八年级数学培优讲义

三角形全等之类比探究（讲义）

➢ 知识点睛

1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由

简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．

2. 解决类比探究问题的一般方法：

（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问； （2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬． 整体框架照搬包括_________________，________________，_________________． 3. 常见几何特征及做法：

见中点，___________________________．

➢ 精讲精练

1. 在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，AD ⊥

MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ．

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD BE ． （3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，请直接写出DE ，AD ，BE 之间的数量关系．

2. 如图1，四边形ABCD 是正方形，AB =BC ，∠B =∠BCD =90°，

点E 是边BC 的中点，∠AEF =90°，EF 交正方形外角∠DCG 的 平分线CF 于点F ．

（1）求证：AE =EF （提示：在AB 上截取BH =BE ，连接HE ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决）．

（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？说明理由．

（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？说明理由．

图1

B

N

E C

D

M A

图2

A

C

D E M N

B G

A B C D

F

E 图1

图3

A

B

C

D E M

N

3.

中的结论是否成立，并说明理由．

4. （1）如图1，已知∠MAN =120°，AC 平分∠MAN ，∠ABC =

∠ADC =90°，则能得到如下两个结论： ①DC =BC ；②AD +AB =AC ．请你证明结论②．

（2）如图2，把（1）中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为“∠ABC +∠ADC =180°”，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给

图1

E

D

A

M 图2

B M

C

E

A D

图3

E F

D

C B A G

E F

D

B

A

G

图3

出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，如果D 在AM 的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为“∠ABC =∠ADC ”，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，请直接写出你的

结论．

例1：已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，AD =AF ，∠DAF =90°，连接CF ．

（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：CF +CD =BC ；

（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变，求CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系．

图2

图1

A

B

C

D

E

F

F

E

D C

B

A

➢ 巩固练习

1. 已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，BC =DE ，如图1．

（1）求证：AC =CE ．

（2）若将△ECD 沿CB 方向平移至如图2的位置（C 1，C 2不重合），其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由． （3）若将△ECD 沿CB 方向平移至如图3的位置（B ，C 2重合），其余条件不变，结论AC 1=C 2E 还成立吗？请说明理由．

A B C

D

M

N

图3

图1

N

M

D C

B A A

B C

D

M

N

图2

图2

图1

A B

C D

E

E

D

B A

A

C 2C 1

图3

A

B C

D

E

F

2. （1）【问题发现】小明学习中遇到这样一个问题：

如图1，△ABC 是等边三角形，点D 为BC 的中点，且满足∠ADE =60°，DE 交等边三角形外角平分线CE 所在直线于点E ，试探究AD 与DE 的数量关系．小明发现，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F ，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请直接写出AD 与DE 的数量关系：_______________；

（2）【类比探究】如图2，当点D 是线段BC 上（除B ，C 外）任意一点时（其他条件不变），试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论； （3）【拓展应用】如图3，当点D 在线段BC 的延长线上（其他条件不变），试猜想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．

图1

F

E

D C

B

A 图2

E

D

C

B

A

图3

E

D

C B

A

3. 如图1所示，在△A B C 和△A D E 中，A B =A C ，A D =A E ，

∠BAC =∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点，连接AM ，AN ，MN ． （1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．

（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到如图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

图1

A

B

C

D

E M

N N M D C B

A