中考数学复习微专题：“一动一定型”最值问题
2014中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析近几年共同点： ⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
小类知识归纳：一、问题原型：如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向、两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。
解这类问题 二、基本解法：对称共线法。
利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。
三、一般结论：(在线段上时取等号)（如图1-2）线段和最小，常见有三种类型：（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。
1.两个定点+一个动点。
如图1-3，作一定点关于动点所在直线的对称点，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和。
①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。
动点问题最值
A动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离，和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。
一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。
方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的值。
1．如图，△ABC 、△EFG 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ．当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是〔〕 A ．32-B ．13+C ．2D ．13-提示：点M 在以AC 为直径的圆上2．〔2015•XX 〕如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是边BC 上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ．下列说法：①AG ＞GE ；②AE =BF ；③点G 运动的路径长为π；④CG 的最小值为﹣1．其中正确的说法是②③．〔把你认为正确的说法的序号都填上〕提示：G 在以AB 为直径的圆上：正确答案是：②④3、如图，正方形ABCD 的边长为4cm,正方形AEFG 的边长为1cm ，如果正方形AEFG 绕点A旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为ABC4、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是5、如图，等腰直角△ACB，AC=BC=5，等腰直角△CDP，且PB=2，将△CDP绕C点旋转. 〔1〕求证：AD=PB〔2〕若∠CPB=135°，求BD；〔3〕∠PBC=时，BD∠PBC=时，BD有最小值，并画图说明.分析：在△ABD中有：BD≤AB+AD，当BD=AB+AD时BD最大，此时AB与AD在一条直线上，且AD在BA的延长线上，又△ACB是等腰直角三角形，∠CAB=45°，由〔1〕知∠PBC=∠CAD=180°-45°=135°BD≥AB-AD，当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且AD在线段AB上，此时∠CAD=45°，所以∠PBC=∠CAD=45°6、如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°,∠BAE=135°,AD=1，，F为BE中点.〔1〕求CF的长〔2〕将△ADE绕A旋转一周，求点F运动的路径长；〔3〕△ADE绕点A旋转一周，求线段CF的X围.A BAACCAGDAGDA提示：本题根据中点构造三角形相似，△BOF∽△BAE,且12OF AE==7、如图，AB=4，O为AB中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以点P为直角顶点的等腰△PBC〔点P，B，C按逆时针方向排列〕则线段AC的取值X提示：发现定等腰直角△AOC与等腰直角△OBE，从而得到相似。
精编中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解
中考数学压轴题动点产生的定值与最值问题8个专题讲解目录第 1 讲角为定值的常规解法第 2 讲角为定值的高级解法第3讲边为定值的动点问题第4讲线段的和或差为定值的动点问题第5讲比值为定值的动点问题第6讲乘积为定值的动点问题第7讲面积为定值的动点问题第8讲动点产生的几何最值问题第1讲角为定值的常规解法【几何法证明角为定值】（1）三角形内角和定理（2）三角形外角定理（3）等腰三角形底角相等（4）直角三角形两锐角互余（5）平行线的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补（6）平行四边形的对角相等、邻角互补（7）等腰梯形底角相等（8）圆所涉及的角的关系：圆心角、圆周角、弦切角定理等【例】如图,平面内两条互相垂直的直线相交于点O,∠MON=90°，点A、B分别在射线O M、ON 上移动，AC是△BAO的角平分线，BD为∠ABN的角平分线，AC与B D的反向延长线交于点P.试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化?若保持不变，请求出∠APB 的度数；若发生变化，求出变化范围。
、【例】如图所示,O的直径A B=4,点P是A B延长线上的一点,过P点作O的切线,切点为C，连接AC.(1)若∠CPA=30°，求P C的长；(2)若点P在A B的延长线上运动，∠CPA的平分线交A C于点M，你认为∠CMP 的大小是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP 的大小。
【代数法求角为定值】一般在直角坐标系中，可以用坐标的方法表示出边或角，从而求解具体角为定值的问题。
【例】如图,在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒(t>0),抛物线y = ax2 + bx + c 经过点O和点P,已知矩形A BCD的三个顶点为A(1,0),B(1,−5),D(4,0).(1)求c,b (用含t的代数式表示):(2)当4<t<5时，设抛物线分别与线段A B，CD交于点M，N.①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化?若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；②求△MPN的面积S与t的函数关系式,并求t为何值时,S=218；(3)在矩形A BCD的内部(不含边界)，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。
中考数学动点最值问题归纳及解法
中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。
利用一次函数和二次函数的性质求最值。
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
“坐标几何题”（动点问题）分析动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函数关系式探究等腰三角形考点①菱形性质②特殊角三角函数③求直线、抛物线解析式④相似三角形⑤不等式①求直线解析式②四边形面积的表示③动三角形面积函数④矩形性质①求抛物线顶点坐标②探究平行四边形③探究动三角形面积是定值④探究等腰三角形存在性特点①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角为30°的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积②动点按到拐点时间分段分类③画出矩形必备条件的图形探究其存在性①直角梯形是特殊的（一底角是45°）②点动带动线动③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；动线段PF长度是定值，PF=OA）④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：①特殊四边形为背景；②点动带线动得出动三角形；③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；④求直线、抛物线解析式；⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
2023年九年级数学中考专题复习——最值问题(将军饮马,胡不归,阿氏圆)
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
2024年中考数学专题复习定值与最值问题
定值与最值问题1、平面几何最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
线段最值问题的解决通常方法：应用几何性质．①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长．基本类型有：将军饮马、选址造桥、线段之差的最大值，隐圆最值，瓜豆原理，胡不归最值，阿氏圆等。
2、立体几何最值问题：展开平面图形，根据平面几何最值问题方法去做！3、代数最值问题：无非就是根据完全平方公式或者二次函数的知识去求解！例1．如图，A、B两个机离线l的距离分别是3米，5米，CD＝6米，若由l上一点分别向A，B连线，最短为()A．11米B．10米C．9米D．8米1．如图Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED、EB，则△BDE周长的最小值为()A．2 5 B．2 3 C．25＋2 D．23＋22．如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB 的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝1，则△PMN周长的最小值为__ ．3．直线l1、l2交于点O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从点P到l2上一点Q，再回到点B，求作P、Q两点，使四边形APQB周长最小．4．A、B是位于河流两旁的两个村庄，要在这条宽度为d的河上建一条垂直的桥，使得从A村到B村的距离之和最短．试着画出桥应该建在何处？例2．如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，则点C到点D的最短距离是（）A．6 B．8 C．403D．2451．如图，点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（21-，21-）C ．（22，22-）D ．（22-，22-） 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 经过点A （﹣4，0）、B （0，4），⊙O 的半径为1，点P 在直线AB 上，过点P 作⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点，则切线长PQ 的最小值为_________．例3．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝135°，点P 、M 、N 分别为对角线BD 及边BC ，CD 上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__ ．1．如图，∠ABC ＝45°，BC ＝42，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，M 、N 分别是BD 和BC 上的动点(M 与B ，D 两点不重合，N 与B ，C 两点不重合)，则CM ＋MN 的最小值为__ ．2．如图，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一定点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA ，OB 上的动点，则△PQR 周长的最小值为__ ．例4．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．1．如图所示，已知11(,)2A y ，2(2,)B y 为反比例函数1y x =图象上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（ ）A ．1(,0)2B ．(1,0)C ．3(,0)2D ．5(,0)22．点A 、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA +QB 的值最小的点，则OP *OQ = ．例5．在坐标系中，点A 的坐标为(3，0)，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC =2．设tan ∠BOC =m ，则m 的取值范围是_________．1．如图, △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，O 为AC 的中点，过O 作OE ⊥OF ，OE 、OF 分别交射线AB 、BC 于E 、F ，则EF 的最小值为 ．2．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，BC =4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF =90°，则EF 的最小值是_____________．例6．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+1．如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）A ．13cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm2．如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3圈到B ，求棉线最短为 cm ．第1题 第2题例7．求二次三项式2x 2x +3的最小值．1．求代数式﹣2x 2+3x +5的最大值．例9．如果P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点且PE ⊥DB ，PF ⊥CA ，垂足分别为E ，F ，则PE ＋PF ＝__ __．1．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定2．如图，在平面直角坐标系x O y 中，矩形AOCD 的顶点A 的坐标是（0,4），现有两动点P 、Q ，点P 从点O 出发沿线段OC （不包括端点O ，C ）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C 运动，点Q 从点C 出发沿线段CD （不包括端点C ，D ）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D 运动．点P ，Q 同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当t =2秒时PQ =52．（1）求点D 的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接AQ 并延长交x 轴于点E ,把AE 沿AD 翻折交CD 延长线于点F ,连接EF ，则△A EF 的面积S 是否随t 的变化而变化？若变化，求出S 与t 的函数关系式；若不变化，求出S 的值．1．如图，在正方形ABCD 中，G 是正方形内一点，AD =4，P 是BC 的中点，且BG =BP ，则DG +12GC 的最小值是__________．（提示：考虑用相似转化，系数需要化成相同）。
2024年中考数学重难点《几何最值问题》题型及答案解析
重难点几何最值问题中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：一、将军饮马类最值二、动点辅助圆类最值三、四点共圆类最值四、瓜豆原理类最值五、胡不归类最值几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。
考向一：将军饮马类最值一动”“两定异侧普通一动”“两定同侧普通动”两定“一动”两定“两两动”“两定同侧两动”“两定异侧满分技巧将军饮马：。
1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．考向二：动点辅助圆类最值满分技巧动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）二.定边对直角模型原理：直径所对的圆周角是直角思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）三．定边对定角模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．3．（2023•大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．考向三：四点共圆类最值满分技巧对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生模型原理：圆内接四边形对角互补∴FD＝，在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，∵∠PCD＝45°∴∠ACP＝∠FCD，又∵△ABE∽△FBD，∴∠BAE＝∠BFD，∴∠CAP＝∠CFD，∴△CAP∽△CFD，∴，在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB＝，∴CF＝∴，∴AP＝1，∴PE＝2，故答案为：2考向四：瓜豆原理类最值满分技巧瓜豆原理的特征和结论：∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【分析】过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，则可得△ABE∽△PBG，进而可知∠BPG为定值，因此CG⊥PG时，CG最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP，即可求出结果．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝∴CE＝，故答案为：．考向五：胡不归类最值满分技巧胡不归模型解决步骤：模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时间最小解决步骤：由系数k·PB确定分割线为PBPA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一边为BD过点P作PQ⊥BD，转化kPB=PQ过定点A作AH⊥BD，转化（PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。
中考数学复习《最值问题》
解：如图，∵高为 12 cm，底面周长为 10 cm，在容器内壁离容器底部 3 cm 的 点 B 处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3 cm 与饭粒相对的点 A 处，∴A′D＝5 cm，BD＝12－3＋AE＝12(cm)，∴将容器侧面展开，作 A 关 于 EF 的对称点 A′，连结 A′B，则 A′B 即为最短距离，A′B＝ A′D2＋BD2＝ 52＋122＝13(cm)
解：(1)如图所示 (2)如图，即为所求
(3)作点 C 关于 y 轴的对称点 C′，连结 CP，B1C′交 y 轴于点 P， 则点 P 即为所求．设直线 B1C′的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
－2k＋b＝－2， k＝2， ∵B1(－2，－2)，C′(1，4)，∴ 解得 k＋b＝4， b＝2，
7．图1、图2为同一长方体房间的示意图 ，图3为该长方体的表面展开 图．
(1)蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的 最近路线；
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花
板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通 过计算判断哪条路线更近；
两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线AB上．先运用待定系数法求出直
线AB的解析式，再令y＝0，求出x的值即可．
解：由题意可知，当点 P 到 A，B 两点距离之差的绝对值最大时， 点 P 在直线 AB 上．设直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，
b＝1， k＝1， ∵A(0，1)，B(1，2)，∴ 解得 ∴y＝x＋1， k＋b＝2， b＝1，
令 y＝0，得 0＝x＋1，解得 x＝－1，∴点 P 的坐标是(－1，0)
2020年中考数学二轮专项冲刺复习——动点、最值问题、压轴题型(含详细解答)
2020年中考数学二轮专项冲刺复习——动点、最值问题、压轴题型1、（2019陕西•中考 第25题•12分）问题提出：（1）如图1，已知ABC ∆，试确定一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，10BC =，若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC ∆，且使90BPC ∠=︒，求满足条件的点P 到点A 的距离；问题解决：（3）如图3，有一座草根塔A ，按规定，要以塔A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE ．根据实际情况，要求顶点B 是定点，点B 到塔A 的距离为50米，120CBE ∠=︒，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE ？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE 的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A 的占地面积忽略不计）【考点】四边形综合题【分析】（1）利用平行四边形的判定方法画出图形即可．（2）以点O 为圆心，OB 长为半径作O e ，O e 一定于AD 相交于1P ，2P 两点，点1P ，2P 即为所求．（3）可以，如图所示，连接BD ，作BDE ∆的外接圆O e ，则点E 在优弧¶BD 上，取·BED 的中点E '，连接E B '，E D '，四边形BC DE ''即为所求．【解答】解：（1）如图记为点D 所在的位置．（2）如图，4AB =Q ，10BC =，∴取BC 的中点O ，则OB AB >．∴以点O 为圆心，OB 长为半径作O e ，O e 一定于AD 相交于1P ，2P 两点，连接1BP ，1PC ，1PO ，90BPC ∠=︒Q ，点P 不能再矩形外； BPC ∴∆的顶点1P 或2P 位置时，BPC ∆的面积最大，作1PE BC ⊥，垂足为E ，则3OE =， 1532AP BE OB OE ∴==-=-=，由对称性得28AP =．（3）可以，如图所示，连接BD ，A Q 为BCDE Y 的对称中心，50BA =，120CBE ∠=︒，100BD ∴=，60BED ∠=︒作BDE ∆的外接圆O e ，则点E 在优弧¶BD 上，取·BED 的中点E '，连接E B '，E D '，则E B E D '='，且60BE D ∠'=︒，∴△BE D '为正三角形．连接E O '并延长，经过点A 至C '，使E A AC '='，连接BC '，DC '，E A BD '⊥Q ，∴四边形E D '为菱形，且120C BE ∠''=︒，作EF BD ⊥，垂足为F ，连接EO ，则EF EO OA E O OA E A +-'+='…， 1122BDE E BD S BD EF BD E A S ∆'∴='=V g g g g …，()2221006050003E BD BCDE BC DE S S S sin m '''∴==⋅︒=V 平行四边形平行四边形…所以符合要求的BCDE Y 的最大面积为250003m ．2、（2019宁夏•中考 第26题•10分）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点M ，Q 分别是边AB ，BC 上的动点（点M 不与A ，B 重合），且MQ BC ⊥，过点M 作BC 的平行线MN ，交AC 于点N ，连接NQ ，设BQ 为x ．（1）试说明不论x 为何值时，总有QBM ABC ∆∆∽；（2）是否存在一点Q ，使得四边形BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当x 为何值时，四边形BMNQ 的面积最大，并求出最大值．【考点】相似形综合题【分析】（1）根据题意得到MQB CAB ∠=∠，根据相似三角形的判定定理证明； （2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC ，根据相似三角形的性质用x 表示出QM 、BM ，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可． 【解答】解：（1）MQ BC ⊥Q ， 90MQB ∴∠=︒，MQB CAB ∴∠=∠，又QBM ABC ∠=∠， QBM ABC ∴∆∆∽；（2）当BQ MN =时，四边形BMNQ 为平行四边形， //MN BQ Q ，BQ MN =，∴四边形BMNQ 为平行四边形；（3）90A ∠=︒Q ，3AB =，4AC =，5BC ∴==， QBM ABC ∆∆Q ∽，∴QB QM BM AB AC BC ==，即345x QM BM==， 解得，43QM x =，53BM x =，//MN BC Q ，∴MN AM BC AB=，即53353x MN -=， 解得，2559MN x =-， 则四边形BMNQ 的面积21254324575(5)()2932782x x x x =⨯-+⨯=--+，∴当458x =时，四边形BMNQ 的面积最大，最大值为752．3、如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，已知A (0,8)，D (24,8)，C (26,0)，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1 cm/s 的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CO 边向点O 以3 cm/s 的速度运动，若P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．(1)求经过多少时间后，四边形PQCD 为平行四边形；(2)当四边形PQCD 为平行四边形时，求PQ 所在直线的函数解析式．解：(1)设t 秒后四边形PQCD 为平行四边形，∵当PD ＝QC 时，四边形PQCD 为平行四边形，∴24－t ＝3t ，解得，t ＝6；(2)6秒时，点P 的坐标为(6,8)，点Q 的坐标为(8,0)，设直线PQ 的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋b ＝8，8k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4，b ＝32，∴直线PQ 的解析式为y ＝－4x ＋32.4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx ＋m ＋4与y 轴交于点A (0,3)，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ，直线l 1：y ＝kx ＋b 经过点B 和点C (－1，－2)．(1)求直线l 1及抛物线的表达式；(2)已知点P (t,0)，过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线l 1于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围；(3)将l 1向上平移两个单位得到直线l 2，与抛物线交于点D ，E (点D 在点E 左侧)，若Q 是抛物线上位于直线l 2上方的一个动点，求△DEQ 的面积．解：(1)把A (0,3)代入y ＝mx 2－2mx ＋m ＋4，得到3＝m ＋4，∴m ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴点B 坐标为(1,0)，把B (1,0)，C (－1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得到⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－k ＋b ＝－2，)解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1.)∴直线l 1的解析式为y ＝x －1；(2)如图1中，由图象可知当过P 点的直线MN 在抛物线的对称轴左侧时，点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，此时t ＜1，当t ＞3时，点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，综上所述，符合条件的t 的范围是t ＜1或t ＞3；(3)如图2中，∵直线l 1的解析式为y ＝x －1，∴直线l 1向上平移2个单位后的直线l 2的解析式为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝－x 2＋2x ＋3，)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.)∴D (－1,0)，E (2,3)，作EG ⊥x 轴于G ，设点Q (m ，－m 2＋2m ＋3)，∵S △QDE ＝S △QDG ＋S △QEG －S △DEG ，∴S △QED ＝12×3×(－m 2＋2m ＋3)＋12×3×(2－m )－12×3×3＝－32m 2＋32m ＋3.5、如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE .(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE 的值．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO ，∴∠DCE ＝∠BEC ，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE ＝∠DCE ＝45°，∴∠BCE ＝∠BEC ＝45°，∴BE ＝BC ，∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠BOC ＝60°，∠OBA ＝30°，∵∠BOC ＝60°，BO ＝CO ，∴△BOC 是等边三角形，∴BC ＝BO ＝BE ，且∠OBA ＝30°，∴∠BOE ＝75°；(2)如解图①，过点H 作FH ⊥BC 于F ，∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°，FH ⊥BC ，∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF ，∵∠BCE ＝45°，FH ⊥BC ，∴CF ＝FH ＝3BF ，∴BC ＝3BF ＋BF ＝1， ∴BF ＝3－12，∴FH ＝3－32，∴S △BCH ＝12×BC ×FH ＝3－34；(3)如解图②，过点C 作CN ⊥BO 于N ，∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°，FH ⊥BC ，∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF ，∵∠BCE ＝45°，FH ⊥BC ，∴CF ＝FH ＝3BF ，∴BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ，∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF ，∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ，∴CN ＝32BC ＝3＋32BF ，∵S △CHO ∶S △BHE ＝12×OH ×CN ∶12×BE ×BF ，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.6、(2019乐山模拟)如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别是边BC ，CD 的延长线上的动点，且CE ＝DF ，连接AE 、BF ，交于点G ，连接DG ，则DG 的最小值为________．解：5－1在正方形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠ABC ＝∠BCD BE ＝CF，∴△ABE ≌△BCF (SAS)，∴∠BAE ＝∠CBF ，∵∠CBF ＋∠ABF ＝90°，∴∠BAE ＋∠ABF ＝90°，∴∠AGB ＝90°，∴点G 在以AB 为直径的圆上，如解图，连接OG ，当O 、G 、D 在同一直线上时，DG 有最小值，∵在正方形ABCD 中，AD＝BC ＝2，∴AO ＝1＝OG ，∴OD ＝AD 2＋AO 2＝22＋12＝5，∴DG ＝5－1.7、（2019威海•中考 ）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝10 cm ，E 为对角线BD 上一动点，连接AE ，CE ，过E 点作EF ⊥AE ，交直线BC 于点F .E 点从B 点出发，沿着BD 方向以每秒2 cm 的速度运动，当点E 与点D 重合时，运动停止．设△BEF 的面积为y cm 2，E 点的运动时间为x 秒．(1)求证：CE ＝EF ；(2)求y 与x 之间关系的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； (3)求△BEF 面积的最大值．题图 备用图(1)证明：如解图，过点E 分别作AB 、BC 的垂线，垂足分别为点G 、H ，则四边形GBHE 为矩形． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC .∵BD 是对角线，∴BD 所在直线是正方形的对称轴， ∴CE ＝AE ，EG ＝EH ， ∴四边形GBHE 为正方形． ∵EF ⊥AE ，∴∠AEF ＝∠GEH ＝90°.∵∠AEG ＋∠GEF ＝90°，∠FEH ＋∠GEF ＝90°， ∴∠AEG ＝∠FEH . ∵∠AGE ＝∠FHE ＝90°， ∴△AGE ≌△FHE (ASA)， ∴AE ＝EF ， ∴CE ＝EF ；解图(2)解：∵EF ＝EC ，EH ⊥BC ， ∴FH ＝HC .∵△EHB 是等腰直角三角形，BE ＝2x ， ∴EH ＝BH ＝2x ，∴HC ＝10－2x ，∴FH ＝HC ＝10－2x ，∴FB ＝10－22x ， ∴y ＝12×(10－22x )×2x ＝－2x 2＋52x (0≤x ≤52)；(3)解：∵y ＝－2x 2＋52x ＝－2(x －524)＋254(0≤x ≤52)，a ＝－2＜0，∵x ＝524<52，∴当x ＝524时，y 有最大值，y 的最大值为0－（52）24×（－2）＝254， 即△BEF 面积的最大值为254cm 2. 8、（2019•朝阳）如图，四边形ABCD 是正方形，连接AC ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转α得△AEF ，连接CF ，O 为CF 的中点，连接OE ，OD ．（1）如图1，当α＝45°时，请直接写出OE 与OD 的关系（不用证明）． （2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）当α＝360°时，若AB ＝4，请直接写出点O 经过的路径长．解：（1）OE ＝OD ，OE ⊥OD ；理由如下： 由旋转的性质得：AF ＝AC ，∠AFE ＝∠ACB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACB ＝∠ACD ＝∠FAC ＝45°，∴∠ACF ＝∠AFC ＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠DCF ═∠EFC ＝22.5°，∵∠FEC ＝90°，O 为CF 的中点，∴OE ＝CF ＝OC ＝OF ，同理：OD ＝CF ，∴∠EOC＝2∠EFO＝45°，∠DOF＝2∠DCO＝45°，∴∠DOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴OE⊥OD；（2）当45°＜α＜90°时，（1）中的结论成立，理由如下：延长EO到点M，使OM＝EO，连接DM、CM、DE，如图2所示：∵O为CF的中点，∴OC＝OF，在△COM和△FOE中，，∴△COM≌△FOE（SAS），∴∠MCF＝∠EFC，CM＝EF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠BAC＝∠BCA＝45°，∵△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，∴AB＝AE＝EF＝CD，AC＝AF，∴CD＝CM，∠ACF＝∠AFC，∵∠ACF＝∠ACD+∠FCD，∠AFC＝∠AFE+∠CFE，∠ACD＝∠AFE＝45°，∴∠FCD＝∠CFE＝∠MCF，∵∠EAC+∠DAE＝45°，∠FAD+∠DAE＝45°，∴∠EAC＝∠FAD，在△ACF中，∵∠ACF+∠AFC+∠CAF＝180°，∴∠DAE+2∠FAD+∠DCM+90°＝180°，∵∠FAD+∠DAE＝45°，∴∠FAD+∠DCM＝45°，在△ADE和△CDM中，，∴△ADE≌△CDM（SAS），∴DE＝DM，∵OE＝OM，∴OE⊥OD，在△COM和△COD中，，∴△COM≌△COD（SAS），∴OM＝OD，∴OE＝OD，∴OE＝OD，OE⊥OD；（3）连接AO，如图3所示：∵AC＝AF，CO＝OF，∴AO⊥CF，∴∠AOC＝90°，∴点O在以AC为直径的圆上运动，∵α＝360°，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，∵AC＝AB＝×4＝8，∴点O经过的路径长为：πd＝8π．9、（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，AD＝5，CD＝5，点M是线段AC 上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN．（1）求∠CAD的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，①是否能使△AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②∠MBN的大小是否改变？若不改变，请求出∠MBN的大小；若改变，请说明理由．（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．解：（1）如图一（1）中，∴∠ADC＝90°，∵tan∠DAC＝＝＝，∴∠DAC＝30°．（2）①如图一（1）中，当AN＝NM时，∵∠BAN＝∠BMN＝90°，BN＝BN，AN＝NM，∴Rt△BNA≌Rt△BNM（HL），∴BA＝BM，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝∠DAC＝30°，AB＝CD＝5，∴AC＝2AB＝10，∵∠BAM＝60°，BA＝BM，∴△ABM是等边三角形，∴AM＝AB＝5，∴CM＝AC﹣AM＝5．如图一（2）中，当AN＝AM时，易证∠AMN＝∠ANM＝15°，∵∠BMN＝90°，∴∠CMB＝75°，∵∠MCB＝30°，∴∠CBM＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴CM＝CB＝5，综上所述，满足条件的CM的值为5或5．②结论：∠MBN＝30°大小不变．理由：如图一（1）中，∵∠BAN+∠BMN＝180°，∴A，B，M，N四点共圆，∴∠MBN＝∠MAN＝30°．如图一（2）中，∵∠BMN＝∠BAN＝90°，∴A，N，B，M四点共圆，∴∠MBN+∠MAN＝180°，∵∠DAC+∠MAN＝180°，∴∠MBN＝∠DAC＝30°，综上所述，∠MBN＝30°．（3）如图二中，∵AM＝MC，∴BM＝AM＝CM，∴AC＝2AB，∴△ABM是等边三角形，∴∠BAM＝∠BMA＝60°，∵∠BAN＝∠BMN＝90°，∴∠NAM＝∠NMA＝30°，∴NA＝NM，∵BA＝BM，∴BN垂直平分线段AM，∴FM＝，∴NM＝＝，∵∠NFM＝90°，NH＝HM，∴FH＝MN＝．10、（2019•贵阳）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．解：数学理解：（1）AB＝（AF+BE）理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形∵四边形DECF是正方形∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°∴∠A＝∠ADF＝45°∴AF＝DF＝CE∴AF+BE＝BC＝AC∴AB＝（AF+BE）问题解决：（2）如图，延长AC，使FM＝BE，连接DM，∵四边形DECF是正方形∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED∴△DFM≌△DEB（SAS）∴DM＝DB∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD∴△ADM≌△ADB（SSS）∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB同理可得：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC∴∠CAB+∠CBA＝90°∴∠DAB+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝45°∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135°联系拓广：（3）∵四边形DECF是正方形∴DE∥AC，DF∥BC∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD∴AM＝MD，DN＝NB在Rt△DMN中，MN2＝MD2+DN2，∴MN2＝AM2+NB2，11、（2019•通辽）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图1，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图2，求证：BE⊥DQ；②如图3，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．解析：（1）证明：∵∠BCD＝90°，∠PCQ＝90°，∴∠BCP＝∠DCQ，在△BCP和△DCQ中，，∴△BCP≌△DCQ（SAS）；（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，∴∠CBF＝∠EDF，又∠BFC＝∠DFE，∴∠DEF＝∠BCF＝90°，∴BE⊥DQ；②∵△BCP为等边三角形，∴∠BCP＝60°，∴∠PCD＝30°，又CP＝CD，∴∠CPD＝∠CDP＝75°，又∠BPC＝60°，∠CDQ＝60°，∴∠EPD＝180°﹣∠CPD﹣∠CPB＝180°﹣75°﹣60＝45°，同理：∠EDP＝45°，∴△DEP为等腰直角三角形．。
动点与最值问题解题技巧
动点与最值问题解题技巧【实用版4篇】篇1 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇1正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的一类常见问题，主要涉及到点在平面直角坐标系中的运动以及函数的最值求解。
这类问题通常需要结合几何知识、函数知识以及代数知识进行求解。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题：仔细阅读题目，理解问题的含义和限制条件，明确求解的目标。
2.建立模型：根据问题建立合适的数学模型，可以使用函数、方程、几何图形等方法。
3.求解模型：使用数学工具和方法求解模型，得到结果。
4.验证结果：验证所得结果是否符合问题要求，是否具有实际意义。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在生活和工程中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计、桥梁设计、道路设计等领域中，需要考虑动点的运动和最值问题，以保证设计的合理性和可行性。
篇2 目录1.动点与最值问题概述2.动点与最值问题的解题技巧3.动点与最值问题的应用篇2正文一、动点与最值问题概述动点与最值问题是数学中的常见问题，涉及到的知识点包括几何、函数、导数等。
这类问题具有综合性强、难度较大的特点，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的解题技巧。
二、动点与最值问题的解题技巧1.理解问题本质：首先需要仔细阅读题目，理解问题的本质，确定动点的运动方式和约束条件。
2.建立数学模型：根据题目中的几何关系和函数关系，建立数学模型，使用几何或函数的方法描述问题。
3.寻找解题方法：根据具体问题选择合适的方法，如代数方法、几何方法、微积分方法等。
4.优化解题过程：在解题过程中，要善于利用各种技巧，如配方、拆项、代入数值等，使解题过程更加简洁。
三、动点与最值问题的应用动点与最值问题在日常生活和工程中都有广泛的应用，如建筑工程中的最短路径问题、交通规划中的最优路径问题等。
篇3 目录1.动点与最值问题的联系与区别2.动点问题的解题技巧3.最值问题的解题技巧篇3正文一、动点与最值问题的联系与区别动点问题与最值问题都是中学数学中常见的几何问题，它们在解题思路上有许多相似之处，但也有一些区别。
中考数学 考点系统复习 第七章 作图与图形变换 微专题(五) 利用“两点之间,线段最短”求最值
2．★如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 AC 于点 M，P 是直线 MN 上一动点，H 为 BC 的中点，若 AB＝13，△ABC 的周 长是 36.则 PB＋PH 的最小值为 112 2.
3．★如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝3，点 P 为矩形 ABCD 内一点，
结论：AM＋MN＋NB 的最小值为 A″B＋MN.
9．★如图，正方形 ABCD 的对角线上的两个动点 M，N，满足 AB＝ 2MN， 点 P 是 BC 的中点，连接 AN，PM，若 AB＝6，则当 AN＋MN＋PM 的值最小 时，线段 AN 的长为 2 5 .
模型三：“两点两线”型(两个动点＋两个定点) (一)利用垂直平分线的性质求四边形周长最小值 【模型分析】 点 P，Q 是∠AOB 内部的两定点，在 OA 上找点 M，在 OB 上找点 N，使得四 边形 PQNM 周长最小． 思路点拨：
8．★如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点 G，H 分 别是边 BC，CD 上的动点，则四边形 EFGH 周长的最小值为 22 5＋10＋10.
1 且动点 P 满足 S△PAB＝3S 矩形 ABCD，则点 P 到 A，B 两点距离之和的最小值为 22 13 .
4．★如图，直线 y＝x＋1 与抛物线 y＝x2－4x＋5 交于 A，B 两点，P 是 y
轴上的一个动点，当△PAB 的周长最小时，S△PAB＝2.2. 4. 4
(二)线段差最大值问题 【基础模型】 两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得|PA－PB|值最 大． 思路点拨：根据两边之差小于第三边，|PA－PB|的最大值即为 AB 的长， 连接 AB 并延长，与直线 l 交于点 P，点 P 即为所求．
中考压轴题动点形成的最值问题
中考压轴题动点形成的最值问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等．解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况．以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射． 动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题．本专题原创编写双（多）形成的最值问题模拟题．在中考压轴题中，双（多）形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法．原创模拟预测题1．如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=33，AD=3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ．【答案】3． 【解析】试题分析：∵ED=EM ，MF=FN ，∴EF=12DN ，∴DN 最大时，EF 最大，∵N 与B 重合时DN 最大，此时22AD AB ，∴EF 的最大值为3．故答案为：3．考点：三角形中位线定理；勾股定理；动点型．原创模拟预测题2．如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，DA ⊥AB ，AD=4cm ，DC=5cm ，AB=8cm ．如果点P 由B 点出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点Q 由A 点出发沿AB 方向向点B 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ，当P 点到达C 点时，两点同时停止运动，连接PQ ，设运动时间为t s ，解答下列问题：（1）当t 为何值时，P ，Q 两点同时停止运动？（2）设△PQB 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值； （3）当△PQB 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）5；（2）当t=4时，S 的最大值是325；（3）t=4011秒或t=4811秒或t=4秒．【解析】（2）由题意知，AQ=BP=t ，∴QB=8﹣t ，作PF ⊥QB 于F ，则△BPF ～△BCE ，∴PF BPCE BC =，即45PF t =，∴PF=45t，∴S=12QB•PF=14(8)25t t ⨯-=221655t t -+=2232(4)55t --+（0＜t≤5），∵25-＜0，∴S 有最大值，当t=4时，S 的最大值是325；（3）∵cos ∠B=35BE FB BC BP ==，∴BF=35t ，∴QF=AB ﹣AQ ﹣BF=885t-，∴22QF PF +2284(8)()55t t -+2184455t t -+①当PQ=PB 时，∵PF ⊥QB ，∴BF=QF ，∴BQ=2BF ，即：3825t t-=⨯，解得t=4011； ②当PQ=BQ 时，即218455t t -+﹣t ，即：211480t t -=，解得：10t =（舍去），24811t =；③当QB=BP ，即8﹣t=t ，解得：t=4．综上所述：当t=4011秒或t=4811秒或t=4秒时，△PQB为等腰三角形．考点：四边形综合题；动点型；二次函数的最值；最值问题；分类讨论；压轴题．原创模拟预测题3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=6，BC=8．动点M从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动．过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN，当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝秒时，动点M、N相遇；（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC，在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由．【答案】（1）2.5；（2）S=22275156(0 1.4)4860100(1.4 2.5)386010010(2.5)33t ttt ttt tt⎧--≤≤⎪⎪-+⎪<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩；（3）在整个运动过程中，△KAC的面积会发生变化，最小值为1.68，最大值为4．【解析】（3）分两种情况讨论，①当P 在BC 上运动时，如图4，当P 与C 重合时，ΔKACS 最小，当t=0是，M 与A 重合，N 与B 重合，如图5，此时三角形ΔKACS 最大；②当P 在CA 上运动时，如图6，过K 作KE ⊥AC 于E ，过M 作MF ⊥AC 于F ，可以得到ΔKAC S =65t，而101.43t ≤≤，故当 1.4t =时，ΔKAC S 的最小值=6 1.4 1.685⨯=，当103t =时，ΔKAC S 的最大值=610453⨯=．综合①②可得到结论．试题解析：（1）∵∠ACB ＝900，AC=6，BC=8，∴AB=10，当M 、N 相遇时，有310t t +=，∴ 2.5t =；（2）∵N 比M 运动的速度快，∴P 先在BC 上运动，然后在CA 上运动．当P 与C 重合时，∵ΔABC S=12AC •BC=12AB •GC ，∴GC=6×8÷10=4.8，∴226 4.8-，∴BG=10－3.6=6.4，∵AM=t ，BN=3t ，∴MN=10－4t ，MG=GN=12MN=1(104)2t -=52t -，∴52 3.6t t +-=，∴ 1.4t =．①当0 1.4t≤≤时，M在N的左边，P先在BC上向C靠近，如图1，∵AM=t，BN=3t，∴MN=10－4t，MG=GN=12MN=1(104)2t-=52t-，∴GB=GN+NB=523t t-+=5t+，∵tanB=PG ACGB BC=，∴658PGt=+，∴PG=3(5)4t+，∴S=ΔPMNS=12MN•PG= GN•PG=3(52)(5)4t t-⨯+=2751564t t--；②当1.4 2.5t<≤时，M在N的左边，在AC上逐渐远离C，如图2，由①可知，GN=MG=52t-，AM=t，∴AG=MG+AM=5t-，tanA=PG BCAG AC=，∴856PGt=-，∴PG=4(5)3t-，∴S=ΔPMNS=12MN•PG= GN•PG=4(52)(5)3t t-⨯-=28601003t t-+；③当102.53t<≤时，M在N的右边，在AC上逐渐远离C，如图3．MN=NB+AM－AB=310t t+-=410t-，GN=MG=25t-，AM=t，∴AG= AM－MG =(25)t t--=5t-，tanA=PG BCAG AC=，∴856PGt=-，∴PG=4(5)3t-，∴S=ΔPMNS=12MN •PG= GN•PG=4(25)(5)3t t-⨯-=28601003t t-+-；∴S=22275156(0 1.4)4860100(1.4 2.5)386010010(2.5)33t ttt ttt tt⎧--≤≤⎪⎪-+⎪<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎪⎩；②当P在CA上运动时，如图6，过K作KE⊥AC于E，过M作MF⊥AC于F，∴EK∥FM，∵K为PM的中点，∴EK=12FM，∵FM⊥AC，CB⊥AC，∴FM∥CB，∴FM AMBC AB=，∴810FM t=，∴FM=45t，∴EK=12FM=25t，∴ΔKACS=12AC•EK=12625t⨯⨯=65t，∵101.43t≤≤，∴当 1.4t=时，ΔKACS的最小值=61.4 1.685⨯=，当103t=时，ΔKACS的最大值=610453⨯=．∴当P在CA上运动时，△KAC面积的最小值为1.68，最大值为4．综合①②可得：在整个运动过程中，△KAC的面积会发生变化，最小值为1.68，最大值为4．考点：三角形综合题；动点型；分类讨论；最值问题；分段函数；压轴题．原创模拟预测题4．如图，二次函数cxaxy++=22的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）过点A的直线AD∥BC且交抛物线于另一点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：①在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由； ②动点M 以每秒1个单位的速度沿线段AD 从点A 向点D 运动，同时，动点N以每秒513个单位的速度沿线段DB 从点D 向点B 运动，问：在运动过程中，当运动时间t 为何值时，△DMN 的面积最大，并求出这个最大值．【答案】（1）322++-=x x y ；（2）1y x =--；（3）①P （35，0）或P （﹣4.5，0）；②当225=t 时，MDN S ∆的最大值为25．【解析】②过点B 作BF ⊥AD 于F ，过点N 作NE ⊥AD 于E ，在Rt △AFB 中，∠BAF=45°，于是可求得BF ，BD 的长，进而求得sin ∠ADB ，由于DM=t -25，DN=t513，于是得到NE DM S MDN ⋅=∆21=t t 52)25(21⋅-=，整理配方即可得到结果． 试题解析：（1）由题意知：023a c c =-+⎧⎨=⎩，解得：13a c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为322++-=x x y ；（2）在322++-=x x y 中，令y=0，则2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，∴B （3，0），由已知条件得直线BC 的解析式为3y x =-+，∵AD ∥BC ，∴设直线AD 的解析式为y x b =-+，∴0=1+b ，∴b=﹣1，∴直线AD 的解析式为1y x =--；（3）①∵BC ∥AD ，∴∠DAB=∠CBA ，∴只要当：AB PB AD BC =或AD PBAB BC =时，△PBC ∽△ABD ，解：2231x y y x x ⎧⎨=-+-=-+⎩，得D （4，﹣5），∴AD=25，AB=4，BC=23，设P 的坐标为（x ，0），即432523x -=或253423x -=，解得53=x 或5.4-=x ，∴P （35，0）或P （﹣4.5，0），②过点B 作BF ⊥AD 于F ，过点N 作NE ⊥AD 于E ， 在Rt △AFB 中，∠BAF=45°，∴AB BFBAF =∠sin ，∴BF=22224=⨯，BD=26，∴131322622sin ===∠BD BF ADB ， ∵DM=t -25，DN=t513，又∵DN NE ADB =∠sin ，NE=t 513t5213132=⋅， ∴NE DM S MDN ⋅=∆21=t t 52)25(21⋅-=)25(5125122t t t t --=+-=25)225(512+--=t ，∴当225=t 时，MDN S ∆的最大值为25．考点：二次函数综合题；分类讨论；相似三角形的判定与性质；最值问题；二次函数的最值；动点型；压轴题．原创模拟预测题5．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE ，此时PD=3． （1）求MP 的值；（2）在AB 边上有一个动点F ，且不与点A ，B 重合．当AF 等于多少时，△MEF 的周长最小？（3）若点G ，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A ，B 重合，GQ=2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）【答案】（1）5；（2）1611；（3）755+．【解析】 试题分析：（1）由折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，利用勾股定理可计算出MP 的长；（2）如图1，作点M 关于AB 的对称点M′，连接M′E 交AB 于点F ，利用两点之间线段最短可得点F 即为所求，过点E 作EN ⊥AD ，垂足为N ，则AM=AD ﹣MP ﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，利用勾股定理计算出MN=3，NM′=11，得出△AFM′∽△NEM′，利用相似比即可计算出AF；（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R 交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理计算出M′R得出，从而得到四边形MEQG的最小周长值．（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R 交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ 是平行四边形，∴QE=GR，∵G M=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此时MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R=22112+=55，∵ME=5，GQ=2，∴四边形MEQG的最小周长值是755+．考点：几何变换综合题；动点型；最值问题；翻折变换（折叠问题）；综合题；压轴题．原创模拟预测题6．抛物线213242y x x=-+与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E 作x 轴的平行线，与BC 相交于点D （如图所示），当t 为何值时，11OP ED +的值最小，求出这个最小值并写出此时点E ，P 的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F ，使△EFP 为直角三角形？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） A （2，0），B （4，0），C （0，2）；（2）①t=1时，11OP ED +有最小值1，此时OP=2，OE=1， E （0，1），P （2，0）；②F （3，2），（3，7）．【解析】 试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果； （2）①由题意得：OP=2t ，OE=t ，通过△CDE ∽△CBO 得到CE ED CO OB =，即224t DE -=，求得11OP ED +有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F （3，m ），当△EFP 为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即2132042x x -+=，解得：12x =，24x =，∵OA ＜OB ，∴A （2，0），B （4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C （0，2）；（2）①由题意得：OP=2t ，OE=t ，∵DE ∥OB ，∴△CDE ∽△CBO ，∴CE ED CO OB =，即224t DE -=，∴DE=4﹣2t ， ∴11OP ED +=11242t t +-=212t t -+=211(1)t --，∵0＜t ＜2，21(1)t --始终为正数，且t=1时，21(1)t --有最大值1，∴t=1时，211(1)t --有最小值1，即t=1时，11OP ED +有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E （0，1），P （2，0）； ②存在，∵抛物线213242y x x =-+的对称轴方程为x=3，设F （3，m ），∴25EP =，2PF =22(32)m -+，2EF =22(1)3m -+，当△EFP 为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，222EPPF EF +=，即22225(32)(1)3m m +-+=-+，解得：m=2， ②当∠EFP=90°时，222EF PF EP +=，即2222(1)3(32)5m m -++-+=，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，222EF PE PF +=，即2222(1)35(32)m m -++=-+，解得：m=7， 综上所述，F （3，2），（3，7）．考点：二次函数综合题；动点型；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；压轴题．原创模拟预测题7．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=9，ΔABC 272S =，动点P 从A 点出发，沿射线AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当Q 点运动到A 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正方形PQEF （P 、Q 、E 、F 按逆时针排序），以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH ．（1）求tanA 的值；（2）设点P 运动时间为t ，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形QCGH 的边上，请直接写出t 的值．【答案】（1）34；（2）8110；（3）t 的值为：914或911或1或97．【解析】试题分析：（1）如图1，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，利用面积法求得BM 的长度，利用勾股定理得到AM 的长度，最后由锐角三角函数的定义进行解答；（2）如图2，过点P 作PN ⊥AC 于点N ．利用（1）中的结论和勾股定理得到222PN NQ PQ +=，所以由正方形的面积公式得到S 关于t 的二次函数，利用二次函数的顶点坐标公式和二次函数图象的性质来求其最值；（3）需要分类讨论：当点E在边HG上、点F在边HG上、点P边QH（或点E在QC上）、点F边C上时相对应的t的值．（3）分四种情况讨论：①如图3，当点E在边HG上时，t=9 14；②如图4，当点F在边HG上时，t=9 11；③如图5，当点P边QH（或点E在QC上）时，t=1；④如图6，当点F边C上时，t=9 7；综上所述：t的值为：914或911或1或97．考点：四边形综合题；最值问题；二次函数的最值；分类讨论；动点型；存在型；综合题；压轴题．。
2023年安徽中考数学总复习专题：最值问题(PDF版,有答案)
2023年安徽中考物理总复习专题：最值问题类型一单动点求两线段和的最小值将军饮马问题：两点在一直线同侧时，作一个点的对称点与另一个点连接，所得线段的长即为所求。
典例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，点P是边BC上一动点，点D在边AB上，且BD=14AB，则PA+PD的最小值为（ ）A．8B．43C．213D．833【思路】作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，根据勾股定理即可得到结论．解：作D关于BC的对称点E，连接AE交BC于P，则PA+PD的值最小，过E作EF⊥AC 交AC的延长线于F，过D作DH⊥AC于H，则DH＝EF，DH∥BC，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴AC=12AB＝4，∠ADH＝∠B＝30°，∵BD=14AB＝2，∴AD＝6，CF=12DE=12BD＝1，∴AF＝5，∴DH=AD2―AH2=33，∴EF＝33，∴AE=AF2+EF2=213，∴PA+PD的最小值为213．【总结】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．针对训练1如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝5，BE＝6，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则PC+PE的最小值是（ ）A．5B．6C．7D．8类型二求一条线段的最小值垂线段最短典例2如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值是 ．【思路】过P作PE⊥OB于E，根据垂线段最短得出此时PE的长最小，根据角平分线的性质得出PE＝PD，再求出答案即可．解：过P作PE⊥OB于E，此时PE的长最小，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD，∵PD＝3，∴PE＝3，即PE的最小值是3．【总结】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能找出当PE最小时点E的位置是解此题的关键．针对训练2如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线l∥AB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．类型三双动点求两线段和的最小值将军饮马问题与垂线段最短的综合典例2如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC 于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，则BE+EF的最小值是 ．【思路】根据对称性，过点F作FG⊥AC交AD于点Q，连接BG交AD于点E，此时BG＝BE+EF，当BG垂直于AC30°直角三角形的边的性质即可求解．解：方法一：如图1所示：在AC边上截取AB′＝AB，作B′F⊥AB于点F，交AD于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠B′AE，AE＝AE，∴△ABE≌△AB′E（SAS）．∴BE＝B′E，∴B′F＝B′E+EF＝BE+EF，∵垂线段最短，∴此时BE+EF最短．∵AB＝AB′＝6，∠BAC＝30°，∴B′F=12AB′＝3．方法二：如图2所示：在AC边上截取AG＝AF，连接BG交AD于点E，作BH⊥AC于点H，同方法一：得△AEG≌△AFG（SAS）∴EG＝EF，∴BG＝BE+EG＝BE+EF，当BG垂直于AC时最短，即BH的长最短，∵AB＝6，∠BAC＝30°，∴BH＝3．【总结】本题考查了最短路线问题、角分线的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是作对称点．针对训练3 已知，等腰△ABC中，AB＝AC，E是高AD上任一点，F是腰AB上任一点，腰AC＝5，BD＝3，AD＝4，那么线段BE+EF的最小值是（ ）A．5B．3C．245D．72针对训练4 在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BCD＝45°，BC＝23+2，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP+PQ的最小值是（ ）A．23+2B．3+3C．22+2D．2+4类型四一点两线求周长最小值根据轴对称的性质，结合三角形三边关系定理典例4 如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA、OB上分别有动点M、N，则△PMN周长的最小值是（ ）A．5B．15C．20D．30【思路】根据题意画出符合条件的图形，求出OD＝OE＝OP，∠DOE＝60°，得出等边三角形DOE，求出DE＝15，求出△PMN的周长＝DE，即可求出答案．解：作P关于OA的对称点D，作P关于OB的对称点E，连接DE交OA于M，交OB 于N，连接PM，PN，则此时△PMN的周长最小，连接OD，OE，∵P、D关于OA对称，∴OD＝OP，PM＝DM，同理OE＝OP，PN＝EN，∴OD＝OE＝OP＝15，∵P、D关于OA对称，∴OA⊥PD，∵OD＝OP，∴∠DOA＝∠POA，同理∠POB＝∠EOB，∴∠DOE＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∵OD＝OE＝15，∴△DOE是等边三角形，∴DE＝15，即△PMN的周长是PM+MN+PN＝DM+MN+EN＝DE＝15．【总结】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．针对训练5 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝140°，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）A．60°B．90°C．100°D．120°类型五求两条线段差的最大值两点在一直线两侧时，作一个点的对称点，再将对称点与另一点连接所得线段的长。
中考数学总复习——最值、动点问题
二次函数最值问题二次函数的最值问题分两类：1 代数类：利润最大问题2 几何类：面积最小问题一利润最大问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。
将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?[(10－8－x)；(100＋100x)]4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。
[y=(10－8－x) (100＋100x)(0≤x≤2)]y=－100x2＋100x＋20D (0≤x≤2)求最大值的两种方法：1》顶点法2》公式法16．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝－2x＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）当x取何值时，y的值最大？（2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？16解：1 y＝(x－50)∙ w＝(x－50) ∙ (－2x＋240)＝－2x2＋340x－12000，＝－2 (x－85) 2＋2450，∴当x＝85时，y的值最大．2 当y＝2250时，可得方程－2 (x－85 )2 ＋2450＝2250．解这个方程，得x1＝75，x2＝95．根据题意，x2＝95不合题意应舍去．∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．练习1 水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克. （1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？2 商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件。
苏科版初三数学中考复习小专题系列1：最值问题 (精讲精练及参考答案)
xyBOMAxy CEO'BOMAD系列一：最值问题（1）—两线段之和的最值一、 【背景分析】 几何问题中的线段之和最值问题是中考复习问题常见情形，除了要运用最基本的“将军饮马”的原理之外，它最明显的特征：紧紧围绕“将军饮马”原理可以包含多种初中阶段的常用知识点，在不同的背景中，如直角坐标系中，各种特殊平行四边形，或圆中，可以全方位的考察必考知识点和常用方法，能有效考察学生对知识方法的分析能力，作图能力，计算能力等，故需要进行相应程度的训练与巩固。
二、 基本原理呈现:问题：已知在直线l 外有两定点A ，B ，试在l 上寻找点O ，使得AO ＋OB 的长度最短。
作法： ①从点A 作关于直线l 的对称点A'，连接A'B 与直线l 相交于点O ；②此时AO ＝A'O ，即AO ＋OB ＝A'O ＋OB ＝A'B ，根据“两点之间线段最短”可知此时AO ＋OB 的长度最短。
③点O 即为所求。
步骤简述：作对称点，连接产生交点。
三、课堂例题精讲例1则BO+BA 的最小值是 。
（图1） （图2）结合知识点：全等构造，勾股定理，一次函数直线思路与解析：如图2，过点B 作BC 垂直y 轴与点C ，构造“K 型”△BC M ≌△表示出点B （m,m+8），得出B 点运动路径为一次函数直线y=x +8，根据上ACAG述原理，作点O 关于直线y=x +8的对称点，再构建Rt △O ，EA 求出BO+BA 的最小值= O ，A=5816822=+。
【点评】：本题的难点之处是需分析出点B 的运动轨迹例2、已知如图3，在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，AD=3，点E 、F 分别是AB ，AC 上的动点，且满足AE=CF ，则DE+DF 的最小值为（图3） （图考察点：全等构造，最值，对称，勾股定理思路与解析：如图4，因AE=CF 和30° ，在AC 上取点G ，使AG=AD=DC ，连GE ，易证：△DFC ≌△GEA ，通过构造全等形成转换，DF=EG ，因G 为定点，作点G 关于的对称点，连接DG ，，故DE+DF 的最小值转为熟悉的“将军饮马”ED+EG 的最小值=DG ，=233322=+。
初中数学动点最值问题解题技巧总结
初中数学动点最值问题解题技巧总结示例文章篇一：哎呀呀，同学们，你们有没有被初中数学里的动点最值问题难倒过呀？反正我之前是被搞得晕头转向的！不过呢，经过我一番苦苦摸索，还真总结出了一些超有用的解题技巧，今天就来和大家分享分享。
咱们先来说说啥是动点最值问题。
就好比有个小调皮的点，在图形里到处乱跑，然后让咱们找它跑到啥位置的时候能得到最大或者最小的值。
这可不像找藏起来的糖果那么简单哟！那怎么解决呢？首先，咱们得学会用“两点之间线段最短”这个宝贝定理。
比如说，有A、B 两个点，那连接这两个点的线段AB 不就是最短的距离嘛。
这就像从家到学校，咱们走直线肯定是最近的路呀，难道还能绕个大圈子？再说说“垂线段最短”。
假如有一条直线l，还有一个点P，那从点P 向直线l 作垂线，垂足为Q，线段PQ 就是点P 到直线l 最短的距离。
这就好比你站在河边，要到河里打水，肯定是垂直下去打水最近，要是斜着走，那不是多走冤枉路嘛！还有一种常见的方法是利用三角形的三边关系。
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
比如说有三角形ABC，AB 边长是5，AC 边长是3，那BC 的长度就在2 到8 之间。
这就好像三个人手拉手，两边的人胳膊加起来肯定要比中间那个人的胳膊长呀！有一次，我和同桌一起做一道动点最值问题。
题目说在一个直角三角形里，有一个动点P，让咱们找P 点在啥位置的时候，PA + PB 的值最小。
我一开始毫无头绪，急得直抓脑袋，嘴里嘟囔着：“这可咋办呀？”同桌倒是挺冷静，他说：“咱们想想刚刚学的那些方法呀！”然后我俩就一起琢磨，突然我灵光一闪：“哎呀，这不就可以用两点之间线段最短嘛！”最后我们成功解出了这道题，那种喜悦，简直没法形容！还有一次，数学老师在课堂上讲一道特别难的动点最值问题，好多同学都听得云里雾里的。
老师就耐心地一遍又一遍解释，还说：“同学们，别着急，咱们慢慢理清楚思路。
”最后大家终于明白了，都忍不住欢呼起来。
所以呀，同学们，动点最值问题虽然看起来很难很可怕，但只要咱们掌握了这些解题技巧，再加上多做练习，多和同学老师讨论，就一定能把它拿下！你们说是不是呀？我相信，只要咱们肯努力，就没有解决不了的数学难题！示例文章篇二：哎呀呀，同学们，你们是不是一碰到初中数学里的动点最值问题就头疼得要命呀？反正我之前是这样的！但是后来我发现，只要掌握了一些小技巧，这类题也没那么可怕啦！就拿那种在三角形里找动点最值的题来说吧。
专题01 中考数学专题复习最值问题(阿氏圆)练习
中考数学专题复习最值问题（阿氏圆）练习1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP＋BP的最小值为（）A．7B．C．4D．【答案】B【解析】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MP13=PA，可得13AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．答案解析：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴PC CM CA CP=，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴13 PM PCPA AC==，∴PM13=PA，∴13AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM==∴13AP +BP ，∴13AP +BP 的最小值为．故选：B ．2．如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O ＋PB 的最小值为________．【答案】【分析】＋PB （PA PB ）PB 即可解答．【解析】解：设⊙O 半径为r ，OP ＝r ＝12BC ＝2，OB r ＝，取OB PI ，∴OI ＝IB∵OP OI =，OB OP ==，∴OP OBOI OP= ，∠O 是公共角，∴△BOP ，∴PI PB =，∴PI ，∴AP ＝AP ＋PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO ＝∴IE ＝BE ＝1，∴AE ＝AB −BE ＝3，∴AI =∴AP 最小值＝AI＋PB （PA PB ），＋=．故答案是【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．3．如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为_______．【答案】152【分析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，进而证明BPM BCP △∽△,则在点P 运动的任意时刻，均有PM =12PC ，从而将问题转化为求PD -PM 的最大值．连接PD ，在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，勾股定理即可求得DM ．【解析】如图，连接BP ，在BC 上取一点M ，使得BM =32，31232BM BP ==Q ，3162BP BC ==BM BPBP BC\=PBM CBP Ð=ÐQ \BPM BCP△∽△12MP BM PC BP \==12MP PC \=12PD PC PD MD\-=-在△PDM 中，PD -PM ＜DM ，当D 、M 、P 共线时，PD -PM =DM 为最大值，Q 四边形ABCD 是正方形90C \Ð=°在Rt CDM V 中，152DM ===故答案为：152．【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造12PC 是解题的关键．4．如图，在V 90,2B AB CB Ð=°==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA +的最小值是___________．【分析】作BH ⊥AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，根据切线的性质得BH等腰直角三角形的性质得到BH 12=AC =接着证明△BPD ∽△BCP 得到PD =，所以PAPC ＝PA +PD ，而PA +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），从而计算出AD 得到PA 的最小值．【解析】解：作BH ⊥AC 于H ，取BC 的中点D ，连接PD ，如图，∵AC 为切线，∴BH 为⊙B 的半径，∵∠90°＝CB ＝2，∴AC =＝∴BH 12=AC∴BP =∵PB BC BD BP ==，而∠PBD ＝∠CBP ，∴△BPD∴PD PC ∴PD =，∴PA ＝PA +PD ，而PA +PD ≥AD （当且仅当A 、P 、D 共线时取等号），而AD =∴PA+即PA【点睛】：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PD=．也考查了等腰直角三角形的性质．5．如图，在Rt ABCD中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的 E F上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是_____．．【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明PAT BAPD D∽，推出PTPB＝APAB＝12，推出PT＝12PB，推出12PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．【解析】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝4=AT•AB，∴PAAT＝ABPA，∵∠PAT＝∠PAB，∴PAT BAPD D∽，∴PTPB＝APAB＝12，∴PT＝12PB，∴12PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt ACTD中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT，∴12PB+PC，∴12PB+PC．．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣12 PC的最大值为_____．【答案】5【解析】分析: 由PD−12PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．解析: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，∵221PBBG==，422BCPB==，∴PB BC BG PB=，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴12 PG BGPC PB==，∴PG＝12PC，当点P在DG的延长线上时，PD−12PC的值最大，最大值为DG＝5．故答案为5点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．7．如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．连接PA、PB，则当“PA＋k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？【解析】1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP 、OB ；2：计算连接线段OP 、OB 长度；3：计算两线段长度的比值k OPOB=；4：在OB 上截取一点C ，使得OC OPOP OB=构建母子型相似：5：连接AC ，与圆0交点为P ，即AC 线段长为PA ＋K *PB 的最小值．本题的关键在于如何确定“k ·PB ”的大小，（如图 2）在线段 OB 上截取 OC 使 OC ＝k ·r ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k ·PB ＝PC ．∴本题求“PA ＋k ·PB ”的最小值转化为求“PA ＋PC ”的最小值，即 A 、P 、C 三点共线时最小（如图 3），时AC 线段长即所求最小值．8．如图，点A 、B 在O e 上，且OA ＝OB ＝6，且OA ⊥OB ，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上，且OD ＝4，动点P 在O e 上．求2PC ＋PD 的最小值．【答案】【分析】连接OP ，在射线OA 上截取AE =6，连接PE ．由题意易证OPC OEP V :V ，即得出2PE PC =，从而得出2PC PD PE PD +=+，由此可知当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值为DE 的长，最后在Rt OED △中利用勾股定理求出DE 的长即可．【解析】如图，连接OP ，在射线OA 上截取AE =6，连接PE ．∵C 是OA 的中点，∴1122OC OA OP ==．∴在△OPC 和△OEP 中，12COP POE OC OP OP OE Ð=Ðìïí==ïî，∴OPC OEP V :V ，∴1=2PC PE ，即2PE PC =，∴2PC PD PE PD +=+，.∴当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值即为DE 的长，如图，在Rt OED △中，DE ===，∴2PC PD +的最小值为．【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当P 、D 、E 三点共线时，PE PD +最小，最小值为DE 的长是解答本题的关键．9．如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以C CDEF （C 、D 、E 、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD ，连接AF ，BD（1）求证：△BDC ≌△AFC（2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD AD 的值；（3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD 的最小值．【答案】（1）见解析；（21 ；（3【分析】（1）利用SAS ，即可证明△FCA ≌△DCB ；（2）分两种情况当点D ，E 在AB 边上时和当点E ，F 在边AB（3）取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．则CM ＝1，可证得△DCM ∽△ACD ，可得DM ，从而得到当B ，D ，M 共线时，BD 的值最小，即可求解．【解析】（1）证明： ∵四边形CDEF 是正方形，∴CF ＝CD ，∠DCF ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝∠DCB ，∵AC ＝CB ，∴△FCA ≌△DCB （SAS ）；（2）解：①如图2中，当点D ，E 在AB 边上时，∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，∴sin 45ACAB ==°∵CD ⊥AB ，∴AD AC =´=∴BD ＝1==；②如图3中，当点E ，F 在边AB 上时．BD ＝CF ＝sin 452BC ´°==AD∴BD =综上所述，BD 1+（3）如图4中．取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．则CM ＝1，∵CD CM ＝1，CA ＝2，∴CD 2＝CM •CA ，∴CD CA ＝CMCD，∵∠DCM ＝∠ACD ，∴△DCM ∽△∴DM AD ＝CD AC ，∴DM ，∴BD ＝BD +DM ，∴当B ，D ，M 共线时，BD 的值最小，最小值BM ==【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点，C 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，连接BC ，且tan∠CBD 4=3，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设P 是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点P 作x 轴的平行线交线段BC 于点E ，过点E 作EF ⊥PE 交抛物线于点F ，连接FB 、FC ，求△BCF 的面积的最大值；②连接PB ，求35PC ＋PB 的最小值．【答案】（1）241620999x x -++；（2）①32；②245【解析】思路引领：（1）设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），可得对称轴为直线x ＝2，由锐角三角函数可求点C 坐标，代入解析式可求解析式；（2）①先求出直线BC 解析式，设P （2，t ），可得点E （534-t ，t ），点2315244F t t t æö--ç÷èø，，可求EF 的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；②根据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，过点P 作PG ⊥AC 于G ，可得PG 35=PC ，可得35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，即BH 是35PC +PB 的最小值，由三角形面积公式可求解．答案解析：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣5），∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴D （2，0），又∵43CDtan CBD DBÐ==，∴CD ＝BD •tan∠CBD ＝4，即C （2，4），代入抛物线的解析式，得4＝a （2+1）（2﹣5），解得 49a =-，∴二次函数的解析式为 ()()441599y x x =-+-=-x 2162099x ++；（2）①设P （2，t ），其中0＜t ＜4，设直线BC 的解析式为 y ＝kx +b ，∴0542.k b k b =+ìí=+î，，解得 4320.3k b ì=-ïïíï=ïî即直线BC 的解析式为 42033y x =-+，令y ＝t ，得：354x t =-，∴点E （534-t ，t ），把354x t =- 代入()()4159y x x =-+-，得 24t y t æö=-ç÷èø，即2315244F t t t æö--ç÷èø，，∴221244t EF t t t t æö=--=-ç÷èø，∴△BCF 的面积12=´EF ×BD 32=（t 24t -）()223334(2)882t t t =--=--+，∴当t ＝2时，△BCF 的面积最大，且最大值为32；②如图，据图形的对称性可知∠ACD ＝∠BCD ，AC ＝BC ＝5，∴35AD sin ACD AC Ð==，过点P 作PG ⊥AC 于G ，则在Rt△PCG 中，35PG PC sin ACD PC =×Ð=，∴35PC PB PG PB +=+，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则PG +PB ≥BH ，∴线段BH 的长就是35PC PB +的最小值，∵11641222ABC S AB CD =´´=´´=V ，又∵1522ABC S AC BH BH =´´=V ，∴5122BH =，即245BH =，∴35PC PB +的最小值为245．11．问题提出：如图①，在Rt ABC △中，90C =o ∠，4CB =，6CA =，⊙C 的半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求12AP BP +的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP ，在CB 上取一点D ，使1CD =，则12CD CP CP CB ==．又PCD BCP Ð=Ð，所以PCD D ∽BCP D ．所以12PD CD BP CP ==．所以12PD PB =，所以12AP BP AP PD +=+．请你完成余下的思考，并直接写出答案：12AP BP +的最小值为________；（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13AP BP +的最小值；（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD 中，90COD Ð=o ，6OC =，3OA =，5OB =，P 是 CD上一点，求2PA PB +的最小值．【答案】（1；（2（3）13．【分析】（1）根据题意可知最小值为AD 长度，利用勾股定理即可求出AD 长度．（2）连接CP ，在CA 上取一点D ，使23CD =，即可证明PCD V ∽ACP △，得到13PD AP =，即13AP BP PD BP +=+，所以13AP BP +的最小值为BD 长度，利用勾股定理即可求出BD 长度．（3）延长OC 到E ，使6CE =，连接PE ，OP ，即可证明OAP △∽OPE V ，得到2EP PA =，即2PA PB EP PB +=+，所以2PA PB +的最小值为BE 长度，利用勾股定理即可求出BE 长度．【解析】（1）根据题意可知，当A 、P 、D 三点共线时，12AP BP +最小，最小值AD ====．（2）连接CP ，在CA 上取一点D ，使23CD =，则有13CD CP CP CA ==，∵PCD ACP Ð=Ð，∴PCD D ∽ACP △，得13PD CD AP CP ==，∴13PD AP =，故13AP BP PD BP +=+，仅当B 、P 、D 三点共线时，13AP BP +的最小值BD ====．（3）延长OC 到E ，使6CE =，连接PE ，OP ，则12OA OP OP OE ==，∵AOP POE Ð=Ð，∴OAP △∽OPE D ，∴12OA OP AP OP OE EP ===，∴2EP PA =，∴2PA PB EP PB +=+，仅当E 、P 、B 三点共线时，13EP PB BE +====，即2PA PB +的最小值为13．【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出PCD V ∽ACP △和OAP △∽OPE V 是解题的关键．本题较难．12．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A 0)，B 两点（点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，且3OB OA =，OAC Ð的平分线AD 交y 轴于点D ，过点A 且垂直于AD 的直线l 交y 轴于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，过点P 作PF x ^轴，垂足为F ，交直线AD 于点H ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P 的横坐标为m ，当FH HP =时，求m 的值；（3）当直线PF 为抛物线的对称轴时，以点H 为圆心，12HC 为半径作⊙H ，点Q 为⊙H 上的一个动点，求14AQ EQ +的最小值．【答案】（1）y 13=x 2﹣3；（2）；（3【分析】对于（1），结合已知先求出点B 和点C 的坐标，再利用待定系数法求解即可；对于（2），在Rt△OAC 中，利用三角函数的知识求出∠OAC 的度数，再利用角平分线的定义求出∠OAD 的度数，进而得到点D 的坐标；接下来求出直线AD 的解析式，表示出点P ，H ，F 的3），首先求出⊙H 的半径，在HA 上取一点K ，使得HK=14，此时K （15-8）；然后由HQ 2=HK·HA ，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ=14AQ ，进而可得当E 、Q 、K 共线时，14AQ+EQ 的值最小，据此解答.【解析】（1）由题意A 0），B 0），C （0，﹣3），设抛物线的解析式为y ＝a （x（x ，把C （0，﹣3）代入得到a 13=，∴抛物线的解析式为y 13=x 2﹣3．（2）在Rt△AOC 中，tan∠OAC OCOA==，∴∠OAC ＝60°．∵AD OAC ，∴∠OAD ＝30°＝D （0，﹣1），∴直线AD 的解析式为y =﹣1，由题意P （m ，13m 2，H （m ﹣1），F （m ，0）．∵FH ＝PH ，∴1=﹣1﹣（13﹣3）解得m =，∴当时，m ．（3）如图，∵PF 是对称轴，∴F 0），H （．∵AH ⊥AE ，∴∠EAO ＝60°，∴EO =＝3，∴E （0，3）．∵C （0，﹣3），∴HC ==2，AH ＝2FH ＝4，∴QH 12=CH ＝1，在HA 上取一点K ，使得HK14=，此时K （158-）．∵HQ 2＝1，HK •HA ＝1，∴HQ 2＝HK •HA ，∴HQ KHAH HQ=．∵∠QHK ＝∠AHQ ，∴△QHK ∽△AHQ ，∴14KQ HQ AQ AH ==，∴KQ 14=AQ ，∴14AQ +QE ＝KQ +EQ ，∴当E 、Q 、K 共线时，14AQ +QE 的值最小，最小值==．【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
“一动一定型”最值问题最值问题是近几年各地中考的热点，也是许多学生感觉比较棘手的问题.实际上，仔细分析，解决此类问题仍有规律可循，就线段的最大或最小而言，不外两种情形:(1)一动一定;(2)两动.解题的方法就是:分析动点的特征，怎么动，在哪里动?下面举例分析.
例1如图1,ABC V 、EFG V 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的
中点，直线AG 、FC 相交于点M .当EFG V 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是(
)A.23- B.31+ C.2 D.31
分析此题关键是证CF AG ⊥.分析知动点M 在AC 为直径的圆上，故BM 过圆心存31+31-为最小.
例2如图2,E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =，连结CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是.
分析此题的核心是证BG AG ⊥.分析可知动点H 在AB 为直径的圆上运动，故DH 过圆心时存在最大或最小.
注
此题来源八年级(上)，是几何常规题.例3已知2AC BC ==，AC BC ⊥，3CD CE ==，CD CE ⊥，连AD 、BE ，相交于点M .
(1)求证AD BE =;
(2)求证AD BE ⊥;
(3)求CM 的最小值;
分析此题是八年级的常规试题，但我们一般满足于(1)、(2)两问，事实上往前迈一步
就是第(3)问.C 为定点，M 为动点，且M 在DE 为直径的圆上运动，故CM 过圆心时最大.
例4Rt ABC V 中，2AB =，如图4～图7，求CD 的最小值.
(1)如图4，四边形ABED 为矩形，1
AD =(2)如图5，ABD V 为直角三角形，1
AD =(3)如图6，ABD V 为等边三角形;
(4)如图7，四边形ABED 为正方形.
分析
上述四图，D 为定点，C 为动点，C 在以AB 为直径的圆上运动，故CD 过圆心时最大.
例5如图8，边长为4的菱形ABCD 的两个顶点A 、B 别在x 轴，y 轴的正半轴上
运动，C 、D 都在第一象限，120BCD ∠=︒，则OD 的长的最大值是.方法1取AB 的中点M ，连OM ，DM ，CM ，则
122
OM AB ==33
CM BM ==
2227DM CM CD =+=OD OM DM
≤+Q ∴当O 、M 、D 共线时，OD 最大，最大值为272+.
方法2
过A 、B 、O 三点作圆⊙M ，当OD 过圆心M 时，OD 最大.注此题是上题的变式.
例6如图9，ABC V 中，3AC =，42BC =，45ACB ∠=︒，//AM BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交APC V 的外接圆于点D ，则AD 的最小值为(
)A.1 B.2 C.2 D.4142
-
分析易知，135BDC ∠=︒，故A 为定点，D 为动点，D 在BD 为弦长，135BDC ∠=︒为圆周角的圆上运动，AD 过圆心时存在最大或最小.
在BC 下方作等腰'Rt BO C V ，'90O ∠=︒，连DC ，135BDC ∠=︒，以'O 为圆心，'4BO =为半径作⊙'O ，连'AO ，AD 最小值为''1AO DO -=(图形略)，故选A .
例7如图10，在等边ABC V 中，2AB =，D 、E 为BC 、AC 上两动点，BD CE =，AD 、相BE 交于M 点，求CM 的最小值.
分析易证120AMB ∠=︒.又C 为定点，M 为动点，M 在以AB 为弦长，圆周角为120︒的圆上运动，故CM 过圆心时存在最小.
上述数例都为同一个题型，看似不同，实际本质相同.我们要学会从中寻找一般性的规律，从而做到会一题，通一类.。