最新八年级数学-一元二次方程知识点总结及典型习题

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金老师复习(2) 一元二次方程

(一)、一元二次方程的概念

1.理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式02=++c bx ax (a>0);

2.正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

(1)明确只有当二次项系数0≠a 时,整式方程02

=++c bx ax 才是一元二次方程。

(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).

3.一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解

(二)、一元二次方程的解法

1.明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解;

2.根据方程系数的特点,熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程;

3.值得注意的几个问题:

(1)开平方法:对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.

形如n x =2的方程的解法:当0>n 时,n x ±=;当0=n 时,021==x x ;当0

(2)配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程,再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤:

①移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边;

②“系数化1”:根据等式的性质把二次项的系数化为1;

③配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为n m x =+2)(的形式;

④求解:若0≥n 时,方程的解为n m x ±

-=,若0

ac b b x 242-±-= 当042>-ac b 时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;

当042=-ac b 时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为a b x x 221-

==; 当042

<-ac b 时,方程无实数根.

公式法的一般步骤:①把一元二次方程化为一般式;②确定c b a ,,的值;③代入ac b 42-中计算其值,判断方程是否有实数根;④若042≥-ac b 代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。

(4)因式分解法:

因式分解法的一般步骤:

若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零;把方程的左边分解因式;令每一个因式都为零,得到两个一

元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

(三)、根的判别式

1.了解一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情况,并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。(1)∆=ac b 42-

(2)根的判别式定理及其逆定理:对于一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )

①当⎩⎨⎧≥∆≠时00a ⇔方程有实数根;②当⎩⎨⎧<∆≠时

00a ⇔方程无实数根; 从左到右为根的判别式定理;从右到左为根的判别式逆定理。 例:求证:方程0)4(2)1(222=++-+a ax x a 无实数根。

(4)分类讨论思想的应用:如果方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那一定要对方程进行分类讨论,如果二次系数为0,方程有可能是一元一次方程;如果二次项系数不为0,一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

(四)、一元二次方程的应用

1.数字问题:解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式。

2.几何问题:这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系,构建方程,对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题(下降率):在此类问题中,一般有变化前的基数(a ),增长率(x ),变化的次数(n ),变化后的基数(b ),这四者之间的关系可以用公式b x a n

=+)1(表示。

4.其它实际问题(都要注意检验解的实际意义,若不符合实际意义,则舍去)。

(五)新题型与代几综合题

(1)有100米长的篱笆材料,想围成一矩形仓库,要求面积不小于600平方米,在场地的北面有一堵50米的旧墙,有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库,但面积只有400平方米,不合要求,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢?

(2)读诗词解题(列出方程,并估算出周瑜去世时的年龄):

大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,英年早逝两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得准,多少年华属周瑜?

(3)已知:c b a ,,分别是ABC ∆的三边长,当0>m 时,关于x 的一元二次方程02)()(22=--++ax m m x b m x c 有两个相等的实数根,求证:ABC ∆是直角三角形。

(4)已知:c b a ,,分别是ABC ∆的三边长,求证:方程0)(2

22222=+-++c x a c b x b 没有实数根。

(5)当m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数? (6)已知关于x 的方程02212222

=-+-++m x x m x x ,其中m 为实数,(1)当m 为何值时,方程没有实数根?(2)当m 为何值时,方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根。

答案:(1)2-

--=x .

(六)相关练习

(一) 一元二次方程的概念

1.一元二次方程的项与各项系数

把下列方程化为一元二次方程的一般形式,再写出二次项,一次项,常数项:

(1)x x 3252=-

(2)2

2)3(4)15(-=-a a

2.应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值

(1) m 为何值时,关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程。 (2)若分式01

872=---x x x ,则=x 3.由方程的根的定义求字母或代数式值

(1)关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0,则=a

(2)已知关于x 的一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 有一个根为1,一个根为1-,则=++c b a ,=+-c b a

(二)一元二次方程的解法

1.开平方法解下列方程:

(1)289)3(1692=-x (2) 0)31(2=-m

2.配方法解方程:

(1)0522=-+x x (2)3422

-=-y y \

3.公式法解下列方程:

(1)2632-=x x (2)p p 3232=+

4.因式分解法解下列方程:

(1)04542=-+y y (2) 1)5(2)5(2--=-x x (3)02172

=-x x

5.解法的灵活运用(用适当方法解下列方程):

(1))3)(2()2(6+-=-x x x x (2) 2

2)3(144)52(81-=-x x

(三)一元二次方程的根的判别式

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