等差数列及其性质.ppt
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和为66，a1 1 ，求其项数和中间项.
①②③
❖ (11).定义一种运算*,n∈N*.满足下列运算性质: ❖ (1)1*1=1,(2)3( n*1)=(n+1)*1 ❖ 则n*1 =( ) ❖ A(3n-1)/2 B3n C3n-1D(3n-1)/2
❖等差数列｛an｝的公差d<0, a12=a112则数列的前n项和sn取最大 的项数n是( ) A5 B6 C5或6 D6或7
❖ 3已知等比数列的首项为8，sn是其前n项的和 ❖ 某同学计算得到s2=20,s3=36,s4=65，后来该
同学发现了一个数算错了，则该数为＿
❖ 设｛an｝是由正数组成的等比数列，公比 q=2 ，且a1a2a3…a30=230，那么
❖ a2a5a8…a29的值为( ) ❖ A210 B220 C215 D 216
（等比数列)（1) 当0<q<1, a1 <0或q>1,a1 >0时， 为单调增数列。
（2）当q>1, a1 <0或0<q<1, a1 >0时， 为单调减数列 。
(3) 当 q=1时，为常数列； (4) 当q<0时，为摆动数列。
解：
解：
【点评】 求等差数列的前n 项和Sn的最大(小)值的 基本方法有两种：一是求使an>0(an<0)且an+1<0(an+1>0) 的正整数n值； 二是Sn是等于n的二次函数(d≠0)，利用二次函数的最值求 法(如配方法)．解题时应注意n∈N*．
❖ 则实数k等于
❖ 等差数列｛an｝中，sn是其前项和, ❖ a1=-2008,s2007/2007-s2005/2005=2，则 ❖ S2008= ❖ A-2006 B -2008 C 2006 D2008
❖ 各项均为正数的等比数列｛an｝ ❖ 前项和为sn，若s10=10,s30=70,则s40=等于 ❖ A150 B-200 C150或-200 D400或-50
❖ 见书85页例1设等差数列｛an｝的前项和为sn, 已知s7=7,s15=75,Tn为数列｛sn/n｝的前项和, 求Tn
等差数列前n项和与通项an关系 解题通法：基本量的应用
利用等差数列性质解题 1.
证明方法2：
a1 1
例3．等差数列中共有奇数项，且此 数列中的奇数项之和为77，偶数项之
❖ 4.已知等比数列｛an｝中a5=1/2,a9=8,则 a6a7a8的值是
❖ 6.三个数a,b,c成等比数列，且 a+b+C=m(m>0)，则b的取值范围是( )
❖ A[0,m/3] B [-m,-m/3] ❖ C(0,m/3) D [-m,0) ∪(0,m/3]
❖ 在数列｛an｝中an+1=can（c为非零常数）且 前n项和sn=3n+k
等差及等比数列定义及其性质
知识要点
七：令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=3 ∴a3=70+(70－30)=110 ∴S3=a1+a2+a3=210
d am an mn
1、数列的单调性：
(等差数列)（1）当d>0时，为递增数列；sn 有最小 （2）当d<0时，为递减数列;sn有最大 (3) 当d=0时，为常数列。
Sn=na1+n(n-1)/2d,得：
ma1
m(m 1) 2
d
30
2ma1
2m(2m 1) 2
d
100
解得d
40 m2
, a1
10 m
20 m2
,S3m
3ma1
3m(3m 2
1)
d
210
❖ 解法二：由等差数列{an}的前n项和公式知，
Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B
是常数）.将Sm=30,S2m=100代入，得
Am2 Bm 30
A(2m)2
B
2m
100
A B
20 m2 10 m
∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210
❖ 解法三：根据等差数列性质知：Sm,S2m－ Sm,S3m－S2m也成等差数列，从而有：2(S2m －Sm)=Sm+(S3m－S2m)
❖ 7.等差数列｛an｝前项和sn若
❖ (s8-s5)(s8-s4)<0则(A)
❖ A∣a6∣ >∣a7∣ ❖ B ∣a6∣ =∣a7∣ ❖ C ∣a6∣ <∣a7∣
❖ D a6=0
等差数列{an}的前n项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m项的和
❖ 解法一：将Sm=30,S2m=100代入
❖ 1.等差数列｛an｝若an=m,am=n (m≠n),则
❖ am+n=0 ❖ 2.等差数列｛an｝若sn=m,sm=n (m≠n),则
❖ sm+n=-(m+n) ❖ 3.等差数列｛an｝sn=sm(m≠n) ❖ 则sm+n=0 ❖ 4别. 为｛sann与｝T｛n则ban｝m/均bm为=s等2m差-1/T数2m列-1,且前n项和分
❖ ∴S3m=3(S2m－Sm)=210
❖ 解法四：令m=1得S1=30，S2=100，得 a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70
❖ ∴a3=70+(70－30)=110 ❖ ∴S3=a1+a2+a3=210
❖ 例2．若数列成等差数列，且 sn=m,sm=n,(m≠n)求sm+n．
解：设 Sn An2 Bn，则
An2 Bn m (1)
(1)
(2)得：
Am2
Bm
n
(2)
(n2 m2 ) A (n m)B m n
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(m n) A B 1
Snm (n m)2 A (n m)B (n m)
①②③
❖ (11).定义一种运算*,n∈N*.满足下列运算性质: ❖ (1)1*1=1,(2)3( n*1)=(n+1)*1 ❖ 则n*1 =( ) ❖ A(3n-1)/2 B3n C3n-1D(3n-1)/2
❖等差数列｛an｝的公差d<0, a12=a112则数列的前n项和sn取最大 的项数n是( ) A5 B6 C5或6 D6或7
❖ 3已知等比数列的首项为8，sn是其前n项的和 ❖ 某同学计算得到s2=20,s3=36,s4=65，后来该
同学发现了一个数算错了，则该数为＿
❖ 设｛an｝是由正数组成的等比数列，公比 q=2 ，且a1a2a3…a30=230，那么
❖ a2a5a8…a29的值为( ) ❖ A210 B220 C215 D 216
（等比数列)（1) 当0<q<1, a1 <0或q>1,a1 >0时， 为单调增数列。
（2）当q>1, a1 <0或0<q<1, a1 >0时， 为单调减数列 。
(3) 当 q=1时，为常数列； (4) 当q<0时，为摆动数列。
解：
解：
【点评】 求等差数列的前n 项和Sn的最大(小)值的 基本方法有两种：一是求使an>0(an<0)且an+1<0(an+1>0) 的正整数n值； 二是Sn是等于n的二次函数(d≠0)，利用二次函数的最值求 法(如配方法)．解题时应注意n∈N*．
❖ 则实数k等于
❖ 等差数列｛an｝中，sn是其前项和, ❖ a1=-2008,s2007/2007-s2005/2005=2，则 ❖ S2008= ❖ A-2006 B -2008 C 2006 D2008
❖ 各项均为正数的等比数列｛an｝ ❖ 前项和为sn，若s10=10,s30=70,则s40=等于 ❖ A150 B-200 C150或-200 D400或-50
❖ 见书85页例1设等差数列｛an｝的前项和为sn, 已知s7=7,s15=75,Tn为数列｛sn/n｝的前项和, 求Tn
等差数列前n项和与通项an关系 解题通法：基本量的应用
利用等差数列性质解题 1.
证明方法2：
a1 1
例3．等差数列中共有奇数项，且此 数列中的奇数项之和为77，偶数项之
❖ 4.已知等比数列｛an｝中a5=1/2,a9=8,则 a6a7a8的值是
❖ 6.三个数a,b,c成等比数列，且 a+b+C=m(m>0)，则b的取值范围是( )
❖ A[0,m/3] B [-m,-m/3] ❖ C(0,m/3) D [-m,0) ∪(0,m/3]
❖ 在数列｛an｝中an+1=can（c为非零常数）且 前n项和sn=3n+k
等差及等比数列定义及其性质
知识要点
七：令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,∴a1=3 ∴a3=70+(70－30)=110 ∴S3=a1+a2+a3=210
d am an mn
1、数列的单调性：
(等差数列)（1）当d>0时，为递增数列；sn 有最小 （2）当d<0时，为递减数列;sn有最大 (3) 当d=0时，为常数列。
Sn=na1+n(n-1)/2d,得：
ma1
m(m 1) 2
d
30
2ma1
2m(2m 1) 2
d
100
解得d
40 m2
, a1
10 m
20 m2
,S3m
3ma1
3m(3m 2
1)
d
210
❖ 解法二：由等差数列{an}的前n项和公式知，
Sn是关于n的二次函数，即Sn=An2+Bn(A、B
是常数）.将Sm=30,S2m=100代入，得
Am2 Bm 30
A(2m)2
B
2m
100
A B
20 m2 10 m
∴S3m=A·(3m)2+B·3m=210
❖ 解法三：根据等差数列性质知：Sm,S2m－ Sm,S3m－S2m也成等差数列，从而有：2(S2m －Sm)=Sm+(S3m－S2m)
❖ 7.等差数列｛an｝前项和sn若
❖ (s8-s5)(s8-s4)<0则(A)
❖ A∣a6∣ >∣a7∣ ❖ B ∣a6∣ =∣a7∣ ❖ C ∣a6∣ <∣a7∣
❖ D a6=0
等差数列{an}的前n项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m项的和
❖ 解法一：将Sm=30,S2m=100代入
❖ 1.等差数列｛an｝若an=m,am=n (m≠n),则
❖ am+n=0 ❖ 2.等差数列｛an｝若sn=m,sm=n (m≠n),则
❖ sm+n=-(m+n) ❖ 3.等差数列｛an｝sn=sm(m≠n) ❖ 则sm+n=0 ❖ 4别. 为｛sann与｝T｛n则ban｝m/均bm为=s等2m差-1/T数2m列-1,且前n项和分
❖ ∴S3m=3(S2m－Sm)=210
❖ 解法四：令m=1得S1=30，S2=100，得 a1=30,a1+a2=100,∴a1=30,a2=70
❖ ∴a3=70+(70－30)=110 ❖ ∴S3=a1+a2+a3=210
❖ 例2．若数列成等差数列，且 sn=m,sm=n,(m≠n)求sm+n．
解：设 Sn An2 Bn，则
An2 Bn m (1)
(1)
(2)得：
Am2
Bm
n
(2)
(n2 m2 ) A (n m)B m n
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(m n) A B 1
Snm (n m)2 A (n m)B (n m)