数值分析第一章实验 误差分析
数值分析实验误差分析.doc
c[i]=temp;//保存首行信息
}
//消去l=aik/akk
k=j;
while(k<n-1){
i=j;
b[0] =a[k+1][j];//保留第一个系数防止后面破坏
for(;i<n+1;i++)
{
//b[1]=b[0]*c[i]/a[j][j];
a[k+1][i]=b[0]*c[i]/a[j][j]-a[k+1][i];
}
// showarray(a);
for (i=0;i<n;i++)
{
cout<<"x"<<i<<"="<<x[i];
}
cout<<endl;
}
void showarray(float a[n][n+1])
{
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n+1;j++)
{
cout<<"x2"<<a[i][j]<<" ";
x3=-(b-sqrt(q))/2;
x4=c/xБайду номын сангаас;
printf("%f\n",x1);
printf("%f\n",x2);
printf("%f\n",x3);
printf("%f\n",x4);
}
数值分析1-3误差定性分析和与避免误差危害
定性等。误差处理对于确保结构分析的准确性和安全性至关重要。
02 03
流体动力学分析
在流体动力学分析中，数值分析用于求解流体流动和传热问题，如飞机、 汽车的气动性能等。误差处理对于确保流体动力学分析的准确性和可靠 性至关重要。
控制系统设计
在控制系统设计中，数值分析用于求解控制系统的数学模型，如飞机的 自动驾驶系统、工厂的自动化控制系统等。误差处理对于确保控制系统 设计的准确性和稳定性至关重要。
01
02
03
适应性选择
根据问题的性质和精度要 求，选择适合的数值方法 和算法。
对比分析
对不同的算法和数值方法 进行对比分析，选择误差 较小、精度较高的方法。
验证与测试
对所选择的算法和数值方 法进行验证和测试，确保 其在实际应用中的准确性。
增加计算精度和减少舍入误差
高精度计算
采用高精度计算方法，如使用高精度数学库或软件， 以提高计算精度。
数值分析1-3误差定性分析和与避 免误差危害
contents
目录
• 引言 • 误差定性分析 • 避免误差危害的方法 • 实际应用中的误差处理 • 结论
01 引言
误差的来源
测量误差
由于测量工具或方法的限制，导致测量结果与真 实值之间的差异。
近似误差
在数值计算过程中，为了简化计算而采取的近似 方法引入的误差。
可靠性下降
02
误差的存在降低了结果的可靠性，可能导致错误的决策或结论。
稳定性破坏
03
对于某些数值方法，误差的累积可能导致数值不稳定，影响计
算的可靠性。
02 误差定性分析
绝对误差和相对误差
绝对误差
表示测量值与真实值之间的差值，不 依赖于参考点。
数值分析(01) 数值计算与误差分析
数值分析
数值分析
一、误差的来源
1、数学模型
数学模型是通过科学实验或者观察分析一系列数据 后，用数学作为工具近似地描述客观事物的一种数学表 达式。
在数学模型中，往往包含了若干参量如物体比重、阻 力系数、热交换系数等，这些物理参数通常由实验仪器测 得，根据仪器的精密程度，物理参数的确定也会产生一定 的误差。
（4）在研究区左端连续注入浓度为C0的废水，废水中的 污染物不发生吸附解吸和衰变；
（5）对流弥散是一维的。
数值分析
数值分析
基于以上假设，定浓度注入污染物一维迁移的数学物理方程为：
方程的解为：
c(ctx,0D) 0x2c,20Vxxc
,0
x
, t
0
c(0,
t)
c0
,
0
t
c(,t) 0, 0 t
有递推公式
sn sk
axn sk 1
ak
k n 1, ,2,1,0
Pn (x) s0
需乘法n次，加法n次，存储单元n+3个。
数值分析
数值分析
算法1 (输入a(i)(i=0,1，…,n),x;输出y）
t 1 u a(0)
注意
for i 1 : n
t x*t
u u a(i)* t
end
Hale Waihona Puke 的基础.数值分析数值分析
一、数值分析的特点
现代科学的三个组成部分: 科学理论,科学实验,科学计算
科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软 件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。
计算数学,计算物理学,计算力学,计算化学, 计算生物学,计算地质学,计算经济学,等等
数值分析
数值分析第一章1.1误差
即
f * * f * * e ( z ) ( ) e ( x) ( ) e ( y ) x y
*
(1)
函数近似值 z* 的相对误差
e* ( z ) f * x * f * y * e ( z ) * ( ) * er ( x) ( ) * er ( y ) x z y z z
得到一个精度很高的近似值。
四、避免“大数除以小数”
由二元函数的误差传播规律式知
y e x x e y x e y y2
可知，当 y 相对
x e* x 小时， y
会很大。
五、 防止大数“吃掉”小数 由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果 数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可
因而实际计算的递推公式是：
I 5I
* n
* n 1
1 n
n 1, 2, , 20
（
I I0 e0
* 0
(2）
误差 e0 是怎么传递的
（1）-（2）得
* * I n I n 5(I n1 I n1 )
n 1, 2,, 20
递推得到
I n I (5) e0
z f ( x, y)
时，
用 z* f ( x , y ) 作为函数 z f ( x, y) 的近似值，
于是函数近似值 z* 的绝对误差
f * f * e ( z) z z f ( x, y) f ( x , y ) ( ) ( x x ) ( ) ( y y ) x y
e* (v) V V * 2(v)
绝对误差可以刻画近似值的准确程度。
2、相对误差与相对误差限 若 x 的近似值 x* 的绝对误差为
数值分析1——误差分析
第一章： 第一章：误差主要内容• 误差的来源与分类 误差的来源与分类 • 误差与有效数字 • 在近似计算中应注意的几个问题1. 来源与分类 ( Source & Classification )• • • •模型误差 参数误差(观测误差) 参数误差(观测误差) 方法误差(截断误差) 方法误差(截断误差) 舍入误差1.1 模型误差 (Modeling Error)用计算机解决实际问题时， 首先要建立数学 用计算机解决实际问题时 ， 首先要建立 数学 模型， 各种实际问题是十分复杂的， 模型 ， 各种实际问题是十分复杂的 ， 而数学 模型是对被描述的实际问题进行抽象 抽象、 模型是对被描述的实际问题进行 抽象 、 简化 而得到的， 往往忽略 了一些次要因素 忽略了一些 次要因素， 而得到的 ， 往往 忽略 了一些 次要因素 ， 因而 近似的 是 近似 的 ， 我们把数学模型与实际问题之间 出现的这种误差称为模型误差 模型误差。
出现的这种误差称为 模型误差 。
如自由落体 公式1 2 s = gt 2忽略了空气阻力。
忽略了空气阻力。
参数误差(观测误差， 1.2 参数误差(观测误差，Measurement Error) 数学模型中的物理参数的具体数值， 数学模型中的物理参数的具体数值，一般通过 实验测定或观测得到的，因此与真值之间也有 实验测定或观测得到的， 得到的 误差，这种误差称为参数误差 观测误差。
参数误差或 误差，这种误差称为参数误差或观测误差。
例如前例中的重力加速度g=9.8 米 例如前例中的重力加速度 g=9.8米 / 秒 ， 这 g=9.8 个数值是由多次实验而得到的结果实际的值 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
g-9.8就是参数误差 有一定的误差，这时g-9.8就是参数误差。
1.3 方法误差 (截断误差 Truncation Error）在数学模型（ 包括参数值） 确定以后， 在数学模型 （ 包括参数值 ） 确定以后 ， 就要考虑 选用某种数值方法具体进行计算， 选用某种数值方法具体进行计算 ， 许多数值方法 都是近似方法， 都是近似方法 ， 故求出的结果与准确值之间是有 误 差 的 ， 该 误 差称 为 截断 误 差 或 方 法 误 差 。
第1章 误差分析
第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。
定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。
与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。
1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。
1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。
对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。
2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。
由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。
比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。
3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。
4.截断误差假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。
我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。
提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。
1.2 误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。
数值分析误差及分析
f
( x1*,
x2*, xi
, xn*)e( xi*)
上页 下页
e( y*) e[ f ( x1*, x2*, , xn*)] df ( x1, x2, , xn )
n f ( x1, x2,
i1
xi
,
xn )e( xi*)
n i1
f
( x1*,
x2*, xi
, xn*)e( xi*)
记
用递推算法:
u0 an, uk uk1x ank , k 1, 2, , n.
最终
Pn (x)=un
共需n 次乘法和n次加法运算。
一般地要注意:能在循环外计算, 就不要放在循环 内计算。
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二、 注意避免两个相近数的相减
两个相近的数相减,有效数字会大大损失。
例2
170 13 0.0384048
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( x*)
x*
r ( x*)
上页 下页
综合例题1
上页 下页
三、有效数字 定义：如果近似值x*的误差限不超过某一位的半个 单位，该位到 x* 的第一位非零数字共有n 位,我们 称 x* 有n 位有效数字。它可表为
x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) )
其中 a1, a2 , , an 为0-9 中的一个数字a, 1 0, m 为整数，
er ( x*)
x*x | x* |
0.5 10mn1 a1 10m
1 10n1 2a1
此定理说明，相对误差是由有效数字决定的。
上页 下页
定理 2 设近似值 x* a1.a2 an 10m 的相对误差
不大于
1 2(a1
第一章误差分析的基本概念
计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
数值分析实验 误差分析
数值分析实验误差分析一、引言数值分析是研究用数值方法处理数学问题的学科。
在数值计算中，由于测量误差、近似误差、截断误差和舍入误差等因素的影响，计算的结果与实际值可能存在一定程度的误差。
因此，在进行数值分析实验时，正确评估误差是非常重要的。
本文将从误差类型、误差分析方法等方面进行详细介绍。
二、误差类型1.测量误差。
由于测量仪器的制造、使用环境等因素的影响，测量结果与实际值之间存在偏差，这就是测量误差。
常见的测量误差有系统误差和随机误差。
其中，系统误差是由测量仪器本身的固有误差造成的偏差，随机误差则是由于测量仪器使用条件的不同而产生的偏差。
2.近似误差。
由于迫于计算机存储空间和运算精度的限制，数值计算中通常采用有限的、近似的算法来求解问题。
因此，近似误差是计算方法本身的误差所引起的。
3.截断误差。
因为在有限步数之内求解无限级数或积分等问题是不可能的，所以在实际计算中只能取一定的计算级数或增量来作为代替。
这样，在运算的过程中，我们总是保留最后一位是四舍五入到一定的位数。
这样，由于省略了无限级数的其余项，计算结果与实际值之间产生的误差就是截断误差。
4.舍入误差。
计算机表示数字的位数是有限的，当我们将一个实数舍入到有限的位数时，就会导致计算结果与实际值之间的差距，这就是舍入误差。
三、误差分析方法误差分析是数值分析实验中最基本的计算过程之一，而误差分析所依据的便是数学中的数值分析的基本原理。
对于数值分析实验中所产生的误差而言，目前主要有以下几种误差分析方法：维恩积分估计法、泰勒展开法、拉格朗日插值法等。
1.维恩积分估计法。
利用维恩积分估计法，可以粗略地估计出误差大小的上下限。
该方法的基本思想是：先根据计算结果求出解析解，然后在得到的解析解处求出其导数或高阶导数，再根据误差项的表达式，得到误差估计表达式，从而计算误差的上下界。
2.泰勒展开法。
利用泰勒展开法，可以把计算值的误差展开成某一阶导数之差的形式。
通过泰勒展开公式对计算结果做二阶近似展开，然后把相应的二阶导数用实际值代替即可。
数值分析中的误差分析
E ( x) = x − X
*
*
x*
| E ( x) |=| x − x* |<= η
此时，称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度
• 相对误差与相对误差限 E ( x) x − x* Er( x) = = 绝对误差与精度值之比，即称 x X * X 的相对误差．在实际中，由于精确值x一般无 为近似值 x − x* * 法知道，因此往往取 Er ( x) = 作为近似值的相对误差．
x*
类似于绝对误差的情况，若存在 δ ＞０ ，使得 x − x* * | Er ( x) |=| * |<= δ 则称 δ 为近似值 X 的相对误差限， x 相对误差是无量刚的数，通常用百分比表示，称为百分误 差．
• 有效大小，又能表示其精确程度，于是需要引 进有效数字的概念．再实际计算中，当准 确值x有很多位时，我们常按四舍五入得到 的近似值． ｜若近似值的绝对误差限
数值分析中的误差分析
误差与数值计算的误差估计
误差可以分为以下四种 • • • • 模型误差 观测误差 截断误差 舍如误差
误差与有效数字
• 绝对误差与绝对误差限 设某一量的精确值为x，其近似值为 X * ，则称 为近似值 X 的绝对误差，简称误差 当E（x）>0时,称为弱近似值或亏近似值，当E(x)<0时，称 X *为强近似值或盈近似值． 一般的，某一量的精确值x是不知道的，因而E(x)也无法求 出，但往往可以估计出E(x)的上界，即存在，使得
第一章 误差分析与数据分析
(a)
(b )
23.5m的近似值，其绝对误差限等于该近似 值末位的半个单位。
截断误差求解数学模型所用的数值计算方法如果是近似的方法那么只能得到数学模型的近似解由此产生的误差称为截断误差或方法误差
第一章
误差分析与数据分析
第一节 误差分析 1.1 误差的来源和分析 1 模型误差
反映实际问题有关量之间的计算公式，即 数学模型，通常只是近似的。由此产生的 数学模型的解与实际问题的解之间的误差， 称为模型误差。
a
称为近似值 a 的相对误差限和相对误差界，有er r 。
例 1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度 r ( a) 、 r (b) 各是多少？两杆的实 a=312mm 和 b=24mm，问 (a) 、 (b) 、 际长度 x 和 y 的范围？
解： (a) = (b) =0.5mm
5 尽量减少运算次数
定义 设 a 是数 x 的近似值，如果 a 的绝对误差限是它的某一位的半个 单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用 a 近似 x 时具有 n 位有效数字。
数 a 可以写成如下形式： 0.a1a2…ak × a= 10m a 其中 m 是整数，ai 是 0 到 9 中的一个数字， 1 0。 如果 a 作为 x 的近似值，且
如，由Taylor(泰勒)公式，函数f(x)可表示为，
为简化计算，当误差不大时，去掉上式 右端的最后一项，得近似公式：
此近似公式的误差就是截断误差。
4 舍入误差 由于计算机的字长有限，参加运算的数据 以及运算结果在计算机上存放会产生误差， 这种误差称为舍入误差或计算误差。 如 1/3=0.333333333 (1.000002)2-1.000004=0 在数值分析中，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响，而一般不考虑模型误 差和观测误差。
数值分析--误差分析
数值分析--误差分析
一.实验目的：
1、设计绘制图形；
2、误差分析；
二.实验内容：
某车间生产工件例如图1-1右图，生产过程中工人用一把普通卡尺在线测量获知弓高h，弦长l，生产顺利完成后工厂的环评部门用高度精确的卡尺测量而得的弓高h’,弦长l’.试求实际生产直径d的值。
三.实验方案（程序设计说明）
车间工人用一把卡尺展开测量其斧低h，弦长l，以及弓高的系统误差h’’和弦短的系统误差l’。
测得：h=50mm，l=500mm，h’=-0.1mm,l’=-1mm
四.实验步骤或程序（经调试后恰当的源程序）
车间工人经测量得：h’=50-50.1=-0.1mml’=500-499=1mm
误差传播的系数为：f’’/h=(l2/4h2-1)=-（5002/4*502-1）=-24
f/t=l/2h=500/2*50=5
直径的系统误差：d1=f/t*l’+f/h*h’=7.4mm
其中d=l2/4h+h、d0=l2/4h+h=1300
所以修正后的测量结果为：
d2=d0–d1=1300-7.4=1292.6mm
若轻易用h=50.1和l=499排序得：1292.62mm
本实验主要是通过测量弓高h，弦长l并测量其系统误差得出相应的修正后的测量结果测量。
在本次实验中使用matlab中提供的大量函数以及开放式的结构进行对题目的设计，对matlab的使用有了一些了解和认识。
数值分析_第一章_误差
的关系. 解
e( y ) e( x n ) nx n1e( x )
e( y ) nx n1e( x ) e( x ) er ( y ) n ner ( x ) n y x x
所以xn 的相对误差是 x 的相对误差的n倍. x2的相对误差是 x 的相对误差的 2 倍,
x 的相对误差是 x 的相对误差的 1/2 倍.
一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535 897932 ......;
问： *有几位有效数字？ 解： |π * π| 0.5 10 3
* 3.1415
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第3 位
3
例
已知下列近似值的绝对误差限都是0.005, 问
问应取几位有效数字？ 解 由于 2 1.414, 则近似值x*可写为
x* 0.a1a2 an 101 ,
a1 1 0.
令
1 2 x * 101 n 10 5 2
故取 n=6，即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
5
例
设 y=xn, 求 y 的相对误差与 x 的相对误差之间
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度
是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [764.5 mm , 765.5 mm ].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 之间满足：
x * x x *
通常记为
x x *
1
例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限. 解 由已知可得: 1.235 x 1.245
《数值分析》第一章 数值计算中的误差
值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。
数值分析01误差.ppt
10
m
在2400多年前，古希腊人提出了被称为几何三 大问题的古典难题。这说明在历史上，人类就常 被误差所困扰。下面问题就是三大难题之一。
阜师院数科院第一章 误差 1-5
例 题
例1 立方倍积问题。作一个立方体，使其体积 为已知立方体的二倍 。 解 不妨设已知立方体体积为1。要作的立方体体积 3 为2，则所求方立体高度应该为 ，用计算机计算 h 2 3 出 2 1 .2599210498 9487 ，（15位数）。尽管精确度相 当高，但仍是近似值。下面的表1-1列出了对h取前有限位 数时，计算所得体积的误差。
出递推计 算公式:
1 I 5 I n n 1 n
( 1 2 )
n n n 1 1 1x x x 由于 x ( 0 , 1 ), 所以有 6 x 5 5 6x 55
1
n n n n 1 1x 1 x x 1 x 1 而 I dx dx , I dx dx n n 0 0 x 5 05 5 ( n 1 ) x 5 06 6 ( n 1 ) 1 1 所以有 I 于是可设计如下两种算法： n 6 ( n 1 ) 5 ( n 1 ) 1-14 阜师院数科院第一章 误差
1-10
条 件 问 题
计算方法中有一类问题称为条件问题， 条件问题是一个算法 （公式）由于初始 数据或者中间某些数据微小摄动对计算结 果产生影响的敏感性的问题。舍入误差、 观测误差都属初始数据的摄动。研究坏条 件问题的计算方法是十分重要的课题，有 的时候，一些问题的条件并不坏，但由于 算法不恰当，初始数据的微小摄动或舍入 误差在计算过程中不断被放大，而可能导 致计算结果的精度大大降低，甚至使计算 失去意义。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
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第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
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第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
数值分析第一章误差PPT精品文档45页
例如，利用 ln(x+1) 的Taylor公式计算 ln2,
ln x 1 ( ) x 1 x 2 1 x 3 1 x 4 1 x 5 2345
实际计算时只能截取有限项代数和计算，如取前5 项有：
ln211111 2345
这里产生误差 (记作R5 )截断误差 R5167118
解： |π* π|0.51 3 0
* 有4位有效数字，精确到小数点后第3位
17
例 已知下列近似值的绝对误差限都是0.005, 问 它们具有几位有效数字? a=12.175, b=－0.10, c=0.1, d=0.0032
解 由于0.005＝0.5×10－2,
所以 a 有4位有效数字1, 2, 1,7; b 有2位有效数字1, 0; c 有1位有效数字1; d 没有有效数字.
|er |er.
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例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限.
解 由已知可得: 1 .2 3 x 5 1 .245
所以 e =0.005,
er 0 .01 0 .25 4 0 .4 %.
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似 值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.
绝对误差 设x* 是准确值x 的一个近似值，记 e=xx* 称 e为近似值 x* 的绝对误差，简称误差.
绝对误差一般很难准确计算, 但可以估计上界.
若e 满足 |e|e
则称 e为近似值 x* 的绝对误差限，简称误差限.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值. 12
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度 是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
数值分析--1误差
e * ( x) | er* ( x ) | x*
1 10 n1 2(a1 1)
相对误差限 有效数字 已知 x* 的相对误差限可写为 εr *
10 n 1 则 | x x* | ε r * | x* | 0 .a1a 2 10m 2( a1 1)
10 n 1 ( a1 1) 10m 1 0 .5 10m n 2( a1 1)
可见 x* 至少有 n 位有效igits
例：为使 π *的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：假设 * 取到 n 位有效数字，则其相对误差上限为
εr * 1 10 n 1 2a1
要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其上限满足
可见初始的小扰动 | E0 | 0 .5 108 迅速积累，误差呈递增走势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n1
I n 1
1 (1 I n ) n
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。
有效数字与相对误差的关系(page 10)
§2 Error and Significant Digits
有效数字 相对误差限 已知 x* 有 n 位有效数字，则其相对误差限为
ε* 0 .5 10m n 10 n εr * m x* 0 .a1a 2 a n 10 2 0 .a1 1 10 n 1 2a1
证明： π* 0 .31415 101 ,
and |π * π| 0 .5 10 3 0 .5 101 4 * 有 4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。
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1. 计算1
1
n x n
I e
x e dx -=⎰
(n=0,1,2,……)并估计误差。
由分部积分可得计算n I 的递推公式
1111
01,1,2,e 1.n
n x I nI n I e dx e ---=-=⎧⎪⎨==-⎪⎩⎰……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 1
2,,I I …
的值。
要
算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和
21
(1)(1)1(1),2!!
k
e k ---≈+-+++
…
并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差
14711
|0.3679|108!4
R e --=-≤
<⨯.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。
当初值取为
00
0.6321I I ≈= 时，用（1）式递推的计算公式为 0
10.6321A 1n
n I I nI -⎧=⎨=-⎩ （），n=1,2，…。
计算结果见表1的n I 列。
用0I 近似0I 产生的误差000
E I I =- 就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.
表1 计算结果
从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。
实际上，由积分估值得
111110001011
(im )(max)11
x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++⎰⎰ （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。
这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就
是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n n
E I I =- 满足关系
1,1,2,n n E nE n -=-=….
由此容易推得
0(1)!n n E n E =-，
这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。
例如，n=8，若
4
01||102
E -=
⨯，则80||8!||2E E =⨯>。
这就说明8I 完全不能近似8I 了。
它表明计算公式（A ）是数值不稳定的。
我们现在换一种计算方案。
由（2）式取n=9,得
1911010
e I -<<， 我们粗略取1
*9911()0.068421010
e I I -≈+==，然后将公式（1）倒过来算，即
由*9I 算出*8I ，*7I ，…，*
0I ，公式为
*
9**
10.0684()1(1),98n n I B I I n n -⎧=⎪
=⎨=-=⎪⎩
，
，…，1； 计算结果见表1的*n I 列。
我们发现*
0I 与0I 的误差不超过410-。
记
**
n n n
E I I =-，则**01||||!
n E E n =，*0E 比*
n E 缩小了n!倍，因此，尽管*9E 较大，但由于误差逐步缩小，故可用*
n I 近似n I 。
反之，当用方案（A ）计算
时，尽管初值0I 相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠。
此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的。