2019届高考数学一轮复习第五篇数列第4节数列求和及综合应用训练理新人教版

第4节数列求和及综合应用

知识点、方法题号

公式法、并项法、分组求和法1,2,3,11,13

裂项相消法求和5,8,15

错位相减法求和12,14

数列的综合应用4,6,7,9,10

基础巩固(时间:30分钟)

1.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-3()n,则其前20项和为( C )

(A)380- (1-) (B)400- (1-)

(C)420- (1-) (D)440- (1-)

解析:设数列{a n}的前n项和为S n,则S20=a1+a2+…+a20=2(1+2+…+20)-3(++…

+)=2×-3×=420- (1-).

故选C.

2.数列{a n}的通项公式为a n=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于( B )

(A)200 (B)-200 (C)400 (D)-400

解析:S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)

=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]+[-3-(-3)-3+…-(-3)]

=4×(-50)=-200.

故选B.

3.(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为( A )

(A)-24 (B)-3 (C)3 (D)8

解析:由a2,a3,a6成等比数列且a1=1得

(1+2d)2=(1+d)(1+5d).

因为d≠0,所以d=-2,

所以S6=6×1+×(-2)=-24.

故选A.

4.(2017·安阳一模)已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则数列{log2 a n}的前10项和等于

( C )

(A)1 023 (B)55 (C)45 (D)35

解析:数列{a n}的前n项和S n=2n-1,可得a1=S1=2-1=1;

当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,对n=1也成立.所以a n=2n-1(n∈N*)

log2a n=log22n-1=n-1,

则数列{log2a n}的前10项和等于0+1+2+…+9=×(1+9)×9=45.

故选C.

5.(2017·湖南模拟)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2(n∈N*),记数列{}的前n 项和为T n,则T2 017等于( B )

(A)(B)(C)(D)

解析:当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2- (n-1)2=2n-1,

当n=1时适合上式,所以a n=2n-1.(n∈N*).

所以== (-),

数列{}的前n项和为T n= (1-+-+…+-)= (1-).

则T2 017= (1-)=.

故选B.

6.(2016·湖北三校联考)已知等比数列{a n}的各项都为正数,且当n≥3时,a4=1,则

数列lg a1,2lg a2,22lg a3,23lg a4,…,2n-1lg a n,…的前n项和S n等于( C )

(A)n·2n (B)(n-1)·2n-1-1

(C)(n-1)·2n+1 (D)2n+1

解析:因为等比数列{a n}的各项都为正数,且当n≥3时,a4a2n-4=102n,

所以=102n,即a n=10n,

所以2n-1lg a n=2n-1lg 10n=n·2n-1,

所以S n=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,①

2S n=1×2+2×22+3×23+…+n·2n,②

所以①-②得-S n=1+2+22+…+2n-1-n·2n=2n-1-n·2n=(1-n)·2n-1,

所以S n=(n-1)·2n+1.选C.

7.(2017·郴州二模)已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n-a,则++…+等于( D )

(A)(2n-1)2(B) (2n-1)

(C)4n-1 (D) (4n-1)

解析:因为S n=2n-a,所以a1=2-a,a1+a2=4-a,a1+a2+a3=8-a,

解得a1=2-a,a2=2,a3=4,

因为数列{a n}是等比数列,所以22=4(2-a),解得a=1.

所以公比q=2,a n=2n-1,=22n-2=4n-1.

则++…+== (4n-1).故选D.

8.(2016·广东汕尾调研)已知数列{a n}为等比数列,a1=3,a4=81,若数列{b n}满足

b n=(n+1)log3a n,则{}的前n项和S n= .

解析:由题知a n=3n,

所以b n=n(n+1),= -,

所以S n=(1-)+(-)+…+(-)

=1-

=.

答案:

9.(2017·合肥二模)等比数列{a n}满足a n>0,且a2a8=4,则log2 a1+log2 a2+log2 a3+…+log2 a9= .

解析:根据题意,等比数列{a n}的各项都是正数,a1·a9=a2·a8=a3·a7=a4·a6==4,

则a5=2,则log2 a1+log2 a2+…+log2 a9=log2(a1·a2·…·a9)=log2(29)=9,

答案:9

能力提升(时间:15分钟)

10.已知数列{a n}满足a n+1-a n=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|等于( C )

(A)9 (B)15 (C)18 (D)30

解析:因为a n+1-a n=2,a1=-5,所以数列{a n}是公差为2的等差数列.

所以a n=-5+2(n-1)=2n-7.

数列{a n}的前n项和S n==n2-6n.

令a n=2n-7≥0,解得n≥.

所以n≤3时,|a n|=-a n.

n≥4时,|a n|=a n.