中考数学复习微专题：“一动一定型”最值问题

“一动一定型”最值问题最值问题是近几年各地中考的热点，也是许多学生感觉比较棘手的问题.实际上，仔细分析，解决此类问题仍有规律可循，就线段的最大或最小而言，不外两种情形:(1)一动一定;(2)两动.解题的方法就是:分析动点的特征，怎么动，在哪里动?下面举例分析.

例1如图1,ABC V 、EFG V 均是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的

中点，直线AG 、FC 相交于点M .当EFG V 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是(

)A.23- B.31+ C.2 D.31

分析此题关键是证CF AG ⊥.分析知动点M 在AC 为直径的圆上，故BM 过圆心存31+31-为最小.

例2如图2,E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =，连结CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是.

分析此题的核心是证BG AG ⊥.分析可知动点H 在AB 为直径的圆上运动，故DH 过圆心时存在最大或最小.

注

此题来源八年级(上)，是几何常规题.例3已知2AC BC ==，AC BC ⊥，3CD CE ==，CD CE ⊥，连AD 、BE ，相交于点M .

(1)求证AD BE =;

(2)求证AD BE ⊥;

(3)求CM 的最小值;

分析此题是八年级的常规试题，但我们一般满足于(1)、(2)两问，事实上往前迈一步

就是第(3)问.C 为定点，M 为动点，且M 在DE 为直径的圆上运动，故CM 过圆心时最大.

例4Rt ABC V 中，2AB =，如图4～图7，求CD 的最小值.

(1)如图4，四边形ABED 为矩形，1

AD =(2)如图5，ABD V 为直角三角形，1

AD =(3)如图6，ABD V 为等边三角形;

(4)如图7，四边形ABED 为正方形.

分析

上述四图，D 为定点，C 为动点，C 在以AB 为直径的圆上运动，故CD 过圆心时最大.

例5如图8，边长为4的菱形ABCD 的两个顶点A 、B 别在x 轴，y 轴的正半轴上

运动，C 、D 都在第一象限，120BCD ∠=︒，则OD 的长的最大值是.方法1取AB 的中点M ，连OM ，DM ，CM ，则

122

OM AB ==33

CM BM ==

2227DM CM CD =+=OD OM DM

≤+Q ∴当O 、M 、D 共线时，OD 最大，最大值为272+.

方法2

过A 、B 、O 三点作圆⊙M ，当OD 过圆心M 时，OD 最大.注此题是上题的变式.

例6如图9，ABC V 中，3AC =，42BC =，45ACB ∠=︒，//AM BC ，点P 在射线AM 上运动，连BP 交APC V 的外接圆于点D ，则AD 的最小值为(

)A.1 B.2 C.2 D.4142

-

分析易知，135BDC ∠=︒，故A 为定点，D 为动点，D 在BD 为弦长，135BDC ∠=︒为圆周角的圆上运动，AD 过圆心时存在最大或最小.

在BC 下方作等腰'Rt BO C V ，'90O ∠=︒，连DC ，135BDC ∠=︒，以'O 为圆心，'4BO =为半径作⊙'O ，连'AO ，AD 最小值为''1AO DO -=(图形略)，故选A .

例7如图10，在等边ABC V 中，2AB =，D 、E 为BC 、AC 上两动点，BD CE =，AD 、相BE 交于M 点，求CM 的最小值.

分析易证120AMB ∠=︒.又C 为定点，M 为动点，M 在以AB 为弦长，圆周角为120︒的圆上运动，故CM 过圆心时存在最小.

上述数例都为同一个题型，看似不同，实际本质相同.我们要学会从中寻找一般性的规律，从而做到会一题，通一类.