等式约束非线性规划问题的一种新算法
非线性规划算法
非线性规划算法现代数学算法的发展，使得计算机在解决多种实际问题中发挥出越来越重要的作用。
其中，非线性规划算法作为一种重要的优化算法，被广泛应用于生产、经济、地质和金融等领域。
本文将介绍非线性规划问题的定义、特点、求解方法和应用。
一、非线性规划问题的定义非线性规划问题是指在目标函数和约束条件中至少有一项是非线性函数的数学规划问题。
具体的表示形式可以是以下形式：$$\min f(x)$$$$s.t.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_i(x) \leq 0, \ \ i=1,2, \cdots, m $$$$h_j(x) =0,\ \ j=1,2, \cdots, n$$其中，$x$为决策变量，$f(x)$为目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$分别是不等式约束和等式约束条件。
二、非线性规划问题的特点非线性规划问题与线性规划问题相比，具有以下几个特点：1. 非线性规划问题的数学模型较为复杂。
在考虑实际问题时，目标函数中经常包含各种复杂的非线性函数，如三角函数、指数函数、对数函数等等。
同时，约束条件的不等式表达式也可能是非线性函数。
2. 非线性规划问题的求解难度较大。
因为非线性规划问题的目标函数和约束条件不再满足线性性质，导致求解过程中出现很多非线性优化问题。
这也意味着，非线性规划问题中需要用到高级的优化算法，这些算法的计算成本和正确性都需要严格考虑。
3. 非线性规划问题的解可能存在多个局部最优解。
相比线性规划问题，非线性规划问题的解集合往往具有多个局部最优解。
这意味着，解决这类问题时需要针对不同的局部解进行分析，从而找到全局最优解。
三、非线性规划求解方法通常情况下，非线性规划问题的求解方法包括以下几种:1. 梯度方法。
梯度方法是一种基于梯度信息的优化算法，能保证解的收敛性和稳定性。
这种方法的主要思想是通过计算目标函数的梯度信息来确定下一步迭代的方向和步长。
2. 共轭梯度法。
共轭梯度法是在梯度法基础上改进而来的算法，更加高效和优化。
Chap4约束非线性规划
--11
0
-1 0 11
x
y
2、一般约束非线性规划的最优性条件
（1）两个不等式约束的情形：（以三元函数为例）
min f ( x1, x2 , x3 ) s.t. g1( x1, x2 , x3 ) 0
g2 ( x1 , x2 , x3 ) 0
其中 f, g1, g2 均为可微函数。
g1(x)=0 x*
结合 2* 0 ，可统一写作
i* 0, i 1, 2.
(3)
总之，两个不等式约束的非线性规划问题
min f ( x1, x2 , x3 ) s.t. g1( x1, x2 , x3 ) 0
g2 ( x1 , x2 , x3 ) 0 的最优解应满足的条件为
f ( x* ) 1* g1( x* ) 2* g2 ( x* ) 0
(1)
i* gi ( x1* , x2* , x3* ) 0, i 1, 2.
(2)
i* 0, i 1, 2.
(3)
gi ( x1* , x2* , x3* ) 0, i 1, 2.
(4)
（2）一般的约束非线性规划问题
min f ( x) s.t. hj ( x) 0, j 1, 2, , l,
2 y1 )
0
L y1
2(
y1
y2 )
1(2 x1
6 y1 )
0
L z1
2( z1
z2 )
41
0,
L x2
2( x1
x2 )
2
0,
非线性规划在电力系统中的应用(新)
式中： 为由拉格朗日乘子所构成的向量
这样便把原来的有约束最优化问题变成了一个无约束最优 化问题。
采用经典的函数求极值的方法，即将L分别对变量x、u及
求导并令其等于零，从而得到求极值的一组必要条件为
Lx fxgxT 0
①
Luuf guT 0
非线性规划在电力系统中的应用(新)
概要
非线性规划问题介绍 非线性规划问题分类 在电力系统中应用——最优潮流 经典算法分析对比 结语
非线性规划
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一 个是非线性函数时的最优化问题就叫做非线性
规划问题．
一般形局式部:最优和m 全局fin X 最优解：
(1)仅有等式约束条件时的算法
对于仅有等式约束的最优潮流计算，可以表示为
min f (u, x) u
s.t. g(u, x) 0
应用经典的拉格朗日乘子法，引入和等式约束
g(u,x)＝0 中方程式数同样多的拉格朗日乘子 ,则
构成拉格朗日函数为
L (u ,x )f(u ,x )T g (u ,x )
法)
仿射尺度法 ( affine scaling )
路径跟随法
(path following , 又称原—对偶内
点算法) 。
原—对偶内点算法
一般步骤:
首先引入松弛变量,将不等式约束化为等式约
束, 然后在目标函数中引入对数障碍函数, 消除松弛变
量的不等式约束,再运用Lagrange 乘子法引入等式约束
得到了国内外学者高度评价，成为上世纪
九十年代发展最优潮流程序时优先予以选
用的算法之一。
1984年，AT&T贝尔实验室数学
非线性优化与约束优化问题的求解方法
非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。
约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。
解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。
一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。
该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。
2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。
该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。
3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。
拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。
4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。
全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。
二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。
通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。
2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。
罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。
3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。
该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。
4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。
该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。
非线性规划模型
进行分配，因而存在部分 DVD 的两次被租赁，但因为是处理 同一份订单，因而不存在会员的第二次租赁.
基于这个假设，为了最小化购买量，我们在允许当 前某些会员无法被满足租赁要求，让其等待，利用部分 会员还回的 DVD 对其进行租赁.
根据问题一，我们认为，一个月中每张 DVD 有 0.6 的概率被租赁两次，0.4 的概率被租赁一次。即在二次 租赁的情况下，每张 DVD 相当于发挥了0.6 2 0.4 1.6张 DVD 的作用.
hi
第i种油的每单位的存储费用
ti
第i种油的每单位的存储空间
T
总存储公式
由历史数据得到的经验公式为 :
min
f
(x1, x2 )
a1b1 x1
h1x1 2
a2b2 x2
h2 x2 2
s.t. g(x1, x2 ) t1x1 t2x2 T
且提供数据如表5所示：
表5 数据表
石油的
例 8．（生产计划问题）某厂生产三种布料 A1, A2, A3， 该厂两班生产，每周生产时间为 80h，能耗不得超过 160t 标准煤，其它数据如下表：
布料 生产数量（ m/ h ） 利润（ 元 / m）
A1
400
0.15
A2
510
0.13
A3
360
0.20
最大销售量（ m / 周） 40000 51000 30000
种类
ai
bi
hi
ti
1
9
3
0.50
2
2
4
5
0.20
4
已知总存储空间 T 24
代入数据后得到的模型为：
min
f
(x1, x2 )
非线性规划的理论与算法
第五章 非线性规划：理论和算法5.5 约束优化我们现在继续讨论更一般的有约束的线性优化问题。
特别的,我们考虑一个具有非线性目标函数和（或者）非线性约束的优化问题。
我们可以将这种问题表示为下面的一般形式：I∈≥∈=i x g i x g x f i i x ,0)(,0)()(min ε (5.10) 在本节的末尾，我们假设f 和i g ，i ε∈⋃I 全部是连续可微的。
拉格朗日函数是研究有约束的优化问题的一个重要工具。
为了定义这个函数，我们结合每个约束的乘子i λ——称作拉格朗日乘子。
对于问题（5.10）拉格朗日函数如下定义：∑I⋃∈-=ελλi iix g x f x L )()(:),( （5.11） 本质上，我们考虑的是目标函数违反了可行约束时的惩罚函数。
选择合适的i λ，最小化无约束函数(),L x λ等价于求解约束问题（5.10）。
这就是我们对拉格朗日函数感兴趣的最根本的原因。
与这个问题相关的最重要问题之一是求解最优问题的充要条件。
总之，这些条件称为最优性条件，也是本节的目的。
在给出问题（5.10）最优性条件之前，我们先讨论一个叫做正则性的条件，由下面的定义给出：定义5.1：设向量x 满足ε∈=i x g i ,0)(和I ∈≥i x g i ,0)(。
设J ⊂I 是使得0)(≥x g i 等号成立的指标集。
x 是问题（5.10）约束条件的正则点，如果梯度向量)(x g i ∇（i J ∈⊂I ）相互线性无关。
在上述定义中与J ε对应的约束，即满足0)(=x g i 的约束称为在x 点处的有效约束。
我们讨论第一章提到的两个优化的概念，局部和全局。
回顾（5.10）的全局最优解向量*x ，它是可行的而且满足)()(*x f x f ≤对于所有的x 都成立。
相比之下，局部最优解*x 是可行的而且满足)()(*x f x f ≤对于{}ε≤-*:x x x （0>ε）成立。
因此局部解一定是它邻域的可行点中最优的。
2022年Python数学实验与建模第3章 非线性规划
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数学建模算法与应用
第3章 非线性规划
定理 3.2（无约束优化问题有局部最优解的充分 条件） 设 f (x)具有连续的二阶偏导数，点 x*满足 f ( x* ) 0；并且2 f ( x* )为正定阵，则 x*为无约束优
化问题的局部最优解。
定理 3.1 和定理 3.2 给出了求解无约束优化问题 的理论方法，但困难的是求解方程f ( x* ) 0，对于 比较复杂的函数，常用的方法是数值解法，如最速降 线法、牛顿法和拟牛顿法等。
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数学建模算法与应用
第3章 非线性规划
定义 3.1 记非线性规划问题(3.1)或(3.2)的可行
域为 K。
（1）若 x* K ，且x K ，都有 f ( x* ) f ( x)， 则称 x*为(3.1)或(3.2)的全局最优解，称 f ( x*)为其全 局最优值。如果x K , x x*，都有 f ( x*) f ( x)， 则称 x*为(3.1)或(3.2)的严格全局最优解，称 f ( x*)为
若 f ( x)，gi ( x),i 1,2, , p和hj ( x), j 1,2, ,q中至
少有一个是 x的非线性函数，称如下形式的数学模型：
min f ( x),
s
.
t
.
gi hj
( (
x x
) )
0, 0,
i 1,2, j 1,2,
, p, ,q
(3.1)
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若 x*是问题(3.4)的局部最优解，则存在实向量
λ* [1* , 2* ,
,q* ]T Rq，使得L( x*, λ* ) 0，即
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二次规划问题的既约积极集方法
二次规划问题的既约积极集方法林述敏【摘要】讨论了一种新的求解二次规划问题的方法,即既约积极集方法.其主要思想是先用消元法消去二次规划问题中的等式约束,使其等价地化为只含不等式约束的二次规划问题,然后再用积极集方法求解.通过数值实例证明了该方法的有效性.【期刊名称】《滨州学院学报》【年(卷),期】2016(032)002【总页数】6页(P48-53)【关键词】凸二次规划;既约积极集方法;消元;不等式约束;非线性规划;算法【作者】林述敏【作者单位】曲阜师范大学管理学院,山东日照276800【正文语种】中文【中图分类】O221.2二次规划是非线性约束优化问题中最简单，也是最早被人们研究的一类问题。
目前已建立起该问题最优解的存在性条件和有效的求解算法[1]。
在众多的求解算法[1-8]中，积极集方法和内点算法是比较有效的两类算法。
现在主要考虑凸二次规划问题的积极集方法。
众所周知，有效集方法求解的缺点是在求解过程中变量比较多，从而导致计算量较大，数值效果较差。
为了克服这些缺点，现在给出一种既约积极集方法，即先用消元法把约束中的等式约束去掉，然后用积极集方法进行求解。
这样做可以使约束中的变量个数减少，从而大大减少计算量。
二次规划是最简单的非线性规划问题，形如：传统的积极集方法[1]是给出主要思想和简单迭代过程，然后给出优缺点。
为克服其求解过程中变量较多的缺点，现对上述问题进行如下转换。
任取x=bi,i∈ε的一个特解x0，则Ω=x0+N(A)。
令y=x-x0,这样，凸二次规划问题(1)等价地转化为令。
记Z为由A的零空间中的一组基组成的矩阵。
则Ay=0等价于存在z∈Rn-m 使y=Zz。
于是，优化问题(2)转化为如下二次规划问题：其中。
令，则(3)可变为其中。
为求解(4)式，首先给出求解方程组的一个特解x0的计算方法。
因为),i∈ε。
不妨取Y∈Rn×m满足AY=I，则x0=Yb就是方程组Ax=b的一个特解。
一类新的罚函数与罚算法
１ ７ １４ ； ０ ０ ０ ６ ． ０ ０ ０ ７ １ ９ １９ ）
１ ．Ｃｏｌｇ ｆＯｐ ｒｔｏ ｓａ ｄ Ｍ ａ ａ ｅ ｎ ， ｆ ｒ ｌ ｉｅｓｔ， ｆ ７ １５ Ｃｈ ｎ ； 阜 师 范 大 ｌ ｅｏ ｅａ ｉｎ ｎ ｎ ｇ ｍｅ ｔ Ｑｕｕ Ｎｏｍａ ｖ ｒｉ Ｑｕ ｕ ２ ３ ６ ， ｉａ 曲 ｅ Ｕｎ ｙ 学 运 筹 与 管 理 学 院 ，曲 阜 ， ２ ３ ６ ． ７ １５ 十 Ｃｏ ｒｓ ｏ ｄｎ ｕ ｈ ｒ通 讯 作 者 ｒｅｐ ｎ ｉｇａ ｔ ｏ
ｎ ｕｍ ｅ ｉ ａ ｘ ｒｍ ｅ ｔ ｒ ｉ ｎ． ｒｃ ｌ ｐｅ ｉ ｎ ｓａ ｅ ｇｖｅ ｅ
Ｋｅ ｙｗ ｏｒ ｄｓ Ｏｐｅ ａ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｈ，ｎ ｎｌ ａ ｏ ｒ ｍ ｍ ｉ ｇ， ｏ ｌｃ ｎｖ ｒ ｅ ｅ ｒ ｔｏ ｓｒ ｓ ａ ｃ ｏ ｉ ｎｅ ｒｐｒ ｇ ａ ｎ ｇｌｂａ ｏ ｅ ｇ ｎｃ ， ｐ ｒ ｕ ｂａ ｉｎ ｕｎ ｔｏ ｅ ｔ ｒ ｔｏ ｆ ｃ ｉ ｎ，ｐ ｎａｔ ｌ ｏ ｉｈ ｅ ｌｙ ａ ｇ ｒｔ ｍ
２ １ 年 ３月 ０１
Ｍａｃ ２ １ ｒ ｈ， ０１
运 筹 学 学 报
ｏ Ｒ ＲＡＮＳ Ｔ ＡＣＴＩ ＯＮＳ
第１ ５卷 第 １ 期
Ｖ＿１ ５ ０ ． Ｎ ｏ １ １ ．
Ａ ｅ Ｃｌ ｓ ｆＰｅ ｌｙ Ｆｕｎｃ ｉ ｎｓ Ｎ ｗ ａ ｓ ｏ ｎａ ｔ ｔｏ ａ ｎａ ｔ ｌ ｏ ｉ ｈｍ ｎｄ Ｐｅ ｌｙ Ａ ｇ ｒ ｔ
关 键 词 运 筹 学 ，非 线 性 规划 ，全 局 收敛 性 ，摄 动 函数 ，罚 算法 学 科 分 类号 （ ／ ３４—２ １０７ ＧＢ Ｔ１７５９） ． １ ４
收稿 日期 ： ２ １ ０ ０年 ９月 ３ 日． Ｔｈｓ ｒｓａｃ ｓ ｓ ｐ ｏ ｔｄ ｂ ｈ ｔ ｎ ｌ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｏ ｎ ａ ｉｎ ｏ ｉａ （０ ７ １８ ｉ ｅｅ ｒｈ ｗａ ｕ ｐ ｒｅ ｙ ｔｅ Ｎａｉ ａ Ｎａ ｕａ Ｓ ｉｎ ｅ Ｆ ｕ ｄ ｔｏ ｆＣｈｎ １９ １ １ ； ｏ
带有等式约束的非线性规划的对偶问题
带有等式约束的非线性规划的对偶问题带有等式约束的非线性规划的对偶问题是一种应用于最优化解决方案的常见方法。
这是一种相对较新的做法，它可以用来解决传统的线性规划和非线性规划问题，从而帮助建立更加综合的、有效的最优化模型和算法。
本文将介绍带有等式约束的非线性规划的对偶问题及其求解方法。
一、什么是对偶问题对偶问题是一类信息反馈型最优化问题，用来表示原始最优化问题所具有的数学特征。
它可以帮助用户准确地求解原始问题，提供有关最佳决策路径的有效信息。
二、带有等式约束的非线性规划的对偶问题带有等式约束的非线性规划的对偶问题是一类特殊的对偶问题，可以帮助用户解决各种非线性规划问题。
这些问题与普通的对偶问题相比，具有更加严格的等式约束条件和非线性规划形式。
带有等式约束的非线性规划的对偶问题由三步构成：首先，确定能够满足该规划问题的参数解空间；其次，在该参数解空间中找出所有可行解；最后，计算出最优解。
三、带有等式约束的非线性规划的对偶问题的求解方法尽管存在着许多求解带有等式约束的非线性规划的对偶问题的方法，但是其中最主要的两种方法是使用内点法和拟牛顿法。
内点法需要迭代地求解，并且要求有大量的重复计算。
它可以有效地求解带有复杂等式和不等式约束的不确定解。
拟牛顿法有两种形式：基础拟牛顿法和变异拟牛顿法，两种形式均需要迭代求解。
变异拟牛顿法可以用于求解具有多个不等式约束的非线性优化问题，并可以适用于低维的非线性优化问题。
四、结论带有等式约束的非线性规划的对偶问题是相对较新的一类优化解决方案，它可以帮助我们求解传统的线性规划和非线性规划问题。
因此，带有等式约束的非线性规划的对偶问题非常适合用于解决复杂的最优化算法问题。
求解有约束非线性规划问题的新算法
２１ ０ ０年 ６月
Ｊｎ ０ ０ ｕ ．２ １
求解 有 约束 非线 性 规 划 问题 的新 算 法
徐 裕 生 ， 英 阁 ， 佳 佳 杜 王
（ 西安建筑科技大学 理学院 ， 西安 ７０５ ） １０５
摘
要： 出了一种针对 目 函数 、 提 标 约束条件都是非线性 的非线性规划问题 的新算法。此算
中图分类 号 ： ２ ０２
Ｎ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｏ ｏｖ ｎ ｏ ｔａ ｎ ｄ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｐｒ ｇ ａ ｍ ｉ ｇ ｐ ｏ ｌｍ ｓ ｗ ｌｏ ｉｈｍ ｆ ｒ ｓ ｌｉ ｇ ｃ ｎｓｒ ｉ ｅ ｏ ｌｎ ａ ｏ ｒ ｍ ｎ ｒ ｂｅ
Ｘ ｕ ｓｅ ｇ Ｕ Ｙ ｎ —ｅ ＷＡ Ｇ Ｊａ ｉ Ｕ Ｙ — ｎ ，Ｄ ｉｇｇ ， Ｎ ｉ— ａ ｈ ｊ
法通 过处理 从原 问题 中得 到 的若 干 个 线性 规 划 来
求解非线性 问题 ， 而直接算法则直接处理原问题 。
Ｆａｋ和 Ｗｏｅ曾于 １５ ｒｎ ｌ ｆ ９ ６年 提 出 了求 解 非 线 性 规
划 问题 的算 法 （ 简称 为 Ｆａ ｋＷｏ ｅ 法 ） 此 算 法 ｒ — ｌ方 ｎ ｆ ，
目前 ， 求解 非 线 性 规 划 问 题 已经 有 很 多 的 对
性规 划 问 题 转 化 为 近 似 线 性 规 划 问 题 模 型来 求 解， 不用求 导 ， 算 较 简 单 ， 所 得 的 解 是 原 问 题 计 但 的近似解 。
算法 ， 通常可分为 间接算法 和直接算法 。间接算
法主要 是 ｆ用 可分 离函数 和近似 求 解 的思 想 来 求解 问题 。数 值 计 算 结果 显 示 ， 方法是 可行 和 ｔ ． ４ 该
有 效的 。
最优化方法 第三章(二次逼近法)
min s.t.
ci x ci x
1 T Q(d ) d Bk d f ( x k )T d 2
k T
d ci x k 0, i I m 1,..., p
k T
d ci x k 0, i E 1,..., m .
基本思想：将问题转化为求解一系列的二次规划子问 题。从已知点和近似乘子向量进行迭代，由二次规划 问题计算出的结果对迭代过程进行更新。
s.t.
三、二次逼近法 等式约束问题 由等式约束K-T条件，有
f x hE x 0,
T
即
hE x 0.
T x L x , f x A x F x, 0. hE x hE x
d,
T
k W x k , λ k A x k T d f x k A xk h x 0 E
一般约束问题
min s.t.
f (x), ci x 0, i I m 1,..., p ci x 0, i E 1,..., m .
x 1 不是原二次规划问题的可行解，令
，显然为函数值下降方向。但在 x1
1
d 1 x 1 x1
沿 d 趋向
T a 某些不等式约束 i x bi , i t 1, t 2,..., p ，设
x
1
的过程中，不满足原二次规划问题的
在移动的过程中，最先遇到某个不等式约束，对应 的下标为 l ，相应的交点记为 x ，x 点处对应的有
二次规划问题的一种可行方向算法
ｋ ， Ｅ 有 ＋ Ｓ； ｄ ∈
（） ４ Ｖｆ（ ） ｄ＜０ 。
定理 ２
设 厂 Ｅ 一 Ｅ１ ： 在 ∈ Ｅ 可微 。如
果存 在 向量 Ｐ∈Ｅ ， 得 Ｖｆ（ ）Ｐ＜０ 则 Ｐ必 为 使 ， 厂 ） （ 在点 处 的下 降方 向。 定义 １ ［ 设 ｓ 非 空集合 ， ｃＥ 是 点 Ｅ ＣＳ １ 。 若对 于某一 个非 零 向量 ＰＥＥ ， 在 一 数 ＞０ 使 存 ，
［ 收稿 日期］ ２ １ —１ ５ ０ １ ２—２ ［ 基金项 目］ 石家庄学院 自然科学基金（０ Ｎ ０ ） １ Ｑ ０ ４ ［ 作者简介 ］ 杭海霞 （９ ２ ， ， １８ 一）女 江西应用技术职业学 院工商管理系助教 ， 研究 方向 ： 数学规划 。
２Ｉ ０ ２年 ４月
廊坊师范学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕｎ ｆ ａ ｇａｇＴ ａｈｒ Ｃ Ｈｇ（ ａｕａ Ｓｉ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｏ ｎｆｎ ｅｃｅｓ ｏｅｅ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ ） ｌ Ｌ ｅ ｉ
Ａｐｒ ２ ２ ． ０１
第 １ 第 ２期 ２卷
Ｖｏ ． ２ ＮＯ． １１ ２
ｔ ｅａ ａｌｂ ｌ ｙ ｏ ｈ ｓａｇ ｒｔ ｍ ． ｈ ｖ ａ ｉｔ ｆｔ ｉ ｌｏ ｉ ｉ ｉ ｈ
【 ｅ ｏ ｓ ｑａｒｉｐｏｒ ｍｎ ｏｌ ｆ ｉｅ ｉ ｔｎ ｇｒｈ ｓ ａｃ ａ ｅ ｉ ｅｓｎ ｅｒ ｅ ｏ；ｅ— Ｋ ｙ ｒ 】 ｕｄａｃ ｒｇ ｍ ｉ ｐ ｂ ｍ；ｅ ｂ ｒ ｉ ｏ ｔｍ ； ｃ ｒｔｏ ｍ ｎｉ ａ ｈ ｔ ｄ ｆ ｗ ｄ ｔ ａ ｇｒ ｅ ｓ ａ ｌｄｅ ｏ ａ ｉ ｃ ｌ ｕ ｅ ｎｄ ｏｓ ｃｍ ｈ ａ
一非线规划问题的几种求解方法1罚函数法外点法
第三步：主程序main1.m
%最速下降方法实现一个非线性最优化问题 % min f(x)=2*x1^2+x2^2 global x0 x0=[ 1 1 ]; yefi=0.0001; k=1; d=-fun1gra(x0); lamada=1;
主程序main1.m（续）
while sqrt(sum(d.^2))>=yefi
对参数nonlcon的进一步示例
x12 x22 x32 100
x12 10x32 60
x1 x22 Leabharlann 3 802个不等式约束，x13
x
2 2
x3
80
2个等式约束
3个决策变量x1，x2，x3 如果nonlcon以‘mycon1’作为参数值，则程序 mycon1.m如下
对照约束条件编写myfun1.m
一、非线性规划问题的几种求解方法 1. 罚函数法（外点法）
min f (x) s.t. gi (x) 0(i 1,2,, m)
h j (x) 0( j 1,2,,l)
基本思想： 利用目标函数和约束函数构造辅助函数：
F(x,) f (x) P(x)
要求构造的函数 F(x, ) 具有这样的性质：当 点x位于可行域以外时，F(x, )取值很大，而
离可行域越远则越大；当点在可行域内时，
函数 F(x, ) f (x)
因此可以将前面的有约束规划问题转换为下 列无约束规划模型：
min F(x,) f (x) P(x)
其中称为 P(x)罚项， 称为罚因子，
F (x, ) 称为罚函数。
P( x) 的定义一般如下：
m
l
P(x) (gi (x)) (hj (x))
越是接近极值点，收敛越慢；
线性等式约束非线性规划问题的改进算法
２２ 对 问题 （ １的算法 １ ． Ｐ）
．
Ｓｅ １给 出初始 可行 点 ， 许误 差 ６ ０令 ｋ Ｏ ｔｐ ： 允 ＞ ． ＝．
Ｓｅ ２ 分解 Ａ＝ Ｂ， ） 其 中 Ｂ是 ４ 中的 １ ｍ 阶非 奇异 矩 阵 ， ｔｐ ￣ （ ／ ， ｖ 个 用 表示 Ｂ在 中的列 号组 成 的集 合 ，
即 ／ ｛ ，， ， ｝用 表示 Ⅳ在 Ａ 中 的列 号组 成 的集合 ， ｋ ｉｉ … ｉ ； ＝ ｚ ｍ 即 ＝ 。 … ）且 ｕ ＝，２ … ，｝ √， ； ｛，， ．
的 非线性 规 划 问题 提 出了一种新 算 法 ． 以 实例说 明 此算 法的 有效性 ． 并 关键 词 ： 线性 等 式约 束 ； 线性规 划 ； 非 精确 一 维搜 索 ； 可行 下降方 向
中图分 类号 ： ２ ０１２ 文献 标识 码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ３ １ ７ （ ０ ２ ０ — ０ ３ ０ １７ — ９ ２ ２ １ ） ３ ０ ４ — ４
石家庄学院学报
２１ ０ ２年 ５月
其 中 ｍ＋ ＝ｔ且 变量下 标不 一定 连续 ． ｐｒ 。
下面我们来确定问题 （ １ Ｐ） 个可行下降方向． 的 设 是问题（ ， Ｐ） 的可行解 ， 由上面假设 ， 可以分解 Ａ （ ， ）Ｘ＝ ｘ ， Ｔ ， ＝Ｂ Ｎ ，Ｔ（ Ｔｘ ）其中 Ｂ是 ｍ ｍ可逆矩阵．由 Ｘ 于问题（ 。 Ｐ） 是属于（ ） Ｐ 的类型 ， 于是 由定理 １ ， 知 若非零向量 ｄ 满足 ａ ＝ ， ｄ Ｐ） ｄ Ｏ 则 是（ 。 的可行方向． 同时还 若
满足Ｖ （ Ｔ＜ ， ｄ ｆＸ） Ｏ 则 就是 （。 ｄ Ｐ） 在点 处 的可行下降方 向．
变分不等式理论
变分不等式理论变分不等式，又称优化不等式，是非线性算法领域最重要的理论之一。
该理论可以用来求解凸优化问题、线性规划问题和非线性规划问题，是数学和统计领域中重要的理论基础。
变分不等式解决的问题可以归纳为求解变分不等式的最优值。
变分不等式可以用来求解凸优化问题、线性规划问题和非线性规划问题，以及约束条件下的最优值问题。
变分不等式提出的变分原理是数学和统计领域中重要的理论基础。
变分不等式可以划分为一下几类：线性变分不等式、角变分不等式、非凸变分不等式、距离变分不等式和未知函数变分不等式。
线性变分不等式是线性规划中最常用的变分不等式，它可以用来描述一个函数的最大值或最小值的不等式约束条件。
角变分不等式是用在几何中的变分不等式，用来表示多边形内角的等式或不等式约束条件。
非凸变分不等式指的是函数的“非凸”的一面，用来表示一个函数的最大值或最小值的不等式约束条件。
距离变分不等式是一种比较强大的变分不等式，用来描述几何中多点之间距离的大小。
未知函数变分不等式则是变分不等式理论中最复杂的一类，用来求解未知函数和不明确函数的最优值。
变分不等式理论的发展为数学和统计领域的研究提供了重要的理论支持。
它为解决优化问题提供了新的思路和方法，也为数学和统计分析提供了新的数学框架。
变分不等式理论涉及到多个学科，包括数学、物理、工程学等，它在计算物理学、机器学习、计算神经网络等领域中有广泛的应用。
变分不等式理论的研究发展是一个多学科交叉领域，由于计算机科学的快速发展，变分不等式理论也受到越来越多的关注。
研究者通过不断完善变分不等式理论，在函数优化、多目标优化和机器学习等领域都取得了重要的突破，为解决实际问题提供了重要的理论支撑。
今后，变分不等式理论将继续发展，将越来越广泛地应用于实际问题的解决中。
解决实际问题的关键在于深入了解变分不等式的基本思想，提出更精确的变分不等式模型，并应用算法和计算技术解决复杂的优化问题。
未来，随着算法技术的进一步发展，变分不等式理论的研究也将不断拓展，以期解决更多的实际问题。
内点法迭代原理及工程实例求解应用
内点法迭代原理及工程实例求解应用摘要：内点法是一种求解线性规划和非线性规划问题的多项式算法，其迭代次数与系统规模关系不大。
目前，内点法被扩展运用于求解二次规划模型，其计算速度和处理不等式约束的能力已经超过了求解二次规划模型的经典算法。
本文主要介绍线性规划中内点法的运用以及对工程实例的计算，并且分析了如何运用内点法迭代原理得到最优解。
关键字：线性规划问题；内点法；最优解；二次规划；1 引言1984年，Karmarkar发现了一个关于求解线性规划的方法，这个方法称作内点法。
内点法是罚函数中的一种，与外点法的最大的区别在于该方法利用罚函数生成一系列内点来逼近原约束问题的最优解。
罚函数的作用是对企图脱离可行域的点给予惩罚，相当于在可行域的边界设置了障碍，不让迭代点穿越到可行域之外。
内点法在迭代中总是从可行点出发，并保持在可行域内部进行搜索。
后得出最优解。
对于不等式约束的最优化问题，比较适合用内点法来解决。
经过实际计算结果得出内点法与单纯形法存在着很大的可比性。
在线性规划问题中，内点法比起单纯形法来说迭代次数更少，所以计算速度更快，从求得的结果来看，收敛性也比较好。
内点法中比较常用的方法是最速下降法和牛顿法。
最速下降法在解析法中是属于比较古老的一种，受该方法的启发，渐渐得到了其他不同的解析方法。
最速下降法每次迭代的计算量很小，解法简单。
如果从一个不好的初始点出发，也能收敛到局部极小点。
迭代原理的应用对于解决线性规划和非线性规划问题中具有至关重要的作用。
2 内点法2.1运筹学运筹学[1]到现在都没有一个相对比较统一的定义，这正是因为它使用的复杂性以及使用的广泛性，也凸显出了它另一方面的独特魅力。
以下是我查阅大量书籍后对运筹学所给出的定义：运筹学是一门在现有的技术及理论条件下，对问题现状的分析强调最优化决策的科学方法。
运筹帷幄之中，决胜千里之外这其中的运筹两字是赤壁之战的核心与关键，是整个战争通敌制胜的法宝。
优化设计-fmincon函数介绍-序列二次规划(SQP)-subspace trust region-active sett
e
i me 1
ri max{0, gi ( x)}
(7)
• 式中:
1 ri (rk 1 )i max{i , ((rk )i i )} i 2 i 1,..., m
• 另外两种算法subspace trust region(信赖域反射算法)， active set(有效集算法) 对于大规模问题，fmincon采用了subspace trust region(信 赖域反射算法)优化算法。这种算法是把目标函数在点x的邻 域泰勒展开（x可以认为是人为提供的初始猜测），这个展 开的邻域就是所谓的trust region，泰勒展开进行到二阶项为 止：
Ai d bi , i me 1,..., m
• (3) 一维搜索和目标函数计算 • 求解QP子问题会得到一个向量 ，由它可以得到新的迭代 如式(4) ,的每次 • 取值必须保证指标函数有足够的减小量, 这里的目标函数 如式( 7) 所示: • m m
L( x, r ) f ( x) ri gi ( x)
fmincon函数
功能：求多变量有约束非线性函数的最小值。 数学模型： min F(X) subject to: A*X <= B, Aeq*X = Beq (线性约束) C(X) <= 0, Ceq(X) = 0 (非线性约束) LB <= X <= UB 其中，X, B, Beq, LB,和UB为向量， A 和 Aeq 为矩阵， C(X) 和 Ceq(X)为函数，返回标量。f(x), c(x), 和 ceq(x)可以是非线性 函数。 • • • •
•
如前所述，原问题转化后的直接求解仍然是无法忍受的， 通过进一步近似subspace trust region将这个问题局限在 trust region的二维子空间内求解。
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（ ｅｔ ｆ ｒｎｐ ｒ ｔ ｎＭａａｅ ｅ ｔ ｅ ｏ ｇ ａ ｇＣ ｍ ｕ ｉ ｔ ｎ ｏ ｔ ｈ ｉ，Ｑ ｑｈｒ１ １０ ，Ｃ ｉａ Ｄ ｐ．ｏ ａ ｓｏｔ ｉ ｎ ｇｍ ｎ，Ｈ ｉ ｎｊ ｎ ｏ ｍ ｎ ａ ｏ ｓＰ ｌ ｅ ｎｃ ｉｉａ ６ ０ ０ ｈｎ ） Ｔ ａｏ ｌ ｉ ｃｉ ｙｃ
作者简介：龚晓岚 ， 硕士 ， 副教授 ， 主要研究方 向为最优化
Ｅ－ ｉ：ｇ ｎ ｘａ ｌｒ ０ ４＠ １ ３． ｏ ｍａ ｌ ｏ ｇ ｉ ｏａ ｔ ０ ２ ｃ ｍ ６
南京工程学 院学报 （ 自然科学版 ）
６
２ １ 年 ３月 ０１
¨ 处 关 于 的海 色 （ ）矩阵 ｘ Ａ ）是 拉 格 朗 ｌ ｂ ｋ Ｅ 函数 （ ）在 （ ＾Ａ 她 大 １ 州 ＬｘＡ ， ， Ｗ （
步骤 ４ ： ＋ Ａ ＝Ａ ｄ ； 川 ＋面 ： ； ＋１ 转步 骤 ２ ； ‘
３ 算法 的收敛性分析
定理ｌ 设厂 ） （） （ 和ｃ 二次连续可微， 果矩阵 ｖ 直 口
第 ９卷第 １ 期
龚晓岚 ： 等式约束非线性规划问题的一种新算法
７
Ｉ Ａ ｆ Ａ 一‘ ｌ ｗ
．
解 给 定 初 始 解
＝ （ ， ， ） Ａ ＝ ０ 运 用 本 文 算 法 求 解 ， 过 一 次 迭 代 输 出 结 果 － ＝ １ １ １ ， ， 经 Ｘ
Ｗ（ ， ｄ ＋ ７ （ Ａ）＾ ｆ ｘ ）＝Ａ（ ）Ａ
方程
令 ： 一Ａ ， 于是有 （ ， ６ ）满 足 （ ） ｄ ， ｖＰ（ ｋＡ ）：一２ ｘ ， ｘ ， Ｐ（ Ａ ）≤ ０ 其 中 Ｐ ， ） ： ｌ ｖ （ （ Ａ ｌ ｆ ）一Ａ（ Ａ ） ＋ ｌ ）ｌ ｌ ｃ（ １ 为罚 函数 ・ ３ ）口 ∈ （ ， ） ：１ 检 验 ０１ ， ， Ｐ ＋ Ａ （ ｄ ， ＋
‘
）≤ （ １一卢 Ｐ（ ，＾ ） Ａ ）
是 成 ．成 则 下 步否 令 詈重 此 ，到 到 优 长 ・ 否 立若 立 转 一 ，则 ＝ ，复 步直 得 最 步
４ ）令 迭代
＋ ： ｌ ＋ａ Ａ ＋ ｄ ； ｌ＝ Ａ ＋ 面 ； ＝ ＋ １ ：
．
满 足终止 条件 ： ， Ｐ（ Ａ ）≤ ８ 止 迭代 ， 到 近 似最 优解 Ｘ＋； 则 ， 复 上述 步 骤 ， 到 满足 精 度要 求 ， 得 ｋｌ否 重 直
为止．
２ 算 法
步 骤 １ 给 出 。 ｎ， ｍ卢 ∈ （ ，） ≥０ ｊ ∈Ｒ ，ｔ∈ ， Ａ 。１， ，：＝１计算 ｃ ；
Ａ
） ，
）ｗ（ ， ， ）和 ， Ａ ）ｃ（
假， ， 笛 ．口 Ｐ ， Ｉ 则停 ， 出结果 ： ； 电 果 ｆ Ａ ）≤ 输 否则应 用二 次规划 问题 的降维算 步骤 ２ 计算 （ Ａ ） 如 果 Ｐ ｋＡ ）≤ 则 停 ， 出结果 Ｐ ｘ ，＾ ； （ ，ｋ 输 ； 仃则 川一 叭 刖 … ～ 。
Ａｂｓｒ ｃ ： ｅ ｕ ｎｔ ｌｑ ｄｒｔｃ ｐｒｇ ａ ｔ ａ ｔ Ｓ ｑ ｅ ｉ ｕａ ａｉ ｏ ｒ ｍｍ ｉｇ ｉ ｓ ｄ ｏ ｐ ｏ ｌｍ ｓｏ ｏ ｌｎｅ ｒｐ ｏ ｒ ｍｍｉ ｇ ｏ ｑ ａ ｉ ｏ ｓｒ ｉｔ ｎ ｈ ｎ ａ ｎ ｓｕ ｅ ｎ ｒ ｂ ｅ ｆｎ ｎ ｉ ａ ｒ ｇ ａ ｎ ｆｅ ｕ ｌｔ ｃ ｎ ｔａｎ ｓａ ｄ ｔ ｅ ｙ ｄｍ ｅ ｉｎ ｄ ｓ ｅ ｄｉｇ ａｇ ｒｔ ｉ ｎｓｏ ｅ ｃ ｎ ｎ ｌ ｏ ｉ ｈｍ ａ ｈｅ ｌ ｓｉ ｇ ａ ｇ Ｎｅ ｏ ｔ ｏ ｒ ａ ｐｅ ｔ ｗｏ ｋ ｏ ｔ ｎ ｔｒ ｔｖ ｓ ｌ ｉｎ ｎｄ ｔ ｃａ ｓｃ Ｌａ ｒ ｎ ｅ ｗｔｎ ｍｅ ｈ ｄ ａ ｅ ｄｏ ｔｄ ｏ ｒ ｕ ａ ｉｅａ ｉｅ ｏｕｔ ｏ
【一ａ（ ｘ）
一
（ ２ ）
０ Ｊ
致有界 ， ｛ ， ） 则 （ ｝的任 何 聚点都 是方程 Ｐ（ Ａ）＝０的根． ，
定理 ２ 设＿ 和 ｃ ） 厂 （ ） （ 二次连续可微 ， 如果矩阵（ ） ２ 一致有界 ， 则由该算法所产生的点列 ｛ ｝ 之任
一
聚点都 是 问题 （ Ｐ ）的 Ｋ ｒ点． —，
１ 非 线 性 规 划 问题
考虑下 列非 线性规 划 问题
）ｔ ） ｛ ＿ ｓ 。 ．
式 中 ： Ｒ为二 阶连 续可微 函数 ； Ｒ 尺一 Ｃ： 一 Ｒ ， ≤ ｎ为二 阶连续 可微 的函数 ；Ｐ ）的最优值 存在 （ ｍ （。 即
有限） ．
假定 ：
收 稿 日期 ： ０ １ ０ ２ １ — １—１ ； 回 日期 ： ０ １— ２— ５ １修 ２ １ ０ ２
关键词 ： 等式约束； 非线性规划 ； 降维算法 ； 最优 解
中 图分 类 号 ： ２ １２ ０ ２ ．
Ａ ｗ ｇ ｒ ｔ Ｎｅ Ａｌ ｏ ｉｈｍ ｏ ｎ ｉ ｅ ｒ Ｐｒ ｇ ａ ｍ ｉ ｏ ｌ ｍ ｓ ｆ ｒ Ｎｏ ｌｎ ａ ｏ ｒ ｍ ｎｇ Ｐｒ ｂ ｅ ｏ ｆ Ｅｑｕ ｌ ｙ Ｃｏ ｔ ａ ｎ ｓ ａ ｉ ｎｓｒ ｉ ｔ ｔ
关 于算 法 的收敛 速度 ， 有如 下结果 ．
定理 ３ 设 该算 法产生 的点 列收敛 于 ， 如果Ｌ ） Ｃ Ｘ 厂 和 （ ）在 附 近三次 连续 可微 ， ） 列满 （ Ａ（ 是 秩， 而且在 处 二阶充 分条 件满 足 ， 则必 有 一 Ａ 且 ，
二 ０ 二｝ ＝（ ＝） （ ： Ｉ ＝ ｛ ）
摘 要 ： 有 等 式 约 束 的 非 线 性 规 划 问 题 序 列 二 次 化 ， 利 用 二 次 规 划 问题 的 降 维 算 法 与 经 典 的 Ｌｇａｇ－ ｅ ｔ 把 再 ａｒｎｅＮ ｗｏ ｎ
法 结合 ， 代 求 解 ， 而获 得 具 有 等 式 约 束 的 非 线 性 规 划 问 题 的一 种 新 算 法 ， 一 定 程 度 上 降 低 了计 算 的 复 杂度 ， 迭 从 在 提 高 了算 法 的效 率 ， 且初 始 点 的选 取 较 灵 活 ， 于 许 多 实 际 问题 ， 将 前 状 况作 为 初 始 点 ， 此 该 算 法 的 应 用 并 对 可 因 性 很 广． 最后 给 出 了具 有代 表 性 的算 例 ， 一 定 程度 上验 证 了算 法 的 可行 性 与 有效 性 ． 在
，
．
Ｔｈｅｅｏ ｅ， ａ ｎ ｗ ｌ ｏｉｈｍ ｏ ｎｌｎ ａ ｒ ｇ ａ ｒ ｆｒ ｅ ａ ｇ ｒｔ ｆｒｎｏ ｉ ｅ ｒｐ ｏ ｒ ｍｍｉ ｏ ｅ ｆｅ ｕ ｌｔ ｏ ｓｒ ｉ ｓ ｉ ｅ ｃ ｅ ｎｇ ｐｒｂｌｍｓ ｏ ｑ ａ ｉ ｃ ｎ ｔａｎｔ ｓ ｒ ａ ｈ ｄ ｗｈｉｈ ｔ ｎｓ ｏ ｔｔ ｅ ｙ ｃ ｕｒ ｕ ｏ ｂ ｒ ａ ｏ ａ ｌ ｆｅ ｔｖ ， ｐａ ｔｃ ａ ｌ ｎ ｉ ｌｆｉ ｇ ｏ ｅ ｓ ｎ ｂ ｙ ｅｆｃ ｉｅ ｒｉｕｌｒｙ ｉ ｓｍｐｉｙ ｎ ｃ ｍｐｕａ ｉｎ． Ｍｏ ｅ ｖ ｒ ｉ ｐ ｏ ｅ ｅａｉ ｅｙ ｆｅ ｉ ｅ ｉ ｅ ｍ ｓ ｆ ｓ ｌｃｉ ｇ ｔｔｏ ｒ ｏ ｅ ， ｔ ｒ ｖ ｓ ｒ ｌｔｖ ｌ ｘｂｌ ｎ ｔｒ ｏ ｅｅ ｔｎ ｌ ｉ ｉｉｌｐ ｉ ｓ Ｆｏ ｘ ｍｐ ｅ ｃ ｒ ｎ ｉｕ ｔｏ ａ ｅ ｃ ｎ ｉｅ ｅ ｓａ ｎ ｔ ｌｐ ｉ ｎｔａ ｏｎｔ． ｒｅ ａ ｌ ， ｕｒｅ ｔｓｔａｉ ｎ ｃ ｎ ｂ ｏ ｓｄ ｒ ｄ ａ ｎ ｉｉｉ ｏｎｔｗｈｅ ｄｄ ｅ ｓｎ ａ ｔｃ ｌｐ ｏ ｌ ｍｓ Ａｓ ａ ｎ ａ ｒ ｓ ｉｇ ｐｒｃｉ ａ ｒ ｂ ｅ
第 ９卷
第 １期
南 京 工 程 学 院 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ａｊｎ ｎｔｕｅｏ ｅｈ ｏ ｇ （ ａｕａ Ｓｉｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｎｉｇＩｓｔｔ ｆ ｃｎ ｌ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏＮ ｉ Ｔ ｏ ｉ
Ｖｏ． Ｎｏ １ ９． ．１
Ｍ ａ ．，２０１ ｒ １
２１ ０ １年 ３月
文章 编 号 ：６ ２— ５ ８ ２ １ ） １ ０ ０ ０ １７ ２ ５ （０ １ ０ — ０ ５— ４
等 式 约 束 非 线 性 规 划 问题 的 一 种 新 算 法
龚 晓岚
（ 黑龙 江 交通职 业技 术 学院运输 管理 系，黑龙 江 齐齐哈 尔 １ １０ ） ６００
．
ａ ｒ ｓ ｔ ｔ ｉ ａｇ ｒｔ ｍ ｃ ｎ ｅ ｗｉ ｌ ｕｓｄ． Ｆｉａ ｌ， ｓ ｍｅ ｅ ａ ｌ ｓ ｒ ｐ ｅ ｅ ｔｄ ｅ ｕｌ， ｈｓ ｌｏ ｉｈ ａ ｂ ｄｅｙ ｅ ｎ ｌｙ ｏ ｘ ｍｐ ｅ ａｅ ｒ ｓ ｎｅ ｗｈｉｈ ｒ ｖ ｔ ｔ ｈ ａｇ ｒｔ ｍ ｉ ｃ ｐ ｏ ｅ ｈａ ｔ ｅ ｌｏ ｉｈ ｓ ｗｏ ｋ ｂ ｅ ａ ｄ ｅｆｃｉ ｅ ｒ ａ ｌ ｎ ｆｅ ｔｖ ． Ｋｅ ｒ ： ｅ ｕａｉｙ ｃ ｓｒｉ ｔ ｎ ｎｌｎ ａ ｒ ｇａｍｍｉ ； ｄｉ ｎｓｏ ｅ ｃ ｎ ｎ ｌｏ ｉｈｍ； ｏ ｉ ａ ｏ ｕ ｉｎ ｙ ｗｏ ｄｓ ｑ ｌｔ ｏｎ ｔａｎ ； ｏ ｉ ｅ ｒｐ ｏ ｒ ｎｇ ｍｅ ｉｎ ｄ ｓ ｅ ｄｉｇ ａ ｇ ｒｔ ｐｔ ｌｓ ｌ ｔｏ ｍ
（ ）Ｖ ｃ ‘ ’ ‘ ・
１ ）考 虑原 问题 的如下 二 次子 问题 ：
（２ Ｐ）
【 ｓ．（ ＋ （ ） ０ ．Ｃｘ） Ａ ｘ ｔ ｄ＝
式 中
Ｒ
２定 迭 ｘ：∈，二 划 的 算 解２ ‘ 一 ） 当 代 应 次 问 降 求Ｐ 给 前 点∈， Ｒ用 规司 维 舟） 用 ｌ 异 牛 Ａ 答 题 水 （ 入 ‘
Ｉ ＋一 『＝Ｄ Ｉ — 『 Ｉ ． ｌ． 。 ｌ （ ｌ 』， 兀 一 Ｉ ）
４ 应 用 算例
例 １ 求３ ｆ
ｔ ｔＣ ） ＝ ｌ＋ ｓ ． （ ２＋ ３— １ ＝０
为 分析迭 代点列 ｛ ｝的收敛速 度 ， 给 出如下结 果． 先
引理 在定理 ３的假 定 下 ， 有 ＋ １＝Ｏ Ｊ 一Ｘ Ｉ ） （１ ｌ