数学建模零件参数的优化设计

数学建模零件参数的优

化设计

IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

零件参数的优化设计

摘要

本文建立了一个非线性多变量优化模型。已知粒子分离器的参数y由零件参数

)7

2,1 (

=

i

x

i 决定，参数

i

x的容差等级决定了产品的成本。总费用就包括y偏离y0造

成的损失和零件成本。问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。经过对模型以及matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为秒。最终计算出的各个零件的标定值为：

i

x={,,,,,,},

等级为：B

B

C

C

B

B

B

d,

,

,

,

,

,

=

一台粒子分离器的总费用为：元

与原结果相比较，总费用由（元/个）降低到（元/个），降幅为%，结果是令人满意的。

为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容易推广。

关键字：零件参数非线性规划期望方差

一、问题重述

一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的３倍。

进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。

试通过如下的具体问题给出一般的零件参数设计方法。

粒子分离器某参数（记作y ）由7个零件的参数（记作x 1,x 2,...,x 7）决定，经验公式为：

y 的目标值（记作y 0）为。当y 偏离y 0+时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y 偏离y 0+时，产品为废品，损失为9,000元。

零件参数的标定值有一定的容许范围；容差分为Ａ、Ｂ、Ｃ三个等级，用与标定值的相对值表示，Ａ等为+1%，Ｂ等为+5%，Ｃ等为+10%。7个零件参数标定值的容许范围，及不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号／表示无此等级零件）：

现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x 1=,x 2=,x 3=,x 4=,x 5=,x 6=16,x 7=;容差均取最便宜的等级。

请你综合考虑y 偏离y 0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？

二、模型假设

1、将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；

2、假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；

3、假设小概率事件不可能发生，即认为各零件参数只可能出现在容许范围内；

4、在大批量生产过程中，整批零件都处于同一等级，。本题可认为1000各零件都为A 等、B 等或C 等；

5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；

6、在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。

三、符号说明

i x ：第i 类零件参数的标定值（i=1,2……7）；

i x ∆：第i 类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i=1,2……7）；

i r ：第i 类零件参数的容差（i=1,2,……7）；

i σ：第i 类零件参数的方差（i=1,2,……7）；

i i b a ,：标定值i x 的上、下限；

y ：离子分离器某参数的实际值；

y：离子分离器该参数的目标值；

y：离子分离器某参数的均值；

y∆：离子分离器某参数的实际值y相对平均值y的偏差；

σ：离子分离器某参数的方差；

y

P:一批产品中正品的概率；

1

P:一批产品中次品的概率；

2

P:一批产品中废品的概率；

3

W：一批产品的总费用（包括损失和成本费）；

C：第i类零件对应容差等级为j的成本（j=A,B,C）单位：元/个。

ij

四、问题分析

布，联想正态分布的性质——当各变量均服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。题中所给经验公式为一复杂的非线性的公式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。而对于零件成本，需先确定容差等级才能求得成本费。由容差等级和各类零件的标定值i x 便可知道给类零件的容差i r 。最后，便将问题转化为i x 、i r 关于总目标函数的最优解的问题上。

在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小（即精度越高）零件成本越高。 合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：

（1）设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许范围。

（2）零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。

此外分析零件的成本及产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。

五、模型建立

为了确定原设计中标定值（x i i (,,,)=127 的期望值）及已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失W ，即确定y 偏离目标值y 0所造成的损失和零件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：

当然，为了确定总损失W ，必须知道1P 、2P 、3P （即正品、次品及废品的概率）。为此，将经验公式用泰勒公式在)72,1( ==i x X i 处展开并略去二次以上高次项后来研究y 的概率分布，设y x f =)(，则