从相距S千米的甲、乙两地同时出 发，相向而行，两车会相遇吗？
A
B
甲
乙
2、如果两车相遇，则相遇时两车所走的路程与A、B 两地的距离有什么关系？
相等关系：相A等车路关程系＋：总B车量路=程各=分相量距之路和程
精讲 例题
分
析
Hale Waihona Puke 例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地，甲车每
一元一次方程相遇追及问题
一、明确行程问题中三个量的关系
三个基本量关系是：速度×时间=路程 引例：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十 时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地
驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时 24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、 公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？
公里，则顺风速为 x 公里/小时
5
x .
5
公
6
等量关系：顺风时飞机本身速度=逆风时飞机本身速度。
依题意得： x 24 x 24
5.5
6
x=3168
答：两城之间的距离为3168公里
还有其他 的解法吗？
注：飞行问题也是行程问题。同水流问题一样，飞行问
题的等量关系有：顺风飞行速度=飞机本身速度+风速
逆风飞行速度=飞机本身速度－风速
变式 练习
分
析
1、 A、B两车分别 停靠在相距115千米的
线段图分析：
甲、乙两地，A车每小
A
B
时行50千米，B车每小
甲
乙
时行30千米，A车出发
1.5小时后B车再出发。
（1）若两车相向而行， 请问B车行了多长时间 后与A车相遇？
相等关系：A车路程＋A车同走的路程 + B车同走的路程=相距路程
变式 练习
线段图分析：
A 50x
30x B
小时行50千米，乙车每
甲
乙
小时行30千米。 （1）若两车同时相向 而行，请问B车行了多 长时间后与A车相遇？
A车路程＋B车路程=相距路程
若设B车行了x小时后与A车相遇， 显然A车相遇时也行了x小时。则A车
路程为 千5米0x；B车路程
为 30千x米。根据相等关系可列出方
米？
相距路程
相等关系：总量=各分量之和
精讲 例题
分
析
例1、 A、B两车分 别停靠在相距240千米 的甲、乙两地，甲车每 小时行50千米，乙车每 小时行30千米。 （2）若两车同时相向 而行，请问B车行了多 长时间后两车相距80千 米？
线段图分析：
A
B
80千米
甲
乙
第二种情况： A车路程＋B车路程-相距80千米= 相距路程
答:甲、乙两地距离为120千米。
例 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时； 从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知 水流的速度是3千米/时，求船在静水中的速度。
解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流
速度为（x+3）千米/时，逆流速度为（x-3）千米/时。
根据往返路程相等，列得
解2 （间接设元） 设汽船逆水航行从乙地到甲地需x 小时，
则汽船顺水航行的距离是(18+2)(x －1.5)千米,
逆水航行的距离是(18 －2)x千米。
等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离。
依题意得： (18+2)(x －1.5)= (18 －2)x
(18 －2) ×7.5=120
x=7.5
解：设水路长为x千米，则公路长为（x+40）千米
等量关系：船行时间－车行时间=3小时 依题意得： 1 xx40 3
24 40 x=240
x+40=280,
280 7, 240 10 40 24
答：水路长240千米，公路长为280千米，车行时间为
7小时，船行时间为10小时
引例：从甲地到乙地，水路比公路近40千米，上午十 时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午1时一辆汽车从甲地 驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时 24千米，汽车的速度是每小时40千米，求甲、乙两地水路、 公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？