数值分析第一章实验 误差分析

1. 计算1

1

n x n

I e

x e dx -=⎰

(n=0,1,2,……)并估计误差。

由分部积分可得计算n I 的递推公式

1111

01,1,2,e 1.n

n x I nI n I e dx e ---=-=⎧⎪⎨==-⎪⎩⎰……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 1

2,,I I …

的值。要

算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和

21

(1)(1)1(1),2!!

k

e k ---≈+-+++

…

并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差

14711

|0.3679|108!4

R e --=-≤

<⨯.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。当初值取为

00

0.6321I I ≈= 时，用（1）式递推的计算公式为 0

10.6321A 1n

n I I nI -⎧=⎨=-⎩ （），n=1,2，…。 计算结果见表1的n I 列。用0I 近似0I 产生的误差000

E I I =- 就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.

表1 计算结果

从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。实际上，由积分估值得

111110001011

(im )(max)11

x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++⎰⎰ （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就

是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n n

E I I =- 满足关系

1,1,2,n n E nE n -=-=….

由此容易推得

0(1)!n n E n E =-，

这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。例如，n=8，若

4

01||102

E -=

⨯，则80||8!||2E E =⨯>。这就说明8I 完全不能近似8I 了。它表明计算公式（A ）是数值不稳定的。

我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=9,得

1911010

e I -<<， 我们粗略取1

*9911()0.068421010

e I I -≈+==，然后将公式（1）倒过来算，即

由*9I 算出*8I ，*7I ，…，*

0I ，公式为

*

9**

10.0684()1(1),98n n I B I I n n -⎧=⎪

=⎨=-=⎪⎩

，

，…，1； 计算结果见表1的*n I 列。我们发现*

0I 与0I 的误差不超过410-。记

**

n n n

E I I =-，则**01||||!

n E E n =，*0E 比*

n E 缩小了n!倍，因此，尽管*9E 较大，但由于误差逐步缩小，故可用*

n I 近似n I 。反之，当用方案（A ）计算

时，尽管初值0I 相当准确，由于误差传播是逐步扩大的，因而计算结果不可靠。此例说明，数值不稳定的算法是不能使用的。