选修4-4第1节坐标系.ppt

选修4－4 坐标系与参数方程

第一节 坐标系

[考纲传真] 1.理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩

⎨⎧

x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．

2．极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

图1

(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其

中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．

3．极坐标与直角坐标的互化

点M

直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式

⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝y x (x ≠0) 4.圆的极坐标方程

曲线

图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆

ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆

ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝ ⎛⎭

⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆

ρ＝2r sin_θ(0≤0＜π) (1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )．

(2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝

a ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π2＜θ＜π2. (3)直线过M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ＜π)．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )

(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，－π3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( )

(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )

A ．ρ＝1cos θ＋sin θ

，0≤θ≤π2 B ．ρ＝1cos θ＋sin θ

，0≤θ≤π4 C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2

D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4

A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，

∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，

∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝

⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.] 3．(教材改编)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．

x 2＋y 2－2y ＝0 [由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ.

所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.]

4．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________． 522 [由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝ ⎛⎭

⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2， ∴y －x ＝1. 由A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫22，7π4，得点A 的直角坐标为(2，－2)． ∴点A 到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2

＝522.] 5．(2015·江苏高考)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫θ－π4－4＝0，

求圆C 的半径． [解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .2分

圆C 的极坐标方程可化为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭

⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，4分 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.6分

则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，

即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，

所以圆C 的半径为 6.10分

平面直角坐标系中的伸缩变换

将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2

倍，得曲线C .

(1)求曲线C 的方程；

(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．

[解] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，

依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1，y ＝2y 1.

2分 由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.5分