指数函数典型例题详细解析

【例5】(中档题)作出下列函数的图像:图像变换法
(3）ｙ=2|x－１|ﻩ（4)y＝|1-３x|
解(2)y＝2x-２的图像（如图2．6-5）是把函数ｙ＝2x的图像向下平移2个单位得到的.
解（3)利用翻折变换,先作y＝2|x｜的图像,再把y=２|x|的图像向右平移１个单位，就得y＝2|ｘ-1|的图像（如图2．6-6).
∴ｙ2<ｙ1,函数在［1,＋∞上单调递减.
综上,函数y在（-∞，1]上单调递增,在[1，+∞)上单调递减.
合作探究:在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函数的单调性来解题．
解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）：
设:
则：
对任意的 ,有 ，
又∵ 是减函数
∴ ∴ 在 是减函数
试证明对于任意ａ, 为增函数;
证明：设 ∈R,且
则
由于指数函数ｙ= 在R上是增函数，且 ,
所以 即 <0,
又由 >0得 ＋１＞0， +１>0
所以 <０即
因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数， 为增函数
（1)判断ｆ(x)的奇偶性；
(2)求f(ｘ)的值域；
(3)证明f（x）在区间（－∞，＋∞)上是增函数.
解(1)定义域是Ｒ.</PＧＮ0０９5A.TXT／PGN>
∴函数f(x)为奇函数.
即f(ｘ)的值域为(-1，１）.
（3）设任意取两个值ｘ1、x2∈(-∞,+∞)且x1<ｘ２.f(x1）-f(x２)
变式1设a是实数，
当x1、x2∈(-∞，１]时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1)(ｘ2+x1－
当x1、x２∈［1，+∞)时，x1+x2－２＞0,这时（x2-ｘ1）（x２+ｘ1-2）＞０，即 <1.
（此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性)
则有 ,
∵a＞1，h＞０，∴ ，
∴ ,即
故ｙ= ax(a＞1)为R上的增函数，
同理可证0<a＜1时,y= aｘ 是R上的减函数.
变式１求函数y=（ ） 的单调区间，并证明之.
解法一（在解答题):在R上任取x1、x2,且ｘ1＜ｘ2，
则 = =( ）(x2-x１）(ｘ2+x１-2）【( )为底数,红色部分为指数】 ，∵ｘ1<x2,∴x2-x1＞0.
对任意的 ,有
又∵ 是减函数
∴ ∴ 在 是增函数
在该问题中先确定内层函数( ）和外层函数( ）的单调情况,再根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.
变式2已知 且 ，讨论 的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题,
指数 ，当 ≥ 时是减函数， ≤ 时是增函数，
而 的单调性又与 和 两种范围有关,应分类讨论.
∴４.5４．1＞3．73.6.
说明如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(１）.若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的（2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.５4.1同底与3.７3.6同指数的特点,即为４．53.6（或3.7４.1)，如例2中的(3)．
[]
Ａ.ａ<ｂ＜１＜ｃ<d
B.a＜b＜1<d<c
C.b<a＜1＜ｄ<c
D．c<d＜１<ａ＜b
解选(c），在x轴上任取一点(ｘ，0)，则得b＜ａ<1＜d<ｃ.
【例３】(基础题）比较大小：
(3)4.54．1______＿＿３.7３.6
解(3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,４.54．１＞4.５3．6，作函数y１=4.５x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3,取ｘ＝３．6，得4．5３.６>3.73.6
解(4)作函数y＝３x的图像关于ｘ轴的对称图像得y＝－3ｘ的图像,再把y＝－３ｘ的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把ｘ轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.（如图2.6-7)
例６（中档题）:用函数单调性定义证明：当a＞1时,y=ａx是增函数．
【解析】设x1,x２∈R且x1<x2，并令x2= x1+ｈ（h>0,h∈R）,很独特的方式
（2）上述证明过程中,在两次求x的范围时,逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性,是关键及疑难点。
变式：求(３) 的值域.
解
ｙ
且 .
故 的值域为 .
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时,要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.
例题9(中档题）分式型指数函数
【解析】设
，
则当 ≥ 时, 是减函数，当 ≤ 时， 是增函数，
又当 时， 是增函数，
当 时, 是减函数,
所以当 时，原函数 在 上是减函数,在 上是增函数.
当 时，原函数 在 上是增函数，在 上是减函数.
【小结】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；
；如果两个函数中一增一减,则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域.
第二课时
例题8:（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数换元法先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元ｕ的范围)
当x＝0时，函数ｙ有最大值为1.
内层指数函数u=（1/2)x为减，当u在(０，１／2】时,此时外层二次ｆ（u)为减函数，即x在【1，正无穷大),,则复合函数为增(画草图分析法）
点评:（１）指数函数的有界性（值域)：x2≥0；ax>０
指数函数·例题解析
第一课时
【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域:
解（1)定义域为{x|x∈R且ｘ≠2｝．值域{y|ｙ＞0且y≠1｝．
（2)由2x＋2-1≥0,得定义域{x|ｘ≥－2},值域为｛｜y|ｙ≥0}.
（3)由3-3x-１≥0，得定义域是{x|x≤2},∵０≤3-3x-1<3，
1.指数函数Ｙ=ax（a>0且a≠１)的定义域是R,值域是(0，＋∞）
2．求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为０③形如a0,(ａ≠０)
３．求函数的值域：①利用函数Ｙ=ax单调性②函数的有界性(x2≥0;aｘ>0)③换元法.如:y=４x+６×２x-８（1≤x≤２)先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围）
【例2】(基础题）指数函数y=ax,ｙ=bx,y＝ｃx,y=ｄx的图像如图2.6-2所示，则ａ、ｂ、c、ｄ、1之间的大小关系是